2018-2019学年高中数学新第一章三角函数第15课时1.3.4三角函数的应用1教案苏教版必修

§1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一)学习目标 1.理解y ＝A sin(ωx ＋φ)中ω，φ，A 对图象的影响.2.掌握y ＝sin x 与y ＝A sin(ωx ＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．知识点一 φ(φ≠0)对函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响 思考1 如何由y ＝f (x )的图象变换得到y ＝f (x ＋a )的图象？ 答案 向左(a ＞0)或向右(a ＜0)平移|a |个单位长度．思考2 如何由y ＝sin x 的图象变换得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象？答案 向左平移π6个单位长度．梳理 如图所示，对于函数y ＝sin(x ＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y ＝sin x 的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到的．知识点二 ω(ω＞0)对函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响思考1 函数y ＝sin x ，y ＝sin 2x 和y ＝sin 12x 的周期分别是什么？答案 2π，π，4π.思考2 当三个函数的函数值相同时，它们x 的取值有什么关系？答案 当三个函数的函数值相同时，y ＝sin 2x 中x 的取值是y ＝sin x 中x 取值的12，y ＝sin12x 中x 的取值是y ＝sin x 中x 取值的2倍． 思考3 函数y ＝sin ωx 的图象是否可以通过y ＝sin x 的图象得到？ 答案 可以，只要“伸”或“缩”y ＝sin x 的图象即可．梳理 如图所示，函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到．知识点三 A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响思考 对于同一个x ，函数y ＝2sin x ，y ＝sin x 和y ＝12sin x 的函数值有何关系？答案 对于同一个x ，y ＝2sin x 的函数值是y ＝sin x 的函数值的2倍，而y ＝12sin x 的函数值是y ＝sin x 的函数值的12.梳理 如图所示，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A >1时)或缩短(当0<A <1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到．知识点四 函数y ＝sin x 的图象与y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象关系 正弦曲线y ＝sin x 到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换过程：y ＝sin x 的图象――――――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ)的图象―――――――――――――→所有点的横坐标变为原来的1ω倍 纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)的图象――――――――――――――→所有点的纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．1．把函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象．( × )提示 得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象．2．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π3的图象，可把函数y ＝sin(－x )的图象向左平移π3个单位长度得到．( × )提示 y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，故要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π3的图象，可把函数y ＝sin(－x )的图象向右平移π3个单位长度．3．把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到y ＝sin 2x 的图象．( × )提示 应得到y ＝sin 12x 的图象．4．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象是由函数y ＝cos x 的图象向右平移π3个单位长度得到的．( √ )提示 由平移的规律可知其正确.类型一 平移变换例1 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象可以看作是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到的？ 考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换解 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，可以看作是把曲线y ＝sin x 上所有的点向右平移π6个单位长度而得到的． 引申探究1．若将本例中y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6改为y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，其它不变，又该怎样变换？解 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，可以看作是把y ＝sin x 上所有的点向左平移π3个单位长度得到．2．若将本例改为：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象可由y ＝sin 2x 的图象经过怎样变换得到？ 解 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，可由y ＝sin 2x 的图象向右平移π12个单位长度得到．反思与感悟 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数．再观察x 前系数，当x 前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx →ωx ＋φ的平移量为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位长度． 跟踪训练1 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度，所得图象的函数解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π8D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π8 考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 A解析 依题意将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.类型二 伸缩变换例2 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________的图象．考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的伸缩变换答案 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x －π3 引申探究若将本例中“横坐标伸长为原来的5倍”改为“纵坐标伸长为原来的5倍”，其它条件不变，则可得到函数解析式为________．答案 y ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3 反思与感悟 对于函数y ＝sin x ，若横坐标伸长为原来的ω(ω>1)倍，则得到函数y ＝sinxω.若纵坐标伸长为原来的A (A >1)倍，则得到函数y ＝A sin x ，两者可理解为横向伸缩是反比例伸缩变换，纵向伸缩是正比例伸缩变换．跟踪训练2 (2017·合肥高一检测)把y ＝sin 12x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的14倍(纵坐标不变)得到的解析式是________． 考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的伸缩变换 答案 y ＝sin 2x类型三 图象变换的综合应用例3 把函数y ＝f (x )的图象上的各点向右平移π6个单位长度，然后把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，求f (x )的解析式．考点 三角函数图象的综合应用 题点 三角函数图象的综合应用解 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3――――――――――→纵坐标伸长到原来的32倍 y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3――――――――――→横坐标缩短到原来的12倍 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3―――――――――→向左平移π6个单位长度 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝3cos x .所以f (x )＝3cos x .反思与感悟 (1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法．(2)已知函数f (x )图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A 或ω即可．跟踪训练3 将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值为( ) A.π12 B.π6 C.π3 D.5π6 考点 三角函数图象的综合应用 题点 三角函数图象的综合应用 答案 B解析 因为函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象向左平移m 个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋m ，所以π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，即m ＝k π＋π6，k ∈Z .又m >0，所以m 的最小值为π6，故选B.1．将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 D解析 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为T ＝2π2＝π，向右平移14个周期，即向右平移π4个单位长度后，得到图象对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D.2．要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3的图象，只要将函数y ＝sin x 2的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移2π3个单位长度D ．向右平移2π3个单位长度考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 C3．要得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移5π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 A解析 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12.由题意知，要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象向左平移5π12个单位长度．4．将函数y ＝sin(－2x )的图象向左平移π4个单位长度，所得函数图象的解析式为__________________．考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 y ＝－cos 2x解析 y ＝sin(－2x )――――――――――→左移π4个单位长度y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－cos 2x .5．将函数f (x )＝3cos 2x 的图象纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再向左平移π6个单位长度后得到函数g (x )的图象，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________. 考点 三角函数图象的综合应用 题点 三角函数图象的综合应用 答案 －2 3解析 将函数f (x )＝3cos 2x 的图象纵坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的解析式为y ＝23cos 2x ，则g (x )＝23cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝－2 3.1．由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象，其变化途径有两条(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)． (2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位长度．(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位长度，这是很易出错的地方，应特别注意．2．类似地，y ＝A cos(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象变换得到.一、选择题1．(2017·湖州期末)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 A解析 因为函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6， 所以只需将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度即可．2．若把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象向右平移m (m >0)个单位长度后，得到y ＝sin x 的图象，则m 的最小值为( ) A.π6 B.5π6 C.π3 D.2π3考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 C解析 依题意，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m ＋π3＝sin x ，∴m －π3＝2k π(k ∈Z )，∴m ＝π3＋2k π(k ∈Z )，又m >0，∴m 的最小值为π3.3．为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 C解析 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π6，所以只需将函数y ＝sin x 的图象向左平移5π6个单位长度．4．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位长度，所得图象对应的函数是( )A ．非奇非偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．奇函数D ．偶函数考点 三角函数图象的综合应用 题点 三角函数图象的综合应用 答案 D解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x 的图象，y ＝－cos 2x 是偶函数．5．(2017·荆州高一检测)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )考点 三角函数图象的综合应用 题点 三角函数图象的综合应用 答案 B解析 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y 1＝cos x ＋1，向右平移1个单位长度，得y 2＝cos(x －1)＋1，再向下平移1个单位长度，得y 3＝cos(x －1)．令x ＝0，得y 3>0，令x ＝π2＋1，得y 3＝0，观察即得答案．6．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象上所有的点向左平移π2个单位长度．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 B解析 对于B 选项，f (x )＝sin(6x ＋φ)的图象向左平移π2个单位长度，得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋φ＝sin(6x ＋φ＋π)＝－sin(6x ＋φ)的图象． 7．为了得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变) B ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变) C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) D ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) 考点 三角函数图象的综合应用题点 三角函数图象的综合应用答案 C解析 先将y ＝2sin x ，x ∈R 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈R 的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象． 二、填空题8．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象可以看作把函数y ＝12sin 2x 的图象向________平移________个单位长度得到的．考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换题点 三角函数图象的平移变换答案 右 π89．将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象对应的解析式为________． 考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换题点 三角函数图象的平移变换答案 y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3 解析 由题意得所得图象对应的解析式为y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3.10．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________. 考点 三角函数图象的综合应用题点 三角函数图象的综合应用答案 22解析 y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再对每一点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象，即为f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝22. 11．要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3的图象，需将函数y ＝cos x 2的图象上所有的点至少向左平移________个单位长度．考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换题点 三角函数图象的平移变换答案 11π3解析 cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π2，将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π2的图象上所有的点向左平移φ(φ>0)个单位长度得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋φ2＋π2的图象． 令φ2＋π2＝2k π＋π3，k ∈Z .∴φ＝4k π－π3，k ∈Z . ∴当k ＝1时，φ＝11π3是φ的最小正值． 12．某同学给出了以下判断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度，得到y ＝sin x 的图象； ②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位长度，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象；③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位长度，得到y ＝sin(－x －2)的图象；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位长度而得到的． 其中正确的结论是______．(将所有正确结论的序号都填上)考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换题点 三角函数图象的平移变换答案 ①③三、解答题13．使函数y ＝f (x )的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，然后再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位长度得到的曲线与y ＝sin 2x 的图象相同，求f (x )的表达式．考点 三角函数图象的综合应用题点 三角函数图象的综合应用解 方法一 (正向变换)y ＝f (x )―――――→横坐标缩短到原来的12倍y ＝f (2x )――――――→沿x 轴向左平移π6个单位长度 y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin 2x . 令2x ＋π3＝t ，则2x ＝t －π3， ∴f (t )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3. 方法二 (逆向变换)根据题意，y ＝sin 2x ―――――→沿x 轴向右平移π6个单位长度 y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3. 四、探究与拓展14．(2017·绍兴柯桥区期末)将函数f (x )＝12sin(2x ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象关于直线x ＝π3对称，则|φ|的最小值为________．考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换题点 三角函数图象的平移变换答案 π6解析 f (x )＝12sin(2x ＋φ)向左平移π6个单位长度后得到12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ，此函数图象关于x ＝π3对称，所以令x ＝π3得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1， 所以2π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，得φ＝－π6＋k π，k ∈Z ，则|φ|的最小值为π6. 15．已知函数f (x )＝2sin ωx ，其中常数ω>0.(1)若y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围； (2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．考点 三角函数图象的综合应用题点 三角函数图象的综合应用解 (1)因为ω>0，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧ －π4ω≥－π2，2π3ω≤π2，解得0<ω≤34. 所以ω的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34. (2)由题意知f (x )＝2sin 2x ，g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1， 由g (x )＝0得，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12， 解得x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ， 即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.。

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1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)学习目标1。

了解周期函数、周期、最小正周期的定义(重点）。

2.会求函数y＝A sin（ωx ＋φ）及y＝A cos（ωx＋φ)的周期(重点)。

3。

掌握函数y＝sin x、y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性（重点）．知识点1 周期函数1．周期函数条件①对于函数f（x），存在一个非零常数T②当x取定义域内的每一个值时,都有f（x＋T)＝f（x)结论函数f(x）叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期2．最小正周期条件周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数结论这个最小正数叫做f（x)的最小正周期【预习评价】（正确的打“√"，错误的打“×"）(1）周期函数y＝f(x)的定义域可以为[a，b］（a，b∈R）．（)（2)任何周期函数都有最小正周期．（)（3)若存在正数T，使f（x＋T)＝－f（x），则函数f（x）的周期为2T。

( ）提示(1）×，周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界．（2)×，常数函数f(x)＝c，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期．（3)√，f(x＋2T)＝f［（x＋T）＋T］＝－f（x＋T）＝－［－f（x）］＝f(x）,所以f（x）的周期为2T．知识点2 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sin x y＝cos x周期2kπ（k∈Z且k≠0）2kπ(k∈Z且k≠0）最小正周期2π2π奇偶性奇函数偶函数【预习评价】函数y＝sin（x＋π2)是( ）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数解析因为y＝sin（x＋错误!）＝cos x，所以该函数是周期为2π的偶函数．答案D题型一求三角函数的周期【例1】求下列函数的周期：(1）y＝2sin（错误!x＋错误!），x∈R;(2)y＝1－2cos（错误!x)，x∈R;(3)y＝|sin x｜，x∈R．解(1)∵2sin错误!＝2sin错误!＝2sin错误!，∴自变量x只要并且至少要增加到x＋4π，函数y＝2sin错误!，x∈R的值才能重复出现,∴函数y＝2sin错误!，x∈R的周期是4π．（2)∵1－2cos［错误!（x＋4）］＝1－2cos（错误!x＋2π)＝1－2cos（错误!x),∴自变量x只需并且至少要增加到x＋4，函数y＝1－2cos（错误!x),x∈R的值才能重复出现，∴函数y＝1－2cos(错误!x），x∈R的周期是4．（3）作图如下：观察图象可知最小正周期为π．规律方法求三角函数周期的方法（1）定义法，即利用周期函数的定义求解．（2）公式法，对形如y＝A sin（ωx＋φ)或y＝A cos（ωx＋φ）（A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝错误!．（3)观察法，即通过观察函数图象求其周期．三种方法各有所长,要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解．【训练1】（1)下列是定义在R上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是( )解析对于D，x∈（－1,1)时的图象与其他区间图象不同,不是周期函数．答案D(2)下列函数中，周期为π2的是( )A．y＝sin错误!B．y＝sin 2xC．y＝cos错误!D．y＝cos 4x解析选项A，周期T＝错误!＝4π;选项B，周期T＝错误!＝π；选项C，周期T＝错误!＝8π；选项D,周期T＝2π4＝错误!．答案D题型二三角函数的奇偶性【例2】判断下列函数的奇偶性：（1)f(x)＝sin错误!；（2）f(x）＝lg（1－sin x）－lg（1＋sin x);（3)f(x）＝错误!．解(1)显然x∈R,f（x)＝cos 12 x,f（－x）＝cos错误!＝cos 错误!x＝f（x）,∴f（x)是偶函数．（2）由｛1－sin x>0，得－1〈sin x<1．1＋sin x>0，解得定义域为错误!．∴f（x)的定义域关于原点对称．又∵f(x）＝lg（1－sin x)－lg（1＋sin x）∴f(－x)＝lg［1－sin（－x）］－lg［1＋sin（－x)]＝lg（1＋sin x)－lg（1－sin x)＝－f(x)．∴f(x）为奇函数．(3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，∴x∈R且x≠2kπ－错误!，k∈Z．∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．规律方法判断函数奇偶性的两个关键点关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称;关键点二:看f（－x)与f(x）的关系．对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．【训练2】判断下列函数的奇偶性：(1)f（x）＝|sin x|＋cos x；（2)f（x）＝错误!＋错误!．解(1)函数的定义域为R，又f（－x）＝|sin（－x)|＋cos（－x）＝|sin x|＋cos x＝f(x），所以f(x）是偶函数．(2)由1－cos x≥0且cos x－1≥0，得cos x＝1，从而x＝2kπ，k∈Z，此时f（x）＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数。