高中数学第一章常用逻辑用语1.2.3充要条件作业2北师大版选修1-1(2021年整理)

2018-2019学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2.3 充要条件作业2 北师大版选修1-1

1 / 41 2018-2019学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2.3 充要条件作业2 北师大版选修1-1

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2018-2019学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2.3 充要条件作业2 北师大版选修1-1

2 / 42 1.2。3 充要条件

［A。基础达标]

1．x2＋(y－2)2＝0是x(y－2）＝0的( ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选B。因为x2＋（y－2)2＝0⇒x＝0且y＝2，

所以x(y－2)＝0成立．

但由x(y－2)＝0⇒x＝0或y＝2，

所以x2＋(y－2)2＝0不一定成立．

故x(y－2)＝0x2＋(y－2）2＝0。

2．平面α∩平面β＝l，直线aα，直线bβ，则p:“a和b是异面直线”是q：“a与b均与直线l相交且交点不同”的( )

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析:选A。由p：“a和b是异面直线”,则可推出其中一条直线可能与l平行,另一条可能与l相交,故p不是q的充分条件,由a与b均与l相交且交点不同，则a与b一定异面，故p是q的必要条件．

3．设a，b都是非零向量,则“a·b＝±｜a||b|”是“a，b共线”的( ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C。设〈a，b>＝θ,a·b＝｜a｜|b｜cos θ，当｜a｜|b｜·cos θ＝±|a｜|b|时，cos θ＝±1，θ＝0或π，则a与b共线，若a、b共线，则〈a，b〉＝0或π,则a·b＝±|a||b|。

4．“ω＝2”是“函数y＝sin(ωx＋φ）的最小正周期为π”的( ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选A。根据T＝2π|ω｜＝π，得ω＝±2,故选A.

5．“a＜2”是“a2－2a＜0”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选B。a2－2a＜0⇔a∈（0，2)，因为{a|0＜a＜2}｛a|a＜2}，所以“a＜2"是“a2－2a＜0”的必要不充分条件．

6．函数f（x）＝a＋sin x＋错误!cos x有零点的充要条件为a∈________．

解析:f（x）＝a＋2sin(x＋π3)，令f(x)＝0，得sin（x＋错误!）＝－错误!，因为－1≤sin（x＋错误!)≤1，所以－2≤a≤2。

答案:［－2，2］ 2018-2019学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2.3 充要条件作业2 北师大版选修1-1

3 / 43 7．已知全集S，若p：AB，q：∁SB∁SA,则p是q的________条件．

解析：如图,AB⇒∁SB∁SA，∁SB∁SA⇒AB⊆S。故p是q的充分条件，也是必要条件,即p是q的充要条件．

答案：充要

8．已知条件p：｜x－1|＞a和条件q:2x2－3x＋1＞0，则使p是q的充分不必要条件的最小整数a＝________．

解析：由题意知a＞0，设A＝{x||x－1｜＞a}＝｛x|x＜1－a或x＞1＋a｝，B＝{x|2x2－3x＋1＞0｝＝{x|x＜错误!或x＞1}，

由题意,AB，

所以由数轴可得错误!或错误!

所以a≥错误!,故a的最小整数为1.

答案:1

9．求不等式ax2＋2x＋1＞0恒成立的充要条件．

解：当a＝0时，2x＋1＞0不恒成立．

当a≠0时，ax2＋2x＋1＞0恒成立⇔错误!⇔a＞1。

所以不等式ax2＋2x＋1＞0恒成立的充要条件是a＞1.

10．已知命题p：｜x－1|＜a(a＞0),命题q：x2＋21＞10x，且p是q的既不充分也不必要条件，求a的取值范围．

解：由|x－1｜＜a(a＞0），解得1－a＜x＜1＋a.

所以命题p对应的集合为A＝｛x|1－a＜x＜1＋a，a＞0｝．

由x2＋21＞10x，解得x＜3或x＞7。

所以命题q对应的集合为B＝{x|x＜3或x＞7}．

显然集合BA，即qp，所以p不是q的必要条件．

如果p是q的充分条件，则p⇒q，即A⊆B，所以1＋a≤3或1－a≥7.

又a＞0，所以0＜a≤2。

所以若p是q的既不充分也不必要条件,应有a＞2.

［B.能力提升]

1．设a，b是实数，则“a>b”是“a2〉b2”的（ )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析:选D.设a＝1，b＝－2，则有a〉b,但a2〈b2，故a>b⇒/ a2>b2；设a＝－2，b＝1，显然a2>b2，但a〈b,即a2〉b2⇒/ a〉b.故“a>b”是“a2〉b2"的既不充分也不必要条件．

2．设0＜x＜π2，则“xsin2x＜1"是“xsin x＜1"的（ )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选B.因为0＜x＜错误!，所以0＜sin x＜1.由xsin x＜1知xsin2x＜sin x＜1，因此必要性成立．由xsin2x＜1得xsin x＜错误!，而错误!＞1，因此充分性不成立．

3．设a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2＋b1x＋c1＞0和a2x2＋b2x＋c2＞0的解集分别为M和N,那么“错误!＝错误!＝错误!”是“M＝N”的________条件(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．

解析：如果错误!＝错误!＝错误!＞0，则M＝N；如果错误!＝错误!＝错误!＜0,则M≠N，所以错误!2018-2019学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2.3 充要条件作业2 北师大版选修1-1

4 / 44 ＝错误!＝错误!⇒/ M＝N。

反之，若M＝N＝∅,即说明二次不等式的解集为空集、与它们的系数比无任何关系,只要求判别式小于零．

因此，M＝N错误!＝错误!＝错误!。

答案：既不充分也不必要

4．张老师上课时在黑板上写出三个集合：A＝错误!,B＝{x|x2－3x－4≤0｝，C＝｛x｜log错误!x＞1｝，然后叫甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“□”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能够确定该数,以下是甲、乙、丙三位同学的描述：

甲：此数为小于6的正整数；乙：A是B成立的充分不必要条件；丙:A是C成立的必要不充分条件．若老师评说三位同学都说得对，则“□”中的数为________．

解析：设“□”中的数为a，由甲的描述知a为小于6的正整数，则A＝错误!，B＝｛x|－1≤x≤4｝，C＝错误!,由乙的描述知错误!≤4，由丙的描述知错误!＞错误!，所以错误!≤a＜2，再由甲的描述知a＝1.

答案：1

5．已知p:x（x－3）＜0，q：2x－3＜m,若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

解:

p：x（x－3）＜0，则0＜x＜3；

q：2x－3＜m，则x＜错误!。

令集合A＝{x｜0＜x＜3}，B＝错误!，在数轴上表示出集合A，B如图所示．由于p是q的充分不必要条件，则AB，即错误!≥3，解得m≥3。

6．(选做题）已知f（x）＝ax2＋bx＋c(a、b、c∈R,且a≠0）．证明方程f（x）＝0有两个不相等的实数根的充要条件是：存在x0∈R，使af（x0)＜0.

证明：①充分性：若存在x0∈R，使af(x0）＜0，

则b2－4ac＝b2－4a[f(x0)－ax错误!－bx0］

＝b2＋4abx0＋4a2x20－4af（x0)

＝（b＋2ax0)2－4af（x0）＞0，

所以方程f（x)＝0有两个不等实数根．

②必要性:若方程f（x）＝0有两个不等实数根，

则b2－4ac＞0，设x0＝－错误!,

a·f（x0）＝a错误!

＝错误!－错误!＋ac

＝错误!＜0.

所以存在x0∈R,使af(x0)＜0。