二次函数与幂函数的关系

幂函数与二次函数专题

[最新考纲]

1．了解幂函数的概念．

2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝的图象，了解它们的变化情况．

3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．

4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.

知 识 梳 理

1．幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．

(2)常见的5种幂函数的图象

(3)常见的5种幂函数的性质

函数

特征

性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x12 y＝x－1

定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R，且x≠0}

值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0}

奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇

单调性 增 (－∞，0]减，[0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)减，(0，＋∞)减

定点 (0,0)，(1,1) (1,1)

2.二次函数

(1)二次函数的定义

形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．

(2)二次函数的三种常见解析式

①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标；

③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根．

(3)二次函数的图象和性质

函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)

图象 a>0 a<0

定义域 R R

值域 y∈4ac－b24a，＋∞ y∈－∞，4ac－b24a

对称轴 x＝－b2a

顶点

坐标 －b2a，4ac－b24a

奇偶性 b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数

递增

区间 －b2a，＋∞ －∞，－b2a

递减

区间 －∞，－b2a －b2a，＋∞

最值 当x＝－b2a时，y有最小值ymin＝4ac－b24a 当x＝－b2a时，y有最大值ymax＝4ac－b24a

一次函数和二次函数的不等关系

一、观察图象，确定相应的取值范围：

1．若0y，则x

；

2．若0y，则x ；

3．若0y，则x ．

练习：如上题图，1．若0x，则y ；

2．若0x，则y ； 3．若0x，则y ．

二、观察图象，确定相应的取值范围：

1．若0y，则x ；

2．若0y，则x的取值范围 ；

3．若0y，则x的取值范围 ；

4．若0x，则y ．

练习：1．观察图象，确定相应的取值范围：

(1)．若0y，则x ；

(2)．若0y，则x的取值范围 ；

(3)．若0y，则x的取值范围 ；

(4)．若0x，则y ．

2．观察图象，确定相应的取值范围：

(1)．若0y，则x ；

(2)．若0y，则x的取值范围 ；

(3)．若0y，则x的取值范围 ．

三、观察图象，确定相应的取值范围：

1．已知一次函数111bxky和222bxky的图象，如图所示

(1)．当x

时，则21yy；

(2)．当x 时，则21yy；

(3)．当x 时，则21yy．

2．已知二次函数cbxaxy21和bkxy2的图象，如图所示：

(1)．当x 时，则21yy；

(2)．当x 时，则21yy；

(3)．当x 时，则21yy．

练习：

1．已知：二次函数cbxaxy21和bkxy2的图象，如图所示：

(1)．当x 时，则21yy；

二次函数与幂函数

【基础自测】

1.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为

2.已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b等于

( )A．3 B．2或3 C．2 D．1或2

3. 设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是 ( )

A．(－∞，0] B．[2，＋∞) C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2]

4． 当α∈－1，12，1，3时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第________象限．

【例题讲解】

题型一 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．

(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；

(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；

(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．

题型二 二次函数的综合应用

例２ 若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．

题型四 幂函数的图象和性质

例4 已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3 (m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－m3<(3－2a)－m3的a的取值范围．

12．已知幂函数21()mmfxx－＋＝(m∈N*)．

(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

(2)若函数f(x)的图象经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．

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九年级 班 执课教师： 执课时间： 年 月 日

课 题 二次函数与方程的关系 课时安排 第 课时

教学课型 新授课□ 实（试）验课□ 复习课□ 实践课□ 其他□

教学目标 1理解一元二次函数与一元二次方程的关系，并会求有关字母的值。

2. 会用一次函数与二次函数的图象的交点求方程组的解及由方程组的解求交点坐标

教学重点 利用一元二次函数与一元二次方程的关系，并会求有关字母的值

教学难点 抛物线图象与x轴交点的位置来判断方程的根．

课前准备 二次函数的解析式中的一般式是: y = a x² + bx +c (a≠0)

顶点式：y = a(x-h) 2+ k

交点式：y = a(x-x1)(x-x2)

教学环节 内容 设计意图

教学构架

一、知识梳理 二、错题再现 三、知识新授 四、小结与预习

一、一元二次函数与一元二次方程的关系

1、从形式上看：

二次函数：y=ax²＋bx＋c (a≠0)

一元二次方程：ax²＋bx＋c=0 (a≠0)

2、从内容上看：

二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值

3、相互关系：

二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。

如：y=x²－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二次方程x²－4x＋3=0的根是x=1或x=3

（1）二次函数y=a x²+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:

a、有两个交点,

b、有一个交点,

c、没有交点.

(2)当二次函数y=a x²+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值, 即