本册综合测试(能力提升)-2020-2021学年高二数学单元测试定心卷(人教版选修2-1)(解析版)
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能力提升卷
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。其中1-8小题是单项选择题，9-12小题是多项选择题）
1.若实数x，y满足x+y＞0，则“x＞0”是“x2＞y2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：∵实数x，y满足x+y＞0，若x＞0，则未必有x2＞y2；例如x＝1，y＝2时，有x2＜y2；
反之，若x2＞y2，则x2﹣y2＞0，即（x+y）（x﹣y）＞0；
由于x+y＞0，故x﹣y＞0，∴x＞y且x＞﹣y，∴x＞0；
∴当x+y＞0时，“x＞0”推不出“x2＞y2”，“x2＞y2”⇒“x＞0”；
∴“x＞0”是“x2＞y2”的必要不充分条件．
故选：B．
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件
2.设F为抛物线y2＝2px的焦点，斜率为k（k＞0）的直线过F交抛物线于A、B两点，若|FA|＝3|FB|，则直线AB的斜率为（ ）
A． B．1 C． D．
【解答】解：假设A在第一象限，
过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，
过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形．
由抛物线定义可知|AD|＝|AF|，|BE|＝|BF|，
又∵|AF|＝3|BF|，
∴|AD|＝|CE|＝3|BE|，即B为CE的三等分点，
设|BF|＝m，则|BC|＝2m，|AF|＝3m，|AB|＝4m，
即|AC|＝＝＝m＝2m，
则tan∠ABC＝＝＝，
即直线AB的斜率k＝
故选：D．
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【知识点】抛物线的性质
3.下列叙述正确的是（ ）
A．函数的最小值是
B．“0＜m≤4”是“mx2+mx+1≥0”的充要条件
C．若命题p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0，则
D．“已知x，y∈R，若xy＜1，则x，y都不大于1”的逆否命题是真命题
【解答】解：对于A，，的等号不成立，所以A错；
对于B，当m＝0时，mx2+mx+1≥0也成立，所以B错；
对于D，当时，xy＜1也成立，所以D错；
故选：C．
【知识点】命题的真假判断与应用
4.在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，CD＝1，BC＝a，P为线段AD（含端点）上的一个动点，设，对于函数y＝f（x），下列描述正确的是（ ）
A．f（x）的最大值和a无关
B．f（x）的最小值和a无关
C．f（x）的值域和a无关
D．f（x）在其定义域上的单调性和a无关
【解答】解：以B为原点，BA和BC分别为x和y轴建立如图所示的直角坐标系，
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则B（0，0），A（2，0），C（0，a），D（1，a），设P（m，n），
因为，所以（m﹣2，n）＝x（﹣1，a），解得m＝2﹣x，n＝ax，所以点P的坐标为（2﹣x，ax），
所以＝（1+a2）x2﹣（a2+4）x+4，x∈[0，1]，
开口向上，对称轴为，
当时，0＜≤1，而f（0）＝4，f（1）＝1，因此f（x）max＝f（0）＝4，
当时，＞1，所以函数f（x）在[0，1]内单调递减，f（x）max＝f（0）＝4，
综上所述，函数f（x）的最大值与a无关．
故选：A．
【知识点】命题的真假判断与应用、平面向量的正交分解及坐标表示
5.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F为椭圆+＝1（b2＜）的右顶点，直线l是抛物线C的准线，点A在抛物线C上，过A作AB⊥l，垂足为B，若直线BF的斜率kBF＝﹣，则△AFB的面积为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【解答】解：∵抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F为椭圆+＝1 的右顶点，
∴＝a＝，即p＝3．
设B（﹣，m），kBF＝＝﹣，可得m＝3．
故A（x0，3）在抛物线y2＝6x上，
∴27＝6x0，得．
第 4 页 共 17 页 ∴AB＝，
则△AFB的面积S＝×6×3＝9．
故选：B．
【知识点】圆锥曲线的综合
6.在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C：的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线ON的倾斜角，若α∈（），则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A．（，1） B．（） C．（0，） D．（0，）
【解答】解：联立，解得yN＝，
联立，解得yM＝．
可得yN﹣yM＝＝a，化为：a＝，
可得e＝＝；
同理：把直线方程y＝，y＝x﹣a与椭圆方程分别联立，
可得：yN﹣yM＝，化为a＝b，
此时椭圆不存在．
∴椭圆C的离心率的取值范围为（0，）．
故选：D．
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【知识点】椭圆的性质
7.设，，为空间的三个不同向量，如果λ1+λ2+λ3＝0成立的等价条件为λ1＝λ2＝λ3＝0，则称，，线性无关，否则称它们线性相关．若＝（2，1，﹣3），＝（1，0，2），＝（1，﹣1，m）线性相关，则m＝（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
【解答】解：依题意知，三个向量线性相关，则存在不全为0的实数x，y，z，使得x+y+z＝成立；
即
由
得x＝z，y＝﹣3z，
代入﹣3x+2y+mz＝0，
得（m﹣9）z＝0；
由于x，y，z不全为0，
所以z≠0，
所以m＝9．
故选：A．
【知识点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示
8.已知四面体ABCD，＝，＝，＝，点M在棱DA上，＝3，N为BC中点，则＝（ ）
A．﹣﹣﹣ B．++
C．﹣++ D．﹣﹣
【解答】解：连接DN，如图所示，
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四面体ABCD中，＝，＝，＝，
点M在棱DA上，且＝3，∴＝，
又N为BC中点，∴＝（+）；
∴＝+
＝﹣+（+）
＝﹣++．
故选：C．
【知识点】空间向量及其线性运算
9.在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面结论中正确的是（ ）
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC
【解答】解：∵D，F是对应边的中点，
∴DF，是△ABC的中位线，则BF∥BC，可得BC∥平面PDF，故A正确．
若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE，故DF⊥平面PAE，故B正确．
∵O不在DF上，PO⊥平面ABC，∴PO与平面PDF相交，则平面PDF⊥平面ABC不成立，故C错误，
由DF⊥平面PAE可得，平面PAE⊥平面ABC，故D正确，
故选：ABD．
【知识点】向量语言表述线面的垂直、平行关系
10.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，将△ABD沿对角线BD折起．设折起后点A的位置为A′，并且平面A′BD⊥平面BCD．给出下面四个命题：（ ）
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A．A′D⊥BC
B．三棱锥A′﹣BCD的体积为
C．CD⊥平面A′BD
D．平面A′BC⊥平面A′DC
【解答】解：∵∠BAD＝90°，AD＝AB，
∴∠ADB＝∠ABD＝45°，
∵AD∥BC，∠BCD＝45°，
∴BD⊥DC，
∵平面A′BD⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，
∴CD⊥平面A′BD，
∵A′D⊂平面A′BD，
∴CD⊥A′D，故A′D⊥BC不成立；
故A错误，C正确；
由AB＝AD＝1，∠BAD＝90°，可得BD＝，CD＝BD＝，
三棱锥A′﹣BCD的体积为三棱锥C﹣A'BD的体积，即为CD•S△A'BD＝×××1×1＝，故B错误；
折叠前，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BAD＝90°，
∴△ABD为等腰直角三角形．
又∵∠BCD＝45°，∠DBC＝45°，
∴∠BDC＝90°．
折叠后，∵平面BCD⊥平面A′BD，CD⊥BD，
∴CD⊥平面A′BD．
又∵A′B⊂平面A′BD，
∴CD⊥A′B．
又A′B⊥A′D，A′D∩CD＝D，
∴A′B⊥平面A′DC．又A′B⊂平面A′BC，
∴平面A′BC⊥平面A′DC．故D正确．
故选：CD．
第 8 页 共 17 页 【知识点】命题的真假判断与应用
11.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线，则（ ）
A．实轴长为2
B．渐近线方程为
C．离心率为2
D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3
【解答】解：由双曲线 的方程可得，a2＝4，b2＝12c2＝a2+c2＝16，所以a＝2，b＝2，c＝4，
所以实轴长2a＝4，离心率＝2，渐近线方程为y＝±x＝x，所以B，C正确，
因为准线方程为x＝＝1，设渐近线y＝与渐近线的决定为A，两个方程联立可得A（1，），另一条渐近线的方程为：+y＝0，所以A到它的距离为d＝＝，
故选：BC．
【知识点】双曲线的性质
12.已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与向量的夹角是60°
D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为
【解答】解：由向量的加法得到：，∵，∴，所以A正确；
∵，AB1⊥A1C，∴，故B正确；
∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C不正确；
∵AB⊥AA1，∴，故＝0，因此D不正确．
故选：AB．
【知识点】空间向量的数量积运算
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.设p：﹣m≤x≤m（m＞0），q：﹣1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为 ，若p是q的
