等差数列等比数列学案

等差数列与等比数列数学教案引言：数列是数学中一种重要的数学概念，是指按照一定规律排列的数的集合。

其中，等差数列和等比数列是数学中最常见的两种数列。

它们是数学中的基础概念，掌握它们的性质与运算方法对深入理解数学知识、提高解决问题的能力具有非常重要的意义。

本教案将通过丰富的案例和实际问题，帮助学生全面掌握等差数列和等比数列的相关知识。

一、等差数列1. 等差数列的定义与公式等差数列是指数列中任意两个相邻项之差都是一个常数的数列。

设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n项可表示为an=a1+(n-1)d。

其中，a1为首项，d为公差，n为项数。

案例：一个等差数列的首项为3，公差为4，求该等差数列的第10项。

2. 等差数列的通项公式推导与应用等差数列的通项公式是指可以通过首项、公差和项数，直接求得等差数列的第n项。

通项公式为an=a1+(n-1)d。

案例：已知一个等差数列的第5项为21，公差为7，求该等差数列的前10项和。

3. 等差数列的性质与运算等差数列具有以下性质和运算方法：（1）等差数列的任意两项的和等于这两项所夹项的两倍。

（2）等差数列的前n项和可以通过n(n+1)/2求得。

案例：某等差数列的前5项和为30，公差为2，求该等差数列的首项和第7项。

二、等比数列1. 等比数列的定义与公式等比数列是指数列中任意两个相邻项之比都是一个常数的数列。

设等比数列的首项为a1，公比为q，则第n项可表示为an=a1 * q^(n-1)。

其中，a1为首项，q为公比，n为项数。

案例：一个等比数列的首项为2，公比为3，求该等比数列的第5项。

2. 等比数列的通项公式推导与应用等比数列的通项公式是指可以通过首项、公比和项数，直接求得等比数列的第n项。

通项公式为an=a1 * q^(n-1)。

案例：已知一个等比数列的第3项为16，公比为2，求该等比数列的前6项和。

3. 等比数列的性质与运算等比数列具有以下性质和运算方法：（1）等比数列的任意两项的比等于这两项所夹项的指数幂。

等差数列与等比数列性质的综合应用一、学习目标：等差数列与等比数列性质的综合应用 二、自主学习： 【课前检测】1.x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( D )条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要 2．等比数列}{n a 中，233,9a a ==，若243=k a ，则k 等于（ C ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）42直面考点：1）等比数列的定义；2）等比数列的通项公式。

略解：6k 22433q a a 3a a q 51-k 2-k 2k 23=⇒====⇒==3．若数列{}n a （N n ∈*）是等差数列，则有数列12nn a a a b n+++=（N n ∈*）也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列n {c }是等比数列，且n c >0（N n ∈*），则有n d=N n ∈*）也是等比数列．4．设n S 和n T 分别为两个等差数列的前n 项和，若对任意*n N ∈，都有71427n n S n T n +=+ ，则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是43． 说明：2121n n n n a S b T --=． 【考点梳理】1.基本量的思想：常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。

转化为“基本量”是解决问题的基本方法。

解读：“知三求二”。

2.等差数列与等比数列的联系1）若数列{}n a 是等差数列，则数列}{n aa 是等比数列，公比为da ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。

（a>0且a ≠1）；2）若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。

3）若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。

三、合作探究：例1 （2010陕西文16）已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n}的通项;（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和S n.解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得121d+＝1812dd++，解得d＝1，d＝0（舍去），故{a n}的通项a n＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m a=2n，由等比数列前n项和公式得S m =2+22+23+ (2)=2(12)12n --=2n+1-2.变式训练1 （2010北京文16）已知{a n }为等差数列，且36a =-，60a =。

教学过程一、复习预习师：这节课我们要运用等差、等比数列的概念、性质及有关公式，解决一些等差、数比数列的综合问题．（请学生叙述公式的内容并写在黑板上）生甲：等差、等比数列的通项公式分别是an=a1+（n-1）d，an=a1qn-1．生丙：等比数列的前n项和公式要分成q=1和q≠1两种情况来表示，即生丁：如果m，n，p，q都是自然数，当m+n=p+q时，那么在等差数列中有：am+an=ap+aq，在等比数列中有：am·an=ap·aq．师；在上述公式中，涉及到a1，n，d（q），an，Sn五个量，运用方程思想，已知其中三个量，就可以求另外两个量．二、知识讲解考点1：等差数列{an}的性质（1）am=ak+（m －k ）d ，d=k m a a km --.（2）若数列{an}是公差为d 的等差数列，则数列{λan+b}（λ、b 为常数）是公差为λd的等差数列；若{bn}也是公差为d 的等差数列，则{λ1an+λ2bn}（λ1、λ2为常数）也是等差数列且公差为λ1d+λ2d.（3）下标成等差数列且公差为m 的项ak ，ak+m ，ak+2m ，…组成的数列仍为等差数列，公差为md.（4）若m 、n 、l 、k ∈N*，且m+n=k+l ，则am+an=ak+al ，反之不成立. （5）设A=a1+a2+a3+…+an ，B=an+1+an+2+an+3+…+a2n ，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n ，则A 、B 、C 成等差数列.（6）若数列{an}的项数为2n （n ∈N*），则S 偶－S 奇=nd ，奇偶S S =n n aa 1+，S2n=n （an+an+1）（an 、an+1为中间两项）；若数列{an}的项数为2n －1（n ∈N*），则S 奇－S 偶=an ，奇偶S S =n n 1-，S2n －1=（2n－1）an （an 为中间项）.考点2：等比数列{an}的性质（1）am=ak·qm－k.（2）若数列{an}是等比数列，则数列{λ1an}（λ1为常数）是公比为q的等比数列；若{bn}也是公比为q2的等比数列，则{λ1an·λ2bn}（λ1、λ2为常数）也是等比数列，公比为q·q2.（3）下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，…组成的数列仍为等比数列，公比为qm.（4）若m、n、l、k∈N*，且m+n=k+l，则am·an=ak·al，反之不成立.（5）设A=a1+a2+a3+…+an，B=an+1+an+2+an+3+…+a2n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n，则A、B、C成等比数列，设M=a1·a2·…·an，N=an+1·an+2·…·a2n，P=a2n+1·a2n+2·…·a3n，则M、N、P也成等比数列.考点3：用函数的观点理解等差数列、等比数列1.对于等差数列，∵an=a1+（n－1）d=dn+（a1－d），当d≠0时，an是n的一次函数，对应的点（n，an）是位于直线上的若干个点.当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d=0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数.若等差数列的前n项和为Sn，则Sn=pn2+qn（p、q∈R）.当p=0时，{an}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.2.对于等比数列：an=a1qn－1.可用指数函数的性质来理解.当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an}是递减数列.当q=1时，是一个常数列.当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列.三、例题精析【例题1】.等比数列{an}的公比为q，则“q＞1”是“对于任意自然数n，都有an+1＞an”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】D【解析】当a1＜0时，条件与结论均不能由一方推出另一方.【例题2】已知数列{a n}满足a n+2=－a n（n∈N*），且a1=1，a2=2，则该数列前2002项的和为A.0B.－3C.3D.1【答案】C【解析】由题意，我们发现：a1=1，a2=2，a3=－a1=－1，a4=－a2=－2，a5=－a3=1，a6=－a4=2，…，a2001=－a1999=1，a2002=－a2000=2，a1+a2+a3+a4=0.∴a1+a2+a3+…+a2002=a2001+a2002=a1+a2=1+2=3.四、课堂运用【基础】1.若关于x 的方程x 2－x +a =0和x 2－x +b =0（a ≠b ）的四个根可组成首项为41的等差数列，则a +b 的值是 A.83B.2411C.2413D.7231【答案】D【解析】依题意设四根分别为a 1、a 2、a 3、a 4，公差为d ，其中a 1=41，即a 1+a 2+a 3+a 4=1+1=2.又a 1+a 4=a 2+a 3，所以a 1+a 4=a 2+a 3=1.由此求得a 4=43，d =61，于是a 2=125，a 3=127.故a +b =a 1a 4+a 2a 3=41×43+125×127=14462=7231.2.在等差数列{a n}中，当a r=a s（r≠s）时，数列{a n}必定是常数列，然而在等比数列{a n}中，对某些正整数r、s（r≠s），当a r=a s时，非常数列{a n}的一个例子是___________________.【答案】a，－a，a，－a…（a≠0）【解析】只需选取首项不为0，公比为－1的等比数列即可.【巩固】1.等差数列{a n}中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于___________________.【答案】4【解析】设a1，a3，a11成等比，公比为q，a3=a1·q=2q，a11=a1·q2=2q2.又{a n}是等差数列，∴a11=a1+5（a3－a1），∴q=4.2、已知{a n}是等比数列，a1=2，a3=18；{b n}是等差数列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20.（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n的公式；（3）设P n=b1+b4+b7+…+b3n－2，Q n=b10+b12+b14+…+b2n+8，其中n=1，2，…，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论.【答案】见解析【解析】（1）设{a n }的公比为q ，由a 3=a 1q 2得q 2=13a a =9，q =±3. 当q =－3时，a 1+a 2+a 3=2－6+18=14＜20， 这与a 1+a 2+a 3＞20矛盾，故舍去.当q =3时，a 1+a 2+a 3=2+6+18=26＞20，故符合题意. 设数列{b n }的公差为d ，由b 1+b 2+b 3+b 4=26得4b 1+234⨯d =26. 又b 1=2，解得d =3，所以b n =3n －1. （2）S n =2)(1n b b n +=23n 2+21n .（3）b 1，b 4，b 7，…，b 3n －2组成以3d 为公差的等差数列， 所以P n =nb 1+2)1(-n n ·3d =29n 2－25n ； b 10，b 12，b 14，…，b 2n +8组成以2d 为公差的等差数列，b 10=29，所以Q n =nb 10+2)1(-n n ·2d =3n 2+26n . P n －Q n =（29n 2－25n ）－（3n 2+26n ）=23n （n －19）.所以，对于正整数n ，当n ≥20时，P n ＞Q n ； 当n =19时，P n =Q n ； 当n ≤18时，P n ＜Q n .【拔高】1、已知等差数列{a n }的首项a 1=1，公差d ＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b n }的第二项、第三项、第四项.（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）设数列{cn}对任意正整数n 均有11b c +22mb c +323b mc +…+nn nb mc 1 =（n+1）an+1成立，其中m 为不等于零的常数，求数列{cn}的前n 项和Sn.【答案】（1）a n =2n －1（n =1，2，3，…），b n =3n －1（n =1，2，3，…）.（2）S n =⎪⎩⎪⎨⎧--+-+-+++222)31(])3()3[(431)3)(14(96132m m m m m n m n n n n .31,31≠=m m【解析】（1）由题意得（a 1+d ）（a 1+13d ）=（a 1+4d ）2，整理得2a 1d =d 2.∵a 1=1，解得d =2（d =0不合题意舍去）， ∴a n =2n －1（n =1，2，3，…）.由b 2=a 2=3，b 3=a 5=9，易求得b n =3n －1（n =1，2，3，…）. （2）当n =1时，c 1=6； 当n ≥2时，nn n b mc 1-=（n +1）a n +1－na n =4n +1，∴c n =（4n +1）m n －1b n =（4n +1）（3m ）n －1.∴c n =⎩⎨⎧+-1)3)(14(6n m n .,4,3,2,1⋅⋅⋅==n n 当3m =1，即m =31时， S n =6+9+13+…+（4n +1）=6+2)149)(1(++-n n=6+（n －1）（2n +5）=2n 2+3n +1. 当3m ≠1，即m ≠31时， S n =c 1+c 2+…+c n ，即S n =6+9·（3m ）+13·（3m ）2+…+（4n －3）（3m ）n －2+（4n +1）（3m ）n －1.①3mS n =6·3m +9·（3m ）2+13·（3m ）3+…+（4n －3）（3m ）n －1+（4n +1）（3m ）n .② ①－②得（1－3m ）S n =6+3·3m +4·（3m ）2+4·（3m ）3+…+4·（3m ）n －1－（4n +1）（3m ）n =6+9m +4［（3m ）2+（3m ）3+…+（3m ）n －1］－（4n +1）（3m ）n=6+9m +m m m n 31])3()3[(42--－（4n +1）（3m ）n .∴S n =m m n m n 31)3)(14(96-+-++22)31(])3()3[(4m m m n --.∴S n =⎪⎩⎪⎨⎧--+-+-+++222)31(])3()3[(431)3)(14(96132m m m m m n m n n n n .31,31≠=m mcb d a cba c bc a c b a cad a a cd cd d c c d cdd c cd d c >∴>>>>∴>>>>>∴>>>∴>-=-∴>>->∴>>,0d 21)2(,0,01,0)1(,0,0,011,011,01,0,0,0）得）（由（又又课程小结等差数列和等比数列的综合问题，涉及的知识面很宽，题目的变化也很多，但是万变不离其宗，只要抓住基本量a1，d（q），充分运用方程、函数、转化等数学思想方法，合理调用相关知识，这样，任何问题都不能把我们难倒．课后作业【基础】1.在等比数列{a n }中，a 5+a 6=a （a ≠0），a 15+a 16=b ，则a 25+a 26的值是A.abB.22abC.ab 2 D.2ab【答案】C【解析】 由等比数列的性质得三个和成等比数列，由等比中项公式可得选项为C. 【巩固】2.若数列x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则21221)(b b a a ⋅+的取值范围是___________________.【答案】［4，+∞）或（－∞，0］【解析】在等差数列中，a 1+a 2=x +y ；在等比数列中，xy =b 1·b 2.∴21221)(b b a a ⋅+=y x y x ⋅+2)(=y x y xy x ⋅++222=y x +x y +2.当x ·y ＞0时，y x +x y≥2，故21221)(b b a a ⋅+≥4；当x ·y ＜0时，y x +x y≤－2，故21221)(b b a a ⋅+≤0.答案：［4，+∞）或（－∞，0］【拔高】3．已知数列{a n }中，a 1=65且对任意非零自然数n 都有a n +1=31a n +（21）n +1.数列{b n }对任意非零自然数n 都有b n =a n +1－21a n .（1）求证:数列{b n }是等比数列； （2）求数列{a n }的通项公式.【答案】见解析【解析】（1）证明：b n =a n +1－21a n =［31a n +（21）n +1］－21a n =（21）n +1－61a n ，b n +1=（21）n +2－61a n +1=（21）n +2－61［31a n +（21）n +1］=21·（21）n +1－181a n －61·（21）n +1=31·（21）n +1－181a n =31·［（21）n +1－61a n ］， ∴n n b b 1+=31（n =1，2，3，…）. ∴{b n }是公比为31的等比数列. （2）解：∵b 1=（21）2－61a 1=41－61·65=91，∴b n =91·（31）n －1=（31）n +1.由b n =（21）n +1－61a n ，得（31）n +1=（21）n +1－61a n ，解得a n =6［（21）n +1－（31）n +1］.5.设{a n }为等比数列，a 1=b 1=1，a 2+a 4=b 3，b 2b 4=a 3，分别求出{a n }及{b n }的前10项的和S 10及T 10.解：设公差为d ，公比为q ，由题意知⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,21,4242q d q d∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=22,83q d 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.22,83q d ∴S 10=10+2910⨯（－83）=－855. 当q =22时，T 10=32)22(31+；当q =－22时，T 10=32)22(31-.＝a ＋b ab －2ab2a ＋b＝ab a －b 2a ＋b＞0，∴C ＞D ，∴A ＞B ＞C ＞D .。

类型一、基本量的计算1.若数列{a n }为等差数列，公差为12，且S 100＝145，则a 2＋a 4＋…＋a 100的值为 2.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为3.等比数列}{n a 的公比为,q 前n 项和为,n S 若21,,++n n n S S S 成等差数列，则=q4.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________．5.已知数列{a n }对于任意p 、q ∈N *，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝类型二.等差等比的性质的应用例1 (1).已知三角形的三边构成公比为q 的等比数列，则q 的取值范围(2)已知三角形的三角A,B,C 构成等差数列，B=(3).直角三角形的三边a ，b ，c 成等差数列，求两锐角的正弦值(4)直角三角形的三边a ，b ，c 成等比数列，求两锐角的正弦值 例2.在等差数列中，S n 表示{a n }的前n 项和，(1)a 3＋a 17＝10，求S 19的值；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝124，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝156，S n ＝210，求项数n ；(3)S 4＝1，S 8＝4，求a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值．(4)S 10＝10，S 20＝30，求S 30＝(5) 两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B 且7453n n A n B n +=+求77b a例3.(1)在等比数列{}n a 中,如果817643=⋅⋅⋅a a a a ,那么91a a 的值为(2)在等比数列}{n a 中，已知前10项的和为5，前20项的和为15，求前30项的和？(3)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数： ①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln|x |.则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为(4)在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝______. (5).已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1，2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1=例4.已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)判断数列{c n }的增减性．例5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12. (1)求证：{1S n}是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．《课后作业》 班级 姓名1.等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }中的公差为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．42.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝ ( )A ．8B ．7C ．6D ．53.设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1＝ ( )A ．18B ．20C ．22D ．244．(2012·辽宁高考)在等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝16，则a 2＋a 10＝ ( )A ．12B ．16C ．20D ．245.已知数列的前n 项和为S n ＝a n －2(a 是不为0的实数)，那么数列{a n }( )A ．是等比数列B ．当a ≠1时是等比数列C ．从第二项起成等比数列D ．从第二项起成等比数列或成等差数列6.设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．．的是 ( ) A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列7.已知函数f (x )＝cos x ，x ∈(0，2π)有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为 ( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－328.．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝9.在等差数列{a n }中，已知a 1＝10，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求n = 时，S n 有最大值10．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________．11.已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝______，S n ＝__ _． 12.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，求数列{a n }的项数=13.已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N ＋，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是______________．14.已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．15. 已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72.若b n ＝12a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值．16.设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围．17.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求通项a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝S n n ＋c，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．18.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足23a =，1a ，3a ，7a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12()n n n a c nλ+=-，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．附件2：律师事务所反盗版维权声明。

等差数列与等比数列的性质教案一、引言数列是数学中的重要概念，它可以用来描述一系列按照一定规律排列的数。

等差数列和等比数列是最常见的两种数列，它们有着很多有趣的性质和特点。

本教案旨在通过介绍等差数列和等比数列的定义、通项公式以及相关性质，帮助学生深入理解这两种数列的规律和应用。

二、等差数列1. 定义等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

设数列的首项为$a_1$，公差为$d$，则其通项公式为$ a_n = a_1 + (n-1)d$。

其中，$n$表示第$n$项。

2. 性质（1）首项与公差确定一个等差数列；（2）通项公式$ a_n = a_1 + (n-1)d$可以推导出公式$ a_n = a_{n-1}+ d$；（3）等差数列的前$n$项和可以通过求和公式$S_n =\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$来计算。

三、等比数列1. 定义等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。

设数列的首项为$a_1$，公比为$r$，则其通项公式为$ a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$。

其中，$n$表示第$n$项。

2. 性质（1）首项与公比确定一个等比数列；（2）通项公式$ a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$可以推导出公式$a_n =\frac{a_{n-1}}{r}$；（3）等比数列的前$n$项和可以通过求和公式$S_n = \frac{a_1 \cdot (1-r^n)}{1-r}$来计算。

四、等差数列与等比数列的比较1. 基本特点等差数列的相邻两项之差相等，而等比数列的相邻两项之比相等；等差数列的通项公式中有一个常数项$d$，而等比数列的通项公式中有一个常数项$r$；等差数列中的公差$d$可以为任意实数，而等比数列中的公比$r$必须为非零实数。

2. 差异点等差数列的相邻两项之差为定值，而等比数列的相邻两项之比为定值；等差数列的项之间的差值随着项的增加保持不变，而等比数列的项之间的倍数随着项的增加保持不变；等差数列的通项公式中涉及到项的位置$n$，而等比数列的通项公式中涉及到项的幂数$n-1$。

一、等差数列与等比数列的概念解析1. 等差数列的概念：一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都是一个常数，这个常数叫做这个数列的公差，这样的数列叫做等差数列。

2. 等比数列的概念：一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都是一个常数，这个常数叫做这个数列的公比，这样的数列叫做等比数列。

二、等差数列的性质与通项公式1. 等差数列的性质：（1）等差数列的相邻两项之差相等。

（2）等差数列的任意一项都可以用首项和公差表示。

（3）等差数列的前n项和公式为：$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项数。

2. 等差数列的通项公式：$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$a_n$是第n项。

三、等比数列的性质与通项公式1. 等比数列的性质：（1）等比数列的相邻两项之比相等。

（2）等比数列的任意一项都可以用首项和公比表示。

（3）等比数列的前n项和公式为：$S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$，其中$a_1$是首项，$q$是公比，$n$是项数。

2. 等比数列的通项公式：$a_n = a_1 q^{n-1}$，其中$a_1$是首项，$q$是公比，$a_n$是第n项。

四、等差数列与等比数列的判定1. 等差数列的判定：如果一个数列满足相邻两项之差相等，则这个数列是等差数列。

2. 等比数列的判定：如果一个数列满足相邻两项之比相等，则这个数列是等比数列。

五、等差数列与等比数列的求和1. 等差数列的求和：已知首项$a_1$，公差$d$，项数$n$，求前n 项和$S_n$。

根据公式$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$，直接代入求解。

2. 等比数列的求和：已知首项$a_1$，公比$q$，项数$n$，求前n 项和$S_n$。

根据公式$S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$，直接代入求解。

小学数学等差数列教案【优秀8篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如总结报告、合同协议、规章制度、条据文书、策划方案、心得体会、演讲致辞、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, our store provides various types of classic sample essays, such as summary reports, contract agreements, rules and regulations, doctrinal documents, planning plans, insights, speeches, teaching materials, complete essays, and other sample essays. If you want to learn about different sample formats and writing methods, please pay attention!小学数学等差数列教案【优秀8篇】作为一位无私奉献的人·民教师，常常要根据教学需要编写教案，教案是实施教学的主要依据，有着至关重要的作用。

专题8 等差数列与等比数列1.等差数列必记结论(1)若项数为偶数2n,则S 2n =n(a 1+a 2n )=n(a n +a n+1); S 偶-S 奇=nd;=.(2)若项数为奇数2n-1,则 S 2n-1=(2n-1)a n ; S 奇-S 偶=a n ; =.2.等比数列必记结论(1)a k ,a k+m ,a k+2m ,…仍是等比数列,公比为q m (k,m∈N *).考向一 等差数列基本量的计算【典例】 (2020·全国Ⅱ卷)记S n 为等差数列的前n 项和.若a 1=-2,a 2+a 6=2①,则=________.① 根据基本量列方程② 前n 项和公式求解考向二 等比数列基本量的计算【典例】(2020·全国Ⅰ卷)设{a n }是等比数列,且a 1+a 2+a 3=1,a 2+a 3+a 4=2,则a 6+a 7+a 8=( ) A.12 B.24 C.30 D.321.在公比为的等比数列中,若sin=,则cos的值是A.-B.C.D.2.数列{a n}中,a1=2,a2=1,则+=(n∈N*),则a10等于( )A.-5B.-C.5D.3.若数列{x n}满足lg x n+1=1+lg x n(n∈N+),且x1+x2+x3+…+x100=100,则lg(x101+x102+…+x200)的值为A.102B.101C.100D.994.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长减少或增加的量相同,周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸,夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则说法不正确的是 ( )A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B.春分和秋分两个节气的晷长相同(2)若数列{a n}的项数为2n,则=q;(3)若项数为2n+1,则=q.1.数列中的方程思想无论是等差数列中的a1,n,d,a n,S n,还是等比数列中的a1,n,q,a n,S n,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和d(q),问题可迎刃而解2.数列中的函数思想数列是一种特殊C.立冬的晷长为一丈五寸D.立春的晷长比立秋的晷长短5.数列满足:a n+1=λa n-1,若数列是等比数列,则λ的值是( )A.1B.2C.D.-16.等比数列{a n}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8),则f′(0)= A.26 B.29 C.212 D.2157.已知数阵中,每行的三个数依次成等比数列,每列的三个数也依次成等比数列,若a22=2,则该数阵中九个数的积为A.36B.256C.512D.1 0248.已知数列{a n}是等比数列,数列{b n}是等差数列,若a1·a6·a11=-3,b1+b6+b11=7π,则tan的值是A.1B.C.-D.-的函数,在研究数列问题时,既要注意函数方法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性.1.弄错首项致错如T10中,数列{b n}的首项为b1,不是.2.忽略数列与函数的区别致错如T13一定要注意自变量n是正整数.3.忽略题目中的隐含条件而致错如T11要注意b2的符号已经确定,且b2<0,忽视了这一隐含条件,就容易出现错误.9.已知每项均大于零的数列中,首项a1=1且前n项和S n满足S n-S n-1=2(n∈N*且n≥2),则a81=A.641B.640C.639D.63810.若数列满足:++…+=2n,则数列的前n项和S n为A.2n+1B.2n-4C.2n+2-2D.2n+2-411.已知数列-1,a1,a2,-4成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,则=______12.已知数列满足a1=2,-=2,若b n=,则数列的前n项和S n=________.13.已知数列满足a1=1,a n=l o c n(n≥2),当n≥2时,b n=n,且点是直线y=x+1上的点,则数列的通项公式为________;令y=a1·a2·a3·…·a k,则当k在区间[1,2019]内时,使y的值为正整数的所有k值之和为________.专题8 等差数列与等比数列///真题再研析·提升审题力///考向一【解析】设等差数列的公差为d.因为是等差数列,且a 1=-2,a2+a6=2,根据等差数列通项公式:a n=a1+d,可得a1+d+a1+5d=2,即-2+d++5d=2,整理可得:6d=6,解得:d=1.根据等差数列前n项和公式:S n=na1+d,n∈N*,可得:S10=10×+=-20+45=25,所以S10=25. 答案:25考向二D 设等比数列的公比为q,则a 1+a2+a3=a1=1,a 2+a3+a4=a1q+a1q2+a1q3=a1q=q=2,因此,a 6+a7+a8=a1q5+a1q6+a1q7=a1q5=q5=32.///高考演兵场·检验考试力///1.B 由等比数列的通项公式可知:a2a5=(a1a4)q2=2(a1a4),cos= 1-2sin2(a 1a4)=1-2×=.2.D 因为+=(n∈N*),所以是等差数列,又因为a1=2,a2=1,所以=,-=,所以是首项为,公差为的等差数列,所以=,a n=,所以a10=.3.A 由lg x n+1=1+lg x n,得=10,所以数列是公比为10的等比数列,又x101=x1·q100,x102=x2·q100,…,x200=x100·q100,所以x101+x102+…+x200=q100(x1+x2+…+x100)=10100·100=10102,所以lg=102.4.D 由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列{a n},其中a1=15寸,a13=135寸,公差为d寸,则135=15+12d,解得d=10(寸),同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列{b n},其中b1=135,b13=15,公差d=-10(单位都为寸).故选项A正确;因为春分的晷长为b7,所以b7=b1+6d=135-60=75,因为秋分的晷长为a7,所以a7=a1+6d=15+60=75,所以B正确;因为立冬的晷长为a10,所以a10=a1+9d=15+90=105,即立冬的晷长为一丈五寸,C正确;因为立春的晷长,立秋的晷长分别为b4,a4,所以a4=a1+3d=15+30=45,b4=b1+3d=135-30=105,所以b4>a4,故D错误.故选D.5.B 数列为等比数列⇒==q,即:λa n-2=qa n-q,由上式恒成立,可知:⇒λ=2.6.Cf′(x)=[x(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]′=x′[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]+x[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]′=[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]+x[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]′,所以f′(0)=a1a2 (8)又a1a8=a2a7=a3a6=a4a5,所以f′(0)=(a1a8)4=84=212,故选C.7.C 依题意可得a 11a13=,a21a23=,a31a33=,a12a32=,因为a22=2,所以a11a12a13a21a22a23a31a32a33=(a 11a13)a12(a21a23)a22(a31a33)a32===29=512.8.D 在等差数列{b n}中,由b1+b6+b11=7π,得3b6=7π,b6=,所以b3+b9=2b6=,在等比数列{a n}中,由a1a6a11=-3,得=-3,a6=-,所以1-a 4a8=1-=1-(-)2=-2,则tan=tan=tan=tan=-.9.B 因为S n-S n-1=2,所以-=2,即{}为等差数列,首项为1,公差为2,所以=1+2(n-1)=2n-1所以S n=(2n-1)2,因此a81=S81-S80=1612-1592=640.10.D 对任意的n∈N*,++…+=2n.当n=1时,=2,可得b1=4;当n≥2时,由++…++=2n,可得++…+=2,两式相减得=2,所以b n=2n+1.又b 1=4符合b n=2n+1,所以b n=2n+1,所以==2,所以,数列为等比数列,且公比为2,首项b 1=4,因此,S n==2n+2-4.11.【解析】因为-1,a1,a2,-4成等差数列,设公差为d,则a 2-a1=d=[(-4)-(-1)]=-1,因为-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,所以=(-1)×(-4)=4,所以b2=±2.若设公比为q,则b2=(-1)q2,所以b2<0.所以b2=-2,所以==.答案:12.【解析】由题意知为公差是2的等差数列,所以=+(n-1)×2=2n,所以a n=2n2,所以b n=22n,所以S n==.答案:13.【解析】因为当n≥2时,b n=n,且点是直线y=x+1上的点,所以当n≥2时,有a n=log n(n+1)(n≥2),所以a n=所以y=1×log23×log34×…×log k(k+1)=1×××…×==log2(k+1),令log2(k+1)=m得k+1=2m,所以k=2m-1,所以当k在[1,2 019]内时,即1≤2m-1≤2 019,得1≤m≤10,m∈N*,所以使y的值为正整数的所有k值之和为++…+=-10=-10=2 036.答案:a n= 2 036关闭Word文档返回原板块。

新学案-------------------------------求通项公式的方法汇总1、{a n}等差数列，a n=________________①、已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=-10 ，求数列{a n}的通项公式；②、已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根，求{a n}的通项公式；③、已知等差数列{a n}满足a1+a2=10,a4-a3=2，求{a n}的通项公式；2、{a n}等比数列，a n=________________①设{a n}是公比为正数的等比数列，a1=2 ,a3=a2+4，。

求{a n}的通项公式②等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1,a3=9a2a6,求数列{a n}的通项公式；一般地，对于型如a n+1=a n+f(n)类的通项公式，且f(1)+f(2)+...+f(n)的和比较好求，我们可以采用此方法来求an。

1{a n}的首项a1＝3，a n－a n－1＝2(n>1)，求它的通项公式．【讲】、数列{a n}中，a1=1,a n－a n-1=2n－1(n=2,3,4…)，求数列{a n}的通项公式.讲解记录：【练】：在数列{a n}中，a1=1,a n+1－a n=2n(n∈N*)，求数列{a n}的通项公式.解答：当f(n)为常数，即：1a nna+= m（其中q是不为0的常数），此数列为等比且na=1am⋅1{a n}的首项a1＝3，1nnaa-＝2(n>1)，求它的通项公式【讲】：已知数列{a n}满足：a1＝3，1a nna+＝1nn+，求数列{a n}的通项公式.讲解记录：【练】：在数列{a n}中a1＝1，1nnaa-＝11nn-+(n≥2)，求数列的通项公式。

解题过程：若已知数列的前n 项和Sn 或Sn 与a n 的关系的表达式，求数列{a n }的通项a n 可用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n n n n求解。

第2课 等差、等比数列【考点导读】1． 掌握等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式，能运用公式解决一些简单的问题； 2． 理解等差、等比数列的性质，了解等差、等比数列与函数之间的关系； 3． 注意函数与方程思想方法的运用。

【基础练习】1．在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，首项a 1= -2 ，公差d = 3 。

2．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，则它的第1项是163，第2项是 8 。

3．．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为二个），经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成 512 个。

4．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=105。

5．公差不为0的等差数列{a n }中，a 2，a 3，a 6依次成等比数列，则公比等于 3 。

【范例导析】 例1．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 13 项。

（2）设数列{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 2 。

（3）设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若36S S ＝13，则612SS ＝ 。

解：（1）答案：13法1：设这个数列有n 项∵⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-='⋅+=-dn n n a S d nd a S S S d a S n n n 2)1(6332233113313∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=+3902)1(146)2(3334)(3111d n n n a n d a d a ∴n ＝13法2：设这个数列有n 项∵1231234,146n n n a a a a a a --++=++=∴121321()()()3()34146180n n n n a a a a a a a a --+++++=+=+= ∴160n a a += 又1()3902n n a a += ∴n ＝13 （2）答案：2 因为前三项和为12，∴a 1＋a 2＋a 3＝12，∴a 2＝33S ＝4 又a 1·a 2·a 3＝48， ∵a 2＝4，∴a 1·a 3＝12，a 1＋a 3＝8，把a 1，a 3作为方程的两根且a 1＜a 3， ∴x 2－8x ＋12＝0，x 1＝6，x 2＝2，∴a 1＝2，a 3＝6，∴选B. （3）答案为310。

第1讲 等差数列与等比数列[考情考向分析] 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力．热点一 等差数列、等比数列的运算1．通项公式：等差数列：a n ＝a 1＋(n －1)d ； 等比数列：a n ＝a 1·q n －1.2．求和公式：等差数列：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ；等比数列：S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)．3．性质：若m ＋n ＝p ＋q ，在等差数列中a m ＋a n ＝a p ＋a q ； 在等比数列中a m ·a n ＝a p ·a q .例1 (1)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于( ) A ．－12B ．－10C ．10D ．12解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3⎣⎡⎦⎤3a 1＋3×(3－1)2×d ＝2a 1＋2×(2－1)2×d ＋4a 1＋4×(4－1)2×d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3， 故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10. 故选B.(2)设各项均为正数的等比数列{a n }中，若S 4＝80，S 2＝8，则公比q ＝________，a 5＝________. 解析 由题意可得，S 4－S 2＝q 2S 2，代入得q 2＝9.∵等比数列{a n }的各项均为正数， ∴q ＝3，解得a 1＝2，故a 5＝162. 答案 3 162跟踪演练1 (1)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( ) A ．－2B ．－1C.12D.23解析 S 4－S 2＝a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即3a 2＋a 3－2a 4＝0，即3a 2＋a 2q －2a 2q 2＝0， 即2q 2－q －3＝0，解得q ＝－1(舍)或q ＝32，当q ＝32时，代入S 2＝3a 2＋2，得a 1＋a 1q ＝3a 1q ＋2，解得a 1＝－1. 答案 B(2)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. ①求{a n }的通项公式；②记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m .解 ①设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n－1或a n ＝2n －1(n ∈N *)．②若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1.由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6.综上，m ＝6.热点二 等差数列、等比数列的判定与证明 证明数列{a n }是等差数列或等比数列的证明方法 (1)证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法：①利用定义，证明a n ＋1－a n (n ∈N *)为一常数；②利用等差中项，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)． (2)证明数列{a n }是等比数列的两种基本方法：①利用定义，证明a n ＋1a n (n ∈N *)为一常数；②利用等比中项，即证明a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)． 例2 已知数列{a n }，{b n }，其中a 1＝3，b 1＝－1，且满足a n ＝12(3a n －1－b n －1)，b n ＝－12(a n －1－3b n －1)，n ∈N *，n ≥2.(1)求证：数列{a n －b n }为等比数列； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2na n a n ＋1的前n 项和T n .解析：(1)证明 a n －b n ＝12(3a n －1－b n －1)－⎝⎛⎭⎫－12(a n －1－3b n －1)＝2(a n －1－b n －1)， 又a 1－b 1＝3－(－1)＝4，所以{a n －b n }是首项为4，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知，a n －b n ＝2n ＋1，①又a n ＋b n ＝12(3a n －1－b n －1)＋⎝⎛⎭⎫－12(a n －1－3b n －1)＝a n －1＋b n －1，又a 1＋b 1＝3＋(－1)＝2， 所以{a n ＋b n }为常数数列，a n ＋b n ＝2，②联立①②得，a n ＝2n＋1，2n a n a n ＋1＝2n (2n ＋1)(2n ＋1＋1)＝12n ＋1－12n ＋1＋1， 所以T n ＝⎝⎛⎭⎫121＋1－122＋1＋⎝⎛⎭⎫122＋1－123＋1＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋1＋1＝121＋1－12n ＋1＋1＝13－12n ＋1＋1(n ∈N *)．跟踪演练2 已知{a n }是各项都为正数的数列，其前n 项和为S n ，且S n 为a n 与1a n 的等差中项．(1)求证：数列{S 2n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)设b n ＝(－1)n a n，求{b n }的前n 项和T n .解析：(1)证明 由题意知2S n ＝a n ＋1a n，即2S n a n －a 2n ＝1，(*) 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1，代入(*)式得2S n (S n －S n －1)－(S n －S n －1)2＝1，整理得S 2n －S 2n －1＝1(n ≥2)．又当n ＝1时，由(*)式可得a 1＝S 1＝1，∴数列{S 2n }是首项为1，公差为1的等差数列． (2)解 由(1)可得S 2n ＝1＋n －1＝n ，∵数列{a n }的各项都为正数，∴S n ＝n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n －n －1，又a 1＝S 1＝1满足上式，∴a n ＝n －n －1(n ∈N *)．(3)解 由(2)得b n ＝(－1)n a n ＝(－1)nn －n －1＝(－1)n (n ＋n －1)，当n 为奇数时，T n ＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…＋(n －1＋n －2)－(n ＋n －1)＝－n ， 当n 为偶数时，T n ＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…－(n －1＋n －2)＋(n ＋n －1)＝n ， ∴数列{b n }的前n 项和T n ＝(－1)n n (n ∈N *)．热点三 等差数列、等比数列的综合问题解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解． 例3 已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与其前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使得对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围． 解 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6，得a 7＝－2，∴a 1＝4，∴a n ＝5－n ，从而S n ＝n (9－n )2(n ∈N *)．(2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1，设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12，∴T m ＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12m 1－12＝8⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12m ，∵⎝⎛⎭⎫12m随m 的增加而减少，∴{T m }为递增数列，得4≤T m <8. 又S n ＝n (9－n )2＝－12(n 2－9n )＝－12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫n －922－814，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10， 若存在m ∈N *，使得对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ，则10<8＋λ，得λ>2.即实数λ的取值范围为(2，＋∞)．跟踪演练3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n －1＝3(a n －1)，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a n ＋1＝32n na b ⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭，若b n ≤t 对于任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围．解 (1)由已知得S n ＝3a n －2，令n ＝1，得a 1＝1，又a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝3a n ＋1－3a n ，得a n ＋1＝32a n ，所以数列{a n }是以1为首项，32为公比的等比数列，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫32n －1(n ∈N *)． (2)由a n ＋1＝32n na b ⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭，得b n ＝1a n 312log n a ＋＝⎝⎛⎭⎫23n －1323log 2n⎛⎫ ⎪⎝⎭＝n ·⎝⎛⎭⎫23n －1， 所以b n ＋1－b n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫23n －n ·⎝⎛⎭⎫23n －1＝2n －13n (2－n )， 所以(b n )max ＝b 2＝b 3＝43，所以t ≥43.即t 的取值范围为⎣⎡⎭⎫43，＋∞.真题体验1．(2017·全国Ⅰ改编)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为________．解析 设{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4. 答案 42．(2017·浙江改编)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的________条件． 解析 方法一 ∵数列{a n }是公差为d 的等差数列，∴S 4＝4a 1＋6d ，S 5＝5a 1＋10d ，S 6＝6a 1＋15d ， ∴S 4＋S 6＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d .若d >0，则21d >20d,10a 1＋21d >10a 1＋20d ，即S 4＋S 6>2S 5. 若S 4＋S 6>2S 5，则10a 1＋21d >10a 1＋20d ，即21d >20d ，∴d >0.∴“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充要条件． 方法二 ∵S 4＋S 6>2S 5⇔S 4＋S 4＋a 5＋a 6>2(S 4＋a 5)⇔a 6>a 5⇔a 5＋d >a 5⇔d >0. ∴“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充要条件．答案 充要3．(2017·北京)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.解析 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则由a 4＝a 1＋3d ， 得d ＝a 4－a 13＝8－(－1)3＝3，由b 4＝b 1q 3，得q 3＝b 4b 1＝8－1＝－8，∴q ＝－2.∴a 2b 2＝a 1＋db 1q ＝－1＋3－1×(－2)＝1. 答案 14．(2017·江苏)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析 设{a n}的首项为a 1，公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q＝74，a 1(1－q 6)1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，所以a 8＝14×27＝25＝32. 答案 32押题预测1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．12 D ．13解析 ∵a 1>0，a 6a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0， ∴S 12>0，S 13<0，∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12. 答案 C2．在等比数列{a n }中，a 3－3a 2＝2，且5a 4为12a 3和2a 5的等差中项，则{a n }的公比等于( ) A ．3B ．2或3C ．2D ．6解析 设公比为q,5a 4为12a 3和2a 5的等差中项，可得10a 4＝12a 3＋2a 5，10a 3q ＝12a 3＋2a 3q 2，得10q ＝12＋2q 2，解得q ＝2或3.又a 3－3a 2＝2，所以a 2q －3a 2＝2，即a 2(q －3)＝2，所以q ＝2. 答案 C3．已知各项都为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，存在两项a m ，a n 使得 a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( ) A.32B.53C.256D.43解析 由a 7＝a 6＋2a 5，得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，整理得q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(不合题意，舍去)，又由a m ·a n ＝4a 1，得a m a n ＝16a 21，即a 212m ＋n －2＝16a 21，即有m ＋n －2＝4，亦即m ＋n ＝6，那么1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝16⎝⎛⎭⎫4m n ＋n m ＋5≥16⎝⎛⎭⎫2 4m n ·n m ＋5＝32， 当且仅当4m n ＝nm ，即n ＝2m ＝4时取等号．答案 A4．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数： ①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x |； ④f (x )＝ln|x |. 则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( ) A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④解析 由等比数列的性质得，a n a n ＋2＝a 2n ＋1.①f (a n )f (a n ＋2)＝a 2n a 2n ＋2＝(a 2n ＋1)2＝[f (a n ＋1)]2；②f (a n )f (a n ＋2)＝222n n aa ＋＝22n n a a ＋＋≠122n a ＋＝[f (a n ＋1)]2；③f (a n )f (a n ＋2)＝|a n a n ＋2|＝|a n ＋1|2＝[f (a n ＋1)]2；④f (a n )f (a n ＋2)＝ln|a n |ln|a n ＋2|≠(ln|a n ＋1|)2＝[f (a n ＋1)]2. 答案 CA 组 专题通关1．(2018·大庆质检)已知等差数列{a n }中，a 4＝9，S 4＝24，则a 7等于( ) A ．3B ．7C ．13D ．15解析 由于数列为等差数列，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝9，4a 1＋6d ＝24，解得d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝9＋6＝15. 答案 D2．已知等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠－1，且a 5＋a 4＝3()a 3＋a 2，则9a 1a 2a 3…a 9等于( )A ．－9B ．9C ．－81D ．81解析 根据题意可知a 5＋a 4a 3＋a 2＝q 2＝3，而9a 1a 2a 3…a 9＝9a 95＝a 5＝a 1·q 4＝1×32＝9. 答案 B3．等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前6项和为( ) A ．－24 B ．－3 C ．3 D ．8解析 由已知条件可得a 1＝1，d ≠0，由a 23＝a 2a 6，可得(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，解得d ＝－2或d ＝0(舍)．所以S 6＝6×1＋6×5×(－2)2＝－24. 答案 A4．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是( ) A ．13B ．12C ．11D ．10解析 设等比数列为{a n }，其前n 项积为T n ，由已知得a 1a 2a 3＝2，a n a n －1a n －2＝4，可得(a 1a n )3＝2×4，a 1a n＝2，∵T n ＝a 1a 2…a n ，∴T 2n ＝(a 1a 2…a n )2＝(a 1a n )(a 2a n －1)…(a n a 1)＝(a 1a n )n ＝2n ＝642＝212，∴n ＝12. 答案 B5．已知数列{a n }满足15n a +＝25·5a n ，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则13log (a 5＋a 7＋a 9)等于( )A ．－3B ．3C ．－13 D.13解析 ∵15n a ＋＝25·5n a＝25na ＋，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴数列{a n }是等差数列，且公差为2.∵a 2＋a 4＋a 6＝9，∴3a 4＝9，a 4＝3.∴15793log ()a a a ＋＋＝173log 3a ＝143log 3(6)a ＋＝13log 27＝－3. 答案 A6．(2018·吉林调研)已知等差数列{a n }的公差不为0，a 1＝1，且a 2，a 4，a 8成等比数列，设{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝________.解析 设等差数列{a n }的公差为d .∵a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 2·a 8，即(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )·(a 1＋7d )，∴(1＋3d )2＝(1＋d )·(1＋7d )，解得d ＝1或d ＝0(舍)．∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (n ＋1)2(n ∈N *)．答案n (n ＋1)2(n ∈N *)7．(2018·资阳模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝8，且S n ≤S 7，则公差d 的取值范围是________． 解析 ∵a 2＝8＝a 1＋d ，∴a 1＝8－d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝(8－d )n ＋n (n －1)2d ＝12dn 2＋⎝⎛⎭⎫8－32d n ，对称轴为n ＝32－8d，∵S n ≤S 7，∴S 7为S n 的最大值，由二次函数的性质可得，⎩⎪⎨⎪⎧132≤32－8d ≤152，d <0，得－85≤d ≤－43，即d 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－85，－43.答案 ⎣⎡⎦⎤－85，－438．已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n (n ∈N *)均为等差数列，且a 1＝2，则a 1＋⎝⎛⎭⎫a 222＋⎝⎛⎭⎫a 333＋…＋⎝⎛⎭⎫a n n n ＝________. 解析 设a n ＝2＋(n －1)d ，所以a 2n n ＝[2＋(n －1)d ]2n ＝d 2n 2＋(4d －2d 2)n ＋(d －2)2n，由于⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 为等差数列，所以其通项是一个关于n 的一次函数，所以(d －2)2＝0，∴d ＝2.所以a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，∴a n n ＝2n n ＝2.所以a 1＋⎝⎛⎭⎫a 222＋⎝⎛⎭⎫a 333＋…＋⎝⎛⎭⎫a n n n ＝21＋22＋…＋2n ＝2(1－2n)1－2＝2n＋1－2. 答案 2n ＋1－29．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，即F (1)＝F (2)＝1，F (n )＝F (n －1)＋F (n －2)(n ≥3，n ∈N *)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{}b n ，则b 2 017＝________.解析 由题意得引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…， 此数列被3 整除后的余数构成一个新数列为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，…， 构成以8项为周期的周期数列，所以b 2 017＝b 1＝1. 答案 110．(2018·天津)设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是等差数列．已知a 1＝1，a 3＝a 2＋2，a 4＝b 3＋b 5，a 5＝b 4＋2b 6. (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N *)， ①求T n ；②证明：∑k ＝1n(T k ＋b k ＋2)b k (k ＋1)(k ＋2)＝2n ＋2n ＋2－2(n ∈N *)．解析：(1)解 设等比数列{a n }的公比为q .由a 1＝1，a 3＝a 2＋2，可得q 2－q －2＝0.由q >0，可得q ＝2，故a n ＝2n －1.设等差数列{b n }的公差为d .由a 4＝b 3＋b 5，可得b 1＋3d ＝4.由a 5＝b 4＋2b 6，可得3b 1＋13d ＝16，从而b 1＝1，d ＝1，故b n ＝n .所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)，数列{b n }的通项公式为b n ＝n (n ∈N *)．(2)①解 由(1)得S n ＝1－2n 1－2＝2n －1，故T n ＝∑k ＝1n (2k －1)＝∑k ＝1n 2k－n ＝2×(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2(n ∈N *)．②证明 因为(T k ＋b k ＋2)b k (k ＋1)(k ＋2)＝(2k ＋1－k －2＋k ＋2)k (k ＋1)(k ＋2)＝k ·2k ＋1(k ＋1)(k ＋2)＝2k ＋2k ＋2－2k ＋1k ＋1，所以∑k ＝1n(T k ＋b k ＋2)b k (k ＋1)(k ＋2)＝⎝⎛⎭⎫233－222＋⎝⎛⎭⎫244－233＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋2n ＋2－2n ＋1n ＋1＝2n ＋2n ＋2－2(n ∈N *)．B 组 能力提高11．数列{a n }是以a 为首项，b 为公比的等比数列，数列{b n }满足b n ＝1＋a 1＋a 2＋…＋a n (n ＝1,2，…)，数列{}c n 满足c n ＝2＋b 1＋b 2＋…＋b n (n ＝1,2，…)，若{}c n 为等比数列，则a ＋b 等于( ) A. 2 B ．3 C. 5 D ．6解析 由题意知，当b ＝1时，{c n }不是等比数列，所以b ≠1.由a n ＝ab n －1，得b n ＝1＋a (1－b n )1－b ＝1＋a 1－b －ab n 1－b ，则c n ＝2＋⎝⎛⎭⎫1＋a 1－b n －a 1－b ·b (1－b n)1－b ＝2－ab (1－b )2＋1－b ＋a 1－bn ＋ab n ＋1(1－b )2，要使{}c n 为等比数列，必有⎩⎪⎨⎪⎧2－ab (1－b )2＝0，1－b ＋a1－b＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，a ＋b ＝3. 答案 B12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝15，且满足()2n －5a n ＋1＝()2n －3a n ＋4n 2－16n ＋15，已知n ，m ∈N *，n >m ，则S n －S m 的最小值为( )A ．－494B ．－498C ．－14D ．－28解析 根据题意可知(2n －5)a n ＋1＝(2n －3)a n ＋(2n －5)(2n －3)，式子的每一项都除以(2n －5)(2n －3)，可得a n ＋12n －3＝a n 2n －5＋1，即a n ＋12(n ＋1)－5－a n 2n －5＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －5是以152－5＝－5为首项，以1为公差的等差数列，所以a n2n －5＝－5＋(n －1)·1＝n －6，即a n ＝(n －6)(2n －5)，由此可以判断出a 3，a 4，a 5这三项是负数，从而得到当n ＝5，m ＝2时，S n －S m 取得最小值， 且S n －S m ＝S 5－S 2＝a 3＋a 4＋a 5＝－3－6－5＝－14. 答案 C13．已知数列{a n }满足na n ＋2－(n ＋2)a n ＝λ(n 2＋2n )，其中a 1＝1，a 2＝2，若a n <a n ＋1对∀n ∈N *恒成立，则实数λ的取值范围为________．解析 由na n ＋2－(n ＋2)a n ＝λ(n 2＋2n )，得a n ＋2n ＋2－a n n ＝λ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 的奇数项和偶数项分别构成首项均为1，且公差均为λ的等差数列．因为a 1＝1，a 2＝2，所以当n 为奇数时，a n n ＝1＋λ⎝⎛⎭⎫n ＋12－1＝n －12λ＋1，所以a n ＝n 2－n 2λ＋n ； 当n 为偶数时，a n n ＝1＋λ⎝⎛⎭⎫n 2－1＝n －22λ＋1，所以a n ＝n 2－2n 2λ＋n . 当n 为奇数时，由a n <a n ＋1，得n 2－n 2λ＋n <(n ＋1)2－2(n ＋1)2λ＋n ＋1，即λ(n －1)>－2，若n ＝1，则λ∈R ；若n >1，则λ>－2n －1，所以λ≥0.当n 为偶数时，由a n <a n ＋1，得n 2－2n 2λ＋n <(n ＋1)2－(n ＋1)2λ＋n ＋1，即3nλ>－2，所以λ>－23n ，即λ≥0.综上，λ的取值范围为[0，＋∞)．答案 [0，＋∞)14．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a ＝(a 1,1)，b ＝(1，a 10)，若a·b ＝24，且S 11＝143，数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足12n a -＝λT n －(a 1－1)(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式及数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和M n ；(2)是否存在非零实数λ，使得数列{b n }为等比数列？并说明理由． 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由a ＝(a 1,1)，b ＝(1，a 10)，a·b ＝24，得a 1＋a 10＝24，又S 11＝143，解得a 1＝3，d ＝2，因此数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1(n ∈N *)， 所以1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3，所以M n ＝12⎝⎛⎭⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝n6n ＋9(n ∈N *)．(2)因为12n a -＝λT n －(a 1－1)(n ∈N *)，且a 1＝3，所以T n ＝4n λ＋2λ，当n ＝1时，b 1＝6λ；当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝3·4n －1λ，此时有b n b n －1＝4，若{b n }是等比数列，则有b 2b 1＝4，而b 1＝6λ，b 2＝12λ，彼此相矛盾，故不存在非零实数λ使数列{b n }为等比数列．。

5.3.1 等比数列知识点归纳知识点一、等比数列的定义1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．等比数列定义的理解：(1)“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；(2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；(3)“同一常数q”，q是等比数列的公比，即q＝a na n－1(n≥2)或q＝a n＋1a n.特别注意，q不可以为零，当q＝1时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列．3．等比数列的通项公式：一般地，对于等比数列{a n}的第n项a n，有公式a n＝a1·q n－1．这就是等比数列{a n}的通项公式，其中a1为首项，q为公比．4.等比数列与等差数列的区别与联系1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，这三个数满足关系式G＝±ab.2．等比中项的理解(1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．(3)“a ，G ，b 成等比数列”等价于“G 2＝ab ”(a ，b 均不为0)，可以用它来判断或证明三数是否成等比数列．3．等比数列的判定(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 为常数且q ≠0)或a na n －1＝q (q 为常数且q ≠0，n ≥2)⇔{a n }为等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列． (3)通项公式法：a n ＝a 1q n －1(a 1≠0且q ≠0)⇔{a n }是等比数列． 4．等比数列的性质：(1)若数列{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，则{a n ·b n }也是等比数列．特别地，若{a n }是等比数列，c 是不等于0的常数，则{c ·a n }也是等比数列．(2)若已知等比数列{a n }中的任意两项a n ，a m ，由a n ＝a m ·q n－m可以求得公比q ＝⎩⎨⎧n －m a na m(n －m 为奇数)，±n －m an a m(n －m 为偶数).(3)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q .①特别地，当m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)时，a m ·a n ＝a 2k. ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a 1·a n ＝a 2·a n－1＝…＝a k ·a n －k ＋1＝….(4)在等比数列{a n }中，每隔k 项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为q k ＋1.(5)当m ，n ，p (m ，n ，p ∈N *)成等差数列时，a m ，a n ，a p 成等比数列． 5．等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为a n ＝a 1q ·q n ，而y ＝a 1q ·q x (q ≠1)是一个不为0的常数a 1q 与指数函数q x 的乘积，从图象上看，表示数列{a 1q ·q n }中的各项的点是函数y ＝a 1q ·q x 的图象上的孤立点．6．等比数列的常用结论(1)若{a n }是公比为q 的等比数列，则下列数列：①{ca n }(c 为任一不为零的常数)是公比为q 的等比数列． ②{|a n |}是公比为|q |的等比数列．③{a m n }(m 为常数，m ∈N *)是公比为q m 的等比数列．(2)若{a n }，{b n }分别是公比为q 1，q 2的等比数列，则数列{a n ·b n }是公比为q 1·q 2的等比数列．7．等比数列的单调性已知等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则(1)当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，等比数列{a n }为递增数列；(2)当⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，等比数列{a n }为递减数列．8．等比数列连续几项的设法 (1)三个数成等比数列设为aq，a ，aq .推广到一般：奇数个数成等比数列设为：…a q 2，aq ，a ，aq ，aq 2…(2)四个符号相同的数成等比数列设为：a q 3，aq，aq ，aq 3.推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为：…a q 5，a q 3，aq ，aq ，aq 3，aq 5…(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a ，aq ，aq 2，aq 3.典例分析一、等比数列的通项公式 例1 在等比数列{a n }中， (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n . 解析 设首项为a 1，公比为q .(1)解法一：⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2，'①a 1q 6＝8.'② 由②①得q 3＝4，q ＝34，又∵a 1q 3＝2， ∴a 1＝12，a n ＝22n －53.解法二：因为a 7＝a 4q 3，所以q 3＝4，q ＝34，a n ＝a 4q n －4＝22n －53.(2)解法一：因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，'③a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9，'④由④③得q ＝12，从而a 1＝32，又a n ＝1， 所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，即n ＝6. 解法二：因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12，由a 1q ＋a 1q 4＝18，知a 1＝32，由a n ＝a 1q n －1＝1，∴32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1,32＝2n －1＝25， 所以n ＝6.答案 (1)22n －53(2)6 二、等比数列的判定与证明例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.证明：数列{a n ＋1}是等比数列． 证明 证法一：因为a n ＋1＝2a n ＋1， 所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．由a 1＝1，知a 1＋1≠0，从而a n ＋1≠0. 所以a n ＋1＋1a n ＋1＝2(n ∈N *)．所以数列{a n ＋1}是等比数列．证法二：∵a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2(a n ＋1)a n ＋1＝2(n ∈N *)，∴数列{a n ＋1}是等比数列．自我训练1．下列各组数成等比数列的是( )①1，－2,4，－8；②－2，2，－22，4；③x ，x 2，x 3，x 4；④a －1，a －2，a －3，a －4. A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④解析 由等比数列的定义，知①、②、④是等比数列．③中当x ＝0时，不是等比数列． 答案 C2．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，ka 1a 2…a k ＝a 11，则k ＝( ) A ．12 B ．15 C ．18 D ．21 解析ka 1a 2…a k ＝a 1q 1＋2＋3＋…＋(k －1)k ＝a 1q k －12＝a 1q 10，∵a 1>0，q ≠1，∴k －12＝10，∴k ＝21，故选D.答案 D3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243解析 设等比数列的公比为q ，∵a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝q (a 1＋a 2)＝6，∴q ＝2.又a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝3，∴3a 1＝3.∴a 1＝1，∴a 7＝26＝64. 答案 A4．等比数列{a n }是递增数列，若a 5－a 1＝60，a 4－a 2＝24，则公比q 为( ) A.12 B ．2 C.12或－2 D ．2或12解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4－a 1＝60，①a 1q 3－a 1q ＝24，②①②得，a 1(q 4－1)a 1q (q 2－1)＝52，即q 2＋1q ＝52，解得q ＝12或2，当q ＝2时，代入①，得a 1＝4，{a n }是递增数列；当q ＝12时，代入①，得a 1＝－64，{a n }也是递增数列，故选D.答案 D5．等比数列{a n }的公比q ＝－14，a 1＝2，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数数列D ．摆动数列 解析 由于公比q ＝－14＜0，所以数列{a n }是摆动数列．答案 D6．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( )A ．210B ．220C ．216D ．215解析 ∵a 1·a 2·a 3＝a 32，a 4·a 5·a 6＝a 35，a 7·a 8·a 9＝a 38，…，a 28·a 29·a 30＝a 329， ∴a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6·a 7·a 8·a 9·…·a 28·a 29·a 30＝(a 2·a 5·a 8·…·a 29)3＝230.∴a 2·a 5·a 8·…·a 29＝210.∴a 3·a 6·a 9·…·a 30＝(a 2q )(a 5q )(a 8q )…(a 29q )＝(a 2·a 5·a 8·…·a 29)q 10＝210·210＝220. 答案 B7．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7解析 ∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16.又∵等比数列{a n }的各项都是正数，∴a 7＝4. 又∵a 10＝a 7q 3＝4×23＝25，∴log 2a 10＝5.故选B. 答案 C8．在等比数列{a n }中，a n ＜a n ＋1，且a 2a 11＝6，a 4＋a 9＝5，则a 6a 11等于( )A ．6B ．23C ．－16D ．32解析 ∵a 2a 11＝a 4a 9，∴a 4a 9＝6，又a 4＋a 9＝5， 且a n ＜a n ＋1，∴a 4＝2，a 9＝3，又a 6a 11＝a 4a 9＝23，故选B ．答案 B9．已知{a n }是等比数列，且a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5＝( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20解析 由等比数列的性质，得a 4a 6＝a 25，a 2a 4＝a 23， ∴(a 3＋a 5)2＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，∴a 3＋a 5＝±5.∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5. 答案 A10．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( ) A ．11 B ．12 C ．14 D ．16解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324，因此4q 3·q 3n －3＝324，即q 3n －6＝81＝34＝q 36， 所以n ＝14.故选C. 答案 C11．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．解析 这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10，n ∈N *)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝22·29＝211＝2048. 答案 204812．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则a 4＝_____________. 解析 设公比为q ，则a 1q 2＝3，a 1q 9＝384， 所以q 7＝128，q ＝2，故a 4＝a 3q ＝3×2＝6. 答案 613．{a n }为等比数列，且a 1a 9＝64，a 3＋a 7＝20，求a 11. 解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64，又a 3＋a 7＝20， ∴a 3、a 7是方程t 2－20t ＋64＝0的两个根． ∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4.当a 3＝4时，a 3＋a 7＝a 3＋a 3q 4＝20，∴1＋q 4＝5，∴q 4＝4； 当a 3＝16时，a 3＋a 7＝a 3(1＋q 4)＝20，∴1＋q 4＝54，∴q 4＝14.∴a 11＝a 3q 8＝64或1. 答案 64或114．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数． 解析 解法一：设三个数依次为a ，aq ，aq 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ·aq ·aq 2＝27a 2＋a 2q 2＋a 2q 4＝91，∴⎩⎪⎨⎪⎧aq3＝27a 21＋q 2＋q 4＝91，即⎩⎪⎨⎪⎧aq ＝3a21＋q 2＋q 4＝91，∴q 21＋q 2＋q 4＝991， ∴9q 4－82q 2＋9＝0，解得q 2＝9或q 2＝19，∴q ＝±3或q ＝±13，若q ＝3，则a 1＝1；若q ＝－3，则a 1＝－1； 若q ＝13，则a 1＝9；若q ＝－13，则a 1＝－9.故这三个数为：1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1. 解法二：设这三个数分别为aq，a ，aq .由题意，得⎩⎨⎧a q·a ·aq ＝27a2q 2＋a 2＋a 2q 2＝91，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3a 2f(1q 2＋1＋q 2＝91)，∴9q 4－82q 2＋9＝0，即得q 2＝19或q 2＝9.∴q ＝±3或q ＝±13，故这三个数为：1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1. 答案 1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－115．数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ∈N *，且n ≥2)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解析 (1)∵a 1＝－1，a n ＝3a n －1－2n ＋3，∴a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4，∴a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15.a n ＋1－(n ＋1)a n －n ＝3a n －2(n ＋1)＋3－(n ＋1)a n －n ＝3a n －3na n －n ＝3(n ＝1,2,3，…)．又a 1－1＝－2，∴{a n －n }是以－2为首项，以3为公比的等比数列． (2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1，故a n ＝n －2·3n －1. 答案 n －2·3n －116．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．解 (1)由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)，故a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14.(2)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．。

等差数列学案（一）一：考纲要求1.理解等差数列的概念．2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系． 二、必记知识1．等差数列的定义： 或 ,2．等差数列的通项公式: a n= = ， =3．等差中项 若三个数a ，A ，b 成等差数列. 则有 。

4．等差数列的前n 项和 S n = = = 。

5 等差数列的性质已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝….(2)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．此性质常与S n ＝n （a 1＋a n ）2联系(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)．(4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d . (5)⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }的公差的12(6)在等差数列{a n }中， 若项数为偶数2n ， S 偶－S 奇＝nd ；(7)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.三，讲授疑点 四．方法，规律1利用等差数列的性质巧妙设项若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ；若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．2 等差数列的通项公式，前n 项和公式涉及“五个量”，“知三求二”，需运用方程思想求解，特别是求a 1和d .五，学会应用 第一环节：我能行A1 (2014·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的公差为2，若 a 2，a 4，a 8 成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1) C.n （n ＋1）2 D.n （n －1）2A2 (2014·福建高考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( )A ．8 B ．10 C ．12 D ．14A1 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 A2．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝26，则该数列前11项和S 11＝( )A ．58B ．88C ．143D ．176A3．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．40A4. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 013等于( ) A ．2 013 B ．－2 013 C ．－4 026 D ．4 026第二环节:小组讨论 （合作，互助） 第三环节：展示问题，答案 六 课堂小结（学生写下来）1．我学会了： 2.我的难点是：七：更上一层楼B1 (2013·新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6B2 若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( )A ．13B ．12C ．11D ．10等差数列学案（二）一：学习目标1掌握等差数列的判定与证明2会求等差数列前n 项和的最值二、必记知识，方法1等差数列的判定方法(1)定义法：对于任意自然数n ≥2，验证a n －a n －1为同一常数． (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立． (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q . (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .注意：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断． 2．求等差数列前n 项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．(2)通项公式法：求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 值．即找到a n 的正负分界点即可。

教学设计教案等差、等比数列的综合应用教学设计教案范文等差、等比数列的综合应用一. 教学内容：等差、等比数列的综合应用二、教学目标：综合运用等差、等比数列的定义式、通项公式、性质及前n项求和公式解决相关问题.三、要点：（一）等差数列1. 等差数列的前项和公式1：2. 等差数列的前项和公式2：3. （m， n， p，q ∈N ）5. 对等差数列前n项和的.最值问题有两种：（1）利用>0，d<0，前n项和有最大值，可由≤0，求得n的值。

当≤0，且二次函数配方法求得最值时n的值。

（二）等比数列1、等比数列的前n项和公式：∴当① 或②当q=1时，时，用公式②2、是等比数列不是等比数列②当q≠－1或k为奇数时，仍成等比数列3、等比数列的性质：若m n=p k，则【典型例题例1. 在等差数列{ ＋＋＋。

解：由等差中项公式：＋，＝2 ＋＋＝450，＋＝180＝（＋＋）＋（）＋＝9 为项的和。

解：（用错项相消法）①-② 时，当时，例3. 设数列项之和为，若，问：数列，∴即：，∴ ，∴即：例4. 设首项为正数的等比数列，它的前项之和为80，前项中数值最大的项为54，求此数列。

解：由题意代入（1），，从而∴ 项中数值最大的项应为第项∴ ∴∴∴此数列为例5. 求集合M={mm=2n－1，n∈N*，且m＜60＝的元素个数及这些元素的和。

，又∵n∈N*∴满足不等式n＜ = =900答案：集合M中一共有30个元素，其和为900。

【模拟1. 已知等比数列的公比是2，且前四项的和为1，那么前八项的和为（）A. 15B. 17C. 19D. 212. 已知数列{an=3n－2，在数列{an}中取ak2，akn ，… 成等比数列，若k1=2，k2=6，则k4的值（）A. 86B. 54C. 160D. 2563. 数列A. 750 B. 610 C. 510 D. 5054.<0的最小的n值是（）A. 5B. 6C. 7D. 85. 若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A. 13项B. 12项C. 11项D. 10项6. 数列并且。

高三数学必修五教案等差数列优秀4篇(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如主题班会、教案大全、教学反思、教学设计、工作计划、文案策划、文秘资料、活动方案、演讲稿、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor.I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!And, our store provides various types of practical materials for everyone, such as theme class meetings, lesson plans, teaching reflections, teaching designs, work plans, copywriting planning, secretarial materials, activity plans, speeches, other materials, etc. If you want to learn about different data formats and writing methods, please stay tuned!高三数学必修五教案等差数列优秀4篇等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么你对等差数列了解多少呢？这次为您整理了高三数学必修五教案《等差数列》优秀4篇，希望能够给予您一些参考与帮助。

等差数列、等比数列-----期末复习一、基础知识性质：1．已知,,,m n p q N *∈，且m n p q +=+，①若{}n a 是等差数列，则m n p q a a a a +=+；②若{}n a 是等比数列，则m n p q a a a a ⋅=⋅． 2．设n S 是等差（比）数列的前n 项和，则()2321,,,,m m m m m pm p m S S S S S S S ----()1,3,,m p m p N *>≥∈仍成等差（比）数列．**方法提炼**1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．如等差数列{}n a 的通项n a kn b =+，等比数列{}n a 的通项是nn a k q =⋅等．2．等差（比）数列中，1,,(),,n n a n d q a S “知三求二”，体现了方程（组）的思想、整体思想．等差（比）数列的性质能够起到简化运算的作用．3．求等比数列的前n 项和n S 时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想． 二、基础训练1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=1，a 3=3，则S 4= 。

2.设n s 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432,s a =-2332s a =-,则公比q = 。

3.设S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，若24,363==S S ,则3a = .4.在等比数列{a n }中，4S =1，8S =3，则20191817a a a a +++的值是 .5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 。

若111a =-，466a a +=-，则当n S 取最小值时，n= 。

6．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若5331164S a ==，，则5432111111a a a a a ++++= ．三、典例欣赏：例1. （1）}{n a 是等比数列，21551-=-a a ，54-=s ，求4a （2）在等差数列}{n a 中，105,4,a d ==-则______n S =； （3）在等差数列}{n a 中，41,2,440,n n a d S ===则1______a =； （4）}{n a 是等比数列，,661=+n a a ,126,12812==∙-n n s a a 求n 和公比q.例2．已知正数组成的两个数列}{},{n n b a ，若1,+n n a a 是关于x 的方程02122=+-+n n n n b b a x b x 的两根 （1）求证：}{n b 为等差数列；（2）已知,6,221==a a 分别求数列}{},{n n b a 的通项公式； （3）求数n nns n b 项和的前}2{。

等比数列教学案篇一：等比数列第一课时教案等比数列的定义教案内容：等比数列教学目标:1.理解和掌握等比数列的定义；2.理解和掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法；3.运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题。

授课类型：课时安排：1教学重点：等比数列定义、通项公式的探求及运用。

教学难点：等比数列通项公式的探求。

教具准备：多媒体课件教学过程：（一）复习导入1．等差数列的定义2．等差数列的通项公式及其推导方法3.公差的确定方法.4.问题：给出一张书写纸，你能将它对折10次吗？为什么？（二）探索新知1．引入：观察下面几个数列，看其有何共同特点？（１）－2，1，4，7，10，13，16，19，?（２）8，16，32，64，128，256，? （３）1，1，1，1，1，1，1，?（４）1，2，4，8，16，?263请学生说出数列上述数列的特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如细胞分裂问题.假设每经过一个单位时间每个细胞都分裂为两个细胞，再假设开始有一个细胞，经过一个单位时间它分裂为两个细胞，经过两个单位时间就有了四个细胞，?，一直进行下去，记录下每个单位时间的细胞个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这就是我们将要研究的另一类数列——等比数列.2．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一．．．．项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列．．的公比；公比通常用字母q表示(q?0)，3.递推公式：an?1∶an?q(q?0)对定义再引导学生讨论并强调以下问题（1）等比数列的首项不为0；（2）等比数列的每一项都不为0；（3）公比不为0. （4）非零常数列既是等比数列也是等差数列；问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？3．等比数列的通项公式：【傻儿子的故事】古时候,有一个人不识字,他不希望儿子也像他这样,他就请了个教书先生来教他儿子认字，他儿子见老师第一天写“一”就是一划，第二天“二”就是二划，第三天“三”就是三划,他就跑去跟他父亲说:“爸爸,我会写字了,请你叫老师走吧!”这人听了很高兴,就给老师结算了工钱叫他走了。

等差数列与等比数列教学案一、引言数学是一门重要的学科，对培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力具有重要意义。

在数学教学中，等差数列和等比数列是基础而重要的概念，对学生的数学素养和解题能力有着深远的影响。

本教学案将重点介绍等差数列和等比数列的概念、性质和解题方法，以便帮助学生更好地理解和掌握这两个数列。

二、等差数列的介绍1. 概念等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列。

设数列为a₁，公差为d，则对于任意的正整数n，有递推公式：aₙ = aₙ₋₁+ d。

其中，a₁为首项，d为公差。

2. 性质（1）首项和公差的关系：a₁ = a₂ - d。

（2）通项公式：aₙ = a₁ + (n - 1)d。

（3）求前n项和的公式：Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2。

3. 解题方法（1）已知首项和公差，求任意项：利用通项公式aₙ = a₁ + (n - 1)d，代入已知的首项和公差，即可求得任意项。

（2）已知首项和公差，求前n项和：利用前n项和的公式Sₙ =(a₁ + aₙ) * n / 2，代入已知的首项和公差，即可求得前n项和。

三、等比数列的介绍1. 概念等比数列是指数列中每一项与前一项的比都相等的数列。

设数列为a₁，公比为q，则对于任意的正整数n，有递推公式：aₙ = aₙ₋₁* q。

其中，a₁为首项，q为公比。

2. 性质（1）首项和公比的关系：a₁ = a₂ / q。

（2）通项公式：aₙ = a₁ * q^(n - 1)。

（3）求前n项和的公式：Sₙ = a₁ * (1 - q^n) / (1 - q)，其中q ≠ 1。

3. 解题方法（1）已知首项和公比，求任意项：利用通项公式aₙ = a₁ * q^(n - 1)，代入已知的首项和公比，即可求得任意项。

（2）已知首项和公比，求前n项和：利用前n项和的公式Sₙ = a₁* (1 - q^n) / (1 - q)，代入已知的首项和公比，即可求得前n项和。

等比数列教案等比数列教案什么是教案？教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。

等比数列教案（精选7篇）作为一名辛苦耕耘的教育工作者，很有必要精心设计一份教案，教案是教学活动的总的组织纲领和行动方案。

那么优秀的教案是什么样的呢？下面是小编为大家收集的等比数列教案（精选7篇），希望能够帮助到大家。

等比数列教案1教学目标1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决简单的问题.(1)正确理解等比数列的定义，了解公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等比数列，了解等比中项的概念;(2)正确认识使用等比数列的表示法，能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项;(3)通过通项公式认识等比数列的性质，能解决某些实际问题.2.通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质.3.通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度.教材分析(1)知识结构等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图像，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用.(2)重点、难点分析教学重点是等比数列的定义和对通项公式的认识与应用，教学难点在于等比数列通项公式的推导和运用.①与等差数列一样，等比数列也是特殊的数列，二者有许多相同的性质，但也有明显的区别，可根据定义与通项公式得出等比数列的特性，这些是教学的重点.②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法，但对学生来说仍然不熟悉;在推导过程中，需要学生有一定的观察分析猜想能力;第一项是否成立又须补充说明，所以通项公式的推导是难点.③对等差数列、等比数列的综合研究离不开通项公式，因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点.教学建议(1)建议本节课分两课时，一节课为等比数列的概念，一节课为等比数列通项公式的应用.(2)等比数列概念的引入，可给出几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义.也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，有一种是按等差、等比来分的，由此对比地概括等比数列的定义.(3)根据定义让学生分析等比数列的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解.(4)对比等差数列的表示法，由学生归纳等比数列的各种表示法. 启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征画数列的图象.(5)由于有了等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决，教师只需把握课堂的节奏，作为一节课的组织者出现.(6)可让学生相互出题，解题，讲题，充分发挥学生的主体作用. 等比数列教案2教学目标1.通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式.2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力.3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度.教学重点，难点重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.教学用具投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法讨论、谈话法.教学过程一、提出问题给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.(幻灯片)①-2，1，4，7，10，13，16，19，②8，16，32，64，128，256，③1，1，1，1，1，1，1，④-243，81，27，9，3，1，，，⑤31，29，27，25，23，21，19，⑥1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，⑦1，-10，100，-1000，10000，-100000，⑧0，0，0，0，0，0，0，由学生发表意见(可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类)，统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列(学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为等比数列).二、讲解新课请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数。