7.交集、并集(2)

无锡市第一中学 刘 峰 17.交集、并集(2)

教学目标：

1.使学生掌握集合交集及并集有关性质，运用性质解决一些简单问题，

2.掌握集合的有关术语和符号；

3.提高分析、解决问题的能力和运用数形结合求解问题的能力；

4.使学生树立创新意识.

教学重点：

利用交集、并集定义进行运算.

教学难点：

集合中元素的准确寻求

教学过程：

1.复习回顾

集合的交集、并集相关问题的求解主要在于集合元素寻求.

2.讲授新课

例1：求符合条件{1}P{1，3，5}的集合P.

解析：（1）题中给出两个已知集合{1}，{1，3，5}与一个未知集合P，欲求集合P，即求集合P中的元素；（2）集合P中的元素受条件{1}P{1，3，5}制约，两个关系逐一处理，由{1}与P关系{1}P，知1∈P且P中至少有一个元素不在{1}中，即P中除了1外还有其他元素；由P与{1，3，5}关系P{1，3，5}，知P中的其他元素必在{1，3，5}中，至此可得集合P是{1，3}或{1，5}或{1，3，5}.

例2：已知U＝{x｜x2＜50，x∈N}，（CUM）∩L＝{1，6}，M∩（CUL）＝{2，3}，CU(M∪L)＝{0，5}，求M和L.

解析：题目中出现U、M、L、CUM、CUL多种集合，就应想到用上面的图形解决问题.

第一步：求全集5＝{x｜x2＜50，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}

第二步：将(CUM)∩L＝{1，6}，M∩（CUL）＝{2，3}，CU(M∪L）＝{0，5}中的元素在图中依次定位.

第三步：将元素4，7定位.

第四步：根据图中的元素位置得M＝{2，3，4，7}，N＝{1，6，4，7}.

例3：50名学生报名参加A、B两项课外学科小组，报名参加A组的人数是全体学生数的五分之三，报名参加B组的人数比报名参加A组的人数多3人，两组都没有报名的人数是同时报名参加两组的人数的三分之一多1人，求同时报名参加A、B两组的人数和两组都没有报名的人数.

无锡市第一中学 刘 峰 2解析：此题是一道应用题，若用建模则寻求集合与集合交集借助符合题意的文氏图

设A∩B的元素为x个，则有

(30－x)＋x＋（33－x）＋（13 x＋1）＝50，可得

x＝21，13 x＋1＝8那么符合条件的报名人数为8个.

例4：设全集I＝{x｜1≤x＜9，x∈N}，求满足{1，3，5，7，8}与B的补集的集合为{1，3，5，7}的所有集合B的个数.

解析：(1)求I＝{x｜1≤x＜9，x∈N}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，因{1，3，5，7，8}∩（CUB）＝{1，3，5，7}，则CUB中必有1，3，5，7而无8.

(2)要求得所有集合B个数，就是要求CUB的个数. CUB的个数由CUB中的元素确定，分以下四种情况讨论：

①CUB中有4个元素，即CUB＝{1，3，5，7}

②CUB中有5个元素，CUB中有元素2， 4，或6，CUB有3个.

③CUB中有6个元素，即从2和4，2和6，4和6三组数中任选一组放入CUB中，CUB有3个

④CUB中有7个元素，即CUB＝{1，3，5，7，2，4，6}

综上所有集合CUB即B共有8个.

例5：设U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{3，4，5}，B＝{4，7，8}，求A∩B、A∪B、CUA、CUB、（CUA）∩（CUB）、(CUA)∪(CUB).

解析：关键在于找CUA及CUB的元素，这个过程可以利用文氏图完成.

解：符合题意的文氏图如右所示，由图可知

A∩B＝｛4｝，A∪B＝｛3，4，5，7，8｝，

CUA＝{1，2，6，7，8}，CUB＝{1，2，3，5，6}

(CUA)∩(CUB)＝{1，2，6}，即有(CUA)∩（CUB）＝CU(A∪B)

(CUA)∪(CUB)＝{1，2，3，5，6，7，8}，即有(CUA)∪(CUB)＝CU (A∩B)

例6：图中U是全集，A、B是U的两个子集，用阴影表示(CUA)∩（CUB）.

解析：先将符号语言(CUA)∩（CUB）转换成与此等价的

另一种符号语言CU(A∪B)，再将符号语言CU(A∪B)转换成图

形语言(如下图中阴影部分)

无锡市第一中学 刘 峰 3例7：已知A＝{x｜－1＜x＜3}，A∩B＝，A∪B＝R，求B.

分析：问题解决主要靠有关概念的正确运用，有关式子的正确利用.

解：由A∩B＝及A∪B＝R知全集为R，CRA＝B故B＝CRA＝{x｜x≤－1或x≥3}，B集合可由数形结合找准其元素.

例8：已知全集I＝{－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4}，A＝{－3，a2，a＋1}，B＝{a－3，2a－1，a2＋1}，其中a∈R，若A∩B＝{－3}，求CI（A∪B）.

分析：问题解决关键在于求A∪B中元素，元素的特征运用很重要.

解：由题I＝{－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4}，A＝{－3，a2，a＋1}，B＝{a－3，2a－1，a2＋1}，其中a∈R，由于A∩B＝{－3}，因a2＋1≥1，那么a－3＝－3或2a－1＝－3，即a＝0或a＝－1

则A＝{－3，0，1}，B＝{－4，－3，2}，A∪B＝{－4，－3，0，1，2}

CI（A∪B）＝{－2，－1，3，4}

例9：已知平面内的△ABC及点P，求{P｜P A＝P B}∩{ P｜P A＝P C}

解析：将符号语言{ P｜PA＝PB}∩{ P｜PA＝PC}转化成文字语言就是到△ABC三顶点距离相等的点所组成的集合.故{ P｜PA＝PB}∩{ P｜PA＝PC}＝{△ABC的外心}.

例10：某班级共有48人，其中爱好体育的25名，爱好文艺的24名，体育和文艺都爱好的9名，试求体育和文艺都不爱好的有几名?

解析：先将文字语言转换成符号语言，设爱好体育的同学组成的集合为A，爱好文艺的同学组成的集合为B.整个班级的同学组成的集合是U.则体育和文艺都爱好的同学组成的集合是A∩B，体育和文艺都不爱好的同学组成的集合是(CUA)∩（CUB)再将符号语言转换成图形语言：

通过图形得到集合(CUA)∩（CUB）的元素是8

最后把符号语言转化成文字语言，即(CUA)∩（CUB）

转化为：体育和文艺都不爱好的同学有8名.

补例/练习

1.设A＝{（x，y）｜3x＋2y＝1}，B＝{（x，y）｜x－y＝2}，C＝{（x，y）｜2x－2y＝3}，D＝{（x，y）｜6x＋4y＝2}，求A∩B、B∩C、A∩D.

分析：A、B、C、D的集合都是由直线上点构成其元素A∩B、B∩C、A∩D即为对应直线交点，也即方程组的求解.

解：因A＝{（x，y）｜3x＋2y＝1}，B＝{（x，y）｜x－y＝2}

则3x＋2y＝1x－y＝2 x＝1y＝－1

∴A∩B＝{（1，－1）}

无锡市第一中学 刘 峰 4又C＝{（x，y）｜2x－2y＝3}，则2x－2y＝3x－y＝2 方程无解

∴B∩C＝

又 D＝{（x，y）｜6x＋4y＝2}，则3x＋2y＝16x＋4y＝2

化成3x＋2y＝1

∴A∩D＝{（x，y）｜3x＋2y＝1}

评述：A、B对应直线有一个交点，B、C对应直线平行，无交点.A、D对应直线是一条，有无数个交点.

2.设A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，C＝{x｜x＝2（k＋1），k∈Z}，D＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}，在A、B、C、D中，哪些集合相等，哪些集合的交集是空集?

分析：确定集合的元素，是解决该问题的前提.

解：由整数Z集合的意义，

A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，C＝{x｜x＝2（k＋1），k∈Z}都表示偶数集合.

B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，D＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}表示由奇数组成的集合

故A＝C，B＝D

那么，A∩B＝A∩D＝{偶数}∩{奇数}＝，

C∩B＝C∩D＝{偶数}∩{奇数}＝

3.设U＝{x｜x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求A∩B，CU(A∩B).

分析：首先找到U的元素，是解决该题关键.

解：由题U＝{x｜x是小于9的正整数}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}

那么由A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}得A∩B＝{3}

则CU(A∩B)＝{1，2，4，5，6，7，8}