高中数学 第一章 常用逻辑用语 1_2 充分条件与必要条件 1_2_2 充要条件课时作业 北师大版选修1-11

第 1页（共7页） 课 题：1.8 充分条件与必要条件（一）

教学目的：

1.使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用

2.在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础.

教学重点：正确理解三个概念，并在分析中正确判断

教学难点：充分性与必要性的推导顺序

一、复习引入：

同学们，当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件.

二、讲解新课：

⒈符号“”的含义

前面我们讨论了“若p则q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假.“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作pq，或者qp；如果由p推不出q，命题为假，记作pq.

简单地说，“若p则q”为真，记作pq（或qp）；

“若p则q”为假，记作pq（或qp）.

符号“”叫做推断符号.

例如，“若x>0，则x2>0”是一个真命题，可写成：x>0 x2>0；

又如，“若两三角形全等，则两三角形的面积相等”是一个真命题，可写成：两三角形全等两三角形面积相等.

说明：⑴“pq”表示“若p则q”为真；也表示“p蕴含q”.

⑵“pq”也可写为“qp”，有时也用“p→q”.

练习：课本P35练习：1⑴⑵⑶⑷.

答案：⑴；⑵；⑶；⑷.

⒉什么是充分条件？什么是必要条件？

如果已知pq，那么我们就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.

第 2页（共7页） 在上面是两个例子中，“x>0”是“x2>0”的充分条件，“x2>0”是“x>0”的必要条件；“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件.

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§1.2

充要条件、全称量词与存在量词 最新考纲 1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

1．充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p

p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p

p是q的充要条件 p⇔q

p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．

(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．

3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定

命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定

全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，綈p(x0)

特称命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，綈p(x)

概念方法微思考

若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．

提示 若AB，则p是q的充分不必要条件；

若A⊇B，则p是q的必要条件； word 若AB，则p是q的必要不充分条件；

若A＝B，则p是q的充要条件；

若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( √ )

(2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个等价命题．( √ )

(3)全称命题一定含有全称量词．( × )

(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．( √ )

题组二 教材改编

2．命题“正方形都是矩形”的否定是___________________________．

课 题：1.8 充分条件与必要条件（二）

教学目的：

1．使学生理解充要条件的概念，掌握充要条件的判断；

2．在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础.

教学重点：正确理解三个概念，并在分析中正确判断

教学难点：充分性与必要性的推导顺序

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

这一节是在上一节学习了充分条件、必要条件概念的基础上，进一步学习充要条件的有关知识．重点是充要条件． 关于充分条件、必要条件与充要条件，还是控制在对初中代数、几何的有关问题的理解上为宜．

教学过程：

一、复习引入：

⒈什么叫做充分条件？什么叫做必要条件？

若pq（或若┐q┐p），则说p是q的充分条件，q是p的必要条件.

⒉指出下列命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：

⑴p：x>2，q：x>1；⑵p：x>1,q：x>2；

⑶p：x>0 ,y>0，q：x+y<0；⑷p：x=0，y=0，q：x2+y2=0.

解：⑴∵x>2x>1，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件.

⑵∵x>1x>2，但x>2x>1，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件.

⑶∵x>0 ,y>0x+y<0，x+y<0x>0 ,y>0，∴p不是q的充分条件，p也不是q的必要条件；q不是p的充分条件，q也不是p的必要条件.

⑷∵x=0，y=0x2+y2=0，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又x2+y2=0x=0，y=0，∴q是p的充分条件，p是q的必要条件.

⒊在问题⑷中，p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，此时，我们统说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.下面我们用数学语言来表述这个概念.

二、讲解新课：

⒈什么是充要条件？ 如果既有pq，又有qp，就记作pq.此时，p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，我们就说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.（当然此时也可以说q是p的充要条件）

1 充分条件与必要条件

一：教法分析

●三维目标

1.知识与技能

(1)正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念；

(2)能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系；

(3)在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系．

2．过程与方法

(1)培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性；

(2)培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律；

(3)培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析和类比，对归纳出的结论，建构于自己的知识体系中．

3．情感、态度与价值观

(1)通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受；

(2)通过对命题的四种形式及充分条件、必要条件的相对性，培养同学们的辩证唯物主义观点；

(3)通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神．

●重点难点

重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义．

难点：必要条件的定义、充要条件的充分必要性．

重难点突破的关键：找出题目中的p、q，判断p⇒q是否成立，同时还需判断q⇒p是否成立，再弄清是问“p是q的什么条件”，还是问“q是p的什么条件”．

二：方案设计 2 ●教学建议

基于教材内容和学生的年龄特征，根据“开放式”、“启发式”教学模式和新课程改革的理论认识，结合学生实际，主要突出以下几个方面：(1)创设与生活实践相结合的问题情景，在加强数学教学的实践性的同时充分调动学生求知欲，并以此来激发学生的探究心理．(2)教学方法上采用了“合作——探索”的教学模式，使课堂教学体现“参与式”、“生活化”、“探索性”，保证学生对数学知识的主动获取，以求获得最佳效果．(3)注重渗透数学思考方法(联想法、类比法、归纳总结等一般科学方法)，让学生在探索学习知识的过程中，领会常见数学思想方法，培养学生的探索能力和创造性素质．(4)注意在探究问题时留给学生充分的时间，以利于开放学生的思维．