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计算机图形学第4章图形变换(1)

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计算机图形学第4章图形变换

计算机图形学第4章图形变换

反射变换
总结词
反射变换是将图形关于某一平面进行镜像反射的变换。
详细描述
反射变换可以通过指定一个法向量和反射平面来实现。法向量垂直于反射平面，指向反射方向。在二 维空间中，反射变换可以将图形关于x轴或y轴进行镜像反射；在三维空间中，反射变换可以将图形关 于某一平面进行镜像反射。
03
复合图形变换
组合变换
01
02
03
04
组合变换是指将多个基本图形 变换组合在一起，形成一个复
杂的变换过程。
组合变换可以通过将多个变换 矩阵相乘来实现，最终得到一
个复合变换矩阵。
组合变换可以应用于各种图形 变换场景，如旋转、缩放、平
移、倾斜等。
组合变换需要注意变换的顺序 和矩阵的乘法顺序，不同的顺 序可能导致不同的变换结果。
矩阵变换
矩阵变换是指通过矩阵运算对图形进 行变换的方法。
常见的矩阵变换包括平移矩阵、旋转 矩阵、缩放矩阵和倾斜矩阵等。
矩阵变换可以通过将变换矩阵与图形 顶点坐标相乘来实现，得到变换后的 新坐标。
矩阵变换具有数学表达式的简洁性和 可操作性，是计算机图形学中常用的 图形变换方法之一。
仿射变换
仿射变换是指保持图形中点与 点之间的线性关系不变的变换。
05
应用实例
游戏中的图形变换
角色动画
通过图形变换技术，游戏中的角 色可以完成各种复杂的动作，如
跑、跳、攻击等。
场景变换
游戏中的场景可以通过图形变换 技术实现动态的缩放、旋转和平 移，为玩家提供更加丰富的视觉
体验。
特效制作
图形变换技术还可以用于制作游 戏中的特效，如爆炸、火焰、水
流等，提升游戏的视觉效果。
THANKS

计算机图形学 第4章 图形变换

计算机图形学 第4章 图形变换

=
s x1 s x 2 0 0
0 s y1 s y 2 0
0 0 1
(3) 复合旋转。
cos 1 sin 1 0 cos 2 sin 2 Tr Tr1 ·r 2 sin 1 cos 1 0 sin 2 cos 2 T 0 0 1 0 0 cos(1 2 ) sin(1 2 ) 0 sin(1 2 ) cos(1 2 ) 0 0 0 1
4．对称变换 设图形上的点P(x, y)在x轴和y轴方向分别作变换，结 果生成新的点坐标P‘(x’, y‘)，则
x ax by y dx ey
用齐次坐标和矩阵形式可表示为
a d 0 x y 1 x y 1 b e 0 [ax by dx ey 1] 0 0 1 a d 0
y dx y
用齐次坐标和矩阵表示为
1 d 0 [x' y' 1] = [x y 1]· =[x +by dx +y 1] b 1 0 0 0 1
错切变换矩阵为 K2 =
1 d 0 b 1 0 0 0 1
错切变换如图4-7所示。
图4-2 窗口与视图变换
4.2 图形的几何变换
图形变换一般是指对图形的几何信息经过几何变 换后产生新的图形。图形变换既可以看做是坐标系不 动而图形变动，变动后的图形在坐标系中的坐标值发 生变化；也可以看做图形不动而坐标系变动，变动后 该图形在新的坐标系下具有新的坐标值，本节所讨论 的几何变换属于前一种。 对于图形采用齐次坐标表示，可以方便地用变换 矩阵实现对图形的变换。假设二维图形变换前的一点 坐标为[x y 1]，变换后为[x' y' 1]；三维图形变换前的 一点坐标为[x y z 1]，变换后为[x' y' z' 1]。

计算机图形学PPT神奇的齐次坐标与二维图形变换

计算机图形学PPT神奇的齐次坐标与二维图形变换
0 P’
例如：关于X轴对称
P(x,y)
P’(x’,y’)
x’=x
x
y’=-y
2 几何变换
以二维为例：
错切：也称为剪切、错位变换，用于产生弹性物体的变形处理。
y
y
y
(a)原图
x
x
x
(b)沿x方向错切
(c)沿y方向错切
2 几何变换
以二维为例： 错切：也称为剪切、错位变换，用于产生弹性物体的变形处理。
2 几何变换
以二维为例：
平移：指将p点沿直线路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位 过程,是 一种不产生变形而移动物体的刚体变换。
y
P’
PT
Ty
Tx
0
x
P(x,y)
P’(x’,y’)
x’=x+Tx y’=y+Ty
Tx ：x方向的平移矢量 Ty ：y方向的平移矢量
2 几何变换
以二维为例：
比例：对p点相对于坐标原点沿x方向放缩Sx倍，沿y方向放缩Sy倍。其中Sx 和Sy称 为比例系数。
旋转
x’=xcosθ -ysinθ y’=xsinθ +ycosθ
cos sin 0
sin cos 0
0
0 1
3 齐次坐标的引入
T1
T3
a b p
x' y' 1 x y 1T2D x y 1c d q
l m s
T2
T4
其中：
T1是对图形进行比例、旋转、对称、 错切等变换；
T2是对图形进行平移变换； T3是对图形作投影变换； T4则可以对图形作整体比例变换。
旋转
x’=xcosθ -ysinθ y’=xsinθ +ycosθ

计算机图形学之图形变换

计算机图形学之图形变换

4 T
3
2 p
1
0
012 34 567 8
线段和多边形的平移可以通过顶点的
平移来实现。同样线段和多边形的其它几 何变换也可以通过对顶点的几何变换来实 现。
2. 旋转变换(Rotation) 二维旋转有两个参数：
旋转中心： 旋转角：
？
6 P’
5
4
3
P
2
1
0
012 34 567 8
设OP与x轴的夹角为 则：
由于采用齐次坐标矩阵表示几何变换， 多个变换的序列相应地可以用矩阵链乘来表 示。
需要注意：先作用的变换其矩阵在右边， 后作用的变换其矩阵在左边。
变换函数
平移变换 void glTanslate{fd}(TYPE x, TYPE y, TYPE z);
旋转变换 void glRotate{fd}(TYPE angle, TYPE x, TYPE y, TYPE z); 绕矢量v=(x,y,z)T逆时针方向旋转angle指定的角度。 旋转角度的范围是0~360度。当angle=0时， glRotate()不起作用。
二维旋转有两个参数： 旋转中心： 旋转角：
上述变换可以分解为三个基本变换：
•平移：
•旋转：
•平移： 回原位。
使旋转中心移到坐标原点； 使旋转中心再移
二维旋转有两个参数： 旋转中心： 旋转角：
因此上述变换可以写成矩阵乘积形式：
4. 5 基本三维几何变换(Basic three-dimensional geometric transformation)
1. 矩阵表示(Matrix representation) 前面三种变换都可以表示为如下的矩
阵形式

计算机图形学第4章图形变换(2)课件

计算机图形学第4章图形变换(2)课件

图形绕空间任意轴旋转的总变换矩阵是 H = T·Rx·Ry·Rz·Ry-1·Rx-1·T -1
4.3.5 三维对称变换
三维对称变换可以是关于给定对称轴的或者 是关于给定对称平面的变换。三维对称矩阵的建 立类似于二维的。关于给定对称轴的对称变换等 价于绕此轴旋转180°，可以直接使用已讨论过 的相对于轴线的旋转变换公式。关于给定对称平 面的对称变换其最简单的是对称于坐标平面的变 换。当对称平面是坐标平面时（x-y,或x-z,y-z）， 可以将此变换看成是左手系和右手系之间的转换。
符合下面形式：
x'=axxx+axyy+bx y'=ayxx+ayyy+by
变换的坐标x'和y'都是原始坐标x和y的线性函数。 参数aij和bk是由变换类型确定的常数。仿射变换 具有平行线转换成平行线和有限点映射到有限点 的一般特性。
平移、比例、旋转、对称和错切变换是二维仿 射变换的特例，任何常用的二维仿射变换总可表 示为这五种变换的组合。
三维变换的处理过程是什么？
（1）取景变换和规范化视见体变换； （2）三维剪取； （3）投影变换； （4）二维观察变换。
为使剪取处理简单和规范化（即单位化），需要 利用坐标变换将视见体规范化。视见体为世界空 间中将被裁剪出来并投影到视图平面的那一部分 定出边界。 二、三维剪取,其作用是仅保留在视见体内的物体 部分并对它生产图形显示。
三、投影变换将,视见体内的三维物体描述变换成 投影平面上的二维图形描述。
四、二维观察变换将投影平面上矩形窗内的图形 变换到显示器（或规范化）坐标中的视口内。
同样，在使用中用户也要求能控制显示图形 在显示屏上的位置和大小，我们把在显示器坐标 系中规定的显示图形区域称为视口。

第4章二维变换

第4章二维变换

• 性质
U •V = V •U U •V = 0 ⇔ U ⊥ V U •U = 0 ⇔ U = 0
变换的数学基础(3/4) 变换的数学基础
– 矢量的长度
• 单位矢量 • 矢量的夹角
2 U = U • U = u x + u y + u z2 2
U •V cos θ = U •V
– 矢量的叉积
i U ×V = ux vx
– 在世界坐标系（ 在世界坐标系（WCS）中指定的矩形区域 ， ） 用来指定要显示的图形 。
2. 视区
– 在设备坐标系（屏幕或绘图纸） 在设备坐标系（屏幕或绘图纸）上指定的矩形区域 ， 用来指定窗口内的图形在屏幕上显示的大小及位置。 用来指定窗口内的图形在屏幕上显示的大小及位置。
3. 窗口到视区的变换
P′＝P＋Tm 等价于
[x’ y’]=[x y] +[Mx My]
图形变换的特点（ 4.3.1 图形变换的特点（续）
比例变换 P′＝P×Ts
Sx 0 Ts＝ 0 Sy Sx、Sy分别表示比例因子。 cosθ sinθ Tr＝ -sinθ cosθ θ＞0时为逆时针旋转 θ＜0时为顺时针旋转
旋转变换 P＇＝P×Tr
变换后的 顶点坐标
P
变换前的 顶点坐标
•
T2D
二维变换矩阵
二维变换矩阵中： a b 是对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换。 c d [ l m] 是对图形进行平移变换
• 计算机图形场景中所有图形对象的空间定位和定义，包括观 计算机图形场景中所有图形对象的空间定位和定义， 察者的位置视线等，是其它坐标系的参照。 察者的位置视线等，是其它坐标系的参照。
2.模型坐标系（Modeling Coordinate System，也称局部坐标系） 模型坐标系

计算机图形学 7图形变换ppt课件


然后实行对称变换：
最后，把坐标恢复至原坐标原点（0，0，0）处，即做逆 变换为：

所以，最后所得齐次坐标的表达式为：
第四节 投影变换

将三维坐标的几何体变换成二维表示的图形就是投影 变换。 投影：将n维的点变换成小于n维的点。 注：以下所讲的概念均是指在三维空间中。 在三维空间中，选择一个点，可称该点为投影中心，不经 过该点再定义一个平面，称该平面为投影面，从投影中心 向投影面引出任意条射线，称这些射线为投影线，穿过物 体的投影线将于投影面相交，在投影面上形成物体的像， 称这个像为三维物体在二维投影面上的投影。 根据投影中心与投影平面之间的距离不同，投影可分 为平行投影和透视投影。平行投影的投影中心与投影平面 之间的距离为无穷大，而对透视投影，该距离是有限的。 投影可分为以下几类：

1.平行投影 平行投影根据投影方向与投影面的夹角分为两类， 即正投影与斜投影，当投影方向垂直与投影平面 时称为正投影，否则为斜投影。如下图：
（1）正投影与三视图 通常所说的三视图（正视图、俯视图、侧视图）均是正投 影
三视图的生成就是把x，y，z坐标系下的形体投影到z＝0 的 平面，变换到u，v，w坐标系。一般情况下还需要将三 个 视图在一个平面上画出。 1）将一个点（X，Y，Z）变成XOZ平面上的投影点（X， 0，Z），得到主视图。
中心思想是先用折线生成圆弧或椭圆弧，然后再对折线进 行变换。此时要考虑： （i）原来逼近的误差在变换后的变化； 简单说明一下变换前后的误差关系。 （ii）折线的段数越多，变换折线的计算量就越大
2）利用“先变换，再生成”的方法变换圆弧、椭圆弧
由解析几何知识可知，椭圆在线形变换下仍为椭圆，而 且中心仍为中心。

此外，我们还可以相对于某一点或某一直线进行对称， 其方法是：先进行适当的平移、旋转再进行平移变换。 例：写出相对于X＝Xa，Z＝Za进行对称的变换。 解：进行对称变换的对称轴是一条平行于y轴的直线，利 用复合变换则有： 首先：把坐标原点移到点（ Xa ，0， Za ）则变换矩阵为：

9-10讲 第4章 变换-几何变换及投影

Yv = c ⋅ Yw + d
当a≠c时，即x 方向的变化与y方向的变化不同时， ≠ 时 方向的变化与 方向的变化不同时， 方向的变化不同时 视图中的图形会有伸缩变化，图形变形。 视图中的图形会有伸缩变化，图形变形。 当 a=c=1， b=d=0则 Xv=Xw,Yv=Yw, 图形完全相同 。 ， 则 = , = , 图形完全相同。
14
4.2.3 窗口区和视图区的坐标变换
2. 变换过程 窗口-视图二维变换 窗口 视图二维变换
从应用程序得到 图形的用户坐标 对窗口区域 进行裁剪 窗口至视 区的变换 显示或 绘图
窗口-视图三维变换 窗口 视图三维变换
从应用程序得到图 形的三维用户坐标 投影 对窗口区 域裁剪 窗口至视 区的变换 显示或 绘图
16
4.3.1 齐次坐标
齐次坐标表示法: 维向量表示一个n维向量 齐次坐标表示法 用n+1维向量表示一个 维向量 维向量表示一个 (x,y)点对应的齐次坐标为 其中x 问题1:点对应的齐次坐标为(x 空间中的一点, 非齐次坐标表示方式唯一吗? 问题 点对应的齐次坐标为 h,yh,h), 其中 h=hx, yh=hy, 空间中的一点 非齐次坐标表示方式唯一吗 h≠0. 因此，普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多” ？ 因此，，(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直 问题2: 空间中的一点 其齐次坐标表示方式唯一吗 问题 普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多” 这样， 这样 空间中的一点, 其齐次坐标表示方式唯一吗？ 点对应的齐次坐标为三维空间的一条直
y2 z2
5
4.1 变换的数学基础
4.1.2 矩阵基础知识
矩阵的加法运算 数乘矩阵 矩阵的乘法运算 零矩阵运算 单位矩阵 矩阵逆运算 转置运算 矩阵的基本性质

图形变换概述


0 1 ty
100÷÷÷÷÷÷÷÷÷
(x',y') (x,y)
0
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
X
《计算机图形学》
平移变换的特性
二维图形变换 平移是不产生变形而移动物体的刚体变换,物体上
图形变换概述 的每个点移动相同的坐标
几何变换
直线的平移是将平移方程加到线的每个端点上
平移变换
平移变换 旋转变换 放缩变换 错切变换
关于原点的对称变换 关于直线y=x的对称变换 关于直线y= –x的对称变换
对称变换 复合变换
视象变换
(-x,y) Y(x,y)
视窗变换
(y,x)
(-y,-x)
X
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
(-x,-y) (x,-y)
《计算机图形学》
旋转变换的特性
二维图形变换 旋转是一种不变形地移动物体的刚体变换,物体上
图形变换概述 的所有点旋转相同的角度
几何变换
直线段旋转是将每个端点旋转指定的旋转角
平移变换 旋转变换 放缩变换
多边形的旋转则是将每个顶点旋转指定的旋转角 曲线的旋转则是旋转控制取样点
0 -1 0
100÷÷÷÷÷÷÷÷
(xⅱ y
1)= (x
y
1)骣 ççççççç桫100
0 -1 0
100÷÷÷÷÷÷÷÷
Y (x,y)
X
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
(x,-y)
《计算机图形学》
对称(Mirror)变换
二维图形变换 关于Y轴进行对称变换的解析表示
图形变换概述
x'= –x

计算机图形学 图形变换ppt课件


2
变换的数学基础(2/4)
矢量的数乘
ku x k U ku y ku z
矢量的点积
U V u v u v u v x x y y z z
性质
U V V U
U V 0 U V
U U 0 U 0
北大计算机系多媒体与人机交互
北大计算机系多媒体与人机交互
10
齐次坐标与二维变换的矩阵表示（3/4）
标准齐次坐标(x,y,1) 二维变换的矩阵表示
平移变换
x 1 0 t x x x 记为 T y 0 1 t y ( t , t ) y y x y 1 0 0 1 1 1
14
复合变换及变换的模式（3/6）
变换的结果与变换的顺序有关（矩阵乘 法不可交换）
Translate2D(1,0); Rotate2D(45); House(); Rotate2D(45); Translate2D(1,0); House();
北大计算机系多媒体与人机交互
15
复合变换及变换的模式（4/6）
变换具有统一表示形式的优点
便于变换合成 便于硬件实现
北大计算机系多媒体与人机交互
12
复合变换及变换的模式（1/6）
问题：如何实现复杂变换？
变换分解 变换合成
P x r( r,y r)
关于任意参照点
的旋转变换
R ( x , y ; ) T ( x , y ) R ( ) T ( x , y ) r r r r r r
关于y轴的对称变换
1 0 0 SYy 0 1 0 0 sin y sin cos 1 0 0 0 x x 记为 R 0 y ( ) y 1 1 1
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4.1.2 二维比例变换
如图所示，它改变显示图形的比例。新图形 p‘的每个图元点的坐标值是原图形p中每个图元点 的坐标值分别乘以比例常数Sx和Sy，所以对应点 之间的坐标值满足关系式 x'=x·Sx y'=y·Sy
是
可利用矩阵形式表示成：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
简记成p‘=P·S，其中 是比例变换矩阵。 在齐次坐标系中的比例变换矩阵形式是：
齐次坐标系 齐次坐标系：n维空间中的物体可用n+1维齐 次坐标空间来表示。例如二维空间直线 ax+by+c=0，在齐次空间成为aX+bY+cW=0，以 X、Y和W为三维变量，构成没有常数项的三维平 面(因此得名齐次空间)。点P(x、y)在齐次坐标系 中用P(wx,wy,w)表示，其中W是不为零的比例系 数。
所以从n维的通常空间到n+1维的齐次空间变换 是一到多的变换，而其反变换是多到一的变换。 例如齐次空间点 P(X、Y、W) 对应的笛卡尔坐标 是x=X/W和y=Y/W。将通常笛卡尔坐标用齐次坐 标表示时，W的值取1。 采用齐次坐标系可以将平移、比例、旋转这三 种基本变换都以相同的矩阵形式来表示，并统一 地用矩阵乘法来实现变换的组合。 齐次坐标系在三维透视变换中有更重要的作用， 它使非线形变换也能采用线形变换的矩阵表示形 式。
2、以x轴为对称线的对称变换
变换后，图形点集的x坐标值不变；y坐标值不变， 但符号相反。 矩阵表示形式为：
3、以原点为对称的对称变换
变换后，图形点集的x和y坐标值不变，但符号相 反。 矩阵表示形式为:
4、以直线y=x为对称线的对称变换
变换后，图形点集的x和y坐标对调。 矩阵表示形式为
5、以直线y=-x为对称线的对称变换
可利用矩阵形式表示成： ［x‘ y’］=［x y］+［Tx Ty］ 简记为：P‘=P+T，T=［Tx Ty］是平移变换矩阵 (行向量)。 从矩阵形式来看，平移变换是矩阵加法，而比例 和旋转变换则是矩阵乘法。若这三种变换都能运 用乘法来实现的话，我们就可以实现三种变换的 任意组合。为了实现这个目的，一般采用齐次坐 标系来表示这三种变换，齐次坐标系中的平移变 换矩阵形式是
用矩阵形式表示成简记为P‘=P·R，其中 是旋转变换矩阵。在齐次坐 标系中的比例变换矩阵形式是
4.1.4 二维对称变换
二维对称变换（或称反射变换）是产生物体镜 像的一种变换，该变换实际上是比例变换的几种 特殊情况。 1、以y轴为对称线的对称变换
变换后，图形点集的x坐标值不变，但符号相反； y坐标值不变。 矩阵表示形式为：
变换后，图形点集的x和y坐标对调,但符号相反。 矩阵表示形式为
4.1 二维几何变换
二维几何变换就是在平面上对二维点的坐标进 行变换，从而形成新的坐标。 二维几何变换主要包括：平移、比例、旋转、 对称、错切、仿射和复合变换。
4.1.1 二维平移变换
如图所示，它使图形移动位置。新图p‘的每一图 元点是原图形p中每个图元点在x和y方向分别移动 Tx和Ty产生，所以对应点之间的坐标值满足关系 式 x'=x+Tx y'=y+Ty
二维旋转变换：图形相对坐标原点的旋转如 图所示，它产生图形位置和方向的变动。新图形 p‘的每个图元点是原图形p每个图元点保持离坐标 原点距离不变并绕原点旋转θ角产生的，并以逆时 针方向旋转为正角度，对应图元点的坐标值满足 关系式 x'=xcosθ-ysinθ y'=xsinθ+ycosθ
4.1.3 二维旋转变换
第四章 图形变换
重点：掌握二维几何变换、二维观察 重点： 变换、三维几何变换以及三维观察变 换。 难点： 难点：理解常用的平移、比例、旋转 变换，特别是复合变换。 课时安排： 课时安排：授课6学时。
图形变换包括二维几何变换，二维观察变换， 三维几何变换和三维观察变换。为了能使各种几 何变换（平移、旋转、比例等）以相同的矩阵形 式表示，从而统一使用矩阵乘法运算来实现变换 的组合，现都采用齐次坐标系来表示各种变换。