求解波动方程的2种显式高精度紧致差分格式

收稿日期：2021-05-22基金项目：福建省中青年教师教育科研项目资助(JAT190368);福建省自然科学基金(2020J01796)作者简介：钟瑞华(1998-),女,福建省龙岩市人,硕士生．*通信作者.E-mail ：*********************Equal-Width 波方程的高精度守恒差分格式钟瑞华,程宏*，何育宇（闽南师范大学数学与统计学院,福建漳州363000）摘要：对Equal-Width 波方程提出一个三层线性高精度守恒差分格式.所建格式满足质量守恒和能量守恒,在时间和空间上分别为二阶和四阶精度.用离散能量法证明了所建差分格式的收敛性和稳定性.数值实验表明该格式是有效的和可靠的.关键词：Equal-Width 波方程;差分格式;守恒性;收敛性;稳定性中图分类号：O241.82文献标志码：A文章编号：2095-7122（2021）02-0029-07A conservative difference scheme with high-order accuracy for the Equal-Width wave equationZHONG Ruihua,CHENG Hong *,HE Yuyu（School of Mathematics and Statistics,Minnan Normal University,Zhangzhou,Fujian 363000,China ）Abstract:A three-level high-order accuracy conservative difference scheme for solving the nonlinear Equal-Width wave equation is proposed.The scheme is conservative for the discrete energy,and has second-order accuracy in time and fourth-order in space.The convergence and stability of the scheme are proved by the discrete energy method.The numerical experiment shows that the proposed scheme is efficient and reliable.Key words:Equal-Width wave equation;finite difference scheme;conservation;convergence;stability第34卷第2期2021年6月闽南师范大学学报（自然科学版）Journal of Minnan Normal University （Natural Science ）Vol.34Ｎｏ．2Jun.20211984年，Morrison 等[1]提出了Equal-Width 波方程，该方程多应用于模拟一维波在具有色散过程的非线性介质中的传播.随后,许多人对该方程进行了大量的研究.Gardner 等[2]用三次B-样条有限元方法模拟了电子束发射过程中孤立波的迁移和相互作用.Zaki [3]用Petrov-Galerkin 方法求解修正的Equal-Width 方程,并使用五次B-样条有限元模型模拟孤子的产生、运动和孤立波的相互作用.Abdulkadir [4]采用线性Galarkin 有限元方法对Equal-Width 波方程进行了研究.Rui [5]利用平面动力系统分支理论方法研究了Equal-Width 波方程的孤波解和周期解.本文考虑如下Equal-Width 波方程的初边值问题u t +uu x -μu xxt =0, 0<t ≤T , α≤x ≤β,(1)u (x ,0)=u 0(x ), α≤x ≤β,(2)u (α,0)=0, u (β,0)=0, 0<t ≤T ,(3)其中μ是给定的正常数.可以验证,式(1)-式(3)具有如下守恒律闽南师范大学学报（自然科学版）2021年Q (t ) =∫αβu (x ,t )d x =∫αβu 0(x ,0)d x =Q (0),(4)E (t )= u 2L [α,β]+μu x2L [α,β]=E (0).(5)首先建立式(1)-式(3)的三层线性差分格式,在时间上和空间上分别达到二阶和四阶精度,并证明所建立的差分格式的守恒性、收敛性和稳定性,数值结果验证了理论分析的可靠性.1差分格式的构造对求解区域[α,β]×[0,T ]进行网格剖分,取空间步长h =(β-α)/J ,时间步长τ=T /N ,其中J 、N 为正整数,记网格点x j =α+jh (0≤j ≤J ),t n =nτ (0≤n ≤N ).记Z 0h ={}u =(u j )|u -1=u 0=u 1=u J -1=u J =u J +1=0, -1≤j ≤J +1.对任意u n 、v n ∈Z 0h ,定义如下记号[6]：(u nj)x =u n j +1-u n j h , (u n j )x =u n j +2-u n j -24h , (u nj )x =u n j +1-u nj -12h,(u n j )t =u n +1j -u n -1j 2τ, u ˉnj =u n +1j +u n -1j 2, (u n j )x ˉ=u n j -u n j -1h ,u n,v n=h ∑j =1J -1u n j v n j , ||u n ||2=u n ,u n , ||u n ||∞=max 1≤j ≤J -1|u nj |.对式(1)-式(3)考虑如下差分格式：(u n j )t +43φ1(u n j ,u ˉn j )-13φ2(u n j ,u ˉn j )-μéëêùûú43(u n j )xxˉt -13(u n j )x x t =0, 1≤j ≤J -1, 1≤n ≤N -1,(6)u 0j =g (x j ), 0≤j ≤J ,(7)u n 0=0, u nJ =0, 0≤n ≤N ,(8)其中φ1(u n j ,u ˉn j )=13[]u n j (u ˉn j )x +(u n j u ˉn j )x , φ2(u nj ,u ˉn j )=13[]u n j (u ˉnj )x +(u n j u ˉn j )x ,式(6)-式(8)可展开为一个五对角矩阵的线性方程组,可用“追赶法”求解.由于式(6)-式(8)是三层线性隐式格式,所以需要下面的两层格式来计算u 1(u 0j)t +43φ1(u 0j ,u 12j )-13φ2(u 0j ,u 12j )-μéëêùûú43(u 0j )xx ˉt -13(u 0j )x x t =0, 1≤j ≤J -1,其中u 12j=12(u 1j +u 0j ).2差分格式的守恒性引理1[7]对任意的u n 、v n ∈Z 0h ,则u n x ˉ,v n =-u n ,v n x , u n x ,v n =-u n ,v n x , u n xx ˉ,v n =u n x ,v n x , u n x ,v n=-u n ,v n x .当u n =v n 时,有u n x ,u n =0, u n x ,u n =0, u n xx ˉ,u n =-||u n x ||2, u n x x ,u n =-||u n x ||2.引理2[7]对任意的u n ∈Z 0h ,则φ1(u ,u ˉ),u ˉ=0, φ2(u ,u ˉ),u ˉ=0.引理3[7]对任意的u n ∈Z 0h ,则有||u x ||2≤ ||u x ||2≤ ||u x ||2.30钟瑞华等：Equal-Width 波方程的高精度守恒差分格式第2期引理4[7](离散Sobolev 不等式)对任意的u n ∈Z 0h ,存在两个正常数a 和b ,使得||u n ||∞≤a||u n ||+b||u n x ||.定理1设u 0∈H 20[α,β], u (x ,t )∈C 6,3x ,t [α,β],则式(6)-式(8)满足质量守恒和能量守恒,即Q n=h 2∑j =1J -1(u n +1j +u n j )+29hτ∑j =1J -1u n j (u n +1j )x -118hτ∑j =1J -1u n j (u n +1j)x =Q n -1=⋯=Q 0,E n =12()||u n +1||2+||u n ||2+2μ3()||u n +1x ||2+||u n x ||2-μ6()||u n +1x ||2+||u n x ||2=En -1=⋯=E 0.证明将式(6)两端同时乘以h 后对j 从1到J -1求和,根据边界条件,得h 2τ∑j =1J -1()u n +1j -u n -1j +2h 9∑j =1J -1éëêùûúu n j ()u n +1j x -u n -1j ()u n j x -h 18∑j =1J -1éëêùûúu n j ()u n +1j x -u n -1j ()u n j x =0,(9)即 h 2∑j =1J -1()u n +1j +u n j +29hτ∑j =1J -1u n j ()u n +1j x -118hτ∑j =1J -1u n j ()u n +1jx =h 2∑j =1J -1()u n j +u n -1j +29hτ∑j =1J -1u n -1j ()u n j x -118hτ∑j =1J -1u n -1j ()u n j x .由Q n 的定义,对上式的n 递推即可得Q n =Q n -1=⋯=Q 0.将式(9)与2uˉn 作内积,由引理1可得u n2t +4μ3()||u n x ||2t -μ3()||u n x ||2t +43φ1()u n ,u ˉn ,2u ˉn -13φ2()u n ,u ˉn ,2u ˉn =0.由引理2,有||u n ||2t +4μ3()||u n x ||2t -μ3()||u n x ||2t =0,即 12()||u n +1||2+||u n ||2+2μ3()||u n +1x ||2+||u n x ||2-μ6()||u n +1x ||2+||u n x ||2 =12()||u n ||2+||u n -1||2+2μ3()||u n x ||2+||u n -1x ||2-μ6()||u n x ||2+||u n -1x ||2.(10)由E n 的定义,对式(10)的n 递推即可得E n =E n -1=⋯=E 0.3差分格式解的存在唯一性和有界性定理2式(6)-式(8)的解u n 是唯一存在的.证明u 0由式(7)确定,用C -N 格式计算u 1,则u 0和u 1是唯一确定的.设u 0,u 1,⋯,u n (n ≤N -1)是唯一可解的,考虑式(4)中的u n +1,我们有12τu n +1j +29éëêùûúu n j ()u n +1j x +()u n j u n +1j x -118éëêùûúu n j ()u n +1j x +()u n j u n +1jx -2μ3τ()u n +1j xx ˉ+μ6τ()u n +1j x x =0.(11)将式(11)与u n +1作内积,又由引理2和引理3得0=12τ||u n +1||2+2μ3τ||u n +1x ||2-μ6τ||u n +1x ||2≥12τ||u n +1||2+μ2τ||u n +1x ||2≥0,即||u n +1||=0,从而差分格式是唯一可解的.定理3设u 0∈H 20[]α,β,则式(6)-式(8)的解满足||u n ||≤C , ||u n x ||≤C , ||u n||∞≤C .证明由引理3和定理1,可得()||u n +1||2+||u n ||2+μ()||u n +1x ||2+||u n x ||2n ,31其中2E n =()||u n +1||2+||u n ||2+4μ3()||u n +1x ||2+||u n x ||2-μ3()||u n +1x ||2x ||2=⋯=2E 0,由于μ是正常数,即||u n ||≤C , ||u n x ||≤C , 根据引理4,有 ||u n||∞≤C .4差分格式解的收敛性与稳定性引理5[7](离散Gronwall 不等式)假设{}G n /n ≥0是非负数列,且满足G 0≤A , G n≤A +Bk ∑i =0n -1G i , n =1,2,…,其中A 和B 均为非负数,则G n =A e Bnk , n =0,1,2,….定理4设u 0∈H 20[]α,β, u ()x ,t ∈C 6,3[α,β],式(6)-(8)的解u n 依L ∞范数收敛到式(1)-式(3)的精确解,并且收敛阶为O ()τ2+h 4.证明令e n =U n -u n ,则式(6)-式(8)的截断误差为r n j =()e n j t+43[]φ1()U n j ,U ˉn j -φ1()u n j ,u ˉn j -13[]φ2()U n j ,U ˉn j -φ2()u n j ,u ˉn j -43μ()e n j xx ˉt +13μ()e n j x x t ,1≤j ≤J -1, 1≤n ≤N -1,(12)e 0j =0, 0≤j ≤J ,e n 0=0, e nJ =0, 0≤n ≤N .由Taylor 展开可得max j ,n|r n j | ≤C ()τ2+h 4,其中正常数C 不依赖于τ和h .将式(12)与2eˉn 作内积,由引理1得r n ,2e ˉn =||e n ||2t +43μ||e n x ||2t -13μ||e n x ||2t +43φ1()U n ,U ˉn -φ1()u n ,u ˉn ,2e ˉn -13φ2()U n ,U ˉn -φ1()u n ,u ˉn ,2e ˉn .(13)根据引理3及定理3,可得r n j ,2eˉn ≤ ||r n ||2+12()||e n +1||2+||e n -1||2.(14)同时,有43φ1()U n ,Uˉn -φ1()u n ,u ˉn ,2e ˉn =83h ∑j =1J -1{}13éëêùûúU n j ()U ˉn j x +()U n j U ˉn j x -13éëêùûúu n j ()u ˉn j x +()u n j u ˉnj x e ˉn =89h ∑j =1J -1U n j ()e ˉn j x e ˉn j +89h ∑j =1J -1e n j ()u ˉn j x e ˉn j -89h ∑j =1J -1U n j ()e ˉn j x e ˉn j -89h ∑j =1J -1e n j ()e ˉn j x u ˉn j ≤C ()||e ˉn ||2+||e n ||2+||e ˉn x ||2.(15)同理,有-13φ2()U n ,U ˉn -φ1()u n ,u ˉn ,2e ˉn ≤C ()||e ˉn ||2+||e n ||2+||e ˉn x ||2.(16)将式(14)-式(16)代入式(13),可得闽南师范大学学报（自然科学版）2021年32||e n ||2t +43μ||e n x ||2t -13μ||e n x ||2t ≤C ()||e n +1||2+||e n -1||2+||e n ||2+||e n +1x ||2+||e n -1x ||2+||r n ||2.(17)令A n = ||e n +1||2+||e n ||2+43μ()||e n +1x ||2+||e n x ||2-13μ()||e n +1x ||2+||e n x ||2,将式(17)从1到n 累加,有A n≤A 0+Cτ∑i =0n +1()||e i ||2+||e i x||2+2τ∑i =1n||r i ||2.(18)其中τ,C 是正常数,根据A n 的定义和引理3,有c 0()||e n ||2+||e n +1||2+||e n x ||2+||e n +1x ||2≤ ||e n ||2+||e n +1||2+μ()||e n x ||2+||e n +1x||2≤A n ,(19)其中c 0=min(1,μ).由式(18)-式(19)得||e n ||2+||en +1||2+||e n x||2+||en +1x||2≤Cτ∑i =0n +1()||e i ||2+||e i x||2+Cτ∑i =1n ||r i ||2.(20)令G n=||e n ||2+||en +1||2+||e n x||2+||en +1x ||2,则式(20)可以写成G n≤Cτ∑i =0nG i+Cτ∑i =1n||r i ||2,其中Cτ∑i =1n||r i ||2≤Cnτmax 1≤i ≤n||r i ||2≤CT ()τ2+h 42.从而G n≤Cτ∑i =0nG i +C ()τ2+h 42.(21)式(21)可以写成()1-CτG n≤Cτ∑i =0n -1G i +C ()τ2+h 42.对于τ足够小,即1-Cτ>0,有G n≤Cτ∑i =0n -1G i +C ()τ2+h 42.根据引理5,得G n ≤C ()τ2+h 42e CT ≤C ()τ2+h 42,即有||e n ||≤C ()τ2+h 4, ||e n x ||≤C ()τ2+h 4.由引理4,可得||e n ||∞≤C ()τ2+h 4.定理得证.5数值实验为验证式(6)-式(8)的守恒性和稳定性,选取以下模型问题[8]：u t +uu x -μu xxt =0,(22)初始条件为u 0()x =3γsech 2()1/4μ()x -x 0,(23)已知式(22)-式(23)的精确解为u ()x ,t =3γsech 2[]1/4μ()x -x 0-γt .(24)设||e n ||∞=||U n -u n ||∞=max 1≤j ≤J -1|U n j -u nj |,其中U n j =u ()x j ,t n 为精确解,u n j 为式(6)-式(8)的数值解,定义时间和空间的收敛阶为Order 1=log 2()||e n ()τ,h ||∞/||e n ()τ/2,h ||∞, O rder 2=log 2()||e n ()τ,h ||∞/||e n ()τ/4,h /2||∞. 钟瑞华等：Equal-Width 波方程的高精度守恒差分格式第2期33数值解U数值解U图1h =0.1, τ=1(左)和h =0.05, τ=1(右)时不同时刻的数值解Fig.1Numerical solution at different times with h =0.1, τ=1(left)and h =0.05, τ=1(right)取γ = 0.1, μ = 1, α = -20, β = 30, T = 1, x 0 =10，分别取h =0.1, τ=1和h =0.05, τ=1对式(6)-式(8)进行计算,不同时刻的数值解分别见图1(左)和图1(右).表1验证了格式在时间上具有二阶收敛精度,表2验证了格式在空间上具有四阶收敛精度,表3验证了格式的质量和能量守恒性.以上结果表明所建立的差分格式(6)-式(8)是可靠和有效的.表1h =0.05和T =1时的误差和时间收敛阶Tab.1Errors and temporal convergence orders with h =0.05and T =1步长τ=0.25τ=0.125τ=0.0625τ=0.03125误差||e n ||∞1.2093E-063.0153E-077.5284E-081.8811E-08收敛阶Order 1—2.0037602.0018782.000734步长h =0.5h =0.25h =0.125h =0.0625误差||e n ||∞1.3651E-039.1912E-055.8429E-063.6669E-07收敛阶Order 1—3.8926143.9755013.994058表2τ=h 2和T =40时的误差和空间收敛阶Tab.2Errors and spatial convergence orders with τ=h 2and T =40表3h =0.25和h =0.5时,不同T 下的守恒量Tab.3The conserved quantities at different T with h =0.25and h =0.5时间/T 1102030h =0.25 τ=h 2能量/E n0.3195272430562650.3195262990414230.3195239246269690.319521275624080质量/Q n1.2000031173455941.2000031104029521.2000030816906351.200003000086333h =0.5 τ=h 2能量/E n0.3181488639547210.3181396393760100.3181132029445680.318079521237931质量/Q n1.2000498884225871.2000498794754341.2000498421672201.200049736095559闽南师范大学学报（自然科学版）2021年34参考文献：[1]MORRISON P J,MEISS J D,GAREY J R.Scattering of RLW solitary waves[J].Physica D Nonlinear Phenomena,1984,11(3):324-336.[2]GARDNER L R T,GARDNER G A.Solitary waves of the equal width wave equation[J].1992,101(1):218-223.[3]ZAKI S I.Solitary wave interactions for the modified equal width equation[J].Computer Physics Communications,2000,126(3):219-231.[4]ABDULKADIRD.ApplicationofGalerkin'smethodtotheEqual-Widthwaveequation[J].AppliedMathematicsandComputation,2003,160(1):65-76.[5]RUI W G.Exact traveling wave solutions and dynamic simulations of wave for the Equal-Width wave equation[J].Journal ofSouthwest University for Nationalities,2006,32(5):851-857.[6]何育宇,王晓峰,陆东.Korteweg-de Vries 方程的守恒紧致有限差分格式[J].闽南师范大学学报(自然科学版),2020,33(2):17-21.[7]AHLEM G,KHALED O.New conservative difference schemes with fourth-order accuracy for some model equation for nonlineardispersive waves[J].Numer Methods Part Differ Equ,2018,34(2):451-500.[8]ABDUL G,SIRAJUL H.An efficient numerical scheme for the study of Equal-Width equation[J].Results in Physics,2018,9(9):1411-1416.[责任编辑：钟国翔]钟瑞华等：Equal-Width 波方程的高精度守恒差分格式第2期35。

改进型Boussinesq方程高精度紧致差分显格式
周俊陶;林建国;谢志华
【期刊名称】《哈尔滨工业大学学报》
【年(卷),期】2009(041)004
【摘要】采用一种高精度的紧致差分显格式对改进型Boussinesq方程进行数值求解;采用具有TVD性质的三阶Runge-Kutta方法进行预报,用三次样条函数进行校正,时间精度可达到四阶;在空间离散上采用六阶精度的三点紧致显格式进行计算;运用以上数值格式对Beji和Nadaoka改进型Boussinesq方程进行了求解,求解证明:高精度的数值结果和已知的试验结果吻合良好.作为验证算例,同时对波浪在台阶上的传播进行了模拟,从效果对比上可以看出,所得结果明显比Kittitanasuan的计算结果更靠近试验值.
【总页数】4页(P215-218)
【作者】周俊陶;林建国;谢志华
【作者单位】大连海事大学,环境科学与工程学院,大连,116026;大连海事大学,环境科学与工程学院,大连,116026;大连海事大学,环境科学与工程学院,大连,116026【正文语种】中文
【中图分类】O353.2
【相关文献】
1.三维Navier-Stokes/Boussinesq方程组的高精度紧致有限差分格式 [J], 徐丽
2.一类高精度非线性延迟抛物偏微分方程的紧差分格式 [J], 池永日
3.一种求解一维对流扩散方程的高精度紧致隐式差分格式 [J], 魏剑英;葛永斌;田振夫
4.扩散方程的高精度稳定性紧致加权差分格式 [J], 侯广林
5.一类Boussinesq方程的高精度紧致差分法 [J], 张经纬;谢树森
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41-波动方程的差分逼近第五章 双曲型方程的有限差分法 4.1 波动方程的差分逼近 1. 特征针对波动方程22222u u a t x ∂∂=∂∂ （1） 其初值条件为 01(,0)(),(,0)(),t u x x u x x x ϕϕ==-∞<<∞其中0a >是常数。

其相应的特征方程为characteristic equation 2220dx a dt -= 即 221()0dt a dx-= 得到两个特征方向：characteristic direction1dt dx a=± （3） 解（3），得到两族直线： 12,x at c x at c -=+= 2. 显格式取空间步长h 及时间步长τ，用两族平行直线two family of parallel lines,0,1,2,j x x jh j ===±±L,0,1,2,n t t n n τ===L作矩形网格rectangle 。

在(,)j n x t 对方程（1）离散，得到111122222,0,1,2,,,1,2,n n n n n nj j jj j j u u u u u u aj n h τ+-+--+-+==±±L L （5.1）初始条件为00()j j u x ϕ= （5.2）101()j jj u u x ϕτ-= （5.3）（5.1）式逼近的截断误差为22()h τO +。

由于(5.3)式逼近截断误差为()τO ，因此对（5.3）的逼近可作适当改进。

（5）可显示算出各网点的值。

（5.1）简化后可以写成122111()2n n n n n j j j j ju r u u r u u +--+=++-（1-） （6） 针对混合问题：2222201,0,0,(,0)(),(,0)(),(0,)(),(,)().t u ua x l t T t x u x x u x x u t t u l t t ϕϕαβ⎧∂∂=<<<<⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪⎩此时取空间步长l h J =及时间步长TNτ=，同样建立离散格式（5），针对边值条件，可给出离散的边值条件(),().nn l u n u n ατβτ==3. 稳定性分析为了利用Fourier 方法，令uv t∂=∂，将（1）化成一阶偏微分方程组： 222uv tv u a tx ∂⎧=⎪⎪∂⎨∂∂⎪=⎪∂∂⎩ （7） 再令uw ax∂=∂，则（7）变为 v w a t x w v a tx ∂∂⎧=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=⎪∂∂⎩ （8）令(,)T U v w =及0a A a ⎛⎫=⎪⎝⎭则（8）变为0U UA t x∂∂-=∂∂ 因此，差分方程（5）可写成1112211111122n n n n j j j j n nn n j j j j w w v v a h w w v v ah ττ++-+++---⎧--⎪=⎪⎪⎨-⎪-⎪=⎪⎩（10） 按照Fourier 方法，设12exp(),exp()n n n nj j j j v v i x w v i x αα==，2p lπα=代入（10），消去公因子common factor exp()j i x α和12exp()j i x α-，得到1121111222(sin ),2(sin)n n n n n nphv ir v v lphir v v v lππ+++-=-+=即111122()n nn n v v ph G l v v π++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中 21()(2sin )1ic phph G c r l l ic c ππ⎛⎫== ⎪-⎝⎭为增长矩阵，其特征方程为22(2)10c λλ--+= （14） 其根按模小于1的充要条件是absolute value of root 2|2|2c -≤ （15） 即1r ≤，此为必要条件。

求解波动方程初值问题的四阶差分格式波动方程是描述波动现象的重要方程之一，它在物理学、工程学、地球科学等领域都有广泛的应用。

求解波动方程初值问题是一类常见的数值计算问题，其解法有多种，其中四阶差分格式是一种常用的数值解法。

四阶差分格式是一种高精度的数值解法，其基本思想是将波动方程离散化为差分方程，然后利用差分方程的递推关系求解。

具体来说，四阶差分格式将波动方程在空间和时间上进行四阶差分，从而得到一个高精度的数值解。

四阶差分格式的主要内容包括以下几个方面：1.差分方程的推导差分方程是四阶差分格式的核心，其推导需要根据波动方程的特点进行。

一般来说，差分方程的推导可以采用有限差分法的思想，即将波动方程在空间和时间上进行离散化，然后利用差分近似代替微分，得到一个递推关系式。

2.差分格式的求解差分格式的求解是指利用差分方程递推求解波动方程的数值解。

一般来说，差分格式的求解可以采用迭代法或者直接求解法。

迭代法是指利用差分方程的递推关系式，从初始条件开始逐步迭代求解，直到达到所需的精度为止。

直接求解法是指将差分方程转化为矩阵方程，然后利用矩阵求解方法求解。

3.数值稳定性和精度分析数值稳定性和精度分析是四阶差分格式的重要内容之一，其主要目的是评估差分格式的数值稳定性和精度。

数值稳定性是指差分格式的解是否会因为数值误差而发散或者震荡，而精度分析则是指差分格式的解与真实解之间的误差大小。

4.程序实现和应用程序实现和应用是四阶差分格式的最终目的，其主要内容包括将差分方程转化为程序代码，然后利用计算机进行求解。

应用方面，四阶差分格式可以用于求解各种波动方程初值问题，如声波方程、电磁波方程、弹性波方程等。

总之，四阶差分格式是一种高精度的数值解法，其主要内容包括差分方程的推导、差分格式的求解、数值稳定性和精度分析以及程序实现和应用。

在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的差分格式，并进行数值稳定性和精度分析，以保证数值解的精度和可靠性。

紧致差分格式摘要：1.紧致差分格式的定义2.紧致差分格式的特点3.紧致差分格式的应用领域4.紧致差分格式的优缺点正文：紧致差分格式是一种数学工具，用于描述两个函数之间的差异。

它在微积分、概率论、数值分析等领域有广泛的应用。

本文将从紧致差分格式的定义、特点、应用领域以及优缺点四个方面进行介绍。

首先，紧致差分格式的定义是指，设f(x) 和g(x) 是两个在区间[a, b] 上有定义的函数，如果对于任意的ε>0，总存在δ>0，使得当|x-y|<δ时，有|f(x)-g(y)|<ε，则称f(x) 与g(x) 在[a, b] 上满足紧致差分格式。

其次，紧致差分格式具有以下特点：1) 对任意的ε>0，总存在δ>0，使得当|x-y|<δ时，有|f(x)-g(y)|<ε；2) 紧致差分格式满足三角不等式，即对于任意的x、y、z，有|f(x)-g(y)|≤|f(x)-f(z)|+|g(z)-g(y)|；3) 紧致差分格式满足单调性，即如果f(x) 在区间[a, b] 上单调递增（或递减），那么对于任意的g(x) 在区间[a, b] 上满足紧致差分格式。

再次，紧致差分格式的应用领域非常广泛，包括微积分、概率论、数值分析等。

例如，在微积分中，它可以用于研究函数的连续性、可微性等性质；在概率论中，它可以用于研究随机过程的性质，如马尔可夫性质等；在数值分析中，它可以用于设计各种数值算法，如数值积分、数值微分等。

最后，紧致差分格式具有以下优缺点：优点是它提供了一种研究函数性质的工具，可以描述函数在某个区间上的差异，有助于理解函数的局部性质；缺点是它的定义较为抽象，对于一些具体的函数，可能难以判断是否满足紧致差分格式。

波动方程有限差分一、引言波动方程是自然界中许多现象的数学模型，如声波、地震波等。

为了解决波动方程的数值解，有限差分方法是一种常用的数值计算方法。

本文将详细介绍波动方程有限差分的原理、方法和应用。

二、波动方程波动方程描述了介质中物理量随时间和空间变化的规律。

具体来说，假设介质中某个物理量为u(x, t)，其中x表示空间坐标，t表示时间，则波动方程可以表示为：∂²u/∂t² = c²∇²u其中c表示介质中的传播速度，∇²表示拉普拉斯算子。

该方程描述了一个在介质中传播的二阶偏微分方程。

三、有限差分方法有限差分方法是一种常用的数值计算方法，其基本思想是将连续函数离散化为离散点上的函数值，并通过差商逼近导数或偏导数，从而得到原问题的近似解。

对于波动方程，在空间上进行网格剖分，并在每个网格点处离散化u(x, t)和其导数，可以得到如下形式的差分格式：(u(i, j+1) - 2u(i, j) + u(i, j-1)) / Δt² = c²((u(i+1, j) - 2u(i, j) + u(i-1, j)) / Δx² + (u(i, j+1) - 2u(i, j) + u(i, j-1)) / Δy²)其中i表示空间网格点的横坐标，j表示纵坐标，Δt、Δx和Δy分别为时间和空间上的步长。

这个差分方程可以通过迭代求解得到波动方程的数值解。

具体来说，可以使用显式差分法或隐式差分法进行求解。

四、应用波动方程有限差分方法在地震勘探、声学建模等领域得到广泛应用。

例如，在地震勘探中，可以通过模拟地震波传播过程得到地下岩层的结构信息；在声学建模中，可以计算音场传播过程，并预测噪声污染等问题。

五、总结本文介绍了波动方程有限差分方法的原理、方法和应用。

有限差分方法是一种常用的数值计算方法，在许多领域都有广泛应用。

对于波动方程这类偏微分方程，有限差分方法是一种有效的求解方法。

波动方程的几种差分格式该方程是一个线性方程，描述了以波速c 沿x 轴传播，可以做为了解非线性无粘性流动的初步性质的模型方程。

x p x u u t u ∂∂-=∂∂+∂∂ρ1)(1)(1022222222y v x v y p y v v x v u t v yu x u x p y u v x u u t u y v x u ∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂ρμρρμρ不可压缩Navier–Stokes 方程一维无粘性仅含对流项，故该方程也可以称为一维对流方程对流项扩散项线性化，压强梯度略去模型方程：波动方程（wave equation ）波动方程（wave equation ）x t cu u -=1-D 波动方程是一个二阶双曲型PDE:表示声波以波速c 在单一物质中转播的控制方程。

同样性质的方程还有一阶PDE ：（1）（2）式（1）可由（2）推导出xt tt cu u -=xxtx cu u -=式（2）可得：，分别对此式求t 和x 的导数得：xx xx xt tt u c cu c cu u 2)(=--=-=即式（1）=+-cF cF 初值问题的精确解由数学物理方程得：由（4）分别求t 、x 导数，代入（2）式可以验证解的正确性，即：（3）（4）：：时间、空间前差时间前差、空间中心差1、2、都为一步显格式每个方程中未知量只有，都为一步显格式1+n j u 两种差分方程的时间项都为一阶精度。

V on Neumann 稳定性分析方法，此两种显格式都是无条件不稳定的，因此，这两种差分方程没有实际意义。

显格式: 递推;而不同求解方程组如下:c t x ν∆=∆后面令:k xβ=∆01=∆-+∆-∆+x A e A c t A A nx ik n n n 差分方程1、V on Neumann 稳定性分析011=∆-+∆-∆xe c t G x ik ()011=-+-∆x ik e G ν()()()βνβνββνsin cos 11sin cos 1-++-=-+-=i i G x k xt c ∆=∆∆=βν,其中()()βννβνβνβννβννcos 1121sin cos 2cos 22cos 12222222-++=+--+++=G 12≥G 无条件不稳定0cos 1,0≥->∆∆=βνx t c 其中一阶迎风格式，(upstream, windward)时间前差、空间后差FTBS：V on Neumann 稳定性分析，条件稳定：波右传,迎风若C<0,迎风? FTFS!修正方程（modified equation）：为了分析色散性和耗散性差分方程（4.10）式，右端项为T.E.，包含时间导数项，将（4.10）式的右端项变换为不含时间导数项的方程（自循环消元法），即为修正方程，如下注意：自循环消元法针对差分方程（4.10）式，不要利用原来的PDE，即（4.2）式，PDE方程的精确解不一定满足差分方程，而修正方程本质上表示的是差分方程不含时间导数项的另外一种形式，即修正的差分方程。

求解高维波动方程的两种高精度紧致LOD格式及软件使用求解高维波动方程的两种高精度紧致LOD格式及软件使用波动方程是描述波动现象的重要方程，广泛应用于物理学、地震学等领域。

在实际应用中，我们常常需要求解高维波动方程，这对计算的精度和效率提出了挑战。

近年来，一种高精度紧致LOD（Locally Odconcentrated Discretization）格式被广泛应用于求解高维波动方程，并在很多领域取得了重要的成果。

高维波动方程的求解可以通过数值方法来实现，其中较为常用的有有限差分法、有限元法、谱方法等。

与传统方法相比，LOD格式具有更高的精度和计算效率。

下面将介绍两种常用的高精度紧致LOD格式——Spectral LOD和Finite Difference LOD，并介绍其相应的软件使用方法。

1. Spectral LODSpectral LOD是一种基于谱方法的高精度紧致LOD格式，其主要思想是通过适应性的局部分解来提高计算精度。

具体步骤如下：（1）通过谱方法将高维波动方程离散化为一组常微分方程。

（2）对谱方法得到的方程进行LOD处理，将其分解为低频和高频部分。

（3）使用高精度差分方法对低频部分进行求解，使用适应性较差的差分方法对高频部分进行求解。

（4）将低频部分和高频部分的求解结果叠加得到最终的数值解。

软件使用方法如下：（1）下载和安装相应的谱方法求解器，如SpectralLOD Solver。

（2）编写高维波动方程的输入文件，包括方程的参数和边界条件等。

（3）运行求解器，得到高维波动方程的数值解。

2. Finite Difference LODFinite Difference LOD是一种基于有限差分法的高精度紧致LOD格式，其主要思想是通过适应性的局部差分格式来提高计算精度。

具体步骤如下：（1）通过有限差分法将高维波动方程离散化为一个差分方程组。

（2）对差分方程组进行LOD处理，将其分解为低频和高频部分。

【关键字】精品波动方程的差分逼近1、 问题介绍：波动方程是描述波在同性均质弹性介质内传播的微分方程，它也是线性双曲型偏微分方程的最简模型。

它的一般形式是：2、 区域剖分：构造上式的差分逼近，取空间步长h 和时间步长τ，用两族平行直线作矩形网格。

3、 离散格式：显格式：于网点),(n j t x 用Taylor 展式，并整理方程得：隐格式： 上述显格式并不是绝对稳定的差分格式，为了得到绝对稳定的差分格式，用第1-n 层、 n 层、1+n 层的中心差商的权平均去逼近xx u ，得到下列差分格式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-++--++-=+-+-++==----+-++-+++-++-]22)21(2[2),()()1()]()([2),(211111211211111221110210102100h u u u h u u u h u u u a u u u x x r x x r u x u n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j j j j j j j j θθθττϕϕϕϕϕ其中10≤≤θ是参数。

当0=θ时就是显格式，而当41=θ时可以证明该格式绝对稳定。

隐格式的矩阵形式是：其中：4、格式稳定性：1）显格式：显格式稳定的充分必要条件是：网格比1<r 。

2）隐格式：当41=θ时隐格式绝对稳定。

5、数值例子：当1=a 时可以证明 )(),(t x e t x u +=是波动方程xu a t u 2222∂∂=∂∂ 的一个解析解。

那么，为了更精确的得到误差估计，在这里选取)(),(t x et x u +=作数值实验。

取1010≤≤≤≤t x ，并且将时间步长20等分，空间步长10等分（即10/1,20/1==h τ）。

这样网格比12/1/<==τah r ，从稳定性分析可知，此时格式稳定。

经计算得到下列数值结果：（注：下列数值结果按层排序，每层按x从小到大排序，每个结果包含三部分，分别是：估计值、真实值、误差）第1层1.161812 1.161834 0.000022 1.284001 1.284025 0.000024 1.419040 1.419068 0.0000271.568282 1.568312 0.000030 1.733220 1.733253 0.000033 1.915504 1.915541 0.0000372.116960 2.117000 0.000040 2.339602 2.339647 0.000045 2.585660 2.585710 0.000049第2层1.221365 1.221403 0.000038 1.349812 1.349859 0.000047 1.491773 1.491825 0.0000521.648664 1.648721 0.000057 1.822055 1.822119 0.0000642.013683 2.013753 0.0000702.225463 2.225541 0.000078 2.459517 2.459603 0.000086 2.718201 2.718282 0.000081第3层1.283981 1.284025 0.000044 1.419001 1.419068 0.000066 1.568237 1.568312 0.0000751.733170 1.733253 0.000083 1.915450 1.915541 0.0000912.116899 2.117000 0.0001012.339535 2.339647 0.000111 2.585590 2.585710 0.000120 2.857562 2.857651 0.000090第4层1.349816 1.349859 0.000043 1.491745 1.491825 0.000080 1.648626 1.648721 0.0000951.822014 1.822119 0.0001052.013636 2.013753 0.000116 2.225412 2.225541 0.0001282.459462 2.459603 0.000141 2.718142 2.718282 0.0001403.004087 3.004166 0.000079第5层1.419029 1.419068 0.000038 1.568226 1.568312 0.000086 1.733142 1.733253 0.0001111.915416 1.915541 0.0001252.116862 2.117000 0.000138 2.339494 2.339647 0.0001532.585546 2.585710 0.000164 2.857510 2.857651 0.0001413.158134 3.158193 0.000059第6层1.491791 1.491825 0.000034 1.648638 1.648721 0.000084 1.821997 1.822119 0.0001222.013611 2.013753 0.000142 2.225383 2.225541 0.000157 2.459431 2.459603 0.000172 2.718108 2.718282 0.0001743.004043 3.004166 0.000123 3.320077 3.320117 0.000040第7层1.568281 1.568312 0.000031 1.733177 1.733253 0.000076 1.915416 1.915541 0.0001252.116846 2.117000 0.000154 2.339474 2.339647 0.000173 2.585525 2.585710 0.000185 2.857485 2.857651 0.0001663.158101 3.158193 0.000092 3.490316 3.490343 0.000027第8层1.648692 1.648721 0.000029 1.822052 1.822119 0.0000672.013632 2.013753 0.0001212.225380 2.225541 0.000161 2.459420 2.459603 0.000183 2.718096 2.718282 0.0001863.004025 3.004166 0.000141 3.320059 3.320117 0.000058 3.669279 3.669297 0.000017第9层1.733226 1.733253 0.000027 1.915482 1.915541 0.0000592.116891 2.117000 0.0001092.339487 2.339647 0.000160 2.585525 2.585710 0.000185 2.857481 2.857651 0.0001703.158092 3.158193 0.000101 3.490313 3.490343 0.000030 3.857417 3.857426 0.000008第10层1.822096 1.822119 0.0000232.013700 2.013753 0.000052 2.225446 2.225541 0.0000952.459455 2.459603 0.000148 2.718110 2.718282 0.0001723.004029 3.004166 0.0001373.320061 3.320117 0.000056 3.669288 3.669297 0.0000084.055204 4.055200 0.000004第11层1.915523 1.915541 0.0000182.116954 2.117000 0.000046 2.339567 2.339647 0.0000792.585584 2.585710 0.000125 2.857511 2.857651 0.0001413.158106 3.158193 0.0000873.490329 3.490343 0.000014 3.857435 3.857426 0.0000104.263132 4.263115 0.000018第12层2.013740 2.013753 0.000013 2.225503 2.225541 0.000038 2.459540 2.459603 0.0000642.718191 2.718282 0.0000913.004079 3.004166 0.000087 3.320090 3.320117 0.0000273.669318 3.669297 0.0000214.055230 4.055200 0.000030 4.481721 4.481689 0.000032第13层2.116993 2.117000 0.000007 2.339621 2.339647 0.000026 2.585665 2.585710 0.0000442.857607 2.857651 0.0000453.158178 3.158193 0.000015 3.490378 3.490343 0.0000353.857478 3.857426 0.0000524.263170 4.263115 0.000055 4.711515 4.711470 0.000045第14层2.225540 2.225541 0.000001 2.459592 2.459603 0.000011 2.718265 2.718282 0.0000173.004180 3.004166 0.000014 3.320184 3.320117 0.000067 3.669391 3.669297 0.0000944.055285 4.055200 0.000085 4.481773 4.481689 0.000084 4.953089 4.953032 0.000057第15层2.339653 2.339647 0.000006 2.585719 2.585710 0.000010 2.857675 2.857651 0.0000243.158275 3.158193 0.000082 3.490491 3.490343 0.000148 3.857575 3.857426 0.0001504.263241 4.263115 0.000127 4.711583 4.711470 0.0001135.207048 5.206980 0.000068第16层2.459619 2.459603 0.000016 2.718319 2.718282 0.0000373.004247 3.004166 0.0000813.320275 3.320117 0.000158 3.669515 3.669297 0.0002184.055406 4.055200 0.0002064.481866 4.481689 0.000177 4.953174 4.953032 0.0001415.474030 5.473947 0.000082第17层2.585741 2.585710 0.000031 2.857725 2.857651 0.0000743.158343 3.158193 0.0001503.490577 3.490343 0.000234 3.857702 3.857426 0.0002764.263378 4.263115 0.0002644.711703 4.711470 0.0002335.207152 5.206980 0.000172 5.754702 5.754603 0.000099第18层2.718335 2.718282 0.0000533.004290 3.004166 0.000124 3.320343 3.320117 0.0002263.669602 3.669297 0.0003054.055527 4.055200 0.000327 4.482013 4.481689 0.0003244.953321 4.953032 0.0002885.474155 5.473947 0.0002086.049766 6.049647 0.000118第19层2.857735 2.857651 0.0000843.158380 3.158193 0.000187 3.490645 3.490343 0.0003023.857793 3.857426 0.0003684.263492 4.263115 0.000377 4.711853 4.711470 0.0003835.207320 5.206980 0.000340 5.754852 5.754603 0.0002496.359959 6.359820 0.000140第20层3.004290 3.004166 0.000124 3.320374 3.320117 0.000257 3.669668 3.669297 0.0003714.055622 4.055200 0.000422 4.482123 4.481689 0.000434 4.953469 4.953032 0.0004375.474336 5.473947 0.0003886.049943 6.049647 0.000296 6.686058 6.685894 0.000164上述数值结果是按照显格式分量形式用C编程所求得。