二次函数与幂函数

2025高考数学必刷题

第8讲幂函数与二次函数

知识梳理

1、幂函数的定义

一般地，()ayxaR(a为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为

常数的函数称为幂函数.

2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数

①ax的系数为1；②ax的底数是自变量；③指数为常数.

(3)幂函数的图象和性质

3、常见的幂函数图像及性质：

函数yx

2yx3yx1

2yx1yx

图象

定义域RRR{|0}xx{|0}xx

值域R{|0}yyR{|0}yy{|0}yy

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

单调性在R上单

调递增在(0)，上单调

递减，在(0+)，上

单调递增在R上单调递

增在[0+)，上单调

递增在(0)，和

(0+)，上单调递

减

公共点(11)，

4、二次函数解析式的三种形式

（1）一般式：2()(0)fxaxbxca；

（2）顶点式：2()()(0)fxaxmna；其中，(,)mn为抛物线顶点坐标，xm为

对称轴方程.

（3）零点式：

12()()()(0)fxaxxxxa，其中，

12,xx是抛物线与x轴交点的横坐

标.

5、二次函数的图像2025高考数学必刷题

二次函数2()(0)fxaxbxca的图像是一条抛物线，对称轴方程为

2bxa，顶点坐标为2

4

(,)

24bacb

aa

.

（1）单调性与最值

①当0a时，如图所示，抛物线开口向上，函数在(,]

2b

a上递减，在[,)

2b

a上

递增，当

2b

x

a时，2min4

()

4acb

fx

a

；

②当0a时，如图所示，抛物线开口向下，函数在(,]

2b

a上递增，在[,)

2b

a上

递减，当

2b

x

a时，2

max4

()

4acb

fx

a



（2）与x轴相交的弦长

当240bac时，二次函数2()(0)fxaxbxca的图像与x轴有两个交点

11(,0)Mx和

22(,0)Mx，2

12121212||||()4

||MMxxxxxx

幂函数与二次函数专题

[最新考纲]

1．了解幂函数的概念．

2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝的图象，了解它们的变化情况．

3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．

4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.

知 识 梳 理

1．幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．

(2)常见的5种幂函数的图象

(3)常见的5种幂函数的性质

函数

特征

性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x12 y＝x－1

定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R，且x≠0}

值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0}

奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇

单调性 增 (－∞，0]减，[0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)减，(0，＋∞)减

定点 (0,0)，(1,1) (1,1)

2.二次函数

(1)二次函数的定义

形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．

(2)二次函数的三种常见解析式

①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标；

③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根．

(3)二次函数的图象和性质

函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)

图象 a>0 a<0

定义域 R R

值域 y∈4ac－b24a，＋∞ y∈－∞，4ac－b24a

对称轴 x＝－b2a

顶点

坐标 －b2a，4ac－b24a

奇偶性 b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数

递增

区间 －b2a，＋∞ －∞，－b2a

递减

区间 －∞，－b2a －b2a，＋∞

最值 当x＝－b2a时，y有最小值ymin＝4ac－b24a 当x＝－b2a时，y有最大值ymax＝4ac－b24a

二次函数与幂函数

【基础自测】

1.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为

2.已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b等于

( )A．3 B．2或3 C．2 D．1或2

3. 设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是 ( )

A．(－∞，0] B．[2，＋∞) C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2]

4． 当α∈－1，12，1，3时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第________象限．

【例题讲解】

题型一 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．

(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；

(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；

(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．

题型二 二次函数的综合应用

例２ 若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．

题型四 幂函数的图象和性质

例4 已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3 (m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－m3<(3－2a)－m3的a的取值范围．

12．已知幂函数21()mmfxx－＋＝(m∈N*)．

(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

(2)若函数f(x)的图象经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．

二次函数和幂函数

1 / 4 二次函数与幂函数

自我检测：

1．若f(x)既是幂函数又是二次函数，则f(x)可以是( )

A．f(x)＝x2－1 B．f(x)＝5x2 C．f(x)＝－x2 D．f(x)＝x2

2．(教材习题改编)设α∈－1，1，12，3，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( )

A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3

3．(教材习题改编)已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是( )

A.0，120 B.－∞，－120 C.120，＋∞ D.－120，0

4．(教材习题改编)已知点M33，3在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为________．

5．如果函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x)的最小值为________．

考向一 幂函数的图象与性质

[例1] 已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3在(0，＋∞)上是增函数，则m＝________.

练习1．(1)如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是( )

A．①y＝x13，②y＝x2，③y＝x12，④y＝x－1 B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x12，④y＝x－1

C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x12，④y＝x－1 D．①y＝x13，②y＝x12，③y＝x2，④y＝x－1

(2)(2013·淄博模拟)若a<0，则下列不等式成立的是( )

A．2a>12a>(0.2)a B．(0.2)a>12a>2ª C.12a>(0.2)a>2a D．2a>(0.2)a>12a