2015届高三数学上第二次阶段考试试卷(理)
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2015届高三数学上第二次阶段考试试卷(理)
江西省吉安一中201届上学期高三年级第二次阶段考试
数学试卷（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1 已知集合 ， ，则集合 等于（ ）
A B D
2 复数 满足 ，则 =（ ）
A B D
3 某中学进行模拟考试有80个考室，每个考室30个考生，每个考生座位号按1～30号随机编排，每个考场抽取座位号为1号考生试卷评分，这种抽样方法是（ ）
A 简单随机抽样 B 系统抽样 分层抽样 D 分组抽样
4 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线，一条渐近线方程是 ，则双曲线的离心率是（ ）
A B D 2
甲、乙、丙等五人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法为（ ） A 72 B 36 2 D 24
6 设 ，且 ，则下列结论中正确的是（ ）
A B
D
7 运行如图所示框图的相应程序，若输入a，b的值分别为 和 ，则输出的值是（ ）A 0 B 1 2 D -1
8 如下图是张大爷晨练时所走的离家距离（）与行走时间（x）之间函数关系的图象，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是（ ）
9 已知不等式组 ，表示的平面区域为，若直线 与平面区域有公共点，则的取值范围是（ ）
A B D
10 一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）3A B D
11 在椭圆 上有两个动点P，Q，E（3,0）为定点，EP⊥EQ，则 最小值为（ ）
A 6 B 9 D
12 已知函数 ， 。定义： ， ，
……， ， …满足 的点 称为 的n阶不动点。则 的n阶不动点的个数是（ ）
A n个 B 2n2个 2（2n-1）个 D 2n个
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共四小题，每小题分。
13 已知 ， ， 的夹角为60°，则 _____。
14 设函数 图象的一条对称轴是直线 ，则 __________。
1 数列 的前n项和记为 ， ，则 的通项公式为__________。
16 △AB中，角A、B、所对的边分别为a、b、，下列命题正确的是________(写出正确命题的编号)。
①总存在某内角 ，使 ；
②若 ，则B>A；
③存在某钝角△AB，有 ；
④若 ，则△AB的最小角小于 ；
三、解答题（12分×分，+10分）
17 已知数列 的前n项和为 ， 。
（1）求 ；
（2）求证：数列 是等比数列；
（3）求 。
18 已知函数 。 （1）求 的单调递增区间；
（2）在△AB中，三内角A，B，的对边分别为a，b，，已知 ，b，a，成等差数列，且 ，求a的值。
19 如图，已知AB⊥平面AD，DE∥AB，△AD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是D的中点。
（1）求证：AF∥平面BE；
（2）求证：平面BE⊥平面DE；
（3）求平面BE与平面AD所成锐二面角的大小。20 已知抛物线 的焦点为F，点P是抛物线上的一点，且其纵坐标为4， 。
（1）求抛物线的方程；
（2）设点 ， （ ）是抛物线上的两点，∠APB的角平分线与x轴垂直，求△PAB的面积最大时直线AB的方程。
21 已知函数 在点 处的切线与x轴平行。
（1）求实数a的值及 的极值；
（2）是否存在区间 ，使函数 在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由；
（3）如果对任意的 ，有 ，求实数的取值范围。
请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：知能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。
22 已知PQ与圆相切于点A，直线PB交圆于B、两点，D是圆上一点，且AB∥D，D的延长线交PQ于点Q。
（1）求证：
（2）若AQ=2AP， ,BP=2，求QD。
23 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线： ，过点P（-2，-4）的直线 的参数方程为 （t为参数） 与分别交于，N。
（1）写出的平面直角坐标系方程和 的普通方程；
（2）若 ， ， 成等比数列，求a 的值。
24 设函数 。
（Ⅰ）若 时，解不等式 ；
（II）若函数 有最小值，求a的取值范围。【参考答案】
1 B
2
3 B
4 D
B
6
7
8 D 9 A
解析：试题分析：本题为线性规划含有带参数直线问题依据线性约束条作出可行域，注意到 所以过定点（3,0）。作出可行域所以斜率应该在x轴与虚线之间， 所以 故答案为A。考点：线性规划
10 A
11 A
解析：试题分析：设 ，则有 ，因为EP⊥EQ，所以
，
即 ，因为 ，所以当 时， 取得最小值6，故选择A。
考点：向量、解析几何、二次函数在给定区间上的最值。
12 D
解析：试题分析：函数 ，当 时， ，
当 时， ，∴ 的1阶不动点的个数为2，当 ， ，
当 ，
当 ，
当 ，
∴ 的2阶不动点的个数为 ，以此类推， 的n阶不动点的个数是 个。
考点：函数与方程的综合运用。
13
14
1
16 ①④ 解析：试题分析：对①，因为 ，所以 ，而在锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中必然会存在一个角 ，故正确；对②，构造函数 ，求导得， ，当 时， ，即 ，则 ，所以 ，即 在 上单减，由② 得 ，即 ，所以B<A，故②不正确；对③，因为 ，则在钝角△AB中，不妨设A为钝角，有 ，故 ③不正确；对④，由 ，
即 ，而 不共线，则 ，解得 ，则a是最小的边，故A是最小的角，根据余弦定理
，知 ，故④正确；
考点：1 三角函数与解三角形；2 利用导数求函数的最值；3 不等式的应用。
17 （1） 。 （2）（3）见解析
解析：（1）解：由 ，得 ，∴ 。
又 ，即 ，得 。
（2）证明：当 时， ，得 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列。
（3）解：由（2）可得 。
18 （1） ；（2） 。
解析：：（1） 2分
3分
由 得， 分
故 的单调递增区间是 6分
（2）
于是 ，故 8分 由 成等差数列得： ，
由 得 10分
由余弦定理得， ，
于是 12分
考点：三角函数变换，三角函数性质，三角形，平面向量，等差数列
19（1）见解析；（2）见解析；（3）4°。
解析：（1）解：取E中点P，连结FP、BP，
∵F为D的中点，∴FP∥DE，且 。
又AB∥DE，且 ，∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP
又∵ 平面BE，BP 平面BE，
∴AF∥平面BE
（2）∵△AD为正三角形，∴AF⊥D。
∵AB⊥平面AD，DE∥AB，
∴DE⊥平面AD，又AF 平面AD，
∴DE⊥AF。又AF⊥D， ,
∴AF⊥平面DE
又BP∥AF，∴BP⊥平面DE。又∵ 平面BE，
∴平面BE⊥平面DE
（3）法一、由（2），以F为坐标原点，
FA，FD，FP所在的直线分别为x，，z轴（如图），
建立空间直角坐标系F—xz。设A=2， 则（0，-1,0），B（ ，0,1），E（0,1,2）。
设 为平面BE的法向量，
∴ ，∴ ，令n=1，则
显然， 为平面AD的法向量。
设面BE与面AD所成锐二面角为 ，
则 。∴ 。
即平面BE与平面AD所成锐二面角为4°
法二、延长EB、DA，设EB、DA交于一点，连结。
则面EB 面DA=。
由AB是△ED的中位线，则D=2AD。
在△D中∵D=2AD=2A，∠D=60°。
⊥D，又⊥DE。
∴⊥面ED，而E 面ED，
∴⊥E，∴∠ED为所求二面角的平面角
在Rt△ED中，∵ED=D，∴∠ED=4°
即平面BE与平面AD所成锐二面角为4°。
考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定。
20（1）抛物线的方程为 。（2） 。
解析：：（1）设 ，因为 ，由抛物线的定义得 ，又 ，3分
因此 ，解得 ，从而抛物线的方程为 。 6分
（2）由（1）知点P的坐标为P（2,4），因为∠APB的角平分线与x轴垂直，所以可知PA，PB的倾斜角互补，即PA，PB的斜率互为相反数
设直线PA的斜率为，则 ，由题意 ， 7分
把 代入抛物线方程得 ，该方程的解为4、 ，
由韦达定理得 ，即 ，同理 。
所以 ， 8分
设 ，把 代入抛物线方程得 ，
由题意 ，且 ，从而
又 ，所以 ，点P到AB的距离 ，
因此 ，设 , 10分
则 ，由 知 ，所以 在 上为增函数，因此 ，
即△PAB面积的最大值为 。
△PAB的面积取最大值时b=0，所以直线AB的方程为 。 12分
考点：1 抛物线的定义及其几何性质；2 直线与抛物线的位置关系；3 直线方程；4应用导数研究函数的最值。
21 （1） 的极大值1，无极小值（2） ，（3）
解析：（1）
∵ 在点（1， ）处的切线与x轴平行∴
∴a=1 ∴
，
当 时， ，当 时 ，
∴ 在（0,1）上单调递增，在 单调递减，故 在x=1处取得极大值1，
