高一数学新教材期中复习模拟试卷--提升篇 人教A版(解析版)

新人教A 版高一上学期摸底试卷数 学 试 卷 （十九）A 卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题（每小题5分,共40分）1. 设全集=U R ,{}0342<+-=x x x A ,{}032<-=x x B ,则 A （C U B ）= 【 】 （A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1 （B ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,23 （C ）()+∞,1 （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-23,2. 命题“所有的正数都有算术平方根”的否定是 【 】 （A ）所有的正数都没有算术平方根 （B ）所有的非正数都有算术平方根 （C ）至少存在一个正数有算术平方根 （D ）至少存在一个正数没有算术平方根3. 已知函数()⎩⎨⎧<+≥=0,10,2x x x x x f ,若()()32=+-a f f ,则实数a 的值为 【 】（A ）2- （B ）2或3 （C ）2 （D ）2-或34. 已知实数n m x x ,,,21满足n m x x <<,21,且()()011<--x n x m ,()()022<--x n x m ,则下列说法正确的是 【 】 （A ）n x x m <<<21 （B ）21x n x m <<< （C ）n x m x <<<21 （D ）21x n m x <<<5. 不等式122322++++x x x x ≥m 对任意实数x 都成立,则实数m 的取值范围是 【 】（A ）(]2,∞- （B ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,310 （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡310,2 （D ）(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∞-,3102,6. 已知()x f 是定义在R 上的增函数,若()x f y =的图象过点()1,2--A 和点()1,3B ,则满足()111<+<-x f 的x 的取值范围是 【 】（A ）()3,2- （B ）()2,3- （C ）()4,1- （D ）()1,1-7. 若b a ,为正数,111=+b a ,则1811-++-b b a 的最小值为 【 】 （A ）2 （B ）7 （C ）10 （D ）178. 函数()x x x x x f -++--=22212的最大值为 【 】（A ）2 （B ）23 （C ）25（D ）2二、多项选择题（每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分）9. 已知方程0542=+--m x x 的两个根一个大于1,一个小于1,则下列选项中满足要求的实数m 的值为 【 】 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）510. 下列函数中,是偶函数,且在区间()1,0上为增函数的是 【 】 （A ）x y = （B ）21x y -= （C ）xy 1-= （D ）422+=x y 11. 若下列求最值的运算中,错误的是 【 】 （A ）当0<x 时,()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=+x x x x 11≤()212-=-⋅--x x ,当且仅当1-=x 时,x x 1+取得最大值,最大值为2-（B ）当1>x 时,12-+x x ≥122-⋅x x ,当且仅当12-=x x 时取等号,解得1-=x 或2=x ,又1>x ,所以2=x ,故当1>x 时,12-+x x 的最小值为41222=-+ （C ）由于4494492222-+++=++x x x x ≥()24494222=-+⋅+x x ,故4922++x x 的最小值是2（D ）已知0,0>>y x ,且24=+y x .∵y x 42+=≥xy y x 442=⋅,∴xy ≤21,又因为y x 11+≥xyy x 2112=⋅≥4212=,∴当0,0>>y x ,且24=+y x 时,y x 11+的最小值为4 12. 函数()xax x f -=（∈a R ）的大致图象可能是 【 】（A ） （B ） （C ） （D ）第Ⅱ卷 非选择题（共90分）三、填空题（每小题5分,共20分）13. 已知全集{}1,2,12++-=a a U ,{}2,1+=a A ,C U A {}3=,则=a __________.14. 函数()⎩⎨⎧<<≥=tx x tx x x f 0,,2是区间()+∞,0上的增函数,则实数t 的取值范围是__________.15. 已知幂函数()()m x m m x f 12--=为奇函数,则=m __________,函数()m x x g n m +=+2（∈n R ）的图象必过点__________.（第一个空2分,第二个空3分）16. 已知函数()2+=x f y 为偶函数,()142+-=x x x g ,且()x f 与()x g 图象的交点为A 、B 、C 、D 、E ,则交点的横坐标之和为__________.四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分）已知集合{}73<≤=x x A ,{}102<<=x x B ,{}a x a x C <<-=5. （1）求B A ;（2）若()B A C ⊆,求实数a 的取值范围.18.（本题满分12分）设命题:p 实数x 满足03422<+-a ax x ,命题q :实数x 满足9125<+<x . （1）若1=a ,且q p ,同为真命题,求实数x 的取值范围;（2）若0>a ,且q 是p 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.19.（本题满分12分）已知幂函数()x f 的图象经过点()27,3--. （1）求()x f 的解析式;（2）判断()x f 的单调性并用定义法证明.20.（本题满分12分）某厂家拟举行促销活动,经调查测算,某产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m （m ≥0）万元满足13+-=m kx （k 为常数）,如果不搞促销活动,那么该产品的年销售量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定位每件产品平均成本的1. 5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.（1）将该产品的年利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数; （2）该厂家年促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?21.（本题满分12分）已知函数()xax x f +=2,且()21=f .（1）判断并证明函数()x f 在其定义域上的奇偶性; （2）证明:函数()x f 在()+∞,1上是增函数; （3）求函数()x f 在区间[]5,2上的最值.22.（本题满分12分）若函数()x f 在[]b a x ,∈时,函数值y 的取值区间恰为⎥⎦⎤⎢⎣⎡a b 1,1,就称区间[]b a ,为()x f 的一个“倒域区间”.定义在[]2,2-上的奇函数()x g ,当[]2,0∈x 时,()x x x g 22+-=. （1）求()x g 的解析式;（2）求函数()x g 在[]2,1内的“倒域区间”;（3）如果将函数()x g 在定义域内所有所有“倒域区间”上的图象作为函数()x h y =的图象,那么是否存在实数m ,使集合()(){}(){}m x y y x x h y y x +==2,, 恰含有2个元素?新人教A 版高一上学期摸底试卷数 学 试 卷 （十九）A 卷 答 案 解 析第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题（每小题5分,共40分）1. 设全集=U R ,{}0342<+-=x x x A ,{}032<-=x x B ,则 A （C U B ）= 【 】 （A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1 （B ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,23 （C ）()+∞,1 （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-23,答案 【 B 】解析 本题考查集合的基本运算.{}{}310342<<=<+-=x x x x x A ,{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=<-=23032x x x x B . ∴C U B =⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23.∴ A （C U B ）=⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,23.∴选择答案【 B 】.2. 命题“所有的正数都有算术平方根”的否定是 【 】 （A ）所有的正数都没有算术平方根 （B ）所有的非正数都有算术平方根 （C ）至少存在一个正数有算术平方根 （D ）至少存在一个正数没有算术平方根 答案 【 D 】解析 本题考查全程量词命题的否定.对含有一个量词的命题进行否定的方法是:改变量词,否定结论.全称量词命题的否定一般来说,对含有一个量词的全称量词命题进行否定,我们只需把“所有的” “任意一个”等全称量词,变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说,假定全称量词命题为“()x p M x ,∈∀”,则它的否定为“并非()x p M x ,∈∀”,也就是“M x ∈∃,()x p 不成立”.用“⌝()x p ”表示“()x p 不成立”. 对于含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论:全称量词命题:()x p M x ,∈∀,它的否定:M x ∈∃,⌝()x p .也就是说,全称量词命题的否定是存在量词命题.∴选择答案【 D 】.3. 已知函数()⎩⎨⎧<+≥=0,10,2x x x x x f ,若()()32=+-a f f ,则实数a 的值为 【 】（A ）2- （B ）2或3 （C ）2 （D ）2-或3 答案 【 C 】解析 本题考查分段函数的知识.()1122-=+-=-f∵()()32=+-a f f ,∴()31=+-a f ,∴()4=a f .∴⎩⎨⎧=≥402a a 或⎩⎨⎧=+<410a a ,解之得:2=a 或无解. ∴实数a 的值为2. ∴选择答案【 C 】.4. 已知实数n m x x ,,,21满足n m x x <<,21,且()()011<--x n x m ,()()022<--x n x m ,则下列说法正确的是 【 】 （A ）n x x m <<<21 （B ）21x n x m <<< （C ）n x m x <<<21 （D ）21x n m x <<< 答案 【 A 】解析 本题考查三个“二次”之间的关系.由题意可知,21,x x 是一元二次不等式()()0<--x n x m ,即()()0<--n x m x 的两个解. ∵n m x x <<,21,∴n x m <<. ∴n x x m <<<21. ∴选择答案【 A 】.5. 不等式122322++++x x x x ≥m 对任意实数x 都成立,则实数m 的取值范围是 【 】（A ）(]2,∞- （B ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,310 （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡310,2 （D ）(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∞-,3102,答案 【 A 】解析 本题考查与不等式有关的恒成立问题.∵∈∀x R ,有04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x∴不等式122322++++x x x x ≥m 可化为2232++x x ≥()12++x x m .整理得:()()m x m x m -+-+-2232≥0当03=-m ,即3=m 时,1--x ≥0,解之得:x ≤1-,不符合题意;当3≠m 时,则有()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-02342032m m m m ,解之得:m ≤2. 综上所述,实数m 的取值范围是(]2,∞-. ∴选择答案【 A 】.6. 已知()x f 是定义在R 上的增函数,若()x f y =的图象过点()1,2--A 和点()1,3B ,则满足()111<+<-x f 的x 的取值范围是 【 】（A ）()3,2- （B ）()2,3- （C ）()4,1- （D ）()1,1- 答案 【 B 】解析 本题考查利用函数的单调性解抽象不等式. 由题意可知:()12-=-f ,()13=f .∵()x f 是定义在R 上的增函数,()111<+<-x f ∴()()()312f x f f <+<-.∴312<+<-x ,解之得:23<<-x . ∴x 的取值范围是()2,3-. ∴选择答案【 B 】. 7. 若b a ,为正数,111=+b a ,则1811-++-b b a 的最小值为 【 】 （A ）2 （B ）7 （C ）10 （D ）17 答案 【 B 】解析 本题考查利用基本不等式求最值. ∵111=+b a ,∴1-=b ba . ∵b a ,为正数,∴1>b .11911911111811+-+-=-+-+--=-++-b b b b b b b b a ≥()711912=+--b b . 当且仅当191-=-b b ,即34,4==a b 时,等号成立.∴1811-++-b b a 的最小值为7. ∴选择答案【 B 】.8. 函数()x x x x x f -++--=22212的最大值为 【 】（A ）2 （B ）23 （C ）25（D ）2答案 【 B 】解析 本题考查用换元法确定函数的最值.注意换元后标明新元的取值范围. 函数()x f 的定义域为[]2,0.设x x t -+=2,则22222x x t -+=,∴121222-=-t x x . ∵()1122222222+--+=-+=x x x t ,∈x []2,0∴[]4,22∈t ,∴[]2,2∈t （t ≥0）.∵()()()23241214112121222+--=++-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--==t t t t t t g x f ,[]2,2∈t∴()()()232max max ===g t g x f . ∴选择答案【 B 】.二、多项选择题（每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分）9. 已知方程0542=+--m x x 的两个根一个大于1,一个小于1,则下列选项中满足要求的实数m 的值为 【 】 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 答案 【 BCD 】解析 本题考查一元二次方程的实数根的分布. 令()542+--=m x x x f由题意可知:()025411<+-=+--=m m f ,解之得:2>m . ∴选择答案【 BCD 】.10. 下列函数中,是偶函数,且在区间()1,0上为增函数的是 【 】 （A ）x y = （B ）21x y -= （C ）xy 1-= （D ）422+=x y 答案 【 AD 】解析 本题考查函数的奇偶性和单调性.对于（A ）,函数x y =为绝对值函数,它是偶函数,且在[)+∞,0上为增函数; 对于（B ）,函数21x y -=是偶函数,且在[)+∞,0上为减函数; 对于（C ）,函数xy 1-=是奇函数,且在()+∞,0上为增函数; 对于（D ）,函数422+=x y 是偶函数,且在[)+∞,0上为增函数. ∴选择答案【 AD 】.11. 若下列求最值的运算中,错误的是 【 】 （A ）当0<x 时,()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=+x x x x 11≤()212-=-⋅--x x ,当且仅当1-=x 时,x x 1+取得最大值,最大值为2- （B ）当1>x 时,12-+x x ≥122-⋅x x ,当且仅当12-=x x 时取等号,解得1-=x 或2=x ,又1>x ,所以2=x ,故当1>x 时,12-+x x 的最小值为41222=-+（C ）由于4494492222-+++=++x x x x ≥()24494222=-+⋅+x x ,故4922++x x 的最小值是2（D ）已知0,0>>y x ,且24=+y x .∵y x 42+=≥xy y x 442=⋅,∴xy ≤21,又因为y x 11+≥xyy x 2112=⋅≥4212=,∴当0,0>>y x ,且24=+y x 时,y x 11+的最小值为4 答案 【 BCD 】解析 本题考查基本不等式的应用. 对于（A ）,显然正确;对于（B ）,当1>x 时,01>-x ,∴112112+-+-=-+x x x x ≥()12211212+=+-⋅-x x . 当且仅当121-=-x x ,即12+=x 时,等号成立. ∴当1>x 时,12-+x x 的最小值为122+.故（B ）错误;对于（C ）,等号成立的条件是49422+=+x x ,得到12-=x ,无解,∴4922++x x 的最小值不是2.故（C ）错误;实际上,设42+=x t ,则[)+∞∈,4t ,494922-+=++=tt x x y . ∵函数49-+=tt y 在[)+∞,3上为增函数 ∴当4=t ,即0=x 时,494494min =-+=y ,即4922++x x 的最小值是49.对于（D ）,当连续两次使用基本不等式求最值时,要保证两个等号成立的条件一致.由此可以确定（D ）错误.∴选择答案【 BCD 】.12. 函数()xax x f -=（∈a R ）的大致图象可能是 【 】（A ） （B ） （C ） （D ）答案 【 ABD 】解析 本题考查根据函数的图象确定函数的图象. 显然,函数()x f 的定义域为{}0≠x x . 当0=a 时,()x x f =（0≠x ）.故（A ）正确;当0>a 时,()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-->-=0,0,x xa x x x a x x f ,显然,()x f 在()+∞,0上单调递增;当[)0,a x -∈时,()x f 单调递增;当(]a x -∞-∈,时,()x f 单调递减.故（D ）正确; 当0<a 时,若0>x ,则()xax x f -+=,函数()x f 在(]a -,0上单调递减,在[)+∞-,a 上单调递增.若0<x ,则函数()x f 在()0,∞-上单调递减.故（B ）正确. ∴选择答案【 ABD 】.第Ⅱ卷 非选择题（共90分）三、填空题（每小题5分,共20分）13. 已知全集{}1,2,12++-=a a U ,{}2,1+=a A ,C U A {}3=,则=a __________. 答案 2-解析 本题考查集合的基本运算. 由题意可知:312=++a a .∴022=-+a a ,解之得:2-=a 或1=a . 当2-=a 时,{}2,1-=A ,符合题意;当1=a 时,{}2,2=A ,不满足集合元素的互异性且不符合题意. 综上所述,2-=a .14. 函数()⎩⎨⎧<<≥=tx x tx x x f 0,,2是区间()+∞,0上的增函数,则实数t 的取值范围是__________.答案 [)+∞,1解析 本题考查分段函数的单调性. 令x x =2,解之得:0=x 或1=x .由题意并结合函数()x f 的图象可知:t ≥1. ∴实数t 的取值范围是[)+∞,1.15. 已知幂函数()()m x m m x f 12--=为奇函数,则=m __________,函数()m x x g n m +=+2（∈n R ）的图象必过点__________.（第一个空2分,第二个空3分） 答案 ()1,1,1-解析 本题考查幂函数的定义. ∵函数()()m x m m x f 12--=是幂函数 ∴112=--m m ,解之得:1-=m 或2=m . ∵函数()x f 为奇函数,∴1-=m . ∴()121-=+-n x x g . 令1=x ,则()112=-=x g . ∴函数()x g 的图象必过点()1,1.16. 已知函数()2+=x f y 为偶函数,()142+-=x x x g ,且()x f 与()x g 图象的交点为A 、B 、C 、D 、E ,则交点的横坐标之和为__________. 答案 10解析 本题考查偶函数的性质、函数图象的对称性和中点坐标公式. ∵函数()2+=x f y 为偶函数∴()()x f x f -=+22,函数()x f 的图象关于直线2=x 对称. ∵()()321422--=+-=x x x x g ∴函数()x g 的图象关于直线2=x 对称.设()x f 与()x g 图象的交点从左到右依次为A 、B 、C 、D 、E ,根据中点坐标公式则有:422,422=⨯=+=⨯=+D B E A x x x x ,且2=C x .∴10244=++=++++E D C B A x x x x x .四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分）已知集合{}73<≤=x x A ,{}102<<=x x B ,{}a x a x C <<-=5. （1）求B A ;（2）若()B A C ⊆,求实数a 的取值范围. 解:（1）∵{}73<≤=x x A ,{}102<<=x x B ∴{}102<<=x x B A ;（2）当∅=C 时,满足()B A C ⊆,此时a -5≥a ,解之得:a ≤25; 当∅≠C 时,则有⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-<-10255a a aa ,解之得:a <25≤3.综上所述,实数a 的取值范围是(]3,∞-. 18.（本题满分12分）设命题:p 实数x 满足03422<+-a ax x ,命题q :实数x 满足9125<+<x . （1）若1=a ,且q p ,同为真命题,求实数x 的取值范围;（2）若0>a ,且q 是p 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 解:（1）当1=a 时,0342<+-x x ,解之得:31<<x . 解不等式9125<+<x 得:42<<x . ∵q p ,同为真命题∴实数x 的取值范围是32<<x ;（2）∵03422<+-a ax x ,∴()()03<--a x a x . ∵0>a ,∴a x a 3<<. ∴a x a p 3:<<（0>a ）.∵q 是p 的充分不必要条件,∴{}42<<x x {}a x a x 3<<≠⊂.∴⎩⎨⎧≥≤432a a ,解之得:34≤a ≤2.∴实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,34.19.（本题满分12分）已知幂函数()x f 的图象经过点()27,3--. （1）求()x f 的解析式;（2）判断()x f 的单调性并用定义法证明.解:（1）设幂函数()αx x f =,把()27,3--代入()αx x f =得:()()33273-=-=-α.∴3=α. ∴()3x x f =;（2）函数()x f 的定义域为R . 任取∈21,x x R ,且21x x <,则有()()()()22212121323121x x x x x x x x x f x f ++-=-=- ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2221214321x x x x x .∵21x x <,∴021<-x x ,043212221>⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x .∴()()()()2121,0x f x f x f x f <<-. ∴()x f 在R 上为增函数. 20.（本题满分12分）某厂家拟举行促销活动,经调查测算,某产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m （m ≥0）万元满足13+-=m kx （k 为常数）,如果不搞促销活动,那么该产品的年销售量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定位每件产品平均成本的1. 5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.（1）将该产品的年利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数; （2）该厂家年促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大? 解:（1）由题意可知,当0=m 时,1=x .∴13=-k ,解之得:2=k ,∴123+-=m x . 每件产品的销售价格为()xx 8165.1+元.∴()281168168165.1+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=---+⋅=m m m x x x x y ;（2）由（1）可知:2911612811161+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++-=m m m m y ≤()212911612=++⋅+-m m . 当且仅当1161+=+m m ,即3=m 时,等号成立. ∴当3=m 时,y 取得最大值为21max =y .答: 该厂家年促销费用投入3万元时,厂家的利润最大. 21.（本题满分12分）已知函数()xax x f +=2,且()21=f .（1）判断并证明函数()x f 在其定义域上的奇偶性; （2）证明:函数()x f 在()+∞,1上是增函数; （3）求函数()x f 在区间[]5,2上的最值. 解:（1）∵()211=+=a f ,∴1=a .∴()xx x x x f 112+=+=.函数()x f 为奇函数,理由如下:易知函数()x f 的定义域为()()+∞∞-,00, ,关于原点对称. ∵()()x f x x x x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=-11 ∴函数()x f 为奇函数;（2）任取()+∞∈,1,21x x ,且21x x <,则有()()()()212121221121111x x x x x x x x x x x f x f --=--+=-. ∵()+∞∈,1,21x x ,21x x <∴01,1,0,021212121>->><-x x x x x x x x ∴()()01212121<--x x x x x x .∴()()021<-x f x f ,()()21x f x f <. ∴函数()x f 在()+∞,1上是增函数;（3）由（2）知,函数()x f 在区间[]5,2上单调递增 ∴()()5265max ==f x f ,()()252min ==f x f . 22.（本题满分12分）若函数()x f 在[]b a x ,∈时,函数值y 的取值区间恰为⎥⎦⎤⎢⎣⎡a b 1,1,就称区间[]b a ,为()x f 的一个“倒域区间”.定义在[]2,2-上的奇函数()x g ,当[]2,0∈x 时,()x x x g 22+-=. （1）求()x g 的解析式;（2）求函数()x g 在[]2,1内的“倒域区间”;（3）如果将函数()x g 在定义域内所有所有“倒域区间”上的图象作为函数()x h y =的图象,那么是否存在实数m ,使集合()(){}(){}m x y y x x h y y x +==2,, 恰含有2个元素? 解:（1）设[)0,2-∈x ,则(]2,0∈-x ,∴()()x x x x x g 2222--=---=-.∵函数()x g 是定义在[]2,2-上的奇函数 ∴()()x x x g x g 22--=-=- ∴()x x x g 22+=,[)0,2-∈x .∴()[)[]⎪⎩⎪⎨⎧∈+--∈+=2,0,20,2,222x x x x x x x g ;（2）当[]2,1∈x 时,()()11222+--=+-=x x x x g .∴函数()x g 在[]2,1上单调递减.∵在[]2,1内,当[]b a x ,∈时,函数()x g 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡a b 1,1∴()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==+-=bb b b g a a a a g 121222. ∴b a ,是方程xx x 122=+-的两个实数根,且[]2,1,∈b a . 方程xx x 122=+-,即()()011112222323=---=+--=+-x x x x x x x x . 解之得:251,251,1321-=+==x x x . ∵[]2,1,∈b a ,且b a < ∴251,1+==b a . ∴函数()x g 在[]2,1内的“倒域区间”为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+251,1; （3）2-=m .（过程略）。

2022-2023学年全国高一下数学期中试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知为虚数单位，且，则复数的虚部为( )A.B.C.D.2. 已知集合，，则( )A.B.C.D.3.设关于的方程有解；关于的不等式对于恒成立，则是的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件i (1−i)z =i 3z −i 12−1212i 12A ={x|−2+7x +4>0}x 2B ={x|x ≥1}A ∪B =(−,+∞)12[1,4)[1,+∞)(−,1)∪(1,+∞)12p :x −−a =04x 2x q :x (x +a −2)>0log 2∀x >0p q =−1|x +a|4. 若函数在上有三个零点，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.5. 已知，且，则 A.B.C.D.6. 若，，，则的形状是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形7. 若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）A.B.C.D.8. 若 满足， ，则 的最大值为（）A.B.y =−1|x +a|1+e x x ∈[−5,+∞)a (2,4−]e −5(2,3−]e −5(1,2−]e −5(1,3−]e −5cos α=23−<α<0π2=tan(−α−π)sin(2π−α)cos(−α)tan(π+α)()−5–√2235–√35–√2A(1,−2,1)B(4,2,3)C(6,−1,4)△ABC f(x)(0,+∞)f(3)=0xf(x)<0{x |−3<x <0或x >3}{x |x <−3或0<x <3}{x |x <−3或x >3}{x |−3<x <0或0<x <3},,a →b →c →||=||=2|=2a →b →c →(−)⋅(−)a →b →c →b →101253–√C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是( )A.B.C.D.10. 设向量，，则（ ）A.B.C.D.与的夹角为11. 已知函数则下列结论正确的是( )A.是偶函数B.C.是增函数D.的值域为12. 如图，已知点为正六边形的中心，下列结论正确的是( )53–√62–√a >0b >0a +b =4a b ≤2ab −−√+≤2a −√b √≤1+a 2b 218+≥11a 1b =(2,0)a →=(1,1)b →||a →=||b →(−)//a →b →b→(−)⊥a →b →b→a →b →π4f (x)={+1，x ≥0，x 2cos x ，x <0，f (x)f (f (−π))=132f (x)f (x)[−1,+∞)O ABCDEF −→−−→−A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 设是定义在上的周期为的函数，当）时， 则________.14. 函数的最大值为________．15. 直角三角形中，，，，点是三角形外接圆上任意一点，则的最大值为________．16. 设 且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且求；若，，求的周长． 18. 已知，复数.若为纯虚数，求的值；在复平面内，若对应的点位于第二象限，求的取值范围.19. 中，角，，的对边分别为，，， ．求的大小；若，且， ，求的面积．=CB −→−EF−→−++=OA −→−OC −→−OB −→−0→⋅=⋅OA −→−FA −→−ED −→−BC−→−|+|=|−|OF −→−OD −→−OC −→−OB −→−f (x)R 3x ∈[−2,1f (x)={|x|,(−2≤x ≤0)x −1,(0<x <1)f (f ())=214y =x +cos x sin 2ABC AB =3AC =4BC =5M ABC ⋅AB −→−AM −→−f (x)={(−3x +1)，x <0，log 2x 22−|2−x|，x ≥0，x f (x)=m(m ∈R)x 1x 2x 3x 1x 2x 3△ABC A B C a b c c =a cos B +b sin A.3–√3(1)A (2)BC =2sin B +sin C ≥3–√△ABC a ∈R z =a −i 1+i(1)z a (2)z ¯¯¯a △ABC A B C a b c a cos C +c cos A =−2b cos B (1)B (2)a =3+=2BA −→−BC −→−BD −→−=∣∣∣BD −→−∣∣∣37−−√2△ABC f (x)=(0)+−(f (0)−1)xf ′x 220. 已知函数．求函数的解析式；若函数在上单调递增，求的取值范围．21. 随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔（单位：分钟）满足： ， ，平均每趟地铁的载客人数()（单位：人）与发车时间间隔近似地满足下列函数关系：其中 .若平均每趟地铁的裁客人数不超过人，试求发车时间间隔的值；若平均每趟地铁每分钟的净收益为 (单位：元），问当发车时间间隔 为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益 22. 如图，与在同一个平面内，，，.求；若，且的面积为，求的长．f (x)=(0)+−(f (0)−1)xf ′e x x 2(1)f (x)(2)g(x)=f (x)−mx [1,2]m t 4≤t ≤15t ∈N p t t p(t)={1800−15(9−t ,4≤t <9,)21800,9≤t ≤15,t ∈N (1)1500t (2)Q =−1006p(t)−7920t t .△ABC △ACD ∠CAD =π4AB =BC 2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√(1)∠ACB (2)AB =2−23–√△ACD 3CD参考答案与试题解析2022-2023学年全国高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】复数的基本概念复数代数形式的乘除运算【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的基本概念得答案．【解答】解：由，得，复数的虚部为．故选．2.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法并集及其运算【解析】化简集合，根据并集的定义即可得解.【解答】(1−i)z ==−ii 3z ==−i 1−i −i (1+i)(1−i)(1+i)==−i 1−i +12(−1)21212∴z −12B A {x|−<x <4}1解：因为，，所以，故选.3.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：若成立，则，所以，若成立，则成立，所以对恒成立，所以.则，所以是的必要不充分条件.故选.4.【答案】A【考点】由函数零点求参数取值范围问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由得，若函数在上有三个零点，A ={x|−2+7x +4>0}x 2={x|−<x <4}12B ={x|x ≥1}A ∪B ={x|x >−}12A p a =−=−4x 2x (−)2x 12214a ≥−14q x +a −2>1a >3−x ∀x >0a ≥3q ⇒p,p ≠q p q B y =−1=0|x +a|1+e x|x +a|=1+e x y =−1|x +a|1+e xx ∈[−5,+∞)y =|x +a|f(x)=1+x则函数与的图象在时有三个交点，从而与的图象在 时，有个交点，与 的图象有个交点，将 代入得，由，得曲线 的斜率为的切线方程为： ，由条件知 故 .故选.5.【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】根据的值及的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，进而求出的值，原式利用诱导公式化简，约分后将的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵ ，且，∴,，则原式.故选.6.【答案】A【考点】向量在几何中的应用平面向量数量积的运算【解析】求出各边对应的向量，求出各边对应向量的数量积，判断数量积的正负，得出各角为锐角．【解答】y =|x +a|f(x)=1+e x x ≥−5y =−x −a(x ≤−a)y =f(x)x ≥−51y =x +a(x ≥−a)y =f(x)2(−5,1+)e −5y =−x −a a =4−e −5(x)==1,x =0f ′e x y =f(x)1y −2=x,y =x +2a >2.a ∈(2,4−]e −5A cos ααsin αtan αtan αcos α=23−<α<0π2sin α=−=−1−αcos 2−−−−−−−−√5–√3tan α==sin αcos α−5–√2==tan α=−−tan α(−sin α)cos αtan α5–√2A (3,4,2)，=(5,1,3)，=(2,−3,1)−→−−→−−→−解：，，得为锐角；，得为锐角；，得为锐角；所以为锐角三角形.故选.7.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】易判断在上的单调性及图象所过特殊点，作出的草图，根据图象可解不等式．【解答】解：∵在上是奇函数，且在上是增函数，∴在上也是增函数，由，得，即，由，得，故或解得或，∴的解集为：，故选．8.【答案】B【考点】平面向量数量积的运算【解析】先化简，根据式子分析即可得到答案。

高一数学必修第一册期中模拟试卷（新高考版提高卷1）考试范围：第一章集合与常用逻辑用语；第二章一元二次函数、方程和不等式；第三章函数的概念与性质一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）第二空3分.）由题意可得()(3228x x -++-故答案为：20.14．（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）已知函数(1)1f -=-，则函数(),y f x =①当1a <时，则()220f a a a =-=，()()201f f a f a =⎦=⎤⎣=⎡，解得：1a =-；当1a ≥时，则()220f a a a =-=，()()201f f a f a =⎦=⎤⎣=⎡，解得：1a =；综上得：1a =±.②由题可知，()11f a =-，由不等式()()1f x f ≥对任意x ∈R 都成立，所以有211a ax a x ⎧-≥-⎨<⎩恒成立且211x ax a x ⎧-≥-⎨≥⎩恒成立，对于211a ax a x ⎧-≥-⎨<⎩恒成立时，即2101ax a a x ⎧-++-≥⎨<⎩恒成立，则2010a a a a -<⎧⎨-+-+≥⎩，解得：1a ≥；对于211x ax a x ⎧-≥-⎨≥⎩恒成立时，即()2111a x x x ⎧-≤-⎨≥⎩恒成立，当1x =时，明显成立，当1x >时，1a x ≤+恒成立，又1,12x x ≥+≥，解得：2a ≤；综上得：12a ≤≤.所以a 的取值范围是：[]1,2故答案为：①±1；②[]1,2.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！2019-2020学年下学期高一数学第二学期期中模拟测试卷数学（提高卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：2019版人教A 第二册 第一章 平面向量 第二章 复数一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是A ．（–∞，1）B ．（–∞，–1）C ．（1，+∞）D ．（–1，+∞）【答案】B【解析】设()()()()1i i 11i z a a a =-+=++-，因为复数对应的点在第二象限，所以1010a a +<ìí->î，解得：1a <-，故选B.2．已知i 是虚数单位，给出下列命题，其中正确的是（ ）A ．满足z i z i -=+的复数z 对应的点的轨迹是圆B ．若m ÎZ ，21i =-，则1230m m m m i i i i ++++++=C ．复数z a bi =+（其中a 、b ÎR ）的虚部为iD ．在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示虚数【答案】B【解析】对于A ，设(),z x yi x y R =+Î，由z i z i -=+可得()()222211x y x y +-=++，化简得0y =，所以，复数z 对应的点的轨迹是实轴，不是圆，A 错误；对于B ，若m ÎZ ，21i =-，则()123011mm m m m i ii i i i i +++++++--==，B 正确；对于C ，复数z a bi =+（其中a 、b ÎR ）的虚部为b ，i 是虚数单位，C 错误；对于D ，在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点除原点外都表示虚数，D 错误.故选：B.3．设非零向量a r ，b r满足a b a b +=-r r r r ，则（ ）A ．a br r ^B ．a b=rr C ．a r //br D ．a b>r r 【答案】A【解析】由a b a b +=-r r r r 的几何意义知，以向量a r ，b r 为邻边的平行四边形为矩形，所以a b r r ^.故选：A.4．已知3p =v ，,p q v v 的夹角为4p ，则以52,3a p q b p q =+=-v v v v v v 为邻边的平行四边形的一条对角线长为 （ ）A ．15BC ．14D ．16【答案】A【解析】因为3p v =，,p q v v 的夹角为4p，所以π3cos64p q v v×=´=，因为2222|+|6|36123689126925+|=15,a b p q p q p q a b =-=+-×=´+-´=´\v v v v v v v v v v2222||45|162540168259406593-a b p q p q p q a b -=+=++×=´+´+´=\v vv v v v v v v v 因此一条对角线长为15，选A.5．已知复数112z i =-+，21z i =-，334z i =-，它们在复平面xOy 上所对应的点分别为A ，B ，C ．若OC OA OB l m =+uuu v uuu v uuu v（,R l m Î），其中O 为原点，则l m +的值是( ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】3134(12)(1)422i i i l m l l m l m m =-+=-ìì-=-++-ÞÞíí-=-=îî1l m Þ+=,选A.6．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =uuu v uuu v ，则ED =uuu v（）A ．1233AD AB-uuu v uuuv B ．2133AD AB+uuu v uuuv C ．2133AD AB-uuu v uuuv D ．1233AD AB+uuu v uuuv 【答案】C【解析】画出图形，如下图．选取, AB AD uuu v uuu v为基底，则()211333AE AO AC AB AD ===+uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v ，∴()121333ED AD AE AD AB AD AD AB uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v =-=-+=-．故选C ．7．在边长为1的正ABC D 中，点D 在边BC 上，点E 是AC 中点，若3·16AD BE =-uuu v uuu v ，则BDBC=（ ）A ．14B ．12C ．34D ．78【答案】C【解析】设AB a =uuu v ，AC b =uuu v ，BD BC l =uuu v uuu v，则()()1AD AB BD a b a a b l l l =+=+-=-+uuu v uuu v uuu v ，12BE AE AB b a =-=-uuu v uuu v uuu v ，则()()()()()()2211111312221133131142416AD BE a b b a a b a b l l l l l l l l l æöéù×=-+×-=-×+-+ç÷ëûèø=-+-+=-=-uuu v uuu v 故34l =，即34BD BC =.故选C。

新教材高中数学新人教A版选择性必修第一册：1.4 充分条件与必要条件课后篇巩固提升合格考达标练1.“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件“四边形是平行四边形”不一定得出“四边形是正方形”,但由“四边形是正方形”必推出“四边形是平行四边形”,故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.2.设a,b∈R,则“a>b”是“a2>b2”的()A.充分必要条件B.既不充分也不必要条件D.必要不充分条件a=1,b=-4,满足a>b,此时a2>b2不成立;若a2>b2,如a=-4,b=1,此时a>b不成立.3.设集合A={1,a2,-2},B={2,4},则“a=2”是“A∩B={4}”的()条件.A.充分不必要B.必要不充分D.既不充分也不必要“a=2”时,显然“A∩B={4}”;但当“A∩B={4}”时,a可以为-2,故不能推出“a=2”.4.(2021山西运城高二期末)“a>1,b>1”是“ab>1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件,b=4.∴“a>1,b>1”是“ab>1”的充分不必要条件.a>1,b>1”⇒“ab>1”,反之不成立,例如取a=12故选A.5.(多选题)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列结论正确的是()A.Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充要条件B.Δ=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分条件C.Δ=b2-4ac>0是这个方程有实根的必要条件2-4ac<0是这个方程没有实根的充要条件正确,Δ≥0⇔方程ax2+bx+c=0有实根;B正确,Δ=0⇒方程ax2+bx+c=0有实根;C错误,Δ>0⇒方程ax2+bx+c=0有实根,但ax2+bx+c=0有实根Δ>0;D正确,Δ<0⇔方程ax2+bx+c=0无实根.故选ABD.6.(2020重庆高一检测)已知p:-1<x<3,q:-1<x<m+1,若q是p的必要不充分条件,则实数m的取值范围是.m|m>2}q是p的必要不充分条件,即p⫋q,则m+1>3,解得m>2,即实数m的取值范围是{m|m>2}.,y∈R,求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.:如果xy=0,那么,①x=0,y≠0;②x≠0,y=0;③x=0,y=0.于是|x+y|=|x|+|y|.如果xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0,当x>0,y>0时,|x+y|=x+y=|x|+|y|,当x<0,y<0时,|x+y|=-x-y=(-x)+(-y)=|x|+|y|,总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|.必要性:由|x+y|=|x|+|y|及x,y∈R,得(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,得|xy|=xy,所以xy≥0,故必要性成立.综上,原命题成立.等级考提升练8.已知实数a,b,c,则b2=ac是ab =bc成立的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件由ab =bc可得b2=ac,反之不成立,如b=c=0时,满足b2=ac,但ab=bc不成立,故b2=ac是ab=bc成立的必要不充分条件,故选C.9.(2021安徽合肥一六八中学高一期末)若ab>0,则a<b是1a >1b的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件ab>0时,1a −1b=b-aab,当a<b时,b-a>0,则1a−1b=b-aab>0,即1a>1b成立,反之当1a>1b成立时,b-a>0,则a<b成立,即a<b是1a >1b的充要条件,故选C.10.已知命题p:x+y≠-2,q:x≠-1且y≠-1,则p是q的()A.充要条件B.既不充分也不必要条件D.必要不充分条件11.(2021广东深圳宝安高一期末)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C,使得A⊆C,B⊆(∁U C)”是“A∩B=⌀”的()A.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件A ⊆C ,B ⊆(∁UC ),即A ⊆C 且B ∩C=⌀,∴A ∩B=⌀.则“存在集合C ,使得A ⊆C ,B ⊆(∁U C )”是“A ∩B=⌀”的充分条件.当A ∩B=⌀,存在一个集合C=A 使得A ⊆C ,B ⊆(∁U C ),则“存在集合C ,使得A ⊆C ,B ⊆(∁U C )”是“A ∩B=⌀”的必要条件.故“存在集合C ,使得A ⊆C ,B ⊆(∁U C )”是“A ∩B=⌀”的充要条件.故选A .12.(多选题)(2021广州二中高一月考)对任意实数a ,b ,c ,下列说法错误的是( )A .“ac>bc ”是“a>b ”的必要条件B .“ac=bc ”是“a=b ”的必要条件C .“ac>bc ”是“a>b ”的充分条件 ”是“a=b ”的充分条件a>b ,若c ≤0,则ac ≤bc ,因此“ac>bc ”不是“a>b ”的必要条件,故A 不正确;由a=b ,可得ac=bc ,反之不成立,因此“ac=bc ”是“a=b ”的必要条件,故B 正确;由“ac>bc ”,若c<0,则a<b ,因此“ac>bc ”不是“a>b ”的充分条件,故C 不正确;由“ac=bc ”,若c=0,则“a=b ”不成立,因此“ac=bc ”不是“a=b ”的充分条件,故D 不正确.故选ACD .13.已知集合A={x|x ≥0},B={x|x ≥a },若x ∈A 是x ∈B 的充分条件,则实数a 的取值范围若x ∈A 是x ∈B 的必要条件,则a 的取值范围是 .0} {a|a ≥0}x ∈A 是x ∈B 的充分条件,所以a ≤0;因为x ∈A 是x ∈B 的必要条件,所以a ≥0.ab ≠0,求证:a+b=1的充要条件是a 3+b 3+ab-a 2-b 2=0.a+b=1,所以a+b-1=0.所以a 3+b 3+ab-a 2-b 2=(a+b )(a 2-ab+b 2)-(a 2-ab+b 2)=(a+b-1)(a 2-ab+b 2)=0.因为a 3+b 3+ab-a 2-b 2=0,即(a+b-1)(a 2-ab+b 2)=0,又ab ≠0,所以a ≠0且b ≠0.因为a 2-ab+b 2=(a -b 2)2+34b 2>0, 所以a+b-1=0,即a+b=1.综上可得,当ab ≠0时,a+b=1的充要条件是a 3+b 3+ab-a 2-b 2=0.新情境创新练15.已知a ≥12,设二次函数f (x )=-a 2x 2+ax+c ,其中a ,c 均为实数.证明:当0≤x ≤1时,均有f (x )≤1成立的充要条件是c ≤34.a ≥12,所以函数f (x )=-a 2x 2+ax+c 图象的对称轴方程为直线x=a 2a 2=12a ,且0<12a ≤1,所以f (x )≤f (12a )=14+c.因为c ≤34,且f (x )≤f (12a )=14+c ≤14+34=1,所以f (x )≤1.因为f(x)≤1,所以只需f(12a )≤1即可.即14+c≤1,从而c≤34.综上可知,当0≤x≤1时,均有f(x)≤1成立的充要条件是c≤34.。

2022-2023学年高中高一下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知复数，则复数的虚部为A.B.C.D.2. 设集合，集合，则 A.B.C.D.3. 已知函数在定义域内可导，则函数在某点处的导数值为是函数在这点处取得极值的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 已知函数 若，使得关于的方程有个解，则实数的取值范围为( )A.z =−1+2i 2+iz ( )i−i1−1A ={x |(x +1)(2−x)>0}B ={x |1<x <3}A ∪B =(){x |−1<x <3}{x |−1<x <1}{x |1<x <2}{x |2<x <3}f(x)f(x)0f(x)f (x)={−−3+2，x ≥m ，x 3x 22x +2,x <m ，∃n ∈R x f(x)=n 3m (−∞,−2)(−∞,−1)B.C.D.5. 已知( )A.B.C.D.6. 已知菱形的边长为，，点，分别在边，上，且满足，则（ ）A.B.C.D.7. 若是上的奇函数，且在上是增函数，，则的解集是 A.B.C.D.8. 在平面直角坐标系内，已知直线与圆相交于，两点，且，若且是线段的中点，则的值为（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）(−∞,−1)(−∞,−2)∪(−2,0)(−∞,−2)∪(−2,−1)cos(+φ)=−且|φ|<，则tan φ=π23–√2π2−3–√33–√3−3–√3–√ABCD 2∠BAD =120∘E F BC CD =,=2BE −→−EC −→−CD −→−CF −→−+|=AE −→−AF −→−3–√323–√4f(x)R (0,+∞)f(2)=0xf(x)<0(){x |−2<x <0或x >2}{x |x <−2或0<x <2}{x |x <−2或x >2}{x |−2<x <0或0<x <2}xOy l O :+=8x 2y 2A B |AB|=4=2−OC −→−OA −→−OB −→−M AB ⋅OC −→−OM −→−3–√22–√349. 下列说法正确的有 A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10. 设向量，，则（ ）A.B.C.D.与的夹角为11. 已知函数则下列结论正确的是( )A.是偶函数B.C.是增函数D.的值域为12. 如图，已知点为正六边形的中心，下列结论正确的是( )A.()>ac 2bc 2a −>b −c 2c 2a >0,b >0>a +mb +m abx ∈R sin x +≥21sin x a >b >0>a 2b 2=(2,0)a →=(1,1)b →||a →=||b →(−)//a →b →b→(−)⊥a →b →b→a →b →π4f (x)={+1，x ≥0，x 2cos x ，x <0，f (x)f (f (−π))=132f (x)f (x)[−1,+∞)O ABCDEF =CB −→−EF −→−+=−→−−→−−→−→B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 设是定义在上的周期为的函数，当）时， 则________.14. 函数的最大值为________．15. 已知点在所在的平面内，若，则与的面积的比值为________．16. 设 且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 17. 函数的部分图象如图所示．求的最小正周期及解析式；设函数，求在区间上的最小值． 18. 已知，复数.若为纯虚数，求的值；++=OA −→−OC −→−OB −→−0→⋅=⋅OA −→−FA −→−ED −→−BC−→−|+|=|−|OF −→−OD −→−OC −→−OB −→−f (x)R 3x ∈[−2,1f (x)={|x|,(−2≤x ≤0)x −1,(0<x <1)f (f ())=214y =x +cos x sin 2P △ABC 2+3+4=3PA −→−PB −→−PC −→−AB −→−△PAB △PBC f (x)={(−3x +1)，x <0，log 2x 22−|2−x|，x ≥0，x f (x)=m(m ∈R)x 1x 2x 3x 1x 2x 3f(x)=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<)π2(1)f(x)(2)g(x)=f(x)−cos 2x g(x)[0,]π2a ∈R z =a −i 1+i(1)z a (2)¯¯¯在复平面内，若对应的点位于第二象限，求的取值范围. 19. 的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为．求；若，，求的周长．20. 已知指数函数且的图象过点，函数求的值，并在给定的直角坐标系中画出函数的图象；若函数在区间上为单调减函数，求实数的取值范围．21. 某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：月份产量（千件）为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数＝或＝，为常数，且来模拟这种电脑元件的月产量千件与月份的关系，请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由． 22. 如图，与在同一个平面内，，，.求；若，且的面积为，求的长．(2)z¯¯¯a △ABC A B C a b c △ABC a 23sin A(1)sin B sin C (2)6cos B cos C =1a =3△ABC f(x)=(a >0a x a ≠1)(−2,4)g(x)={f (x),x <0,−+2x +1,x ≥0.x 2(1)a y =g(x)(x ∈[−2,3])(2)y =g(x)(t,t +)12t 123505253.9y ax +b y +b(a a x b a >0)y △ABC △ACD ∠CAD =π4AB =BC 2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√(1)∠ACB (2)AB =2−23–√△ACD 3CD参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】复数的基本概念复数代数形式的乘除运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，，则复数的虚部为．故选．2.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法并集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，，∴.故选.z ===i(−1+2i)(2−i)(2+i)(2−i)−2+4i +i −2i 25z 1C A ={x |−1<x <2}B ={x |1<x <3}A ∪B ={x |−1<x <3}A3.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据充分条件和必要条件的定义结合函数极值取得的条件，进行判断即可．【解答】解：根据导数的性质可知，若函数在这点处取得极值，则，即必要性成立．反之不一定成立，如函数在上是增函数，且，则，但在处函数不是极值，即充分性不成立，综上所述，函数在某点处的导数值为是函数在这点处取得极值的必要不充分条件.故选.4.【答案】D【考点】由函数零点求参数取值范围问题【解析】此题暂无解析【解答】解：依据题意作出函数图象如下：根据图象可知，当时，，使得关于的方程有个解；当时，由图象可知，关于的方程不存在个解，故；f(x)f'(x)=0f(x)=x 3R f'(x)=3x 2f'(0)=0x =0f(x)0f(x)B m ∈(−∞,−2)∃n ∈R x f(x)=n 3m =−2x f(x)=n 3m ≠−2m ∈(−2,−1)y =−−3+232当时，函数的图象在函数的上方，此时，使得关于的方程有个解.故选.5.【答案】D【考点】运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】由且，可求得，从而可求得．【解答】解：∵，∴，又，∴，∴．故选.6.【答案】B【考点】向量在几何中的应用平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】m ∈(−2,−1)y =2x +2y =−−3+2x 3x 2∃n ∈R x f(x)=n 3D cos(+φ)=−π23–√2|φ|<π2φtan φcos(+φ)=−sin φ=−π23–√2sin φ=3–√2|φ|<π2φ=π3tan φ=3–√DD【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】易判断在上的单调性及图象所过特殊点，作出的草图，根据图象可解不等式．【解答】解：∵是上的奇函数，且在上是增函数，∴在上也是增函数且，由，得，画出的草图如图，故等价于或解得或，∴的解集为：.故选．8.【答案】C【考点】直线与圆的位置关系向量在几何中的应用平面向量数量积的运算【解析】根据，作出示意图，可知即为平行四边形的一条边，再根据弦心距得，然后根据向量数量积的运算即可，求出答案.【解答】解：如图，，即为平行四边形的一条边，f(x)(−∞,0)f(x)f(x)f(x)R (0,+∞)f(x)(−∞,0)f(0)=0f(2)=0f(−2)=−f(2)=0f(x)xf(x)<0{x >0，f(x)<0{x <0，f(x)>0，0<x <2−2<x <0xf(x)<0{x |−2<x <0或0<x <2}D =2−OC −→−OA −→−OB −→−OC −→−OBDC O =O −A =4M 2A 2M 2=2OD −→−OA −→−OC −→−OBDC∵，∴，∴，∵是线段的中点，∴，∴，设为和的夹角，由图可知，，∴，.故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,D【考点】不等式的基本性质基本不等式【解析】无【解答】OA =OB =8–√A =O +O =16B 2A 2B 2AB =4M AB OM ⊥AB O =O −A M 2A 2M 2=8−=8−=4(AB)12222θOC −→−OM −→−cos θ=∣∣∣OC −→−∣∣∣∣∣∣OM −→−∣∣∣⋅=cos θOC −→−OM −→−∣∣∣OC −→−∣∣∣∣∣∣OM −→−∣∣∣=⋅∣∣∣OM −→−∣∣∣∣∣∣OM −→−∣∣∣==4∣∣∣OM −→−∣∣∣2C b解：因为，则，不等式两边同减不等号不变，选项正确；赋特值，若，，．左边，右边，显然左边右边，选项错误；因为．则，不能直接使用基本不等式，选项错误；因为，所以，于是，选项正确．故选．10.【答案】C,D【考点】平面向量的坐标运算向量的模数量积表示两个向量的夹角数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】可以求出，从而判断错误；容易得出，从而判断错误，正确；可以求出，从而判断正确．【解答】解：∵，，∴错误；，∴，∴，∴错误，正确；∵，且，∴与的夹角为，∴正确．故选.11.【答案】B,D【考点】分段函数的应用函数的值域及其求法>a c 2b c 2a >b A a =1b =4m =−1===0a +m b +m 1−14−1==a b 14<B x ∈R sin x ∈[−1,1]C a >b >0|a|>|b|>a 2b 2D AD ||=2,||=a b 2–√A (−)⋅=0a b b B C cos <,>=a b 2–√2D ||=2a →||=b →2–√A −=(1,−1)a →b →(−)⋅=1−1=0a →b →b →(−)⊥b a →b →→B C cos <,>===a →b →⋅a →b →||||a →b →222–√2–√20≤<,b >≤πa →→a →b →π4D CD函数奇偶性的判断【解析】当时，不单调，根据函数的奇偶性的定义知为非奇非偶函数，利用分段函数，当时，，当时，，故的值域为，可得结果.【解答】解：当时，不单调，又为非奇非偶函数，故错误；，，故正确；当时，，当时，，故的值域为，故正确.故选.12.【答案】A,C,D【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用向量的线性运算性质及几何意义【解析】本题考查平面向量的加减混合运算，考查平面向量的数量积公式，属于基础题．【解答】解：，与长度相等，方向相同，，故正确；，，故错误；，，，∵，x <0f (x)f (x)f [f (−)]=f (0)=13π2x ≥0f (x) 1x <0−1 f (x) 1f (x)[−1,+∞)∵x <0f(x)f (x)={+1，x ≥0，x 2cos x ，x <0f(−x)={+1，x ≤0，x 2cos x ，x >0，∴f(x)AC ∵f (−)=cos(−)=03π23π2∴f [f (−)]=f (0)=13π2B x ≥0f (x)≥1x <0−1≤f (x)≤1f(x)[−1,+∞)D BD A ∵CB −→−EF −→−∴=CB −→−EF −→−A B ++OA −→−OC −→−OB −→−=++=2OA −→−AB −→−OB −→−OB −→−B C ⋅=⋅=||⋅||⋅cos OA −→−FA −→−OA −→−OB −→−OA −→−OB −→−60∘⋅=⋅=||⋅||ED −→−BC −→−AB −→−OA −→−AB −→−OA −→−cos ∘||=||=||OA −→−OB −→−AB −→−=⋅−→−−→−−→−−→−∴，故正确；，，，∵，∴，故正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】分段函数的应用函数的求值函数的周期性【解析】由是定义在上的周期为的函数，得，再由分段函数的性质能求出结果.【解答】解：∵是定义在上的周期为的函数，当时，，∴，.故答案为：.14.【答案】【考点】三角函数的最值同角三角函数间的基本关系【解析】⋅=⋅OA −→−FA −→−ED −→−BC −→−C D |+|=||OF −→−OB −→−OA −→−|−|=||OC −→−OB −→−BC −→−||=||OA −→−BC −→−|+|=|−|OF −→−OD −→−OC −→−OB −→−D ACD −14f (x)R 3f ()214=f (−)34f (x)R 3x ∈[−2,0]f (x)=|x|f ()214=f (−)34=−=∣∣∣34∣∣∣34f ()=−1=−343414−1454y=cos x −x −cos 2x 2利用三角函数间的平方关系式与二倍角的余弦将转化为：，再配方，利用余弦函数的性质即可求得答案．【解答】解：∵，显然，当时，函数取得最大值.故答案为：．15.【答案】【考点】向量在几何中的应用【解析】利用，确定点在上，且，由此可得与的面积的比值．【解答】解：∵，∴，∴ ，∴点在上，且，∵与分别可看做以，为底时，高相同，∴与的面积的比值为.故答案为：.16.【答案】【考点】函数的零点与方程根的关系y =cos x −x −cos 2x sin 2y =−x +cos x cos 2y =x +cos xsin 2=1−x +cos xcos 2=−x +cos x +1cos 2=−(cos x −+12)254cos x =12y 5454452+3+4=3PA −→−PB −→−PC −→−AB −→−P AC ||=||PA −→−45PC −→−△PAB △PBC 2+3+4=3PA −→−PB−→−PC −→−AB −→−2+3+4=3(−)PA −→−PB −→−PC −→−PB −→−PA −→−5=−4PA −→−PC −→−P AC ||=||PA −→−45PC −→−△PAB △PBC PA PC △PAB △PBC ||：||=PA −→−PC −→−45452(3−)<<021−−√x 1x 2x 3由函数零点求参数取值范围问题【解析】此题暂无解析【解答】解：当，单调递减，作出函数的图象，如图所示．由图可知，当时，恰有三个互不相等的实数根．不妨设，易知，且，∴．令，解得（舍去）或．∴．∴．故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：由图可得，，所以．所以．当时，，可得，因为，所以．所以的解析式为．．x <0y =(−3x +1)log 2x 2f (x)0<m <2f (x)=m(m ∈R),,x 1x 2x 3<<x 1x 2x 3>0x 2+=2×2=4x 2x 30<<4x 2x 3(−3x +1)=2log 2x 2x =3+21−−√2x =3−21−−√2<3−21−−√2<0x 12(3−)<<021−−√x 1x 2x 32(3−)<<021−−√x 1x 2x 3(1)A =1=−=T 22π3π6π2T =πω=2x =π6f(x)=1sin(2⋅+φ)=1π6|φ|<π2φ=π6f(x)f(x)=sin(2x +)π6(2)g(x)=f(x)−cos 2x =sin(2x +)−cos 2x π6=sin 2x cos +cos 2x sin −cos 2x π6π6=sin 2x −cos 2x =sin(2x −)3–√212π6≤x ≤π因为，所以．当，即时，有最小值，最小值为．【考点】三角函数的最值由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式三角函数的周期性及其求法【解析】由图可得，一个周期内最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，得最小正周期，进而得，代入最高点坐标求，得的解析式；由知的解析式，代入求出的解析式，用两角和的正弦公式把式中的第一项展开，合并，再逆用两角差的正弦公式把式子变形为一个角的一个三角函数值，由的范围，得到的范围，由正弦函数的图象得到的最大值和最小值．【解答】解：由图可得，，所以．所以．当时，，可得，因为，所以．所以的解析式为．．因为，所以．当，即时，有最小值，最小值为．18.【答案】解：.0≤x ≤π2−≤2x −≤π6π65π62x −=−π6π6x =0g(x)−12(1)A =1T ωφf(x)(2)(1)f(x)g(x)x 2x −π6sin(2x −)π6(1)A =1=−=T 22π3π6π2T =πω=2x =π6f(x)=1sin(2⋅+φ)=1π6|φ|<π2φ=π6f(x)f(x)=sin(2x +)π6(2)g(x)=f(x)−cos 2x =sin(2x +)−cos 2x π6=sin 2x cos +cos 2x sin −cos 2x π6π6=sin 2x −cos 2x =sin(2x −)3–√212π60≤x ≤π2−≤2x −≤π6π65π62x −=−π6π6x =0g(x)−12(1)z ==a −i 1+i (a −i)(1−i)2=−i a −12a +12∵为纯虚数，∴且，∴.由可知，.∵对应的点位于第二象限，∴∴，∴的取值范围为.【考点】复数的代数表示法及其几何意义复数代数形式的乘除运算共轭复数【解析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出；利用复数的运算法则、几何意义和共轭复数的概念，即可得出.【解答】解：.∵为纯虚数，∴且，∴.由可知，.∵对应的点位于第二象限，∴∴，∴的取值范围为.19.【答案】由三角形的面积公式可得，∴，由正弦定理可得22z =0a −12−≠0a +12a =1(2)(1)=+i z ¯¯¯a −12a +12z ¯¯¯ <0,a −12>0,a +12−1<a <1a (−1,1)(1)(2)(1)z ==a −i 1+i (a −i)(1−i)2=−i a −12a +12z =0a −12−≠0a +12a =1(2)(1)=+i z ¯¯¯a −12a +12z ¯¯¯ <0,a −12>0,a +12−1<a <1a (−1,1)(1)=ac sin B =S △ABC 12a 23sin A 3c sin B sin A =2a 3sin C sin B sin A =2sin A∵，∴．，∴，∴，∴ ，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴周长．【考点】余弦定理三角形的面积公式正弦定理两角和与差的余弦公式【解析】根据三角形面积公式和正弦定理可得答案；根据两角余弦公式可得，即可求出，再根据正弦定理可得，根据余弦定理即可求出，问题得以解决．【解答】解：由三角形的面积公式可得，∴，由正弦定理可得∵，∴．，3sin C sin B sin A =2sin Asin A ≠0sin B sin C =23(2)∵6cos B cos C =1cos B cos C =16cos B cos C −sin B sin C =−=−162312cos(B +C)=−12A =π3===2R ==2a sin A b sin B c sin C 33–√23–√sin B sin C =⋅===b 2R c 2R bc (2)3–√2bc 1223bc =8=+−2bc cos A a 2b 2c 2+−bc =9b 2c 2=9+3cb =9+24=33(b +c)2b +c =33−−√a +b +c =3+33−−√(1)(2)cos A =12A =π3bc =8b +c (1)=ac sin B =S △ABC 12a 23sin A 3c sin B sin A =2a 3sin C sin B sin A =2sin Asin A ≠0sin B sin C =23(2)∵6cos B cos C =1B cos C =1∴，∴，∴ ，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴周长．20.【答案】解：因为且的图象过点，所以，解得，所以函数的图象如图：由可知，单调递减区间为，，因为函数在区间上是单调减函数，所以或，解得或，所以的取值范围为或．【考点】分段函数的应用指数函数的定义、解析式、定义域和值域cos B cos C =16cos B cos C −sin B sin C =−=−162312cos(B +C)=−12A =π3===2R ==2a sin A b sin B c sin C 33–√23–√sin B sin C =⋅===b 2R c 2R bc (2)3–√2bc 1223bc =8=+−2bc cos A a 2b 2c 2+−bc =9b 2c 2=9+3cb =9+24=33(b +c)2b +c =33−−√a +b +c =3+33−−√(1)f(x)=(a >0a x a ≠1)(−2,4)4=a 2a =12g(x)= ,x <0,()12x −+2x +1,x ≥0.x 2y =g(x)(x ∈[−2,3])(2)(1)(−∞,0)(1,+∞)y =g(x)(t,t +)12t +≤012t ≥1t ≤−12t ≥1t t ≤−12t ≥1已知函数的单调性求参数问题【解析】无无【解答】解：因为且的图象过点，所以，解得，所以函数的图象如图：由可知，单调递减区间为，，因为函数在区间上是单调减函数，所以或，解得或，所以的取值范围为或．21.【答案】将，分别代入模拟函数＝和＝，解得＝，＝∴＝和＝，当＝时，＝＝，＝＝，∴用函数＝，为常数，且来模拟这种电脑元件的月产量千件与月份的关系更合适．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】分别求出对应的，值，再去验证模拟效果即可．(1)f(x)=(a >0a x a ≠1)(−2,4)4=a 2a =12g(x)= ,x <0,()12x −+2x +1,x ≥0.x 2y =g(x)(x ∈[−2,3])(2)(1)(−∞,0)(1,+∞)y =g(x)(t,t +)12t +≤012t ≥1t ≤−12t ≥1t t ≤−12t ≥1(1,50)(2,52)y ax +b y +b a x a 2b 48y 2x +48y +482x x 3y 2x +4854y +482x 56y ax +b(a b a >0)y a b【解答】将，分别代入模拟函数＝和＝，解得＝，＝∴＝和＝，当＝时，＝＝，＝＝，∴用函数＝，为常数，且来模拟这种电脑元件的月产量千件与月份的关系更合适．22.【答案】解：因为，，所以，，所以．因为，，所以．又因为，所以，整体得，解得或（舍去）．因为，所以，由余弦定理得，所以.【考点】余弦定理正弦定理【解析】（1）答案未提供解析．（2）答案未提供解析．【解答】解：因为，，所以，，所以．因为，，所以．又因为，(1,50)(2,52)y ax +b y +b a x a 2b 48y 2x +48y +482x x 3y 2x +4854y +482x 56y ax +b(a b a >0)y (1)AB =BC 2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√A +B −A C 2C 2B 2=A +B −2B =AC ⋅BCC 2C 2C 22–√cos ∠ACB =A +B −A C 2C 2B 22AC ⋅BC ==AC ⋅BC2–√2AC ⋅BC 2–√2∠ACB =π4(2)AB =BC 2–√AB =2−23–√BC =−6–√2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√A −(−=AC ⋅(−)C 26–√2–√)22–√6–√2–√A −2(−1)AC +4(−2)=0C 23–√3–√AC =2AC =2(−2)3–√=AC ⋅AD ⋅sin ∠CAD =AD =3S △ACD 122–√2AD =32–√C =A +A−2AC ⋅AD ⋅cos ∠CAD =10D 2C 2D 2CD =10−−√(1)AB =BC 2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√A +B −A C 2C 2B 2=A +B −2B =AC ⋅BCC 2C 2C 22–√cos ∠ACB =A +B −A C 2C 2B 22AC ⋅BC ==AC ⋅BC 2–√2AC ⋅BC 2–√2∠ACB =π4(2)AB =BC 2–√AB =2−23–√BC =−6–√2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√A −(−=AC ⋅(−)C 2–√–√)2–√–√–√所以，整体得，解得或（舍去）．因为，所以，由余弦定理得，所以.A −(−=AC ⋅(−)C 26–√2–√)22–√6–√2–√A −2(−1)AC +4(−2)=0C 23–√3–√AC =2AC =2(−2)3–√=AC ⋅AD ⋅sin ∠CAD =AD =3S △ACD 122–√2AD =32–√C =A +A −2AC ⋅AD ⋅cos ∠CAD =10D 2C 2D 2CD =10−−√。

2022-2023学年高中高一下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知集合，，则（ ）A.B.C.D.2. 若，则等于 A.B.C.D.3. 在下列命题中，不是公理的是（ ）A.经过两条相交直线有且只有一个平面B.平行于同一直线的两条直线互相平行C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线4. 函数的图象形状大致是 A ={x ∈Z|−1<x <5}B ={x|−2≤x ≤2}A ∩B ={x|−1<x ≤2}{x|−2≤x <5}{0,1}{0,1,2}ω=−+i 123–√2++1=ω4ω2()1−1+i3–√3+i3–√0f(x)=(1−)⋅sin x 21+e x ()A. B. C.D.5. 如果一个水平放置的三角形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形，斜边长为，且斜边落在斜二测坐标系的横轴上，则原图形的面积为( )A.B.C.D.6. 在米高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为，则塔高为( )A.米B.米C.米D.米7. 命题：， 成立的一个充分但不必要条件为( )A.222–√42–√2–√22003–√，30∘60∘400320033–√20034003–√3p :∀x ∈[−1,1]−ax −2<0x 2−1<a <1<a <11B.C.D.8. 在①，②，③，④这四个条件中，能够满足必为等腰直角三角形的条件组合为（ ）A.③④B.①②C.②③D.①④二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 如图所示的几何体是由正四面体和正四棱锥组合而成，则下列结论正确的是（ ）A.B.该几何体有个面C.异面直线与所成的角为D.该几何体所有顶点在同一球面上10. 已知集合，其中为虚数单位，则下列元素属于集合的是( )A.B.C.D.−<a <112−1<a <2−1≤a ≤1|+|=|−|AB −→−AC −→−AB −→−AC −→−=(−)BA −→−BC −→−2BC −→−2(−)⋅=0AB −→−AC −→−AB −→−||=||AB −→−BC −→−△ABC F −ABC A −BCDE AF ⊥DE7BF AD 60∘M ={m |m =,n ∈N}i n i M (1−i)(1+i)1−i 1+i 1+i1−i(1−i)211. 已知椭圆的左、右焦点为，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（ ）A.的周长为B.当时，的边C.当时，的面积为D.椭圆上有且仅有个点，使得为直角三角形12. 数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，，分别是的外心、重心、垂心，且为的中点，则（ ）A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若是角终边上一点，且，则________.14. 已知向量，的夹角为，，则_________．15. 在四面体中，为等边三角形，边长为，＝，＝，＝，则四面体的体积为________．16. 已知，是边所在直线上一点，且满足，则________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 如图已知正方体的棱长为，点在上，点在上，且，．+=1x 24y 22,F 1F 2P △PF 1F 2△PF 1F 24+22–√∠P =F 1F 290∘△PF 1F 2P =2F 1∠P =F 1F 260∘△PF 1F 243–√36P △PF 1F 21765O G H △ABC M BC ++=0GA −→−GB −→−GC −→−+=2−4AB −→−AC −→−HM −→−MO−→−=3AH −→−OM−→−||=||=||OA −→−OB −→−OC −→−P(4,y)θsin θ=−25–√5y =a →b →|π4|=,||=1a →2–√b →|3+|=a →b →P −ABC △ABC 6PA 6PB 8PC 10P −ABC △ABC M AB =λ+3CM −→−CA −→−CB −→−λ=ABCD −A 1B 1C 1D 13M AC N BC 1|AM |=2|MC ||BN |=2|NC |MN ||DCC D（1）求证：平面；（2）以，和所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，写出，点坐标，求出，两点间的距离．18. 一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的，设球的半径为，圆锥底面半径为．试确定与的关系，并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比；求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比．19. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题①.② .③.设的内角，，的对边分别为，，且________（填序号）.求角的大小；若，求，的值.20. 已知等腰梯形中，，，，为的中点，如图，将三角形沿折起到平面而，如图（1）点为线段的中点，判断直线与平面面的位置关系，并说明理由（2）当的面积最大时，求的长． 21. 在中，是上的点，平分，面积是面积的倍．求；MN ||DCC 1D 1DA DC DD 1x y z M N M N 316R r (1)R r (2)b sin A =a cos B 3–√(a +b +c)(a −b +c)=3ac 1−cos 2B =2sin 2A +C 2△ABC A B C a b c (1)B (2)b =3sin C =2sin A a c ADCE AD //EC EC =2AD =2AE =4∠E =π3B EC 1ABE AB ABE(E ⊂ABCD)2F AE DF BCE'△BCE DE △ABC D BC AD ∠BAC △ABD △ADC 2(1)sin ∠B sin ∠CC =–√若，，求和的长． 22. 已知是定义域为上的奇函数，且当时有．求的解析式；解不等式．sin ∠C (2)AD =1DC =2–√2BD AC f(x)R x >0f(x)=x log 110(1)f(x)(2)f(x)≤2参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以．故选．2.【答案】D【考点】复数代数形式的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：，A ={x ∈Z|−1<x <5}={0,1,2，3,4}A ∩B ={0,1,2}D =(−+i ω2123–√2)2=−−i 123–√2++1=ω4ω2(+1−ω2)2ω2=(−−i +1−(−−i)123–√2)2123–√2=−i +++i 143–√234i 2123–√2.故选.3.【答案】A【考点】平面的基本性质及推论【解析】根据空间中平面的基本公理与推论，对选项中的命题进行分析、判断即可．【解答】解：对于，经过两条相交直线有且只有一个平面，是公理的推理，不是公理；对于，平行于同一直线的两条直线互相平行，是平行公理；对于，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，是公理；对于，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线，是公理．故选：．4.【答案】B【考点】函数的图象函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：，，∴为偶函数，排除，；当时，，，，则，∴当时，，故排除.故选.5.=0D A 2B C 1D 3A f(x)=(1−)⋅sin x =sin x 21+e x −1e x 1+e xf(−x)=sin(−x)=sin x =f(x)−1e −x 1+e −x−1e x +1e x f(x)C D 0<x <πsin x >01+>0e x −1>0e x f(x)>00<x <πf(x)>0A B【答案】A【考点】斜二测画法画直观图【解析】此题暂无解析【解答】解：原图形为一直角三角形，其直角边分别是和，故其面积为.故选6.【答案】D【考点】解三角形的实际应用【解析】由得到与塔高间的关系，由,求出值，从而得到塔高的值．【解答】解：如图所示：设山高为，塔高为，且四边形为矩形，由题意得 ，米.,米，，米．故选．222–√22–√A.tan ==30∘DE BE 200−x 3–√BE BE x tan =60∘2003–√BEBE x AB CD x ABEC tan ===30∘DE BE 200−x 3–√BE 3–√3∴BE =(600−x)3–√∵tan =60∘2003–√BE ∴BE =200∴600−x =2003–√∴x =4003–√3D7.【答案】B【考点】根据充分必要条件求参数取值问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意， 是一个开口向上的二次函数，所以 对 恒成立，只需要解得 ，其中只有选项是 的真子集．故选.8.【答案】A【考点】向量在几何中的应用【解析】【解答】解：由得，即；由得；由得，即，所以只有当为直角且时，必为等腰直角三角形．故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.f(x)=−ax −2x 2f(x)<0x ∈[−1,1]{f(−1)=1+a −2<0，f(1)=1−a −2<0，a ∈(−1,1)B (−1,1)B |+|=|−|AB −→−AC −→−AB −→−AC −→−⊥AB −→−AC −→−A =π2(−=BA −→−BC −→−)2BC −→−2||=||CA −→−BC −→−(−)⋅=0AB −→−AC −→−AB −→−⊥CB −→−AB −→−B =π2B =AB −→−BC −→−△ABC A【答案】A,C【考点】空间中直线与直线之间的位置关系构成空间几何体的基本元素异面直线及其所成的角球内接多面体【解析】无【解答】解：．分别取，中点，，连接，，，，易证平面，平面，又平面平面，∴平面与平面重合，即，，，四点共面，∵正四面体和正四棱锥的所有棱长都相等，∴，，∴四边形为平行四边形，∴，又，∴．∵四边形为平行四边形，∴，，，四点共面，同理四边形为平行四边形，，，，四点共面．因此该几何体有个面，故选项错误；．∵，∴，故选项正确；．∵，∴即为异面直线与所成的角，又为等边三角形，∴，故选项正确；．∵几何体为斜三棱柱，B BC DE M N MF AN MN AM BC ⊥AMF BC ⊥AMN AMF∩AMN =AM AMF AMN A F M N AF =MN MF =AN AFMN AF MN =//BE MN =//BE AF =//AFBE A F B E AFCD A F C D 5B A CD ⊥DE AF ⊥DE A C BF//AE ∠DAE BF AD △ADE ∠DAE =60∘C D∴该几何体没有外接球，故选项错误.故选．10.【答案】B,C【考点】复数代数形式的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，中，时，；时，；时，；时，，∴．选项中，；选项中，；选项中，；选项中，．故选.11.【答案】A,D【考点】余弦定理椭圆的定义椭圆的定义和性质【解析】无【解答】解：根据椭圆方程可得，，．对于，的周长为，故正确；D AC M ={m |m =,n ∈N}i n n=4k(k ∈N)i n =1n=4k +1(k ∈N)i n =i n=4k +2(k ∈N)i n=−1n=4k +3(k ∈N)i n =−i M ={−1,1,i,−i}A (1−i)(1+i)=2∉M B ==−i ∈M 1−i 1+i (1−i)2(1+i)(1−i)C ==i ∈M 1+i 1−i (1+i)2(1−i)(1+i)D (1−i)2=−2i ∉M BC a =2b =2–√c =2–√A △PF 1F 2|P |+|P |+||=2a +2c =4+2F 1F 2F 1F 22–√A P |==12对于，当时，的边，故错误；对于，设，，根据椭圆定义以及余弦定理可得：解得，则，故错误；对于，当时，则有解得，此时点为上下顶点，当时，有两个点，当时，有两个点，故正确．故选．12.【答案】B,D【考点】向量的线性运算性质及几何意义向量加减混合运算及其几何意义【解析】向量的线性运算结果仍为向量可判断选项；由可得，利用向量的线性运算，再结合集合判断选项；利用，故选项不正确，利用外心的性质可判断选项，即可得正确选项．【解答】解：依题意作图，因为是的重心，是的外心，是的垂心，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以.B ∠P =F 1F 290∘△PF 1F 2|P |==1F 1b 2a B C |P |=m F 1|P |=n F 2 cos =，60∘+−8m 2n 22mn m +n =4，mn =83=mn sin =S △PF 1F 21260∘233–√C D ∠P =F 1F 290∘{m +n =4,+=8,m 2n 2m =n =2P ∠P =F 1F 290∘∠P =F 2F 190∘D AD A =GO −→−12HG −→−=HG −→−23HO −→−+=2=6=6(−)AB −→−AC −→−AM −→−GM −→−HM −→−HG −→−=+HO −→−HM −→−MO −→−B =−=2−2=2AH −→−AG −→−HG −→−GM −→−GO −→−OM −→−C D G △ABC O △ABC H △ABC =GO −→−12HG −→−2−→−−→−，因为是的重心，为的中点，所以，又因为，所以 ，即，故错误；，因为是的重心，为的中点，所以， .因为，所以，，即 ，故正确；，，故错误；，点是的外心，所以点到三个顶点距离相等，即，故正确.故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】同角三角函数基本关系的运用三角函数值的符号【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，且在角的终边上，∴为第四象限角，∴,∵，∴，即，解得，故答案为：.14.【答案】A G △ABC M BC =2AG −→−GM −→−+=2GB −→−GC −→−GM −→−+=GB −→−GC −→−AG −→−++=GA −→−GB −→−GC −→−0→A B G △ABC M BC =2AG−→−GM −→−=3AM −→−GM −→−=GO −→−12HG −→−=HG −→−23HO −→−+=2=6AB −→−AC −→−AM −→−GM−→−=6(−)=6(−)HM −→−HG −→−HM −→−23HO −→−=6−4=6−4(+)HM −→−HO −→−HM −→−HM −→−MO −→−=2−4HM −→−MO −→−+=2−4AB −→−AC −→−HM −→−MO −→−B C =−=2−2=2AH −→−AG −→−HG −→−GM −→−GO −→−OM −→−C D O △ABC O ||=||=||OA −→−OB −→−OC −→−D BD −8sin θ=−25–√5P(4,y)θθtan θ<0sin θ=−25–√5tan θ=−2=−2y 4y =−8−8【考点】平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角向量的模【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以.故答案为：．15.【答案】【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】推导出，分别取、的中点、，连结、、，则，，，推导出，从而平面，进而四面体的体积为＝，由此能求出结果．【解答】∵在四面体中，为等边三角形，边长为，＝，＝，＝，∴＝，∴，分别取、的中点、，连结、、，则，，，且，＝，，∴＝，∴，∵＝，∴平面，∴四面体的体积为：＝5⋅=||⋅||⋅cos =×1×=1a →b →a →b →π42–√2–√2|3+|=a →b →(3+)a →b →2−−−−−−−−−−√===59+6⋅+a →2a →b →b →2−−−−−−−−−−−−−−−−−√18+6+1−−−−−−−−√5811−−√PB ⊥BC BC PC D E AD AE DE AD ⊥BC AE ⊥PC DE ⊥BC AE ⊥DE AE ⊥PBC P −ABC V P−ABC =⋅⋅AE P A−PBC 13S △PBC P −ABC △ABC 6PA 6PB 8PC 10P +B B 2C 2PC 2PB ⊥BC BC PC D E AD AE DE AD ⊥BC AE ⊥PC DE ⊥BC PD ==336−9−−−−−√3–√DE 4AE ==36−25−−−−−−√11−−√A +D E 2E 2PD 2AE ⊥DE PC ∩DE E AE ⊥PBC P −ABC V P−ABC ⋅⋅AE =××PB ×BC ×AE =××8×6×=8−PBC 1PBC 1111．16.【答案】【考点】向量的线性运算性质及几何意义向量在几何中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：因为在直线上，所以可设，可得，即，故，得．故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】（1）证明：过点作交于点，连接，则，于是平面平面，∵平面，∴平面．…分（2）解：，，∴，两点间的距离为 …分．【考点】点、线、面间的距离计算用向量证明平行【解析】（1）过点作交于点，连接，证明平面平面，可得平面；（2）求出，点坐标，即可求出，两点间的距离．=⋅⋅AE =××PB ×BC ×AE =××8×6×=8P A−PBC 13S △PBC 1312131211−−√11−−√−2M AB =t (t ∈R)AM −→−AB −→−−=t (−)CM −→−CA −→−CB −→−CA −→−=(1−t)+t CM −→−CA −→−CB −→−(1−t)+t =3+λλ=−2−2M ME //DC BC E NE NE //CC 1MEN //DCC 1D 1MN ⊂MEN MN //DCC 1D 16M(1,2,0)N(1,3,2)M N 5–√6M ME //DC BC E NE MEN //DCC 1D 1MN //DCC 1D 1M N M N（1）证明：过点作交于点，连接，则，于是平面平面，∵平面，∴平面．…分（2）解：，，∴，两点间的距离为 …分．18.【答案】解：，，，，，.．【考点】球的表面积和体积柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：，，，，，.．19.M ME //DC BC E NE NE //CC 1MEN //DCC 1D 1MN ⊂MEN MN //DCC 1D 16M(1,2,0)N(1,3,2)M N 5–√6(1)π=×4πr 2316R 2r =R 3–√2O ==R O 1−R 2r 2−−−−−−√12=B =BO +O =R +R =R h 大O 1O 11232=A =OA −O =R −R =R h 小O 1O 11212:=:=3:1V 大V 小h 大h 小(2)(+):=(π+π):πV 大V 小V 球13r 2h 大13r 2h 小43R 3=:=⋅=r 2h 小R 3r 2R 2h 小R 38(1)π=×4πr 2316R 2r =R 3–√2O ==R O 1−R 2r 2−−−−−−√12=B =BO +O =R +R =R h 大O 1O 11232=A =OA −O =R −R =R h 小O 1O 11212:=:=3:1V 大V 小h 大h 小(2)(+):=(π+π):πV 大V 小V 球13r 2h 大13r 2h 小43R 3=:=⋅=r 2h 小R 3r 2R 2h 小R 38解：选①∵，由正弦定理，得，在中，，即得，∵，∴．选②得，∴，又∵，∴；选③由得，∴，即，∴ （舍），∴．∵，由正弦定理，得，由余弦定理，得，即，解得，∴．【考点】余弦定理正弦定理解三角形【解析】无无【解答】解：选①∵，由正弦定理，得，在中，，即得，∵，∴．选②得，∴，又∵，(1)b sin A =a cos B 3–√sin B sin A =sin A cos B 3–√△ABC sin A ≠0tan B =3–√B ∈(0,π)B =π3+−=aca 2c 2b 2cos B =12B ∈(0,π)B =π31−cos 2B =2sin 2A +C 21−2=cos 2Bsin 2A +C 2cos(A +C)=−cos B =2B −1cos 22B +cos B −1=0cos 2cos B =,cos B =−112B =π3(2)sinC =2sin A c =2a =+−2ac cos B b 2a 2c 29=+4=2a ⋅2a cos a 2a 2π3a =3–√c =2a =23–√(1)b sin A =a cos B 3–√sin B sin A =sin A cos B 3–√△ABC sin A ≠0tan B =3–√B ∈(0,π)B =π3+−=ac a 2c 2b 2cos B =12B ∈(0,π)=π∴；选③由得，∴，即，∴ （舍），∴ ．∵，由正弦定理，得，由余弦定理，得，即，解得，∴．20.【答案】直线与平面相交．理由如下：∵平面，∴平面．若平面，设平面，则，∴与不重合，∵，∴平面平面，矛盾，∴直线与平面相交．证明：（2）取的中点，连结，，由等腰梯形中，，，，得，，，∴平面，∴，∴，∵的面积为，∴当的面积最大时，，∴，∴．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】（1）若平面，设平面，则，与不重合，由此推导出直线与平面相交．（2）取的中点，连结，，则，，，平面，，，由此能求出当的面积最大时，的长B =π31−cos 2B =2sin 2A +C 21−2=cos 2B sin 2A +C 2cos(A +C)=−cos B =2B −1cos 22B +cos B −1=0cos 2cos B =,cos B =−112B =π3(2)sin C =2sin A c =2a =+−2ac cos B b 2a 2c 29=+4=2a ⋅2a cos a 2a 2π3a =3–√c =2a =23–√DF BCE ′E'⊂ABCD D ⊂BCE'DF //BCE'DCF ∩BCE'=CM DF //CM CM CD AD //BC ADE'//BCE'DF BCE ′AB O E'O BD ADCE AD //EC EC =2AD =2AE =4∠E =π3E'O ⊥AB DO ⊥AB AB //DC AO ⊥E'OD E'D ⊥AO E'D ⊥DC △BCE'∗B ∗BC ∗sin ∠BC =2sin ∠BC 12E ′E ′E ′△BCE'∠E'BC =90∘E'C ==2+B E ′B 2C 2−−−−−−−−−−√2–√D ==2E ′−D E ′C 2C 2−−−−−−−−−−−√DF //BCE'DCF ∩BCE'=CM DF //CM CM CD DF BCE ′AB O E'O BD E'O ⊥AB DO ⊥AB AB //DC AO ⊥E'OD E'D ⊥AO E'D ⊥DC △BCE DE【解答】直线与平面相交．理由如下：∵平面，∴平面．若平面，设平面，则，∴与不重合，∵，∴平面平面，矛盾，∴直线与平面相交．证明：（2）取的中点，连结，，由等腰梯形中，，，，得，，，∴平面，∴，∴，∵的面积为，∴当的面积最大时，，∴，∴．21.【答案】解：如图，过作于，∵,∴，∵平分，∴.在中，，∴.在中，，∴；∴．DF BCE ′E'⊂ABCD D ⊂BCE'DF //BCE'DCF ∩BCE'=CM DF //CM CM CD AD //BC ADE'//BCE'DF BCE ′AB O E'O BD ADCE AD //EC EC =2AD =2AE =4∠E =π3E'O ⊥AB DO ⊥AB AB //DC AO ⊥E'OD E'D ⊥AO E'D ⊥DC △BCE'∗B ∗BC ∗sin ∠BC =2sin ∠BC 12E ′E ′E ′△BCE'∠E'BC =90∘E'C ==2+B E ′B 2C 2−−−−−−−−−−√2–√D ==2E ′−D E ′C 2C 2−−−−−−−−−−−√(1)A AE ⊥BC E ==2S △ABD S △ADC BD ×AE 12DC ×AE 12BD =2DC AD ∠BAC ∠BAD =∠DAC △ABD =BD sin ∠BAD AD sin B sin B =AD ×sin ∠BAD BD △ADC =DC sin ∠DAC AD sin C sin C =AD ×sin ∠DAC DC ==sin B sin C AC AB12D =2DC =2×=–√由知，．过作于，作于，∵平分，∴，∴，∴，令，则，∵，∴，∴由余弦定理可得：，∴，∴，∴的长为，的长为．【考点】三角形求面积余弦定理正弦定理【解析】如图，过作于，由已知及面积公式可得，由平分及正弦定理可得，，从而得解．由可求．过作于，作于，由平分，可求，令，则，利用余弦定理即可解得和的长．【解答】解：如图，过作于，(2)(1)BD =2DC =2×=2–√22–√D DM ⊥AB M DN ⊥AC N AD ∠BAC DM =DN ==2S △ABD S △ADC AB ×DM 12AC ×DN 12AB =2AC AC =x AB =2x ∠BAD =∠DAC cos ∠BAD =cos ∠DAC =(2x +−()2122–√)22×2x ×1+−(x 2122–√2)22×x ×1x =1AC =1BD 2–√AC 1(1)A AE ⊥BC E BD =2DC AD ∠BAC sin ∠B =AD ×sin ∠BAD BD sin ∠C =AD ×sin ∠DAC DC sin ∠B sin ∠C (2)(1)BD =2–√D DM ⊥AB M DN ⊥AC N AD ∠BAC AB =2AC AC =x AB =2x BD AC (1)A AE ⊥BC E D ×AE1∵,∴，∵平分，∴.在中，，∴.在中，，∴；∴．由知，．过作于，作于，∵平分，∴，∴，∴，令，则，∵，∴，∴由余弦定理可得：，∴，∴，∴的长为，的长为．22.【答案】解：∵是定义域为上的奇函数，且当时，有．时，，∴，∴，又∵，∴，==2S △ABD S △ADC BD ×AE 12DC ×AE 12BD =2DC AD ∠BAC ∠BAD =∠DAC △ABD =BD sin ∠BAD AD sin B sin B =AD ×sin ∠BAD BD △ADC =DC sin ∠DAC AD sin C sin C =AD ×sin ∠DAC DC ==sin B sin C AC AB 12(2)(1)BD =2DC =2×=2–√22–√D DM ⊥AB M DN ⊥AC N AD ∠BAC DM =DN ==2S △ABD S △ADC AB ×DM 12AC ×DN 12AB =2AC AC =x AB =2x ∠BAD =∠DAC cos ∠BAD =cos ∠DAC =(2x +−()2122–√)22×2x ×1+−(x 2122–√2)22×x ×1x =1AC =1BD 2–√AC 1(1)f(x)R x >0f(x)=x log 110x <0−x >0f(−x)=(−x)log 110f(x)=−f(−x)=−(−x)log 110f(0)=−f(0)f(0)=0 x ，x >0，log综上所述∵，∴或解得，或，又∵，∴的解集是．【考点】对数函数的单调性与特殊点奇偶性与单调性的综合分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的定义域及其求法【解析】是定义域为上的奇函数，且当时有．由时，，知，故，由此能求出．（2）由，知，或，由此能求出的解集．【解答】解：∵是定义域为上的奇函数，且当时，有．时，，∴，∴，又∵，∴，综上所述∵，∴或解得，或，又∵，f(x)= x ，x >0，log 1100,x =0，−(−x)，x <0.log 110(2)f(x)≤2{x >0，x ≤2，log 110{x <0，−(−x)≤2，log 110x ≥1100−100≤x <0f(0)=0<2f(x)≤2[−100,0]∪[,+∞)1100(1)(x)R x >0f(x)=x log 110x <0−x >0f(−x)=(−x)log 110f(x)=−f(−x)=−(−x)log 110f(x)f(x)≤2{x >0x ≤2log 110{x <0−(−x)≤2log 110f(x)≤2(1)f(x)R x >0f(x)=x log 110x <0−x >0f(−x)=(−x)log 110f(x)=−f(−x)=−(−x)log 110f(0)=−f(0)f(0)=0f(x)= x ，x >0，log 1100,x =0，−(−x)，x <0.log 110(2)f(x)≤2{x >0，x ≤2，log 110{x <0，−(−x)≤2，log 110x ≥1100−100≤x <0f(0)=0<2−100,0]∪[,+∞)1∴的解集是．f(x)≤2[−100,0]∪[,+∞)1100。

高一数学必修第一册期中模拟试卷（新高考版提高卷2）考试范围：第一章集合与常用逻辑用语；第二章一元二次函数、方程和不等式；第三章函数的概念与性质一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 的图像由如图所示的两条曲线组成，则（）A ．()()31f f -=B ．()1 3.5f -=C ．函数的定义域是(][],02,3-∞⋃D ．函数的值域是[]1,5【答案】AD【详解】选项A ：由图像可得(3)2f -=，所以((3))(2)1f f f -==，A 正确；选项B ：图像法只能近似地求出函数值，且有时误差较大，故由图像不能得出(1)f -的确定值，B 错误；选项C ：由图像可得函数的定义域为[3,0][2,3]-，C 错误；选项D ：由图像可得函数的值域为[1,5]，D 正确.故选：AD.10．（2022·江苏·高一单元测试）设集合S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，则x +y ∈T ；②对任意x ，y ∈T ．若x ≠y ，则x ﹣y ∈S ，下列说法正确的是（）A ．若S 有2个元素，则S ∪T 只有3个元素B ．若S 有2个元素，则S ∪T 可以有4个元素C ．存在3个元素的集合S ，且满足S ∪T 有5个元素D ．不存在3个元素的集合S 【答案】AD【详解】解：由条件②可知集合S 中的元素必成对出现，他们互为相反数，若S 有2个元素，不妨设S ＝{a ，﹣a }（a ≠0），由条件①可知集合T 中必含有元素0，若T 的另一个元素为a （或﹣a ），显然符合条件②，若T 的另一个元素不是a 或﹣a ，不妨设为c （c ≠±a ），则由条件②可知c ，﹣c 也是S 的元素，与S 只有2个元素矛盾，∴S ∪T ＝{a ，﹣a ，0}，故A 正确，B 错误；若S 有3个元素，则0必然是S 的元素，设S ＝{a ，0，﹣a }，则由条件①可知S ⊆T ，再由条件②可知2a ∈S ，﹣2a ∈S ，与S 有3个元素矛盾，故不存在3个元素的集合S ，满足条件①，②，故C 错误，D 正确．故选：AD ．第二空3分.）【答案】6【详解】设A 的横坐标为m ，则A 的坐标为（m ，和y 14=-x 112+，为保证采光，竖直窗户的高度设计为1m ，∴13m 的横坐标为6．故答案为：6．15．（2022·全国·高三专题练习）设2()2f x x ax =-取值范围为____．【答案】(,0]-∞【详解】因为()222()211f x x ax x a a =-+=-+-，当0a ≤时，(0)1f =，符合题意；当02a <<时，2()11f a a =-+=，解得0a =，不成立；答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）(1)确定k的值使炮弹恰好击中坐标为（炮弹的射程是多少？(2)求炮的射程关于k的函数解析式。

2022-2023学年高中高一下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知复数在复平面上对应的点的坐标为，则( )A.B.C.D.2. 平行四边形中，，在上投影的数量分别为，，则在上的投影的取值范围是 A.B.C.D.3. 已知向量为平面向量，，且使得与所成夹角为，则的最大值为（ ）A.B.C.D.4. 如图所示，在中， ，点在边上，点在线段上，若，则( )z (2,−3)=z¯¯¯2−3i2+3i−2−3i−2+3iABCD AC −→−BD −→−AB −→−3−1BD −→−BC −→−()(−1,+∞)(−1,3)(0,+∞)(0,3)，，a →b →c →||=||=2⋅=1a →b →a →b →c →−2c →a →−c →b →π3||c →+13–√3–√1+17–√△ABC BC =30D BC E AD =+CE −→−16CA −→−12CB −→−BD =A.B.C.D.5. 中，角，，所对的边分别为，，，若，则为（ ）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不确定6. 已知，则的值为( )A.B.C.D.7. 已知，，，则（ ）A.B.C.D.10121518△ABC A B C a b c c <b cos A △ABC sin(x +)=π445sin 2x 1825725−725−1625x ∈(0,)π2y ∈(0,)π2=cos x −sin x cos x +sin x sin y1+cos y x +y =π2x +y =π4x +2y =π42x +y =π28. 在中，，，是的垂心，是的外心，则 A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列关于平面向量的说法中正确的是( )A.已知，均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得B.已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是C.若且，则D.若点为的重心，则10. 已知复数，是的共轭复数，则（ ）A.B.C.复数在复平面内所对应的点在第一象限D. 11. 若函数＝的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为，则下列说法中正确的是（ ）A. 的图象关于＝对称B.当，]时， 的值域为[-，]C. 在区间（，上单调递减△ABC AB =6AC =8H △ABC O △ABC ⋅=OH −→−BC −→−()−14−2828a →b →//a →b →λ=λa →b→=(1,2)a →=(1,1)b →a →+λa →b →λ(−,+∞)53⋅=⋅a →c →b →c →≠c →0→=a →b→G △ABC ++=GA −→−GB −→−GC −→−0→z =2+1−i 1+iz ¯¯¯z =+i z ¯¯¯z 3545z =3z ¯¯¯z¯¯¯zz ≥4z¯¯¯f(x)sin 2x g(x)g(x)x x ∈[0g(x)g(x)ππ)x ∈[0,π]g(x)D.当时，方程＝有个根12. 在中，，，分别是边，，的中点，是其重心，下列说法正确的是( )A.对于任意一点，都有B.C.若，则是在上的投影向量D.若点是线段上的动点，且满足，则的最大值为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若复数是纯虚数，则________.14. 已知向量，，若，则向量与的夹角为________．15. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则两点的距离为________．16. 如图，在中，，，，，则________．x ∈[0,π]g(x)03△ABC D E F BC AC AB O P ++=3PA −→−PB −→−PC −→−PO −→−++=DA −→−EB −→−FC −→−0→+=AB −→−||AB −→−AC −→−||AC −→−3–√AD −→−||AD −→−BD −→−BA −→−BC −→−P AD =λ+μBP −→−BA −→−BC −→−λμ18(a ∈R)3−ai 1−2i|2a +i|==(−1,3)a =(1,t)b (−2)⊥a b a a b A B C D CD =450m ∠ADB =135∘∠BDC =∠DCA =15∘∠ACB =120∘AB m △ABC 3BD =DC AB =3AC =2∠BAC =60∘⋅=AD −→−BC −→−四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.已知复数在复平面内对应的点在第二象限，，且，求；已知复数为纯虚数，求实数的值．18. 已知向量且，则实数.19. 已知为坐标原点， ，，若 （，且为常数）求函数的最小正周期和单调递减区间；若时，函数的最小值为，求实数的值． 20. 函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，，为图象与轴的交点，且为正三角形．写出函数的值域并求的值；若，且，求的值．21. 在中，，，分别是角，，的对边，已知．若，求的大小；若，的面积，且，求，． 22. 已知函数.求最小正周期及对称中心；在锐角中，，，分别为角，，的对边，且，求面积的取值范围．(1)z |z|=2z +=−2z¯¯¯z (2)z =−(1+2i)m −3(2+i)2m 21−i m =(1，x)，=(−2，4)，a →b →(−)⊥a →b →b →x =________O =(2x,1)OA −→−cos 2=(1,sin 2x +a)OB −→−3–√f (x)=⋅OA −→−OB −→−x ∈R a ∈R a (1)f (x)(2)x ∈[0,]π2f (x)2a f(x)=2sin(ωx +)(ω>0)3–√π3A B C x △ABC (1)f(x)ω(2)f()=x 083–√5∈(−,)x 010323f(+2)x 0△ABC a b c A B C 3(+)=b 2c 23+2bc a 2(1)sin B =cos C 2–√tan C (2)a =2△ABC S =2–√2b >c b c f (x)=cos 2x +sin(2x −)π6(1)f (x)(2)△ABC a b c A B C f (A)=,b =412△ABC参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】共轭复数【解析】无【解答】解：依题意可知，则．故选．2.【答案】A【考点】向量的投影【解析】首先建立平面直角坐标系，进一步利用向量的坐标运算和数量积求出结果．【解答】解：以为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，z =2−3i =2+3i z¯¯¯B A AB x A AB y B(a,0)C(3,b)D(a −1,b)设，，，则，解得，所以，，，，设，的夹角为，过点作于点，则在上的投影：，令，则，令，则在上单调递增，故，故，则在上的投影的取值范围是.故选.3.【答案】A【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】B(a,0)C(3,b)D(a −1,b)3−(a −1)=a a =2D(1,b)C(3,b)=(1,b)BC −→−=(−1,b)BD −→−BD −→−BC −→−θD DM ⊥BC M BD −→−BC −→−||=||⋅cos θBM −→−BD −→−=⋅BC −→−BD −→−||BC −→−==−−1b 2+1b 2−−−−−√+1b 2−−−−−√2+1b 2−−−−−√=t(t >1)+1b 2−−−−−√||=t −BM −→−2t f(t)=t −2t f(t)(1,+∞)f(t)>f(1)=−1f(t)>−1BD −→−BC −→−(−1,+∞)A此题暂无解析【解答】解：，，，如图，为的中点，连结．设，，则为等边三角形，∵满足与的夹角为，，∵为等边三角形，，四点共圆，∴点的轨迹为圆的一段优弧，当经过圆的圆心时，取得最大值，在中，根据正弦定理得，即，解得,故圆的半径为，，四点共圆，，，，即的最大值为．故选．∵||=||=2⋅=1a →b →a →b →∴cos , ==a →b →⋅a →b →||||a →b →12 , =a →b →π3A OD AB =OA −→−a →=，=OB −→−b →OC −→−c →=2OD −→−a→∴△AOB c →−2c →a →−c →b →π3∴∠BCD =π3△AOB ∴∠BAD =2π3∵∠BCD =，∴A ，B ，C ，D π3C I OC −→−I ||OC −→−△ABD =2R BD sin ∠BAD 2R ==23–√sin 60∘R =1I 1∵∠BID =2∠BCD =,∠AOB =2π3π3∴O ，B ，I ，D ∴∠DIO =∠DBO =π2∴DI ⊥OI ，OI ===O −D D 2I 2−−−−−−−−−√−2212−−−−−−√3–√∴||=|OI|+|IC|=+1OC −→−3–√||c →+13–√A4.【答案】B【考点】向量的线性运算性质及几何意义向量在几何中的应用【解析】根据图形可设，从而可以得出，根据．D 三点共线即可得出，解出，从而可求出，进而求出【解答】解：由题意可设，则.由，，三点共线，得，解得：，所以，则.故选.5.【答案】A【考点】三角形的形状判断【解析】=λ(0<λ≤1)CD −→−CB −→−=+CE −→−16CA −→−12λCD −→−A,E,+=11612λλ=35CD =18BD =12=λ(0<λ≤1)CD −→−CB −→−=+=+CE −→−16CA −→−12CB −→−16CA −→−12λCD −→−A E D +=11612λλ=35CD =30×=1835BD =30−18=12B sin C <sin B cos A sin A cos B <0依题意，可得，利用两角和的正弦整理得，从而可判断为钝角．【解答】解：中，∵，∴，即，∴，，∴，为钝角，∴为钝角三角形，故选：．6.【答案】B【考点】两角和与差的正弦公式二倍角的正弦公式【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴两边平方得，解得：，则.故选.7.【答案】D【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式二倍角的正切公式【解析】sin C <sin B cos A sin A cos B <0B △ABC c <b cos A sin C <sin B cos A sin(A +B)=sin A cos B +sin B cos A <sin B cos A sin A cos B <0sin A >0cos B <0B △ABC A sin(x +)=(sin x +cos x)=π42–√245(1+2sin x cos x)=1216252sin x cos x =725sin 2x =2sin x cos x =725B【解答】解：，，所以，根据已知范围可得，所以.故选.8.【答案】A【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用【解析】【解答】解：如图，为垂心，则，∴①,∵②，由①②得：，同理可得.若，则同时垂直和，∵不成立，∴，=cos x −sin x cos x +sin x 1−tan x 1+tan x ==tan(−x)tan −tan x π4tan +tan x π4π4=sin y 1+cos y 2sin cos y 2y 21+2−1(cos )y 22==tan 2sin cos y 2y 22(cos )y 22y 2tan(−x)=tan()π4y 2−x =π4y 22x +y =π2D H ⋅=0AH −→−BC −→−⋅=(−)⋅=0AH −→−BC −→−OH −→−OA −→−BC −→−(+)⋅=0OB −→−OC −→−BC −→−−(−−−)⋅=0OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−BC −→−(−−−)⋅=0OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−AC −→−−−−≠0OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−BC −→−AC −→−//BC −→−AC −→−−−−=0OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−++−→−−→−−→−−→−∴.∵为的外心，∴设，则.故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,D【考点】三角形五心向量的共线定理平面向量数量积的性质及其运算律数量积的坐标表达式数量积表示两个向量的夹角【解析】由向量共线定理可判断选项；由向量夹角的的坐标表示可判断选项；由数量积的运算性质可判断选项；由三角形的重心性质即可判断选项．【解答】解：，由向量共线定理知正确；，，因为与的夹角为锐角，所以，解得，当与共线时，，解得，此时，此时与夹角为，不符合题意，所以实数的取值范围是，故错误；，若，则，=++OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−O △ABC OA=OB =OC =r ⋅=⋅+(+)⋅OH −→−BC −→−OA −→−BC −→−OB −→−OC −→−BC−→−=⋅=⋅(−)OA −→−BC −→−OA −→−AC −→−AB −→−=⋅−⋅OA −→−AC −→−OA −→−AB −→−=8r ⋅(−cos ∠OAC)−6r ⋅(−cos ∠OAB)=−8×4+6×3=−14A A B C D A A B +λ=(1,2)+λ(1,1)=(1+λ,2+λ)a ¯¯¯b ¯¯a →+λa→b→⋅(+λ)=1+λ+2(2+λ)=5+3λ>0a →a →b →λ>−53a →+λa →b →2+λ=2(1+λ)λ=0+λ=(1,2)a →b →a →+λa →b →0λ(−,0)∪(0,+∞)53B C ⋅=⋅a →c →b →c →⋅(−)=0c →a →b →→=→→→因为，则或与垂直，故错误；，若点为的重心，如图，延长交于，则为的中点，所以，所以，故正确．故选.10.【答案】A,C,D【考点】复数代数形式的乘除运算复数的运算复数的代数表示法及其几何意义复数代数形式的混合运算共轭复数【解析】无【解答】解：因为，所以，则，，则，，正确，错误．故选．11.【答案】A,C【考点】≠c →0→−=a →b →0→c →−a →b →C D G △ABC AG BC M M BC =2=2××(+)=+AG −→−GM −→−12GB −→−GC −→−GB −→−GC −→−++=GA −→−GB −→−GC −→−0→D AD z =2+=2+=2−i1−i 1+i (1−i)22=2+i z ¯¯¯==z ¯¯¯z 2+i 2−i 3+4i 5z =(2−i)(2+i)=4−=5z ¯¯¯i2A C D B ABD函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】先由已知求出函数的解析式，再根据选项一一验证答案的正确性．【解答】由已知可得函数＝）]＝），选项：因为（）＝＝，选项：当时，，则），所以错误，选项：当时，，由正弦函数的单调递减区间可得：正确，选项：令＝，解得＝，又，共两个根，12.【答案】A,B,C,D【考点】向量在几何中的应用向量的投影向量的共线定理向量加减混合运算及其几何意义向量的三角形法则【解析】对选项，由重心性质可判断正确；对选项，利用平面向量的加减法即可判断正确；对选项，首先根据已知得到为的平分线，即 ，再利用平面向量的投影概念即可判断正确．对选项，首先根据，，三点共线，设， ，再根据已知得到 从而得到 ，即可判断选项正确．【解答】g(x)g(x)sin[2(x−sin(8x−A g sin(3×1B x2x−sin(3x−B C x 3x−C D 2x−kπx x ∈[7,π]A A B B C AD ∠BAC AD ⊥BC C D A P D =t +(1−t)BP −→−BA −→−BD −→−0≤t ≤1 λ=t,μ=,1−t 2y =λμ=t ()=−+1−t 212(t −)12218D解：如图所示，对选项，由重心性质，，即 ，故正确；对选项，，故正确；对选项，，，分别表示平行于，，的单位向量，由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量．因为，所以为的平分线.又因为为的中线，所以，如图所示，在的投影为 ，所以是在上的投影向量，故正确．对选项，如图所示，因为在上， 即，，三点共线.设，.又因为 ，所以.因为 ，则 .令，A =(++)PO −→−13PA −→−PB −→−PC −→−++=3PA −→−PB −→−PC −→−PO −→−A B ++DA −→−EB −→−FC −→−=−(+)−(+)−(+)12AB −→−AC −→−12BA −→−BC −→−12CA −→−CB −→−=−−−−−−12AB −→−12AC −→−12BA −→−12BC −→−12CA −→−12CB −→−=−−+−++=12AB −→−12AC −→−12AB −→−12BC −→−12AC −→−12BC −→−0→B C AB −→−||AB −→−AC −→−||AC −→−AD −→−||AD −→−AB −→−AC −→−AD −→−+AB −→−||AB −→−AC −→−||AC −→−∠BAC +=AB −→−||AB −→−AC −→−||AC −→−3–√AD −→−||AD −→−AD ∠BAC AD BC AD ⊥BC BA −→−BC −→−||cos B =||×=||BA −→−BA −→−||BD −→−||BA −→−BD −→−BD −→−BA −→−BC −→−C D P AD A P D =t +(1−t)BP −→−BA −→−BD −→−0≤t ≤1=BD −→−12BC −→−=t +BP −→−BA −→−1−t 2BC −→−=λ+μBP −→−BA −→−BC −→− λ=t,μ=,1−t 20≤t ≤1y =λμ=t ×=−+1−t 212(t −)12218=11当时， 取得最大值为，故正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】复数的模复数代数形式的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为为纯虚数，则，，即，所以故答案为：.14.【答案】【考点】数量积表示两个向量的夹角数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】利用向量的坐标运算，通过向量垂直，然后求解，即可求解向量的夹角．【解答】向量，，．，，解得所以向量，，t =12λμ18D ABCD 10−−√=3−ai 1−2i (3−ai)(1+2i)5=3+2a +(6−a)i 53+2a =06−a ≠0a =−32|2a +i|=|−3+i|=.10−−√10−−√π4t =(−1,3)a =(1,t)b −2=(−3,3−2t)a b (−2)⊥a b a 3+3(3−2t)=0t =(2)=(−1,3)a =(1,2)b θ==–√则向量与的夹角为，．所以：向量与的夹角为：．15.【答案】【考点】解三角形正弦定理余弦定理【解析】【解答】解：由题知，在中， ，得，在中，，得，在中，，即 .故答案为：.16.【答案】【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用【解析】无【解答】解：由图可得，，，a b θcos θ==−1+6∗10−−√5–√2–√2a b π44505–√△ADC ∠ADC =150∘AD =DC =450=a △DCB =BD sin 135∘450sin 30∘BD =450=a 2–√2–√△ADB A =+2−2cos =5B 2a 2a 22–√a 2135∘a 2AB =a =4505–√5–√4505–√−174=−BC −→−AC −→−AB −→−=+=+AD −→−AB −→−14BC −→−34AB −→−14AC −→−∴⋅AD −→−BC−→−=(+)⋅(−)34AB −→−14AC −→−AC −→−AB −→−+⋅−22.，，，．故答案为： ．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：设，由题意得解得，．复数在复平面内对应的点在第二象限，．．．由题意得解得．【考点】复数的模复数代数形式的混合运算复数的代数表示法及其几何意义复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】解：设，由题意得解得，．复数在复平面内对应的点在第二象限，．．=+⋅−14AC −→−212AC −→−AB −→−34AB −→−2∵AB =3AC =2∠BAC =60∘∴⋅=×4+×2×3×−×9=−AD −→−BC −→−14121234174−174(1)z =a +bi(a,b ∈R){+=4，a 2b 22a =−2，a =−1b =±3–√∵z ∴b =3–√∴z =−1+i 3–√(2)z =−(1+2i)m −3(2+i)2m 21−i =(−m −6)+(−2m −3)i m 2m 2{−m −6=0，m 2−2m −3≠0，m 2m =−2(1)z =a +bi(a,b ∈R){+=4，a 2b 22a =−2，a =−1b =±3–√∵z ∴b =3–√∴z =−1+i 3–√(2)z =−(1+2i)m −3(2+i)2m 21−i =(−m −6)+(−2m −3)i22．由题意得解得．18.【答案】【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，由得，即解得.故答案为：.19.【答案】解：∵，，．∴，∴的最小正周期为，令，得，∴的单调递减区间为．当时，，1−i =(−m −6)+(−2m −3)i m 2m 2{−m −6=0，m 2−2m −3≠0，m 2m =−2112−=(3，x −4)a →b →(−)⊥a →b →b→(−)⋅=0a →b →b →−6+4(x−4)=0x =112112(1)=(2x,1)OA −→−cos 2=(1,sin 2x +a)OB −→−3–√f(x)=⋅OA −→−OB −→−f(x)=2x +sin 2x +a cos 23–√=cos 2x +sin 2x +a +13–√=2sin(2x +)+a +1π6f(x)=π2π22kπ+≤2x +≤2kπ+(k ∈Z)π2π63π2kπ+≤x ≤kπ+(k ∈Z)π62π3f(x)[kπ+,kπ+](k ∈Z)π62π3(2)x ∈[0,]π22x +∈[,]π6π67π6x +=7π∴，即时，有最小值为，故．【考点】三角函数中的恒等变换应用平面向量数量积的运算正弦函数的周期性正弦函数的单调性三角函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，，．∴，∴的最小正周期为，令，得，∴的单调递减区间为．当时，，∴，即时，有最小值为，故．20.【答案】解：根据函数的图象，可得函数的值域为．∵为正三角形，∴,∴,∴.2x +=π67π6x =π2f(x)a a=2(1)=(2x,1)OA −→−cos 2=(1,sin 2x +a)OB −→−3–√f(x)=⋅OA −→−OB −→−f(x)=2x +sin 2x +a cos 23–√=cos 2x +sin 2x +a +13–√=2sin(2x +)+a +1π6f(x)=π2π22kπ+≤2x +≤2kπ+(k ∈Z)π2π63π2kπ+≤x ≤kπ+(k ∈Z)π62π3f(x)[kπ+,kπ+](k∈Z)π62π3(2)x ∈[0,]π22x +∈[,]π6π67π62x +=π67π6x =π2f(x)a a=2(1)f(x)=2sin(ωx +)3–√π3f(x)[−2,2]3–√3–√△ABC BC ==4=T 23–√sin 60∘12T =8=2πωω=π4()=2sin(+)=8–√∵，∴．∵,∴,∴,∴，∴.【考点】诱导公式由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式同角三角函数基本关系的运用【解析】（1）由函数的解析式求得函数的值域．（3）由，求得．再利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得的值．【解答】解：根据函数的图象，可得函数的值域为．∵为正三角形，∴,∴,∴.∵，∴．∵,∴,∴,∴，(2)f()=2sin(+)=x 03–√π4x 0π383–√5sin(+)=π4x 0π345∈(−,)x 010323+∈(−,)π4x 0π3π2π2cos(+)>0π4x 0π3cos(+)==π4x 0π31−(+)sin 2π4x 0π3−−−−−−−−−−−−−−−√35f(+2)=2sin[(+2)+]x 03–√π4x 0π3=2cos(+)=2×=3–√π4x 0π33–√3563–√5f()=x 083–√5sin(+)=π4x 0π345f(+6)x 0(1)f(x)=2sin(ωx +)3–√π3f(x)[−2,2]3–√3–√△ABC BC ==4=T 23–√sin 60∘12T =8=2πωω=π4(2)f()=2sin(+)=x 03–√π4x 0π383–√5sin(+)=π4x 0π345∈(−,)x 010323+∈(−,)π4x 0π3π2π2cos(+)>0π4x 0π3cos(+)==π4x 0π31−(+)sin 2π4x 0π3−−−−−−−−−−−−−−−√35(+2)=2sin[(+2)+]ππ∴.21.【答案】解：∵，∴，∴，∴.∵，∴，∴，∴，∴.∵的面积，∴，∴.①∵，∴由余弦定理可得，∴.②∵，∴联立①②可得，．【考点】余弦定理三角函数的恒等变换及化简求值正弦定理【解析】Ⅰ由＝，利用余弦定理，可得，根据，即可求的大小；Ⅱ利用面积及余弦定理，可得、的两个方程，即可求得结论．【解答】解：∵，∴，f(+2)=2sin[(+2)+]x 03–√π4x 0π3=2cos(+)=2×=3–√π4x 0π33–√3563–√5(1)3(+)=b 2c 23+2bc a 2=+−b 2c 2a 22bc 13cos A =13sin A =22–√3sin B =cos C 2–√sin(A +C)=cos C 2–√cos C +sin C =cos C 22–√3132–√cos C =sin C 2–√313tan C =2–√(2)ABC S =2–√2bc sin A =122–√2bc =32a =24=+−2bc ×b 2c 213+=b 2c 25b >c b =32–√2c =2–√2()3(+)b 2c 23+2bc a 2cos A sin B =cos C 2–√tan C ()b c (1)3(+)=b 2c 23+2bc a 2=+−b 2c 2a 22bc 13A =1∴，∴.∵，∴，∴，∴，∴.∵的面积，∴，∴.①∵，∴由余弦定理可得，∴.②∵，∴联立①②可得，．22.【答案】解：，，则函数最小正周期为，已知对称中心为，解得，可得函数的对称中心为.已知，已知，则，cos A =13sin A =22–√3sin B =cos C 2–√sin(A +C)=cos C 2–√cos C +sin C =cos C 22–√3132–√cos C =sin C 2–√313tan C =2–√(2)ABC S =2–√2bc sin A =122–√2bc =32a =24=+−2bc ×b 2c 213+=b 2c 25b >c b =32–√2c =2–√2(1)f(x)=cos 2x +sin 2x cos −sin cos 2x π6π6=cos 2x +sin 2x −cos 2x 3–√212=sin 2x +cos 2x 3–√212=sin(2x +)π6T ===π2πω2π22x +=kπ,k ∈Z π6x =−kπ2π12(−,0)kπ2π12(2)f(A)=sin(2A +)=π6120<A <π2<2A +<π6π67π6A +=5π即，解得，已知，根据正弦定理可得，即 ，则，已知该三角形为锐角三角形，即.又，，则三角形面积的取值范围为.【考点】正弦定理三角函数的恒等变换及化简求值三角函数的周期性及其求法【解析】（1）对函数进行整理，进而进行求解即可.（2）根据题目所给信息求出角的度数，利用正弦定理求出，再根据三角形面积公式结合题目进行求解即可.【解答】解：，，则函数最小正周期为，已知对称中心为，解得，可得函数的对称中心为.已知，2A +=π65π6A =π3b =4=b sin Bc sin C c ===+24sin C sin B 4sin(+B)π3sin B 23–√tan B=bc sin A =(+2)=+2S △ABC 123–√23–√tan B 6tan B3–√B <π2π−(+B)∈(0，)π3π2∴B ∈(，)π6π2(2,8)3–√3–√A c (1)f(x)=cos 2x +sin 2x cos−sin cos 2x π6π6=cos 2x +sin 2x −cos 2x 3–√212=sin 2x +cos 2x 3–√212=sin(2x +)π6T ===π2πω2π22x +=kπ,k ∈Z π6x =−kπ2π12(−,0)kπ2π12(2)f(A)=sin(2A +)=π6122A +<7π已知，则，即，解得，已知，根据正弦定理可得，即 ，则，已知该三角形为锐角三角形，即.又，，则三角形面积的取值范围为.0<A <π2<2A +<π6π67π62A +=π65π6A =π3b =4=b sin B c sin C c ===+24sin C sin B 4sin(+B)π3sin B 23–√tan B =bc sin A =(+2)=+2S △ABC 123–√23–√tan B 6tan B 3–√B <π2π−(+B)∈(0，)π3π2∴B ∈(，)π6π2(2,8)3–√3–√。