第三节分部积分法(1)

模块基本信息

一级模块名称 积分学 二级模块名称 计算模块

三级模块名称 分部积分法（一） 模块编号 4-14

先行知识 1、凑微分法 模块编号 4-9

2、第二换元积分 4-11

知识内容 教学要求 掌握程度

1、分部积分法公式的推导 理解分部积分公式

熟练掌握 2、用分部积分法求函数的不定积分 熟练掌握用分部积分法求函数的不定积分。

能力目标 1、培养学生的知识迁移能力

2、培养学生的计算能力

时间分配 60分钟 编撰 尧克刚 校对 熊文婷 审核 危子青

一、正文编写思路及特点：

思路：引入分部积分法求积分的方法和思路，使学生能够理解分部积分法求函数的积分的方法和思路。

特点：通过例题及练习，巩固学生的计算能力。

一、 授课部分

(一)新课讲授

引例：cosxxdx如何积分？

我们发现此题用前面学过的积分方法解决不了，要解决此类积分需用到我们今天要学习的分部积分法.我们首先给出不定积分的分部积分公式.

1. 不定积分的分部积分公式

利用两个函数乘积的求导法则可以推导出求不定积分的一中积分方法---分部积分法.

设函数(),()uuxvvx具有连续导数，则有

()'''uvuvuv

移项得 '()''uvuvuv

上式两边求积分得vdxuuvdxvu

或 vduuvudv

称上式为分部积分公式。

说明：1）分部积分公式的作用在于把左端不易求出的不定积分 udv转化为右端容易求出的不定积分vdu

2）在具体应用分部积分法时，恰当的选取u和v是解题的关键.

2、例题

下面通过一些例子说明如何利用分部积分公式计算不定积分.

例1：求cosxxdx （一级）

解：若被积函数为幂函数x与余弦函数cosx的乘积，若选择

ux，cossindvxdxdx，即xve

则cossinsinsinsincosxxdxxdxxxxdxxxxC

第四节 定积分的换元积分法和分部积分法

从上节微积分学的基本公式知道, 求定积分badxxf)(的问题可以转化为求被积函数)(xf在区间],[ba上的增量问题. 从而在求不定积分时应用的换元法和分部积分法在求定积分时仍适用, 本节将具体讨论之, 请读者注意其与不定积分的差异.

分布图示

★ 定积分的换元积分法

★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4

★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8

★ 定积分的分部积分法

★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12

★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题5-4

讲解注意：

一、定积分换元积分法

定理1 设函数)(xf在闭区间],[ba上连续, 函数)(tx满足条件:

（1）,)(,)(ba且bta)(;

（2）)(t在],[(或],[)上具有连续导数,则有

dtttfdxxfba)()]([)(. (4.1)

公式(4.1)称为定积分的换元公式.

定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似. 但是, 在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：

（1）用)(tx把变量x换成新变量t时, 积分限也要换成相应于新变量t的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；

（2）求出)()]([ttf的一个原函数)(t后,不必象计算不定积分那样再把)(t变换成原变量x的函数,而只要把新变量t的上、下限分别代入)(t然后相减就行了.

二、定积分的分部积分法

baudvbabavduuv][ 或 badxvubabadxuvuv][.

例题选讲：

定积分换元积分法 例1（E01）求定积分 205sincosxdxx.

解 令,cosxt则,sinxdxdt2x,0t0x,1t

1 第三节 分部积分法

例1 cossinsinsinsincosxxdxxdxxxxdxxxxC.

注 若用xdxxxxxxdxdxxsin2cos22coscos222，则因上式右端的积分比原积分更不容易积出，所以此法行不通.

例 (补充)

22222222cossin sinsin sin2sin sin2cos sin2coscos sin2cos2sinxxdxxdxxxxdxxxxxdxxxxdxxxxxxdxxxxx.xC

注1 不能用3coscos32xxdxdxx来计算，理由同例1.

注2 一般地，可反复用分部积分求xdxxncos和sinnxxdx(nN).

例2 CxeCexedxexexdedxexxxxxxxx1.

注 不能用22xdedxxexx来计算，理由同例1.

例3

2222222

222222.xxxxxxxxxxxxxxedxxdexexedxxexdexexeedxxexeeCexxC

注1 不能用332xdedxexxx来计算，理由同例1.

注2 一般地，可反复使用分部积分求得nxxedx (nN) .

例4 2lnln2xxdxdxxCxxxxdxxx4ln221ln2222.

例5 2 2222arccosarccos11 arccos121 arccos1.xxdxxxdxxxxdxxxxxC

高等数学(1)标准化作业题参考答案21班级姓名学号

66第三节分部积分法

一、填空题

1．2xxx

ed2(22)

xxxCe

.

2．2(5)cosdxxx

2(3)sin2cosxxxxC

.

3．2ln()xxx

d221

ln()1

2xxC

.4．arcsin

dx

x

x

2arcsin21xxxC

.

二、单项选择题

1．设,uv

都是x

的可微函数，则duv



A.

A．uvvdu



B．duvuvu





C．duvvu





D．duvuvu





2．下列分部积分中，对u

和v

选择合适的是C.

A．22cos:cos,dxxxuxvx





B．(1)ln:1,lndxxxuxvx





C．:,edexxxxuxv







D．arcsin:1,arcsindxxuvx





3．设()fx

的一个原函数是2

ex

，则()dxfxx





C.

A．2

22e

xxC





B．2

22e

xx





C．2

2(21)e

xxC



D．()()dxfxfxx



4．3secdxx



A.

A．1

(sectanlnsectan)

2xxxxC

B．2

tanlnsin

2x

xxxC高等数学(1)标准化作业题参考答案21班级姓名学号

67

C．1

sectanlnsectan

2xxxx

D．2secxC

三、求下列不定积分

1．2tandxxx

解：222211

tan(sec1)tantantan

22ddddxxxxxxxxxxxxxx



tanxxcos

cosdx

x2211

tanlncos

22xxxxxC

．

2．arctandxx

解：1

arctanarctan

1

2d

dx

xxxxx

x

x

1

arctan

21dxx

xx

x



，

令xt

，则2ddxtt，



2

2

2211

22

111d

ddtt

xxtt

xtt





22arctan2ttCx