第三节 分部积分法

第四节 定积分的换元积分法和分部积分法

从上节微积分学的基本公式知道, 求定积分badxxf)(的问题可以转化为求被积函数)(xf在区间],[ba上的增量问题. 从而在求不定积分时应用的换元法和分部积分法在求定积分时仍适用, 本节将具体讨论之, 请读者注意其与不定积分的差异.

分布图示

★ 定积分的换元积分法

★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4

★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8

★ 定积分的分部积分法

★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12

★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题5-4

讲解注意：

一、定积分换元积分法

定理1 设函数)(xf在闭区间],[ba上连续, 函数)(tx满足条件:

（1）,)(,)(ba且bta)(;

（2）)(t在],[(或],[)上具有连续导数,则有

dtttfdxxfba)()]([)(. (4.1)

公式(4.1)称为定积分的换元公式.

定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似. 但是, 在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：

（1）用)(tx把变量x换成新变量t时, 积分限也要换成相应于新变量t的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；

（2）求出)()]([ttf的一个原函数)(t后,不必象计算不定积分那样再把)(t变换成原变量x的函数,而只要把新变量t的上、下限分别代入)(t然后相减就行了.

二、定积分的分部积分法

baudvbabavduuv][ 或 badxvubabadxuvuv][.

例题选讲：

定积分换元积分法 例1（E01）求定积分 205sincosxdxx.

解 令,cosxt则,sinxdxdt2x,0t0x,1t

经济数学---微积分教案

山 东 女 子 学 院 1

第三节 分部积分法

教学目的：使学生掌握不定积分的分部积分法。

教学重点：不定积分的分部积分法。

教学难点：分部积分法中u与dv的选取。

教学时数：2

设 )(xuu，)(xvv，则有 vuvuvu)( 或 dvuduvvud)(

两端求不定积分，得dxvudxuvdxvu)(或 dvuduvvud)(

即 duvvudvu (3-1)

或 dxuvvudxvu (3-2)

公式 (3-1) 或 (3-2) 称为不定积分的分部积分公式。

例1：求 xdxxcos

解： xxdxdxxsincossinsinxxxdxsincosxxxC

例2：求 dxexx2

解： xxdexdxex2222xxxeedx22xxxexedx22()xxxxexeedx

222xxxxexeeC

评注：由例1和例2可以看出，当被积函数是幂函数与正弦（余弦）乘积或是幂函数与指数函数乘积，做分部积分时，取幂函数为u，其余部分取为dv。

例3:求 xdxxln

解： 2ln21lnxdxxdxx

221lnln2xxxdx21ln2xxxdx2211ln22xxxC

2211ln24xxxC

例4:求 xdxxarctan 经济数学---微积分教案

山 东 女 子 学 院 2 解： 22211arctanarctanarctanarctan22xxdxxdxxxxdx

第四节 定积分的换元法积分法和分部积分法

从上节微积分学的基本公式知道,求定积分badxxf)(的问题可以转化为求被积函数)(xf在区间],[ba上的增量问题. 从而在求不定积分时应用的换元法和分部积分法在求定积分时仍适用,本节将具体讨论之,请读者注意其与不定积分的差异.

分布图示

★ 定积分换元积分法

★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4

★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8

★ 定积分的分部积分法

★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12

★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16

★ 例17 ★ 例18 ★ 例19

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题5-4

内容要点

一、定积分换元积分法

定理1 设函数)(xf在闭区间],[ba上连续,函数)(tx满足条件：

（1）,)(,)(ba 且bta)(；

（2）)(t在],[(或],[)上具有连续导数,则有

dtttfdxxfba)()]([)(. (4.1)

公式(4.1)称为定积分的换元公式.

定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似. 但是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：

（1）用)(tx把变量x换成新变量t时, 积分限也要换成相应于新变量t的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；

（2） 求出)()]([ttf的一个原函数)(t后,不必象计算不定积分那样再把)(t变换成原变量x的函数,而只要把新变量t的上、下限分别代入)(t然后相减就行了.

二、定积分的分部积分法

baudvbabavduuv][ 或 badxvubabadxuvuv][.

例题选讲

定积分换元积分法

例1(E01) 求定积分205sincosxdxx. 解 令,cosxt则,sinxdxdt2x,0t0x,1t

第四节 定积分的换元法积分法和分部积分法

从上节微积分学的基本公式知道,求定积分badxxf)(的问题可以转化为求被积函数)(xf在区间],[ba上的增量问题. 从而在求不定积分时应用的换元法和分部积分法在求定积分时仍适用,本节将具体讨论之,请读者注意其与不定积分的差异.

分布图示

★ 定积分换元积分法

★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4

★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8

★ 定积分的分部积分法

★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12

★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16

★ 例17 ★ 例18

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内容要点

一、定积分换元积分法

定理1 设函数)(xf在闭区间],[ba上连续,函数)(tx满足条件：

（1）,)(,)(ba 且bta)(；

（2）)(t在],[(或],[)上具有连续导数,则有

dtttfdxxfba)()]([)(. (4.1)

公式(4.1)称为定积分的换元公式.

定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似. 但是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：

（1）用)(tx把变量x换成新变量t时, 积分限也要换成相应于新变量t的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；

（2） 求出)()]([ttf的一个原函数)(t后,不必象计算不定积分那样再把)(t变换成原变量x的函数,而只要把新变量t的上、下限分别代入)(t然后相减就行了.

二、定积分的分部积分法

baudvbabavduuv][ 或 badxvubabadxuvuv][.

例题选讲

定积分换元积分法

例1(E01) 计算 205sincosxdxx. 解 令,cosxt则,sinxdxdt2x,0t0x,1t