四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高二下学期期末联考文科数学试题 (含答案)
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蓉城名校联盟2020~2021学年度下期高中2019级期末联考
文科数学
考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1. 答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.
2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.
3. 考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合35Axx，21BxZx，则AB（ ）
A. 1 B. 0,1 C. 1,0,1 D. 3,15
2. 复数232ii的虚部为（ ）
A. 423 B. 423 C. 223 D. 223i
3. 命题p：“直线a，b平行”是“直线a，b共面”的充分条件；命题q：由归纳推理得到的结论一定正确，则下列命题为假命题的是（ ）
A. pq B. pq
C. pq D. pq
4. 已知函数()3lgxfxx，则下列选项正确的是（ ） A. ()fx是奇函数 B. ()fx是偶函数
C. ()fx是周期函数 D. ()fx没有最大值
5. 已知向量3,4a，3b，31aab，则bab（ ）
A. 2 B. -3 C. -2 D. 3
6. 双曲线C：22221xyab的两焦点为1F，2F，虚轴的一个端点为A，线段12FF的一个三等分点为B，若直线AB与C的一条渐近线平行，则双曲线C的离心率为（ ）
A. 6 B. 3 C. 3 D. 6
7. 要从96个接种了新冠疫苗的人中抽取16人检查体内的抗体情况，将这96人随机编为1到96号，再用系统抽样法抽出16个号.把抽出的号从小到大排列，已知第1，3，13个号成等比数列，则抽出的最大号为（ ）
A. 92 B. 93 C. 95 D. 96
8. 已知圆221xy与直线310axby（a，b为非零实数）相切，则2213ab的最小值为（ ）
A. 10 B. 12 C. 13 D. 16
9. 直线l：320xy与x轴交于点A，把l绕点A顺时针旋转45得直线m，m的倾斜角为，则cos（ ）
A. 624 B. 264
C. 624 D. 624
10. 下图为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A. 17 B. 68 C. 13 D. 23
11. 某老师随机抽样调查了5名学生周末上网的时间，再与这5名学生在全年级的成绩排名对应，得到下表中的数据，并根据这些数据求得学生成绩排名关于周末上网时间的线性回归方程为0.95yxa.若运行如图所示的程序框图，输出的值为185，则a的值为（ ）
n 1 2 3 4 5
第n个学生周末上网时间nx（分钟） m 130
170 220 310
第n个学生的成绩排名ny 58 116 143 195 288
A. -9 B. -10 C. -11 D. -12
12. 已知2log3a，4log7b，0.2525c，则下列不等式成立的是（ ） A. abc B. bac
C. acb D. cba
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数2()sinfxxx，则曲线()yfx在点0,0处切线的斜率为___________.
14. 在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2sin2AA，2b，3c，则a__________.
15. 已知实数x，y满足32624xyxyxy，则23zxy的最大值为___________.
16. 过抛物线C：24yx的焦点F的动直线交C于A，B两点，线段AB的中点为N，点12,4P.当NANP的值最小时，点N的横坐标为___________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数321()23fxaxxx，其中aR.
（1）若函数()fx恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围；
（2）已知函数()fx的图象经过点1,3，且2,2x，求()fx的最大值和最小值.
18. 为了纪念建党100周年，某班举行党史知识答题竞赛，其中A，B两组各6名同学的答题成绩的统计数据茎叶图如下，茎叶图中有一个数字记录模糊，无法辨认，用“”表示.
（1）若A组同学的平均成绩大于B组同学的平均成绩，分别求A，B两组同学成绩的中位数；
（2）若A，B两组同学的平均成绩相同，分别求出A，B两组同学成绩的方差2As和2Bs，并由此分析两组同学的成绩； （3）若从A组6名同学中，随机选取3名同学参加学校红歌合唱，求选取的3名同学中既有成绩在80,90分，又有成绩在90,100分的概率.
19. 如图1所示，在菱形ABCD中，43ABAC，对角线AC与BD相交于点O，现沿着对角线AC折成一个四面体ABCD，如图2所示，使得62BD，点P是线段BD的三等分点（靠近点D）.
（1）在图2中，证明：ACBD；
（2）求三棱锥CAPD的体积.
20. 已知椭圆E：222210xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，短轴的一个顶点为1B，且11126FBFF，离心率为32.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过点1,0任作一条斜率不为0的直线l与椭圆交于A，B两点，与直线4x交于点C，过点1,0且垂直于x轴的直线与椭圆交于点P，记直线AP，CP，BP的斜率分别为1k，2k，3k，试探究132kk与2k的大小关系，并证明你的结论.
21. 已知函数2()22ln1()fxaxxaR，e为自然对数的底数，2.718e.
（1）讨论()fx的单调性；
（2）若1a，2()2()xgxxefx，证明：()0gx.
22. （选修4—4：坐标系与参数方程） 在直角坐标系xOy中，曲线1C：222cos222sinxy（为参数）.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin8.
（1）求曲线1C的极坐标方程和曲线2C的直角坐标方程；
（2）设射线l的极坐标方程为0,02，射线l与曲线1C交于点A，与曲线2C交于点B（原点除外），64OAOB，求.
蓉城名校联盟2020~2021学年度下期高中2019级期末联考
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1-5：BAADB 6-10：CBDCA 11-12：CB
9. 解：设l的倾斜角为，则tan3，∴60，
由题意知456045，
∴coscos6045cos60cos45sin60sin45
12322622224.
11. 解：运行过程为：1n，125xx，155xS；
2n，25xx，125555xxS；
3n，35xx，312555555xxxS；
4n，45xx，312455555555xxxxS； 5n，55xx，3512455555555555xxxxxSx；
所以，最后输出的结果为5x，则5185x，180x，160y，
1600.9518016010.957111ayx.
12. 解：∵2log3a，∴2a，
∵4221log7log7log72b，∴ba，
∵0.250.525552c，
∴bac.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. -1 14. 22 15. 4 16. 9
16. 解：设抛物线C的准线为l，作BDl，NGl，AEl，垂足分别为D，G，E.
则2ABBFAFBDAENG，
∴ANNG，
∴NANPNGNP，
点P到直线l的距离为13，∴13NGNP，
当G，N，P三点共线且N在G，P之间时，13NGNPPG，
此时，点N的纵坐标为4Ny.
∵AB过点1,0F，
故设AB方程为1xmy，
代入24yx，得2440ymy， 11,Axy，22,Bxy，则124yym.
当G，N，P三点共线时，1228Nyyy，
∴48m，2m，
直线AB的方程为21xy，9,4N.
点N在G，P之间，13NGNPPG成立，
所以，当NANP的值最小时，点N的横坐标为9.
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 解：（1）由321()23fxaxxx，
得2'()21fxaxx.
∵()fx存在三个单调区间，
∴'()0fx有两个不相等的实数根，即2210axx.
∴00a，即0440aa，
故1,00,a.
（2）∵()fx图象经过点1,3， ∴1(1)233fa，得3a，
∴32()2fxxxx，
2321('()31)(1)xxxxfx，2,2x.
()fx的单调性和极值情况列表如下：
x -2 2,1 -1 11,3 13 1,23 2
'()fx + 0 -1
0 +
()fx 0 增函数 极大值3 减函数 极小值4927 增函数 12
故()fx的最大值为12，最小值为0.
18. 解：（1）B组的平均分838885929498906Bx，
设模糊数字对应的分数为x，因为A组的平均成绩大于B组的平均成绩，
即8583919293906Axx，96x，
所以A组的中位数为919291.52，B组的中位数为8892902.
（2）由A组的平均分与B组的平均分相等，则模糊数字为6，对应分数为96，∴90ABxx.
2222222162(5)(7)162363As，22222221(7)(2)(5)248276Bs.
由于ABxx，22ABss，所以A组和B组的成绩整体水平相当，但A组的成绩更稳定一些.
（3）A组成绩在80,90分同学分别记为1A，2A，成绩在90,100分同学分别记为1a，2a，3a，4a.
