北师大版八年级数学上册 第二章 实数 单元检测试题(含答案)

第二章 实数 单元检测试题

（满分120分；时间：120分钟）

一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）

1. 给出下列实数：227、−√25、√93、√1.44、𝜋2、0.1.6.、−0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数有（ ）

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

2. 计算：√53÷√13的结果是（ ）

A.√3 B.√5 C.5 D.√53

3. 若𝑎2的算术平方根是4，则𝑎为（ ）

A.16 B.4 C.±2 D.±4

4. 把𝑥+𝑦√𝑥+𝑦分母有理化得（ ）

A.√𝑥+𝑦𝑥+𝑦 B.√𝑥+𝑦 C.(𝑥+𝑦)√𝑥+𝑦 D.1

5. 阅读下面的推理过程：

①：因为2√3=√22×3=√12②：所以−2√3=√(−2)2×3=√12

③：所以2√3=−2√3④：所以2=−2以上推理过程中的错误出现在第几步（ ）

A.① B.② C.③ D.④

6. 下列说法正确的是（ ）

A.125的平方根是15 B.−9是81的一个平方根

C.0.2是0.4的算术平方根 D.负数没有立方根

7. 若𝑎=1√3+2，𝑏=√3−2，那么𝑎和𝑏的关系是（ ）

A.𝑎=𝑏 B.𝑎+𝑏=0 C.𝑎𝑏=1 D.𝑎𝑏=−1

8. 1√1+√2+1√2+√3+⋯+1√99+√100的整数部分是（ ）

A.3 B.5 C.9 D.6

9. 下列说法正确的是（ ）

A.(−4)2的平方根是−4 B.32的算术平方根是+3

C.√−33没有意义 D.√503小于4

10. √6−√35+√6+√35的值为（ ）

A.√7+√5 B.√14 C.12(√7−√5) D.1

二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ， ）

11. 𝑎、𝑏是两个连续的自然数，若𝑎<√17<𝑏，则𝑎+𝑏的平方根是________．

12. 比较大小：−√32________−√73．

13. 计算：√40+√5√5=________．

14. 已知数轴上一点𝐴到原点𝑂的距离等于√5，那么点𝐴所表示的数是________．

15. 已知𝐴=√𝑛−√𝑛−1，𝐵=√𝑛−2−√𝑛−3(𝑛≥3)，请用计算器计算当𝑛≥3时，𝐴、𝐵的若干个值，并由此归纳出当𝑛≥3时，𝐴、𝐵间的大小关系为________．

16. 已知𝑥=√3，𝑥𝑦=1，则𝑥𝑦=________．

17. 已知：10+√5=𝑥+𝑦，其中𝑥是整数，且0<𝑦<1，则𝑥−𝑦=________．

18. 已知√𝑥3=4，且(𝑦−2𝑥+1)2+√𝑧−3=0，则𝑥+𝑦+𝑧的值是________．

三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，共计66分 ， ）

19. 如图，一只蚂蚁从𝐴点沿数轴向右爬行2个单位长度到达点𝐵，点𝐴表示的数是−√2，设点𝐵表示的数是𝑚．

（1）求𝑚的值；

（2）|𝑚−1|+𝑚2的值．

20. 若12(3+√7)的整数部分为𝑎，小数部分为𝑏，求2𝑎2+(1+√7)𝑎𝑏的值．

21. 把下列各数分别填入相应的集合里．

−5，−2.626 626 662⋯，0，𝜋，−74，0.12，|−6|，−23−(−10)．

(1)负数集合：{                              ...}；

(2)非负整数集合：{                               ...}；

(3)有理数集合：{                             ...}；

(4)无理数集合：{                             ...}．

22. 已知𝑎、𝑏是有理数，且(13+√32)𝑎+(14−√312)𝑏−214−1920√3=0，求𝑎、𝑏的值．

23. 已知𝑦=√2𝑥−6+√3−𝑥−1，求𝑥+𝑦的平方根．

24.

已知𝑎，𝑏在数轴上的位置，如图所示，试化简：√𝑎2+√𝑏2−√(𝑎−𝑏)2−√(𝑎+𝑏)2．

25. 观察下列等式：√1+112+122=1+1−12，√1+122+132=1+12−13，√1+132+142=1+13−14，…

（1）猜想并写出第𝑛个等式；

（2）证明你写出的等式的正确性．

参考答案与试题解析

一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）

1.

【答案】

B

【解答】

−√25=−5，√1.44=1.2，

实数：227、−√25、√93、√1.44、𝜋2、0.1.6.、−0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数有√93、𝜋2、−0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）共3个．

2.

【答案】

D

【解答】

解：√53÷√13=√153×√33=√53．

故选：𝐷．

3.

【答案】

D

【解答】

解：∵ 𝑎2的算术平方根是4，

∵ √𝑎2=4，

∵ 𝑎=±4，

故选𝐷．

4.

【答案】

B

【解答】

解：原式=(𝑥+𝑦)√𝑥+𝑦𝑥+𝑦=√𝑥+𝑦，故选𝐵．

5.

【答案】

B

【解答】

解：错在第(2)步．正确的是−2√3=−√22×3=−√12．

故选𝐵．

6.

【答案】

B

【解答】

∵ 125的平方根是±15，

∵ 选项𝐴不符合题意；

∵ −9是81的一个平方根，

∵ 选项𝐵符合题意；

∵ (0.2)2＝0.04，0.2不是0.4的算术平方根，

∵ 选项𝐶不符合题意；

∵ 负数有立方根，

∵ 选项𝐷不符合题意．

7.

【答案】

B

【解答】

解：𝑎=√3−2(√3+2)(√3−2)

=√3−23−4

=√3−2−1

=2−√3，

∵ 𝑎+𝑏=2−√3+√3−2=0，

∵ 𝐵正确，故选𝐵．

8.

【答案】

C

【解答】

解：∵ 1√2+√1=√2−1，1√2+√3=√3−√2，⋯，1√99+√100=−√99+√100，

∵ 原式=√2−1+√3−√2+⋯−√99+√100=−1+10=9. 故选𝐶.

9.

【答案】

D

【解答】

解：𝐴.(−4)2=16的平方根是±4，故本选项错误；

𝐵.32的平方的算数平方根是3，故本选项错误；

𝐶.√−33有意义，故本选项错误；

𝐷.∵ √503<√643，即√503<4，故本选项正确.

故选𝐷.

10.

【答案】

B

【解答】

解：设𝑦=√6−√35+√6+√35，

𝑦2=(6−√35)+(6+√35)+2√(6−√35)(6+√35)，

=12+2=14，

∵ 𝑦>0，∵ 𝑦=√14．

故选𝐵．

二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）

11.

【答案】

±3

【解答】

解：∵ 𝑎、𝑏是两个连续的自然数，𝑎<√17<𝑏，

∵ 4<√17<5，

∵ 𝑎=4，𝑏=5，

则𝑎+𝑏=9，故𝑎+𝑏的平方根是：±3．

故答案为：±3．

12.

【答案】

>

【解答】

解：∵ (−√32)2=34，(−√73)2=79，34<79，

∵ −√32>−√73，

故答案为：>．

13.

【答案】

2√2+1

【解答】

解：原式=√405+√55

=2√2+1．

故答案为：2√2+1．

14.

【答案】

±√5

【解答】

解：∵ 数轴上一点𝐴到原点𝑂的距离等于√5，

∵ 𝑂𝐴=√5，即点𝐴所表示的数的绝对值为√5，

∵ 点𝐴所表示的数是±√5．

故答案为±√5．

15.

【答案】

𝐴<𝐵

【解答】

解：𝑛=3时，𝐴=√3−√2≈0.3178，𝐵=1−0=1，

∵ 𝐴<𝐵，

𝑛=4时，𝐴=√4−√3≈0.2679，𝐵=√2−1≈0.4142，

∵ 𝐴<𝐵，

𝑛=5时，𝐴=√5−√4≈0.2361，𝐵=√3−√2≈0.3178，

∵ 𝐴<𝐵，

𝑛=6时，𝐴=√6−√5≈0.2134，𝐵=√4−√3≈0.2679，

𝐴<𝐵，

以此类推，随着𝑛的增多，𝐴在不断变小，而𝐵的变化比𝐴慢两个数，

∵ 当𝑛≥3时，𝐴、𝐵间的大小关系为：𝐴<𝐵．

故答案为：𝐴<𝐵．

16.

【答案】

3

【解答】

解：∵ 𝑥=√3，𝑥𝑦=1，

∵ 𝑥𝑦=𝑥2𝑥𝑦=(√3)21=3．

故答案为：3．

17.