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线性代数习题4完整解答

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习题四答案：

1.C，举一个反例：设 ，且 不能由 ， ， 。。。。 ，显然 ，可以由

， ， 。。。。 线性表示。

2. C，A错在，虽然A的列向量组的秩为3，但不是任何三个行向量都线性无关；

B错在，不是所有3阶子式都为非0子式；

D错在，A就算不是最后一行各元素为0，也可以满足秩为3的条件

E错在，线性相关的部分组可以只有2个向量，如：

，由 ， 构成的部分组显然线性相关

3.B，A错在，虽然向量组秩为3，但是并不一定任何3个向量都线性无关

C的错误与第2题中的E一样，也可借用那个反例加以说明

D错在，若 ，并不一定需要零向量存在，例如， ，且

， ， ，

E错在，若 ， ， ， 。。。。 就会线性相关

4.

因为 ， ， ， 线性无关，所以 ， ， 线性无关，；又 ， ， ， 线性相关，所以 可以由 ， ， 线性表出。

①讨论 可否由 ， ， ， 线性表出，显然可以，因为 可以由 ， ， ，因而更可以由 ， ， ， 线性表出。

②讨论 可否由 ， ， ， 线性表出，则归结到是否有：

R（ ， ， ， ）=R ， ， ，

显然R ， ， ， （ ， ， ， ）=4

而R（ ， ， ， ）不一定为4，例如：

， ， ，

（ ） ， （ ） 此时 R（ ， ， ， ）=3，

如果 ， ， ，

（ ） ， （ ） 此时 R（ ， ， ， ）=4

不一定可以由 ， ， ，

③讨论 可否由 ， ， ， 线性表出，同样归结到是否有：

R（ ， ， ， ）=R ， ， ，

显然R ， ， ， （ ， ， ， ）=4

而R（ ， ， ， ）不一定为4，例如：

， ， ，

（ ） ， （ ） 此时 R（ ， ， ， ）=3

如果 ， ， ，

（ ） ， （ ） 此时 R（ ， ， ， ）=4

不一定可以由 ， ， ，

④讨论 可否由 ， ， ， 线性表出，同样归结到是否有：

R（ ， ， ， ）=R ， ， ，

显然R ， ， ， （ ， ， ， ）=4

而R（ ， ， ， ）不一定为4，例如：

， ， ，

（ ） ， （ ） 此时 R（ ， ， ， ）=3

如果 ， ， ，

（ ） ， （ ） 此时 R（ ， ， ， ）=4

不一定可以由 ， ， ，

⑤讨论 可否由 ， ， ， 线性表出，同样归结到是否有：

R（ ， ， ， ）=R ， ， ，

显然R ， ， ， （ ， ， ， ）=4

而R（ ， ， ， ）=3

一定存在 （ ， ， ， ） ， ， ，

不可以由 ， ， ，

5. 注意这里强调一下，按照标准写法 ， 表示列向量， ， 表示行向量。所以以后除非题目强调是行向量，否则 一律视为列向量。

又 ， ， 线性相关，则R（A） ，a-3=0

6.由已知可得：

若b=0，则

，又r

若 ，则

（ ） ，又r ，

综上所诉， ， 或 ， 时r

7.

（ ， ， ， ）

（ ）

（ ）

显然，a=-7时，R（A）=3

a=3时，R（A）=3

且 时， （ ）

a=-7或a=3

当a=-7时，

， 构成一个极大无关组

行向量组的一个极大无关组为： ， ，

当a=3时，

， 构成一个极大无关组

行向量组的一个极大无关组为： ， ，

8.

AB-A=A(B-E)

又

可逆

（ ）

又A=

9.

又 可以由 线性表示

已知

又

综上所述： ，

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线性代数课后习题答案

线性代数课后习题答案

1 1 线性代数课后题详解

第一章 行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：相信自己加油

（1）381141102； （2）bacacbcba

（3）222111cbacba； （4）yxyxxyxyyxyx.

解 注意看过程解答（1）381141102811)1()1(03)4(2

)1()4(18)1(2310

=416824

=4

（2）bacacbcbacccaaabbbcbabacacb

3333cbaabc

（3）

222111cbacba222222cbbaacabcabc

))()((accbba

（4）yxyxxyxyyxyx

yxyxyxyxyyxx)()()(333)(xyxy

33322333)(3xyxxyyxyyxxy

)(233yx

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业

（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2；

（3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3；

（5）1 3 … )12(n 2 4 … )2(n；

（6）1 3 … )12(n )2(n )22(n … 2.

解（1）逆序数为0 2 2 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2

（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1

（4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3

（5）逆序数为2)1(nn：

3 2 1个

5 2，5 4 2个

线性代数习题册参考解答

线性代数习题册参考解答

合肥工业大学 《线性代数》习题册参考解答 何先枝

第 1 页 共 36 页 第一章 行列式

1、求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。

（1）1347265；（2）321)1(nn。

【解】（1）62130000)1347265(，偶排列；

（2）2)1()1(210]321)1([nnnnn。

当14,4kkn时，)14(2),14(22)1(kkkknn为偶数，即为偶排列；

当34,24kkn时，)34)(12(),14)(12(2)1(kkkknn为奇数，即为奇排列。■

2、用行列式定义计算

xxxxxxf111123111212)(

中4x和3x的系数，并说明理由。

【解】由行列式定义可知：

含4x有的项只能是主对角线元素乘积，故4x的系数为2；

含有3x的项只能是（1，2），（2，1），（3，3），（4，4）的元素乘积项，而

10010)2134(，

故3x的系数为1.■

3、求21647295417321524D。

【解】三角化法：

611061203110225161103110612022516011301160212152323112241324rrccrrrrrrD 合肥工业大学 《线性代数》习题册参考解答 何先枝

第 2 页 共 36 页 9300003003110225123242rrrr。■

4、求84443633224211124D。

【解】性质（三角化法）+行和相等的行列式：

2111121111211111120211112111121111224844436332242111243212432434rrrrrrrD

同济大学第四版线性代数习题解答

同济大学第四版线性代数习题解答

线性代数答案解答

第一章 行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：

（1）381141102； （2）bacacbcba

（3）222111cbacba； （4）yxyxxyxyyxyx.

解 （1）381141102811)1()1(03)4(2

)1()4(18)1(2310

=416824

=4

（2）bacacbcbacccaaabbbcbabacacb

3333cbaabc

（3）222111cbacba222222cbbaacabcabc

))()((accbba

（4）yxyxxyxyyxyx

yxyxyxyxyyxx)()()(333)(xyxy

33322333)(3xyxxyyxyyxxy

)(233yx

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：

（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2；

（3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3；

（5）1 3 … )12(n 2 4 … )2(n；

（6）1 3 … )12(n )2(n )22(n … 2.

解（1）逆序数为0

（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2

（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1

（4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2)1(nn：

3 2 1个

5 2，5 4 2个

线性代数习题四作业参考解答

线性代数习题四作业参考解答

63 习题四作业参考解答

１．求下列齐次线性方程组的一个基础解系：

(1)

02683054202108432143214321xxxxxxxxxxxx

解：系数矩阵104018102312451014438620000A初等行变换（行最简形）

所以同解方程组为：1323443144xxxxx，令341,0xx，带入同解方程组求出12xx和，得一个解向量143410；再令340,1xx，带入同解方程组求出12xx和，得一个解向量201401，

故齐次线性方程组的基础解系为12,。

(2) 仿（1）

(3) 0543254321xxxxx．

解：同解方程组为：123452345xxxxx，

令23451,0,0,0xxxx，得解向量12,1,0,0,0T，

令23450,1,0,0xxxx，得解向量23,0,1,0,0T，

令23450,0,1,0xxxx，得解向量34,0,0,1,0T，

令23450,0,0,1xxxx，得解向量45,0,0,0,1T，

所以，齐次线性方程组的基础解系为：1234,,,

２．求下列非齐次线性方程组的一般解：

（2）69413283542432321321321321xxxxxxxxxxxx

解：增广矩阵231410211245011238213000041960000A初等行变换，()()24RARA，所以有无穷多组解。