幂函数与二次函数
目录
第一部分：基础知识.................................................2
第二部分：高考真题回顾.............................................3
第三部分：高频考点一遍过...........................................3
高频考点一：幂函数的定义........................................3
角度1：求幂函数的值..........................................3
角度2：求幂函数的解析式......................................4
角度3：由幂函数求参数........................................4
高频考点二：幂函数的值域........................................6
高频考点三：幂函数图象..........................................8
角度1：判断幂函数图象........................................8
角度2：幂函数图象过定点问题.................................10
高频考点四：幂函数单调性.......................................13
角度1：判断幂函数的单调性...................................13
角度2：由幂函数单调性求参数.................................14
角度3：由幂函数单调性解不等式...............................15
高频考点五：幂函数的奇偶性.....................................18
幂函数与二次函数专题
[最新考纲]
1．了解幂函数的概念．
2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝的图象，了解它们的变化情况．
3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．
4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
知 识 梳 理
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)常见的5种幂函数的性质
函数
特征
性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x12 y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R，且x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 (－∞，0]减，[0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)减，(0，＋∞)减
定点 (0,0)，(1,1) (1,1)
2.二次函数
(1)二次函数的定义
形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．
(2)二次函数的三种常见解析式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标；
③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根．
(3)二次函数的图象和性质
函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
图象 a>0 a<0
定义域 R R
值域 y∈4ac－b24a，＋∞ y∈－∞，4ac－b24a
对称轴 x＝－b2a
顶点
坐标 －b2a，4ac－b24a
奇偶性 b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数
递增
区间 －b2a，＋∞ －∞，－b2a
递减
区间 －∞，－b2a －b2a，＋∞
最值 当x＝－b2a时，y有最小值ymin＝4ac－b24a 当x＝－b2a时，y有最大值ymax＝4ac－b24a
二次函数与幂函数
【基础自测】
1.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为
2.已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b等于
( )A．3 B．2或3 C．2 D．1或2
3. 设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是 ( )
A．(－∞，0] B．[2，＋∞) C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2]
4． 当α∈－1，12，1，3时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第________象限．
【例题讲解】
题型一 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；
(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．
题型二 二次函数的综合应用
例２ 若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
题型四 幂函数的图象和性质
例4 已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3 (m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－m3<(3－2a)－m3的a的取值范围．
12．已知幂函数21()mmfxx－＋＝(m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若函数f(x)的图象经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
二次函数和幂函数
1 / 4 二次函数与幂函数
自我检测：
1．若f(x)既是幂函数又是二次函数，则f(x)可以是( )
A．f(x)＝x2－1 B．f(x)＝5x2 C．f(x)＝－x2 D．f(x)＝x2
2．(教材习题改编)设α∈－1，1，12，3，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( )
A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3
3．(教材习题改编)已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是( )
A.0，120 B.－∞，－120 C.120，＋∞ D.－120，0
4．(教材习题改编)已知点M33，3在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为________．
5．如果函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x)的最小值为________．
考向一 幂函数的图象与性质
[例1] 已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3在(0，＋∞)上是增函数，则m＝________.
练习1．(1)如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是( )
A．①y＝x13，②y＝x2，③y＝x12，④y＝x－1 B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x12，④y＝x－1
C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x12，④y＝x－1 D．①y＝x13，②y＝x12，③y＝x2，④y＝x－1
(2)(2013·淄博模拟)若a<0，则下列不等式成立的是( )
A．2a>12a>(0.2)a B．(0.2)a>12a>2ª C.12a>(0.2)a>2a D．2a>(0.2)a>12a
