高考数学二轮复习小题综合限时练十一文

专题强化练(十一)1．已知命题p ：“m ＝－1”，命题q ：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要解析：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m 2＝0⇔m ＝±1.所以命题p 是命题q 的充分不必要条件．答案：A2．(2020·四川省泸县五中三模)已知直线l 1：x ＋my ＋7＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0互相平行，则实数m ＝( )A ．m ＝－3B ．m ＝－1C ．m ＝－1或m ＝3D ．m ＝1或m ＝－3解析：由题意得1m －2＝m 3≠72m，所以m ＝－1或m ＝3，故选C. 答案：C3．过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0解析：依题意知，点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点．因为圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为12，所以切线的斜率k ＝－2.故过点(3，1)的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0.答案：B4．(2020·天津市红桥区模拟)若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( )A ．0或4B ．1或3C ．－2或6D ．－1或 3解析：因为圆(x －a )2＋y 2＝4，所以圆心为(a ，0)，半径为2，圆心到直线的距离为：d ＝|a －2|2，因为d 2＋⎝⎛⎭⎫2222＝r 2，所以a ＝4，或a ＝0.答案：A5．台风中心从A 地以每小时20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险地区，若城市B 在A 地正东40 km 处，则B 城市处于危险区内的时间为( )A ．0.5 hB ．1 hC ．1.5 hD ．2 h解析：以A 为坐标原点，正东方向为x 轴建立直角坐标系，则直线y ＝x 被圆(x －40)2＋y 2＝302截得弦长为2302－（202）2＝20，所以B 城市处于危险区内的时间为2020＝1，故选B.答案：B6．已知直线l 过点(1，2)，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为( )A ．2x －y ＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＝0或x ＋2y －2＝0D ．2x －y ＝0或2x ＋y －4＝0解析：根据题意，直线l 分2种情况讨论：①当直线过原点时，又由直线经过点(1，2)，所求直线方程为y ＝2x ，整理为2x －y ＝0，②当直线不过原点时，设直线l 的方程为x a ＋y 2a ＝1，代入点(1，2)的坐标得1a ＋22a＝1，解得a ＝2，此时直线l 的方程为x 2＋y 4＝1，整理为2x ＋y －4＝0. 故直线l 的方程为2x －y ＝0或2x ＋y －4＝0.答案：D7.“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯去锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，则阴影部分面积约为(注：π≈3.14，sin 22.5°≈513，1尺＝10寸)( )A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸解析：连接OC ，设半径为r ，AD ＝5寸，则OD ＝r －1，在直角三角形OAD 中，OA 2＝AD 2＋OD 2 ，即r 2＝52＋(r －1)2，解得r ＝13，则sin ∠AOC ＝513，所以∠AOC ＝22.5°，则∠AOB ＝2×22.5°＝45°，所以扇形OAB 的面积S 1＝45°×π×132360°＝169π8＝66.33，三角形OAB 的面积S 2＝12×10×12＝60，所以阴影部分面积为S 1－S 2＝66.33－60＝6.33，故选A. 答案：A8．(2020·宜宾市叙州区第二中学校月考)斜率为33的直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，若l 与圆M ：(x －2)2＋y 2＝4相切，则p ＝( )A ．12B ．8C ．10D ．6解析：结合题意作图，因为直线的斜率为33，所以倾斜角为30°，即∠MF A ＝30°， 由图可得|MF |＝2|AM |＝4，所以p 2－2＝2r ＝4，解得p ＝12.答案：A9．(2020·天津市南开区模拟)若圆C 的圆心在第一象限，圆心到原点的距离为5，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1C ．(x －1)2＋(y －2)2＝5D ．(x －2)2＋(y －1)2＝5解析：根据题意，设圆C 的圆心坐标为(m ，n )(m >0，n >0)，由于圆C 与x 轴相切，则圆C 的半径n ＝r ，又由圆心到原点的距离为5，则有m 2＋n 2＝5，圆C 与4x －3y ＝0相切，则有r ＝|4m －3n |42＋32，即n 2＝（4m －3n ）225，解得m ＝2，n ＝1， 则圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.答案：B10．(2020·武汉质检)圆C 1：x 2＋y 2＝4与圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦的长为( )A ． 2B ． 3C ．2 2D ．3 2解析：因为圆C 1：x 2＋y 2＝4与圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，两式相减得x －y －2＝0，即公共弦所在的直线方程，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆心到公共弦的距离为d ＝22，所以公共弦长为l ＝2r 2－d 2＝2 2.故选C.答案：C11．(2020·大庆实验中学模拟)若m >0，n >0，且直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则m ＋n 的取值范围是( )A.[)2＋2，＋∞B ．[2＋22，＋∞)C ．(0，2＋2]D ．(0，2＋22] 解析：由圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，得(x －1)2＋(y －1)2＝1，得到圆心坐标为(1，1)，半径r ＝1，因为直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆相切， 所以圆心到直线的距离d ＝|m ＋n |（m ＋1）2＋（n ＋1）2＝1，整理得：m ＋n ＋1＝mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22， 设m ＋n ＝x (x >0)，则有x ＋1≤x 24，即x 2－4x －4≥0， 解得：x ≥2＋22，则m ＋n 的取值范围为[2＋22，＋∞)．答案：B12．(2020·烟台模拟)设P 为直线3x －4y ＋4＝0上的动点，P A ，PB 为圆C ：(x －2)2＋y 2＝1的两条切线，A ，B 为切点，则四边形APBC 面积的最小值为( ) A. 3B ．2 3 C. 5 D ．2 5解析：圆C ：(x －2)2＋y 2＝1的圆心C (2，0)，半径为1，因为P A ，PB 为两条切线，A ，B 为切点，所以P A ⊥AC ，PB ⊥BC ，所以四边形APBC 面积为2S △P AC ＝|P A ||CA |＝|PC |2－1，故当|PC |最小时，四边形APBC 面积最小，又|PC |最小值为圆心C 到直线3x －4y ＋4＝0的距离d ，d ＝|6＋4|32＋42＝2，故四边形APBC 面积最小值为 3.答案：A13．(2020·漳州测试)若曲线C ：x 2＋y 2－6x ＋10y ＋a ＝0上存在不同的两点关于直线y ＝kx ＋7对称，则k ＝________．解析：x 2＋y 2－6x ＋10y ＋a ＝0为圆的一般方程，且圆心为(3，－5)，曲线上存在不同的两点关于直线y ＝kx ＋7对称，因此直线过圆心，即－5＝3k ＋7，所以k ＝－4.答案：－414．以抛物线E ：x 2＝4y 的焦点为圆心，且与E 的准线相切的圆的方程为__________． 解析：抛物线E ：x 2＝4y 的焦点为(0，1)，准线方程为y ＝－1，圆与E 的准线相切，则r ＝2，故圆的方程为：x 2＋(y －1)2＝4.答案：x 2＋(y －1)2＝415．(2020·潍坊模拟)已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝2，过圆C 外一点P (3，4)作圆的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为__________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线P A 的方程为：(x 1－1)(x －1)＋(y 1＋2)(y ＋2)＝5， 因为点P (3，4)在切线PA 上，所以切线PA 的方程为：2x 1＋6y 1＝－5，同理，切线PB 的方程为：2x 2＋6y 2＝－5，所以直线AB 的方程为：2x ＋6y ＝－5. 答案：2x ＋6y ＋5＝016．(2020·江苏省如皋中学模拟)过直线x ＋y ＋2＝0上一点P ，作圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝16的两条切线，切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若y 22－y 21＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－2)，则P A ＝______． 解析：由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设AB 的中点M (x 0，y 0)，则有(x 1－3)2＋(y 1＋1)2＝16，(x 2－3)2＋(y 2＋1)2＝16，将两式作差得，y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 2－6y 1＋y 2＋2，又y 22－y 21＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 2－2y 1＋y 2，所以－x 1＋x 2－6y 1＋y 2＋2＝－x 1＋x 2－2y 1＋y 2，所以x 0－3y 0＋1＝x 0－1y 0，x 0＋2y 0－1＝0，所以AB 的中点M 的轨迹方程是x ＋2y －1＝0，而点P 也在直线上x ＋2y －1＝0上，所以由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x ＋y ＋2＝0，得点P (－5，3)，而圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝16的圆心C (3，－1)，半径R ＝4，所以PC ＝（－5－3）2＋（－1－3）2＝45，所以P A ＝PC 2－R 2＝8.答案：8。

补偿练11 复数、程序框图、推理与证明(建议用时：40分钟) 一、选择题1．已知复数z ＝－2i ，则1z ＋1的虚部为( )． A.25i B ．25 C.255iD ．255解析 由于z ＝－2i ，所以1z ＋1＝1－2i ＋1＝1＋2i (1－2i )(1＋2i )＝15＋25i ，所以虚部为25.答案 B2．复数z ＝11＋i 3(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数为( )．A ．1－iB ．1＋i C.12＋12i D ．12－12i解析 ∵z ＝11＋i 3＝11－i ＝12＋12i ， ∴z ＝12－12i. 答案 D3．复数z ＝1＋ii (i 是虚数单位)在复平面内对应的点在( )． A ．第一象限 B ．其次象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 z ＝1＋i i ＝(1＋i )·ii·i ＝1－i ，其实部与虚部分别是1，－1，因此在复平面内对应的点在第四象限． 答案 D4．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f (x )＝sin x ， ②f (x )＝cos x ，③f (x )＝1x ，④f (x )＝x 2，则输出的函数是( )． A ．f (x )＝sin x B ．f (x )＝cos x C ．f (x )＝1x D ．f (x )＝x 2解析 结合题中的程序框图得知，输出的函数是奇函数，且存在零点． 答案 A5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 值为( )．A ．15B ．14C ．7D ．6解析 第一次循环，得a ＝2，S ＝1＋2＝3＜10；其次次循环，得a ＝4，S ＝3＋4＝7＜10；第三次循环，得a ＝8，S ＝7＋8＝15＞10，输出S ，故输出的S ＝15. 答案 A第5题图 第6题图 6．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )． A.34 B ．45 C.56D ．1解析 由程序框图得S ＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝1－15＝45. 答案 B7．运行如图所示的程序框图，若输出的S 是254，则①处应为( )．A ．n ≤5?B ．n ≤6?C ．n ≤7?D ．n ≤8?解析 由程序框图可知，输出的S ＝21＋22＋ (2)，由于输出的S ＝254，即2(1－2n)1－2＝254，解得n ＝7，故①处应为“n ≤7？”． 答案 C8．给出30个数：1,2,4,7,11,16，…，要计算这30个数的和．如图给出了该问题的程序框图，那么框图中推断框①处和执行框②处可以分别填入( )．A ．i ≤30？和p ＝p ＋i －1B ．i ≤31？和p ＝p ＋i ＋1C ．i ≤31？和p ＝p ＋iD ．i ≤30？和p ＝p ＋i解析 当执行循环时，对于选项A ，B ，第一次循环时，②处分别计算出p ＝1＋1－1＝1和p ＝1＋1＋1＝3，但实际上此时p ＝2，故排解．然后由题意，求的是30项的和，故①处应填入“i ≤30？”． 答案 D9．有如图所示的程序框图，则该程序框图表示的算法的功能是( )．A ．输出访1×2×4×…×n ≥1 000成立的最大整数nB ．输出访1×2×4×…×n ≥1 000成立的最小整数nC ．输出访1×2×4×…×n ≥1 000成立的最大整数n ＋2D ．输出访1×2×4×…×n ≥1 000成立的最小整数n ＋2解析 依题意与题中的程序框图可知，该程序框图表示的算法的功能是输出访1×2×4×…×n ≥1 000成立的最小整数n ＋2. 答案 D10．已知某算法的程序框图如图所示，输入的数x和y为自然数，若已知输出的有序数对为(13,14)，则开头输入的有序数对(x，y)可能为()．A．(6,7) B．(7,6)C．(4,5) D．(5,4)解析设开头输入的有序数对为(x0，y0)，当n＝1时，x＝y0＋1，y＝y0＋2；当n＝2时，x＝y0＋3，y＝y0＋4；当n＝3时，x＝y0＋5，y＝y0＋6；当n＝4时，x＝y0＋7，y＝y0＋8；∴输出的有序数对为(y0＋7，y0＋8)＝(13,14)，∴y0＝6.答案 B11．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的k的值是6，则满足条件的整数S0一共有()个()．A．31 B．32C．63 D．64解析输出k的值为6说明最终一次参与运算的k＝5，所以S＝S0－20－21－22－23－24－25＝S0－63，上一个循环S＝S0－20－21－22－23－24＝S0－31，所以31＜S0≤63，总共32个．答案 B12．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()．A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B．若z1＝z2，则z1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2D．若|z1|＝|z2|，则z21＝z22解析由|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，∴z1＝z2，所以z1＝z2，故A为真命题；由于z1＝z2，则z1＝z2＝z2，故B为真命题；由|z1|＝|z2|，得|z1|2＝|z2|2，则有z1·z1＝z2·z2，故C为真命题，D为假命题．答案 D二、填空题13．观看下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，依据上述规律，第n个等式为__________．解析由题知13＝12；13＋23＝(2×32)2；13＋23＋33＝(3×42)2；13＋23＋33＋43＝(4×52)2；…∴13＋23＋33＋43＋…＋n3＝[n(n＋1)2]2.答案 13＋23＋33＋…＋n 3＝[n (n ＋1)2]2 14．将全体正整数排成一个三角形数阵： 12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15…依据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行的从左至右的第3个数是________．解析 前n －1行共用了[1＋(n －1)](n －1)2个数，即n (n －1)2个数，也就是说第n －1行的最终一个数就是n (n －1)2，那么，第n (n ≥3)行的从左至右的第3个数是n (n －1)2＋3，也就是n 2－n ＋62.答案 n 2－n ＋6215．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3.观看上述结果，依据上面规律，可推想f (128)＞__________.解析 观看f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3可知，等式及不等式右边的数构成首项为32，公差为12的等差数列，故f (128)＞32＋6×12＝92. 答案 9216．椭圆中有如下结论：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上斜率为1的弦的中点在直线x a 2＋yb 2＝0上，类比上述结论：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上斜率为1的弦的中点在直线________上． 解析 将椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中的x 2变为x ，y 2变为y ，右边变为0，得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上斜率为1的弦的中点在直线x a 2＋yb 2＝0上．类比上述结论，将双曲线的方程作上述变换可知：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上斜率为1的弦的中点在直线x a 2－yb 2＝0上，不妨设弦的两个端点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 2－y 1x 2－x 1＝1，弦中点设为(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，将上述两端点代入双曲线方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1x 22a 2－y 22b 2＝1，两式相减得x 22－x 21a 2－y 22－y 21b 2＝0，(x 2－x 1)(x 2＋x 1)a 2－(y 2－y 1)(y 2＋y 1)b 2＝0，所以(x 2－x 1)(x 2＋x 1)a 2－(x 2－x 1)(y 2＋y 1)b 2＝0，化简得x 2＋x 1a 2－y 2＋y 1b 2＝0，2x 0a 2－2y 0b 2＝0，所以x 0a 2－y 0b 2＝0，于是(x 0，y 0)在直线x a 2－yb 2＝0上． 答案 x a 2－yb 2＝0。

专题十一 等差数列与等比数列一、单选题1．（2021·全国高三专题练习（理））设数列{}n a 满足13a =，26a =，()2*129n n na a n a +++=∈N ，（ ）A ．存在*n ∈N ，n a Q ∈B ．存在0p >，使得{}1n n a pa +-是等差数列C ．存在*n ∈N，n a =D ．存在0p >，使得{}1n n a pa +-是等比数列2．（2021·全国高三专题练习）已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n na a a a ++-=+，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n =（ ） A ．119B ．121C ．120D ．122二、多选题3．（2021·全国高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1114240,1n n n n a a a a a λλμ++++--==，则下列结论正确的是（ ）A ．若11,2λμ==，则{}n a 是等差数列 B ．若11,2λμ==，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1nn + C ．若12,2λμ==，则{}1n a +是等比数列 D ．若12,2λμ==，则122n n S n +=--第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 三、解答题4．（2021·全国高三专题练习（理））已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22111224n n n n n n a a a a a a ----=++(2n ≥)，11a =.（1）证明数列{}n a 是等差数列，并求其前n 项和n S .（2）若141n n b S =-，试求数列{}n b 的前n 项和n T .5．（2021·浙江温州市·高三二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2,,n n n S n n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数．（1）求23,a a 及通项公式n a ；（2）记1n n n b a a +=+，求数列{}12n n b -⋅的前2n 项的和2n T ．6．（2021·全国高三专题练习（文））已知数列{}n a 对任意的*n N ∈都满足312233333nn a a a a n ++++=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令3413431log log n n n b a a -+=，求数列{}n b 的前n 项和为n T .7．（2021·天津河西区·高三一模）已知数列{} n a 是等差数列，{} n b 是递增的等比数列，且11a =，12b =，222b a =，3331b a =-． （1）求数列{} n a 和{} n b 的通项公式；（2）若()()1211 n a n n n c b b +=--，求数列{} n c 的前n 项和n S ．8．（2021·浙江宁波市·高三专题练习）在①22n n nS +=；②112n n n a a a +-=-，77428S a ==；③11n n a n a n++=，36S =这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加解答.问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，___________，若2n nn a a b =，求数列{}n b 的前n 项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分.9．（2021·全国高三专题练习）数列{}n a 的前n 项之和为n S ，11a =，11n n a pa +=+(p为常数)（1）当1p =时，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项之和；（2）当2p =时，求证数列{}1n a +是等比数列，并求n S .10．（2021·莆田第二十五中学高二期末）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，111a b ==，5435()a a a =-，5434()b b b =-.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）221n n n c a b +=，求数列{}n c 的前n 项和n S .11．（2021·江苏高三专题练习）由整数构成的等差数列{}n a 满足31245,2a a a a ==. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 的通项公式为2nn b =，将数列{}n a ，{}n b 的所有项按照“当n 为奇数时，n b 放在前面；当n 为偶数时、n a 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{}n c ，1b ，1a ，2a ，2b ，3b ，3a ，4a ，4b ，……，求数列{}n c 的前43n +项和43n T +.12．（2020·江苏南京市·南京师大附中高三月考）已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足22(2)21nn n S a n S =≥-. （1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）设1n n b S =，()211n n n n b c b b ++=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T . 13．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学）已知各项均为正数的等差数列{}n a 的首项为1，且满足235621a a a =-. （1）求{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 的通项公式为2(1)2n n a n n a b a a +=+，其前n 项和为{}n S ，证明1n S <.14．（2020·天津静海区·高三月考）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 和n S 满足：()()2411,2,3n n S a n =+=⋅⋅⋅．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=⋅，求{}n b 的前n 项和n T ；（3）在（2）的条件下，对任意*n ∈N ，23n mT >都成立，求整数m 的最大值． 15．（2020·江苏南通市·高三期中）已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为1(,)d a Z d Z ∈∈，前n 项的和为n S ，且7549,2426S S =<<.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项的和为T n ，求T n .16．（2020·陕西西安市·长安一中高二期中（文））正项数列{}n a 满足：2(21)20n n a n a n ---=．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令1(1)n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．（2021·山东高三专题练习）已知数列{}n a 中10a =，且1210n n a a ---=，()*2,n n N ≥∈.（1）求证：数列{}1n a +为等比数列；（2）设()1n n b n a =+，求数列{}n b 的n 项和n T .18．（2021·全国高三专题练习）数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，()()12123n n n a n S +-=+（1n =，2，3，…）． （1）证明：数列21n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等比数列； （2）求数列{}n S 的前n 项和n T ．19．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三期中（理））数列{}n a 中，12a =，()121n n n a a n++=.（1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n n b a n=-，数列{}12nn n b b +的前n 项和为n S .求证：1n S <. 20．（2021·全国）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*112n n a S n =+∈N ． （1）求n S ；（2）若21log 2n n n n b a a ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．21．（2020·咸阳市高新一中高三月考（理））已知数列{}n a 是递增的等差数列，23a =，若13181,,a a a a a -+成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若13n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和n S ，求n S . 22．（2021·江西新余市·高二其他模拟（理））等比数列{}n a 中，12a =，且2，21a +，3a 成等差数列，（1）求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足122nb n a a a ⋅⋅⋅=，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和nS ．23．（2020·湖南永州市·高三月考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，*11()n n a S n N +=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n a ，1b ，2b ，，n b ，1n a +组成一个2n +项的等差数列，记其公差为n d ，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .24．（2020·天津滨海新区·高三其他模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*n S n n N =∈，数列{}n b 为等比数列，且21a +，41a +分别为数列{}n b 第二项和第三项.（1）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；（2）若数列11n n n n n c a b a a +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 25．（2020·宁夏银川一中高三月考（理））已知数列{}n a 满足114a =，112n n n n a a a a ---=⋅（2n ≥，*n N ∈），0n a ≠ （1）证明数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭*()n N ∈为等比数列，求出{}n a 的通项公式； （2）数列{}n a 的前项和为n T ，求证：对任意*n N ∈，23n T <. 26．（2020·湖北武汉市·高二期末）已知数列{}n a 满足11a =，13(1)n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求1b ，2b ，3b ；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，说明理由；并求{}n a 的通项公式．27．（2020·重庆高二月考）已知数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，214a b =，22n n S a =-，()211n n nb n b n n +-+=+()*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列. （3）若数列{}n c 的通项公式为,2,4n nn n n a b n c a b n 为奇数为偶数⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，令212n n n P c c -=+.n T 为{}n P 的前n 项的和，求n T .28．（2020·河北保定市·高碑店一中高一月考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()112n n S a n N *+=∈（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设()()113log 1n n b S n N *+=-∈，令12231111nn n Tb b b b b b +=++⋅⋅⋅+，求n T . 29．（2021·湖北荆州市·沙市中学高二期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，{}n b 的通项公式为3411142,2,11n n b b a a S b ==-=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}221n n a b -的前n 项和()*n T n N∈．30．（2020·广东河源市·中山高级中学高二期中）已知等差数列{}n a 满足253,25a S ==. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S . 31．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二开学考试（理））已知数列{}n a 满足12a =，132n n a a +=+.（1）证明{1}n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足3log (1)n n b a =+，n T 为数列{}·(1)n n b a +的前n 项和，求n T . 32．（2019·广东湛江市·高二期末（文））已知数列{}n a 是等比数列，首项11a =，公比0q >，其前n 项和为n S ，且11S a +，33S a +，22S a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 33．（2020·苏州市相城区望亭中学高二月考）已知等差数列{}n a 的公差d 大于0，且满足3655a a =，2716a a +=．数列{}n b 满足231222n b b a b =++1(*)2nn b n -++∈N ． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设121n n n n n a a a c b +++=，求n c 取得最大值时n 的值．34．（2020·湖北荆州市·沙市中学高二期末）已知等差数列{a n }满足a 1+a 4+a 7＝0，a 3+a 6+a 9＝﹣18，前n 项和为S n ． （1）求S 9（2）记b n ＝|a n |，求数列{b n }的前9项和T 9．35．（2020·福清西山学校高三期中（文））数列{}n a 中，n S 为前n 项和，且*23()n n S na n n N =+∈.（1）求证：{}n a 是等差数列； （2）若25,n a b ==，n T 是{}n b 的前n 项和，求n T .36．（2020·大同市煤矿第四中学校高三期中（理））已知数列{}n a 成等差数列，各项均为正数的数列{}n b 成等比数列，132,8b b ==，且2323a a b -=，3433a a b -=. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设2211log n n n c a b +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S .37．（2020·陕西西安市·西安中学高二月考（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1111,(1,2,3,)2n n a a S n +===．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()312log 3n n b a +=时，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 38．（2020·湖南长沙市·高二月考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a =，1n n S a n +=-，*n ∈N .（1）求证：数列{}1n a +是等比数列； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，已知1n n n b a =+，若不等式922n nT m a ≥-+对于*n ∈N 恒成立，求实数m 的最大值.39．（2020·长沙市湖南师大第二附属中学有限公司高三月考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为正项等比数列，且13a =，11b =，3212b S +=，5322a a b -=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若2(()n n nn S c b n 为奇数）为偶数⎧⎪=⎨⎪⎩，设{}n c 的前n 项和为n T ，求2n T .40．（2020·江苏省江阴市第一中学高二期中）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，*13 1 (N )n n S S n +-=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：31log n n b a +=，{}n b 的前n 项和为n T ，求12100111T T T +++的值.41．（2020·山西省长治市第二中学校高三月考（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，47a =，525S =，数列{}n b 满足113b =，113n n n b b n++=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．42．（2020·武威第六中学高三月考（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*32n n nS n N -=∈，正项等比数列{}n b 满足11b a =，56b a =. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 前n 项和n T . 四、填空题43．（2020·通榆县第一中学校高三月考（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且364n n S a =-，若()*11,m k a a m k k N ⋅=≤<∈，则k 的取值集合是__________.44．（2020·桃江县第一中学高三期中）已知函数()1()1f x x -=+，数列{}n a 是正项等比数列，且10111a =，()()()()()32020202112f a f a f f a a f a +⋅⋅⋅++++=________.45．（2020·上海浦东新区·上外浦东附中高二月考）取出数列{},(4)n a n ≥的任意连续四项，若其中奇数项之和，偶数项之和均为同一个常数h （如连续四项1a ，2a ，3a ，4a ，满足1324a a a a h +=+=），则称数列{},(4)n a n ≥为错位等和数列，其中常数h 是公和.若n S 表示{}n a 的前n 项和，有如下命题： （1）若一个等差数列是错位等和数列，则1n a a =；（2）若一个等比数列是错位等和数列，则2n nh S =； （3）若12a a ≠，则错位等和数列一定是最小正周期为4的周期数列； （4）在错位等和数列{}n a 中，5h =，且201320146a a +=，若n 是偶数，则104,4210,4n k n k S k n k -=-⎧=⎨=⎩；其中，真命题的序号是________46．（2020·湖北省武昌实验中学高一月考）数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知115a =，且对任意正整数,m n ，都有m n m n a a a +=⋅，若n S t <恒成立，则实数t 的最小值为________.47．（2020·四川攀枝花市·高三月考（文））正项等比数列{}n a 满足1354a a +=，且22a ，412a ，3a 成等差数列，设*1()n n nb a a n N +=∈，则12n b b b ⋅⋅取得最小值时的n 值为_________．48．（2020·安徽省太和第一中学高三月考（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，则数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T =______．。

2021年高考数学二轮复习小题限时练十一1.设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x ＜0}，B ＝{x |x ＞1}，则集合A ∩∁U B ＝________. 解析 ∁U B ＝{x |x ≤1}，A ＝{x |0＜x ＜2}，故A ∩∁U B ＝{x |0＜x ≤1}. 答案 {x |0＜x ≤1}2.复数(1＋2i)2的共轭复数是________.解析 (1＋2i)2＝1＋4i －4＝－3＋4i ，其共轭复数为－3－4i. 答案 －3－4i3.已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝________. 解析 利用等比数列的通项公式求出公比，再求首项.设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则a 3·a 9＝2a 25⇒a 23·q 6＝2(a 3q 2)2⇒q ＝2，又a 2＝1，所以a 1＝22. 答案224.从某项综合能力测试中抽取10人的成绩，统计如下表，则这10人成绩的方差为________.答案1255.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为________.解析 利用三角函数图象求出解析式，再求解函数值，由三角函数图象可得A ＝2，34T＝11π12－π6＝34π，所以周期T ＝π＝2πω，解得ω＝2.又函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝2，0<φ<π，解得φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝1.答案 16.已知集合A ＝{2，5}，在A 中可重复的依次取出三个数a ，b ，c ，则“以a ，b ，c 为边恰好构成三角形”的概率是________.解析 “在A 中可重复的依次取出三个数a ，b ，c ”的基本事件总数为23＝8，事件“以a ，b ，c 为边不能构成三角形”分别为(2，2，5)，(2，5，2)，(5，2，2)，所以P ＝1－38＝58.答案 587.设变量x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－12x －y ≤3，，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值是________.解析 不等式组对应的可行域如图，由图可知，当目标函数经过图中点(2，1)时取得最小值7. 答案 78.下图是一个算法的流程图，最后输出的S ＝________.解析 当a ＝5，P ＝25＞24，S ＝25；a ＝6，P ＝24＜25，输出的S ＝25. 答案 259.表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为________. 解析 建立目标函数后利用导数求解.设圆柱的底面圆半径为r ，高为l ，则表面积为2πr 2＋2πrl ＝12π，则l ＝6－r 2r，r ∈(0，6)，体积为V ＝πr 2l＝πr 2·6－r 2r＝π(6r －r 3)，r ∈(0，6)，所以V ′＝π(6－3r 2)，由V ′＝0解得r ＝2，且r ∈(0，2)时V ′>0，r ∈(2，6)时V ′<0，所以r ＝2时，该圆柱的体积取得最大值，此时高l ＝42＝22，底面半径与高的比值为r l ＝12.答案 1210.在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝4，b ＝5， △ABC 的面积为53，则c ＝________，sin A ＝________.解析 由三角形面积公式可以求出sin C ，得到锐角C 的值，借助余弦定理求出c 边，最后利用正弦定理求sin A .由S △ABC ＝12ab sin C ，代入数据解得sin C ＝32，又C 为锐角三角形的内角，所以C ＝60°.在△ABC 中，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝21，即c ＝21.再在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＝a sin Cc＝4×3221＝277.答案 2127711.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，都有不等式f (x )＋xf ′(x )＞0成立，若a ＝40.2f (40.2)，b ＝(log 43)f (log 43)，c ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 4116f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 4116，则a ，b ，c 的大小关系是________.解析 由f (x )＋xf ′(x )＞0得(xf (x ))′＞0，令g (x )＝xf (x )，则g (x )在(0，＋∞)递增，且为偶函数，且a ＝g (40.2)，b ＝g (log 43)，c ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 4116＝g (－2)＝g (2)，因为0＜log 43＜1＜40.2＜2，所以c ＞a ＞b . 答案 c ＞a ＞b12.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2（1－x ），x ≤0，f （x －1）＋1，x ＞0，f (x )＝x 的根从小到大构成数列{a n }，则a 2 015＝________.解析 利用函数图象得数列通项公式，再求第2 015项.作出函数f (x )的图象如图，由图象可知方程f (x )＝x 的根依次是0，1，2，3，…，所以a n ＝n －1，故a 2 015＝2 015－1＝2 014. 答案 2 01413.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点.若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为________.解析 利用三角形面积建立基本量的关系求解.抛物线y 2＝4x 的准线方程是x ＝－1，双曲线的渐近线y ＝±bax 与x ＝－1的交点坐标分别是A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－b a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，b a .又△AOB 的面积为2，所以12×2ba ×1＝2，即b ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝4a 2，c ＝5a ，所以离心率e ＝c a＝ 5.答案 514.如图，Ox 、Oy 是平面内相交成120°的两条数轴，e 1，e 2分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP →＝x e 1＋y e 2，则将有序实数对(x ，y )叫做向量OP →在坐标系xOy 中的坐标. (1)若OP →＝3e 1＋2e 2，则|OP →|＝________；(2)在坐标系xOy 中，以原点为圆心的单位圆的方程为________. 解析 由题意可得e 1·e 2＝cos 120°＝－12.(1)|OP →|＝ （3e 1＋2e 2）2＝ 9＋4－6＝7； (2)设圆O 上任意一点Q (x ，y )， 则OQ →＝x e 1＋y e 2，|OQ →|＝1，即x 2＋2xy ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋y 2＝1，故所求圆的方程为x 2－xy ＋y 2－1＝0. 答案 (1)7 (2)x 2－xy ＋y 2－1＝0。

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高考小题标准练(十一)满分75分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|1≤x ≤2}，B={x|x 2-1≤0}，则A ∩B=( ) A.{x|-1<x<1} B{x|-1<x<2} C.{1} D.{-1，1}【解析】选C.由已知，得A={x|1≤x ≤2}，B={x|-1≤x ≤1}，则A ∩B={x|x=1}. 2.已知复数z 满足(2-i)2·z=1，则z 的虚部为( ) A.325i B.325C.425i D.425【解析】选D.设复数z=a+bi ，则由(2-i)2·z=1可得：(4-4i-1)·(a+bi)=1，即3a+4b+(3b-4a)i=1，所以{3a +4b =1,3b −4a =0,解得：a=325，b=425，故z 的虚部为425.3.已知log 2a>log 2b ，则下列不等式肯定成立的是( ) A.1a >1bB.log 2(a-b)>0C.2a-b<1 D.(13)a <(12)b【解析】选D.由log 2a>log 2b 得a>b>0，所以(13)a <(13)b <(12)b，故选D.4.函数f(x)=x 2+bx 的图象在点A(1，f(1))处的切线与直线3x-y+2=0平行，若数列{1f(n)}的前n 项和为S n ，则S 2021=( )A.1B.2 0132 014C.2 0142 015D.2 0152 016【解题提示】由f ′(1)与直线斜率相等可得f(x)的解析式，从而可得数列{1f(n)}的通项公式，计算可得答案.【解析】选D.f ′(x)=2x+b ，由直线3x-y+2=0可知其斜率为3， 依据题意，有f ′(1)=2+b=3，即b=1， 所以f(x)=x 2+x ，从而数列{1f(n)}的通项为1f(n)=1n 2+n =1n -1n+1，所以S 2021=1-12+12-13+…+12 015-12 016=2 0152 016.5.直线x-y+1=0被圆x 2+y 2+2my=0所截得的弦长等于圆的半径，则实数m=( ) A.√6-2或√6+2 B.2+√6或2-√6 C.1 D.√6【解析】选B.圆的方程即x 2+(y+m)2=m 2，圆心(0，-m)到已知直线的距离d=|m+1|√2=√3|m|2，解得m=2+√6或m=2-√6.6.函数f(x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能的是 ( )【解析】选A.由f ′(x)的图象可知f(x)在(-2，0)上是单调递增的， 在(-∞，-2)，(0，+∞)单调递减，故选A.7.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是74，则( )A.a=3B.a=4C.a=5D.a=6【解析】选A.第一次：S=32，k=2；其次次：S=53，k=3；第三次：S=74，k=4，退出循环，故选A.8.已知不等式组{x −y ≥0,x +y ≤1,x +2y ≥1表示的平面区域为D ，若D 内存在一点P(x 0，y 0)，使ax 0+y 0<1，则a 的取值范围为( )A.(-∞，2)B.(-∞，1)C.(2，+∞)D.(1，+∞)【解析】选A.平面区域D 如图所示，先求z=ax+y 的最小值，当a ≤12时，-a ≥-12，z=ax+y 在点A(1，0)取得最小值a ；当a>12，-a<-12，z=ax+y 在点B (13,13)取得最小值13a+13.若D 内存在一点P(x 0，y 0)，使ax 0+y 0<1，则有z=ax+y 的最小值小于1，所以{a ≤12,a <1或{a >12,13a +13<1,解得a<2，故选A.9.在平行四边形ABCD 中，AB →·BD →=0，2AB →2+BD →2-4=0，若将其沿BD 折成直二面角A-BD-C ，则三棱锥A-BDC 的外接球的表面积为( )A.16πB.8πC.4πD.2π【解题提示】由已知中AB →·BD →=0，可得AB ⊥BD ，沿BD 折起后，由平面ABD ⊥平面BDC ，可得三棱锥A-BCD 的外接球的直径为AC ，进而依据2AB 2→+BD 2→-4=0，求出三棱锥A-BCD 的外接球的半径.【解析】选C.平行四边形ABCD 中，由于AB →·BD →=0，所以AB ⊥BD ， 沿BD 折成直二面角A-BD-C ， 由于平面ABD ⊥平面BDC ，三棱锥A-BCD 的外接球的直径为AC ， 所以AC 2=AB 2+BD 2+CD 2=2AB 2+BD 2=4，所以外接球的半径为1，故表面积是4π.10.已知函数f(x)的定义域为[-1，5]，部分对应值如表，f(x)的导函数y= f ′(x)的图象如图所示.x -1 0 2 4 5 y1221若函数y=f(x)-a 有4个零点，则实数a 的取值范围为( ) A.[1，2) B.[1，2] C.(2，3) D.[1，3)【解析】选A.依据导函数的图象可知：y=f(x)在[-1，0]，[2，4]单调递增，在[0，2]，[4，5]单调递减，将函数的大致图象画出，所以若y=f(x)-a 有4个零点，则a ∈[1，2)，所以答案为A.【加固训练】已知f(x)是定义在(0，+∞)上的单调函数，且对任意的x ∈(0， +∞)，都有f[f(x)-log 2x]=3，则方程f(x)-f ′ (x)=2的解所在的区间是( ) A.(0,12) B.(12,1) C.(1，2) D.(2，3)【解析】选C.对任意的x ∈(0，+∞)，都有f[f(x)-log 2x]=3，又由f(x)是定义在(0，+∞)上的单调函数，则f(x)-log 2x 为定值，设t=f(x)-log 2x ，则f(x)=log 2x+t ，又由f(t)=3，即log 2t+t=3， 解得t=2；则f(x)=log 2x+2，f ′(x)=1xln2，由于f(x)-f ′(x)=2， 所以log 2x+2-1xln2=2，即log 2x-1xln2=0，设h(x)=log 2x-1xln2，可知h(x)在定义域上为单调增函数，又由于h(1)=log 21-1ln2<0，h(2)=log 22-12ln2=1-1ln4>0，所以h(x)=log 2x-1xln2的零点在区间 (1，2)上，即方程f(x)-f ′(x)=2的解所在的区间是(1，2).二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.已知向量a =(x 2-1，2+x)，b =(x ，1)，a ∥b ，则x= .【解析】由于a =(x 2-1，2+x)，b =(x ，1)，a ∥b ，所以x 2-1=(2+x)x ，解得x=-12.答案：-1212.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为 .【解析】由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为4的圆锥的一半，其表面积为：S=12×π×22+12×4×4+12×12×2π×2×√42+22=8+(2+2√5)π.答案：8+(2+2√5)π13.椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右顶点A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2的斜率的取值范围是[-2，-1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是 .【解析】椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右顶点A 1，A 2的坐标为(-2，0)，(2，0)，设点P的坐标为(x 0，y 0)，由题意x 024+y 023=1，所以y 02x 02−4=-34，又由于k PA 1·k PA 2=y 0x 0+2·y 0x 0−2=y 02x 02−4=-34，k PA 1=−34k PA 2，直线PA 2的斜率的取值范围是[-2，-1]，所以38≤k PA 1≤34.答案：[38,34]14.抛物线y 2=-12x 的准线与双曲线x 26-y 22=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 .【解析】抛物线的准线方程为x=3，双曲线的渐近线方程为y=±√33x ，所以所要求的三角形的面积为12×3×2√3=3√3.答案：3√315.袋中有大小、质地相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球，若摸出红球，得2分，摸出黑球，得1分，则3次摸球所得总分至少是4分的概率是 .【解析】全部基本大事为(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)共计8个，总分至少4分的大事可分为“两黑一红”，“一黑两红”，“三红”这三个互斥大事，所以P=38+38+18=78；也可求对立大事“总分少于4分”即“三黑”的概率为18，所以P=1-18=78. 答案：78关闭Word 文档返回原板块。

2021年高三数学下学期第十一次大练习 文（含解析）1．复数满足，则复数的实部与虚部之差为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由得，所以复数的实部与虚部之差为1-1=0. 2.已知集合，，则等于A ．（-∞，5）B ．（-∞，2）C ． （1，2）D ．【答案】C 【解析】因为集合，，所以=（1，2）。

3. 执行右边的程序框图，若输出的是，， 则判断框内的应是A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】第一次循环：； 第二次循环：； 第三次循环：231111713,22228n n n s s =+==+=++=，此时应输出，故判断框内的应是4.4.如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积是A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】由三视图知：该几何体为底面边长是2，髙为1的正三棱柱，所以该几何体的体积为。

5. 已知数列的前项和为，且，则等于A.B. 1C. 2D. 4【答案】D【解析】当；。

6. 的值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】222211sin140cos50sin(250)cos70sin70cos701222 cos155sin25cos25sin25cos50cos50 -==== --。

7. 函数的大致图像是A B C D【答案】B【解析】函数的图像是由函数向左平移一个单位，然后再把函数图像y轴左侧的去掉，并把右侧的对称到左侧去，所以答案选B。

8.设，把的图象按向量平移后，图象恰好为函数的图象，则的值可以为A． B． C． D.【答案】D【解析】因为，所以，又因为把的图象按向量平移后，图象恰好为函数的图象，则的值可以为。

9.过点P(4,2)作圆的两条切线，切点分别为A、B，0为坐标原点，则的外接圆方程是A． B．C． D．【答案】A【解析】由圆x2+y2=4，得到圆心O坐标为（0，0），∴的外接圆为四边形OAPB的外接圆，又P（4，2），∴外接圆的直径为|OP|，半径为外接圆的圆心为线段OP的中点是（2，1），所以的外接圆方程是。

高考数学二轮复习小题标准练十一文新人教A版满分80分,实战模拟,40分钟拿下高考客观题满分!一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x∈R|x≤1},B={x∈R|x2≤4},A∩B= ( )A.[-2,1]B.[-2,2]C.[1,2]D.(-∞,2]【解析】选A.集合B={x|-2≤x≤2},A={x∈R|x≤1},借助于数轴可知A∩B={x|-2≤x≤1}2.已知i是虚数单位,复数z=,则|z-2|= ( )A.2B.2C.D.1【解析】选C.因为z====1+i,所以|z-2|=|-1+i|=.3.如图是2017年第一季度五省GDP情况图,则下列陈述正确的是( )①2017年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省只有1个;②与去年同期相比,2017年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长;③去年同期的GDP总量前三位是江苏、山东、浙江;④2016年同期浙江的GDP总量也是第三位.A.①②B.②③④C.②④D.①③④【解析】选B.总量排序为:江苏,山东,浙江,河南,辽宁;增速排序为:江苏,辽宁,山东,河南,浙江;则总量和增速均居同一位的省有河南,江苏两省,说法①错误;与去年同期相比,2017年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长,说法②正确;去年同期的GDP总量前三位是江苏、山东、浙江,说法③正确;2016年的GDP总量计算为:浙江:,江苏:,河南:,山东:,辽宁:,据此可知,2016年同期浙江的GDP总量也是第三位,说法④正确.4.已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7= ( )A.21B.42C.63D.84【解析】选B.设等比数列公比为q,则a1+a1q2+a1q4=21,又因为a1=3,所以q4+q2-6=0,解得q2=2,所以a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=42,故选B.5.已知直线ax+by+c-1=0(bc>0)经过圆x2+y2-2y-5=0的圆心,则+的最小值是( ) A.9 B.8 C.4 D.2【解析】选 A.依题意得,圆心坐标是(0,1),于是有b+c=1,+=(b+c)=5++≥5+2=9,当且仅当即b=2c=时取等号,因此+的最小值是9.6.下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A.y=cos(2x+)B.y=sinC.y=sin2x+cos2xD.y=sinx+cosx【解析】选A.对于选项A,因为y=-sin2x,T==π,且图象关于原点对称,故选A.7.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a= ( )A.0B.1C.2D.3【解析】选D.由题意,知y′=a-,又曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,所以切线的斜率为a-=2,解得a=3,故选D.8.已知MOD函数是一个求余函数,其格式为MOD(n,m),其结果为n除以m的余数,例如MOD(8,3)=2.如图是一个算法的程序框图,当输入的值为25时,则输出的结果为( )A.4B.5C.6D.7【解析】选B.由程序框图,得i=2,MOD(25,2)=1;i=3,MOD(25,3)=1;i=4,MOD(25,4)=1;i=5,MOD(25,5)=0,输出i,即输出结果为5.9.若实数x,y满足且z=2x+y的最小值为4,则实数b的值为( )A.1B.2C.D.3【解析】选D.由可行域可知目标函数z=2x+y在直线2x-y=0与直线y=-x+b的交点处取得最小值4,所以4=2×+,解得b=3.10.已知四面体P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,若PB⊥平面ABC,AB⊥AC,且AC=1,PB=AB=2,则球O的表面积为( )A.7πB.8πC.9πD.10π【解析】选C.依题意记题中的球的半径是R,可将题中的四面体补形成一个长方体,且该长方体的长、宽、高分别是2,1,2,于是有(2R)2=12+22+22=9,4πR2=9π,所以球O的表面积为9π.11.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,点E在C的准线上,且在x轴上方,线段EF的垂直平分线与C的准线交于点Q,与C交于点P,则点P的坐标为( )A.(1,2)B.(2,2)C.(3,2)D.(4,4)【解析】选D.由题意,得抛物线的准线方程为x=-1,F(1,0).设E(-1,y),因为PQ为EF的垂直平分线,所以|EQ|=|FQ|,即y-=,解得y=4,所以kEF==-2,kPQ=,所以直线PQ的方程为y-=(x+1),即x-2y+4=0.由解得即点P的坐标为(4,4).12.已知函数f(x)=且方程f2(x)-af(x)+2=0恰有四个不同的实根,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-2)∪(2,+∞)B.(2,3)C.(2,3)D.(2,4)【解析】选B.画出函数f(x)的图象如图所示,若方程f2(x)-af(x)+2=0有四个不同的实数根,令f(x)=t,只需t2-at+2=0,t∈(1,2]有两个不同实根.则解得2<a<3.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知向量e1,e2不共线,a=2e1+me2,b=ne1-3e2,若a∥b,则mn=________.【解析】因为a∥b,所以a=λb,即2e1+me2=λ(ne1-3e2)⇒得mn=-6.答案:-614.如图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4,腰长为4的等腰梯形,则该几何体的侧面积是____________.【解析】根据三视图中的数据可知该几何体是上下底面半径分别为1,2,母线长为4的圆台,则该几何体的侧面积为S侧=(c+c′)·l=π(r1+r2)·l=12π.答案:12π15.双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平分圆C:(x-1)2+(y-2)2=1的周长,此双曲线的离心率等于________.【解析】依题意得,双曲线的渐近线过圆心(1,2),于是有=2,所以双曲线的离心率为=.答案:16.设不等式组表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离小于2的概率是________.【解析】区域D表示矩形,面积为3,到坐标原点的距离小于2的点位于以原点O为圆心,半径为2的圆内,图中阴影部分的面积为×1×+×π×4=+,故所求概率为.答案:。

2017届高考数学二轮复习 小题综合限时练（十一）理(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.若集合A ＝{x |3＋2x －x 2＞0}，集合B ＝{x |2x＜2}，则A ∩B 等于( ) A.(1，3) B.(－∞，－1) C.(－1，1)D.(－3，1)解析 ∵A ＝(－1，3)，B ＝(－∞，1)，∴A ∩B ＝(－1，1). 答案 C 2.若复数z ＝a ＋3ii＋a 在复平面上对应的点在第二象限，则实数a 可以是( ) A.－4 B.－3 C.1 D.2解析 若z ＝a ＋3ii＋a ＝(3＋a )－a i 在复平面上对应的点在第二象限，则a ＜ －3，选A. 答案 A 3.已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －9π14cos π7＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9π14sin π7＝13，则cos x 等于( ) A.13 B.－13C.223 D.±223解析 sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －9π14cos π7＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9π14sin π7＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ＝13， 即cos x ＝－13. 答案 B4.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，一头粗，一头细.在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，问中间3尺的重量为( ) A.6斤 B.9斤 C.9.5斤D.12斤解析 这是一个等差数列问题，设首项为2，则第5项为4，所以中间3尺的重量为32×(2＋4)＝9斤. 答案 B 5.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线x ＝a 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A ，且直线AF 与双曲线的一条渐近线关于直线y ＝b 对称，则双曲线的离心率为( ) A.5 B.3 C.2D.2解析 易得点A 坐标为(a ，b )，∵直线AF 与双曲线的一条渐近线关于直线y ＝b 对称，∴直线AF 的斜率为－b a ，即b a －c ＝－b a ⇒ca＝2. 答案 C6.袋子中装有大小相同的6个小球，2红1黑3白.现从中有放回的随机摸球2次，每次摸出1个小球，则2次摸球颜色不同的概率为( ) A.59B.23C.1118 D.1318解析 每次摸到红球、黑球和白球的概率分别为13、16和12，则所求概率为1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫162＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1118. 答案 C7.如图是一个程序框图，若输出i 的值为5，则实数m 的值可以是 ( )。

2019-2020年高考数学二轮复习小题综合限时练十一理一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.若集合A ＝{x |3＋2x －x 2＞0}，集合B ＝{x |2x＜2}，则A ∩B 等于( ) A.(1，3) B.(－∞，－1) C.(－1，1)D.(－3，1)解析 ∵A ＝(－1，3)，B ＝(－∞，1)，∴A ∩B ＝(－1，1). 答案 C 2.若复数z ＝a ＋3ii＋a 在复平面上对应的点在第二象限，则实数a 可以是( )A.－4B.－3C.1D.2解析 若z ＝a ＋3ii＋a ＝(3＋a )－a i 在复平面上对应的点在第二象限，则a ＜－3，选A. 答案 A3.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9π14cos π7＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9π14sin π7＝13，则cos x 等于( )A.13 B.－13C.223D.±223解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9π14cos π7＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9π14sin π7＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ＝13，即cos x ＝－13.答案 B4.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，一头粗，一头细.在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，问中间3尺的重量为( ) A.6斤 B.9斤 C.9.5斤D.12斤解析 这是一个等差数列问题，设首项为2，则第5项为4，所以中间3尺的重量为32×(2＋4)＝9斤. 答案 B5.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线x ＝a 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A ，且直线AF 与双曲线的一条渐近线关于直线y ＝b 对称，则双曲线的离心率为( ) A. 5 B.3 C.2D. 2解析 易得点A 坐标为(a ，b )，∵直线AF 与双曲线的一条渐近线关于直线y ＝b 对称，∴直线AF 的斜率为－b a，即ba －c＝－b a ⇒c a＝2.答案 C6.袋子中装有大小相同的6个小球，2红1黑3白.现从中有放回的随机摸球2次，每次摸出1个小球，则2次摸球颜色不同的概率为( ) A.59 B.23 C.1118D.1318解析 每次摸到红球、黑球和白球的概率分别为13、16和12，则所求概率为1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫162＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1118. 答案 C7.如图是一个程序框图，若输出i 的值为5，则实数m 的值可以是 ( ) A.3 B.4 C.5D.6解析 S ＝2，i ＝2，2≤2m ；S ＝6，i ＝3，6≤3m ；S ＝13，i ＝4，13≤4m ；S ＝23，i ＝5，23＞5m ，此时程序结束，则134≤m ＜235，故选B. 答案 B8.如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为( )A.4B.4 2C.4 3D.8解析 由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，面积最小的面为面VAB ，S △VAB ＝12×2×42＝4 2.答案 B9.将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后的图形关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A.32B.12C.－12D.－32解析 f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π6个单位得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，它的图象关于原点对称，∴π3＋φ＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π－π3，又|φ|＜π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为f (0)＝－32.答案 D10.对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f (x )称为M 函数： (ⅰ)对任意的x ∈[0，1]，恒有f (x )≥0；(ⅱ)当x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1时，总有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立. 则下列四个函数中不是M 函数的个数是( ) ①f (x )＝x 2，②f (x )＝x 2＋1，③f (x )＝ln(x 2＋1)， ④f (x )＝2x －1 A.1 B.2 C.3D.4解析 (ⅰ)在[0，1]上，四个函数都满足；(ⅱ)x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1；对于①，f (x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]＝(x 1＋x 2)2－(x 21＋x 22)＝2x 1x 2≥0，满足；对于②，f (x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]＝[x 1＋x 2)2＋1]－[(x 21＋1)＋(x 22＋1)]＝2x 1x 2－1＜0，不满足；对于③，f (x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]＝ln[(x 1＋x 2)2＋1]－[ln(x 21＋1)＋ln(x 22＋1)] ＝ln[(x 1＋x 2)2＋1]－ln[(x 21＋1)(x 22＋1)] ＝ln （x 1＋x 2）2＋1（x 21＋1）（x 22＋1）＝ln x 21＋x 22＋2x 1x 2＋1x 21x 22＋x 21＋x 22＋1， 而x 1≥0，x 2≥0，∴1≥x 1＋x 2≥2x 1x 2，∴x 1x 2≤14，∴x 21x 22≤14x 1x 2≤2x 1x 2，∴x 21＋x 22＋2x 1x 2＋1x 21x 22＋x 21＋x 22＋1≥1，∴ln x 21＋x 22＋2x 1x 2＋1x 21x 22＋x 21＋x 22＋1≥0，满足； 对于④，f (x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]＝(2x 1＋x 2－1)－(2x 1－1＋2x 2－1)＝2x 12x 2－2x 1－2x 2＋1＝(2x 1－1)(2x 2－1)≥0，满足. 答案 A11.双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，F 1，F 2为C的焦点，A 为双曲线上一点，若又|F 1A |＝2|F 2A |，则cos∠AF 2F 1＝( ) A.32 B.54C.55D.14解析 因为双曲线的一条渐近线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以b ＝2a ，又|F 1A |＝2|F 2A |，且|F 1A |－|F 2A |＝2a ，所以|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝4a ，而c 2＝5a 2⇒2c ＝25a ，所以cos∠AF 2F 1＝|F 1F 2|2＋|AF 2|2－|AF 1|22|F 1F 2||AF 2|＝20a 2＋4a 2－16a 22×25a ×2a ＝55.答案 C12.若对∀x ，y ∈[0，＋∞)，不等式4ax ≤e x ＋y －2＋ex －y －2＋2恒成立，则实数a 的最大值是( ) A.14 B.1 C.2 D.12解析 因为e x ＋y －2＋ex －y －2＋2＝ex －2(e y ＋e －y )＋2≥2(ex －2＋1)，再由2(ex －2＋1)≥4ax ，可有2a ≤1＋ex －2x，令g (x )＝1＋ex －2x，则g ′(x )＝ex －2（x －1）－1x2，可得g ′(2)＝0，且在(2，＋∞)上g ′(x )＞0，在[0，2)上g ′(x )＜0，故g (x )的最小值为g (2)＝1，于是2a ≤1，即a ≤12.答案 D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)13.⎝⎛⎭⎪⎫2x －15x 25的展开式中常数项为________. 解析 由通项公式得展开式中的常数项为(2)4C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＝－4.答案 －414.已知向量e 1，e 2不共线，a ＝2e 1＋m e 2，b ＝n e 1－3e 2，若a ∥b ，则mn ＝________.解析 ∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即2e 1＋m e 2＝λ(n e 1－3e 2)⇒⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝2，m ＝－3λ，得mn ＝－6. 答案 －615.如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －1≤0，y －2≤0，则z ＝y x ＋a 的最小值为12，则正数a 的值为________.解析 根据约束条件画出可行域，可判断当x ＝1，y ＝1时，z 取最小值为12，即11＋a ＝12⇒a＝1. 答案 116.在数列{a n }中，a 1＝13，1a n ＋1＝3a n （a n ＋3），n ∈N *，且b n ＝13＋a n.记P n ＝b 1·b 2·b 3·…·b n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，则3n ＋1P n ＋S n ＝________.解析 ∵1a n ＋1＝3a n （a n ＋3），b n ＝13＋a n ，∴b n ＝a n 3a n ＋1，1a n ＋1＝1a n －1a n ＋3＝1a n－b n ，∴P n ＝a 13a 2·a 23a 3·…·a n 3a n ＋1＝13n ＋1·a n ＋1，S n ＝1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1＝3－1a n ＋1， 则3n ＋1·P n ＋S n ＝1a n ＋1＋3－1a n ＋1＝3.答案 3。