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证明题：设在上连续，且,又，求证:对于方程的一切解，均有。
证明由一阶线性方程通解公式，方程的任一解可表示为，即.由于，则存在,当时，.因而，由,从而有，显然。
应用洛比达法则得。
证明题：线性齐次微分方程组最多有个线性无关的解，其中是定义在区间上的的连续矩阵函数.证要证明方程组最多有个线性无关的解，首先要证明它有个线性无关的解，然后再证明任意个解都线性相关。
由于是定义在区间上的的连续矩阵函数，所以对任意给定的初始条件，,方程组存在唯一的解。
分别取初始条件，，．．．，它们对应的解分别为且这个解在时的朗斯基行列式为，则是个线性无关的解。
任取方程组的个解,,这个解都是维向量，于是由线性代数有关理论知,它们线性相关。
这就证明了方程组最多有个线性无关的解。
证明题:如果已知二阶线性非齐次方程对应齐次方程的基本解组为，证明其有一特解是,其中及是区间Ｉ上的连续函数，是的朗斯基行列式。
证已知是对应齐次方程的基本解组,则齐次方程的通解为。
用常数变易法，求原方程的特解。
设是原方程的特解，则满足下列关系，解得，,积分得 .原方程的一个特解为故是原方程的一个特解。
证明题：设是常系数线性齐次方程组……（1)的解,的分量都是次数的多项式，但至少有一个分量是的次多项式，证明向量组,，.。
，是方程组（1)的线性无关解组.证: 设是常系数线性齐次方程组（1）的解，的分量都是次数的多项式，但至少有一个分量是的次多项式，证明向量组，，。
，，是方程组（1）的线性无关的解组。
证先证明，，.。
.，都是方程组（1）的解。
由于方程组（1）的解，则有，即其中表示单位矩阵。
由易得。
(2），由(2）,上式变为,.故，，...，都是方程组(1）的解。
再证明向量组，，.。
，线性无关。
因为的分量都是次数的多项式，但至少有一个分量是的次多项式，所以，而当时，.若,，即，，给上式两边关于求阶导数，得，,则必有。
给，两边关于求阶导数，则必有。
同理，可得,。
故向量组，，...，线性无关.综上所述,我们证明了向量组，，。
常微分期末试题及答案[正文开始]第一部分：选择题1. 若函数 f(x) = 3x^2 + 2x + c 在区间 [0, 1] 上是增函数，则实数 c 的取值范围是：A) c > 1/4B) c > -1/4C) c < 1/4D) c < -1/4答案：A) c > 1/4解析：当 f(x) 是增函数时，f'(x) > 0。
对于 f(x) = 3x^2 + 2x + c，求导得到 f'(x) = 6x + 2。
显然当 x > -1/3 时，f'(x) > 0，即 c > 1/4。
2. 解微分方程 dy/dx = x^2 + 1 的通解为：A) y = (1/3)x^3 + x + CB) y = (1/3)x^3 + CC) y = (1/3)x^2 + x + CD) y = (1/3)x^2 + C答案：A) y = (1/3)x^3 + x + C解析：对方程 dy/dx = x^2 + 1 进行积分，得到 y = (1/3)x^3 + x + C，其中 C 为积分常数。
3. 设三角函数f(x) = sin(2x + π/3)，则 f'(x) = ？A) 2cos(2x + π/3)B) 2cos(2x - π/3)C) 2cos(2x)D) 2cos(2x + π/6)答案：B) 2cos(2x - π/3)解析：根据链式法则，对sin(2x + π/3) 求导，得到 f'(x) = 2cos(2x +π/3) * 2 = 2cos(2x - π/3)。
4. 设 f(x) = e^x，g(x) = ln(x)，则 f(g(2)) = ？A) e^2B) e^3C) 2D) ln(2)答案：A) e^2解析：首先求 g(2) = ln(2)，然后将结果代入 f(x) = e^x 中计算，得到 f(g(2)) = f(ln(2)) = e^ln(2) = 2。
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ．22d d y x x y+=2. 方程组的任何一个解的图象是 n+1 维n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 空间中的一条积分曲线.3．连续是保证方程初值唯一的 充分 条件．),(y x f y '),(d d y x f xy=4．方程组的奇点的类型是 中心⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d )0,0( 5．方程的通解是2)(21y y x y '+'=221C Cx y +=6．变量可分离方程的积分因子是()()()()0=+dy y q x p dx y N x M ()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要)(1x y ϕ=)(2x y ϕ=条件是 线性无关8．方程的基本解组是440y y y '''++=x x x 22e ,e--二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程的积分因子是（ A ）．d ()()d yp x y q x x+=（A ）（B ）（C ）（D ）⎰=xx p d )(e μ⎰=xx q d )(e μ⎰=-xx p d )(e μ⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程是（ B ）0d )ln (d ln =-+y y x x y y （A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A)(B)1±=x 1±=y (C ), (D ), 1±=y 1±=x 1=y 1=x12．阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．n （A ）构成一个线性空间（B ）构成一个维线性空间1-n（C ）构成一个维线性空间（D ）不能构成一个线性空间1+n 13．方程（ D ）奇解．222+-='x y y （A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个（D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
《 常微分方程 》期末考试试卷（1）班级 学号 姓名 成绩.一、填空（每格3分，共30分）1、方程(,)(,)M x y d x N x y d y +=有只与x有关的积分因子的充要条件是 。
2、若12(),(),,()n x t x t x t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是 。
3、若()t Φ和()t ψ都是'()x A t x=的基解矩阵，则()t Φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。
4、函数),(y x f 称为在矩形域Ｒ上关于y 满足利普希兹条件，如果 。
5、当 时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或称全微分方程。
6、若()t Φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x的解 。
7、若()(1,2,,)i x t i n =为n 阶齐线性方程()()1()()0n n n x a t x a t x +++=的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为 。
8、求dxdy=f(x,y)满足00()y x y =的解等价于求积分方程 的解。
9、如果),(y x f 在R 上 且关于y 满足李普希兹条件，则方程),(y x f dxdy=存在唯一的解)(x y ϕ=，定义于区间h x x ≤-0上，连续且满足初始条件00)(y x =ϕ，其中h = ，),(max ),(y x f M Ry x ∈=。
二、计算题(每题10分,共50分)10、求方程 221dy y dx xy x y +=+ 的解。
11、求方程2dyx y dx=-通过点(1,0)的第二次近似解。
12、求非齐线性方程sin x xt ''+=的特解。
13、求解恰当方程 0)4()3(2=---dy x y dx x y 。
常微分方程期末考试试卷学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______一． 填空题 （30分）1．)()(x Q y x P dxdy+= 称为一阶线性方程，它有积分因子 ⎰-dx x P e )( ，其通解为 _________ 。
2．函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，如果_______ 。
3． 若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有)()(x x n ϕϕ-≤ ______ 。
4．方程22y x dxdy+=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 _______ 。
5．函数组t t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 _______ 。
6．若),,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x -为非齐线性方 程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。
7．若)(t Φ是x t A x )('=的基解矩阵，则向量函数)(t ϕ= _______是)()('t f x t A x +=的满足初始条件0)(0=t ϕ的解；向量函数)(t ϕ= _____是)()('t f x t A x +=的满足初始条件ηϕ=)(0t 的解。
8．若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,21 ，它们对应的特征值分别为n λλλ ,,21，那么矩阵)(t Φ= ______ 是常系数线性方程组Ax x ='的一个基解矩阵。
9．满足 _______ 的点),(**y x ，称为驻定方程组。
二． 计算题 （60分）10．求方程0)1(24322=-+dy y x dx y x 的通解。
11．求方程0=-+x e dxdydx dy的通解。
12．求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=--=0)1(22y y x dx dy1,11:≤≤+y x R 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。
常微分方程期末考试题以下是某校 ode 期末考试题一：计算题（ 1,2,3,5 各8分，第4题18分，总50分）1） \frac{dy}{dx}=\frac{x+y-3}{x-y+1}2) \frac{dy}{dx}+2xy+xy^4=03) x'=Ax,A=\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&3\end{matrix}\right) 求基解矩阵4） x^2y''+xy'-y=x （该题给出3种解法）5) x''+2x'-3x=e^t+cost二：解答题（每题10分，总50分）6）证明：如已知 Riccati 方程的一个特解，则可用初等解法得到它的通解.7）方程 \frac{dy}{dx}=x^2+y^2 定义在矩形域 \left| x\right|\leq1，\left| y \right|\leq1 试利用存在唯一性定理确定经过 y(0)=0 的解存在区间，并写出 \varphi_n(x) 的迭代序列，求第二次近似解及误差估计。
8）微分方程 \frac{dy}{dx}+ay=f(x)(a>0)\\f(x) 是以 2\pi 为周期的连续函数，试求方程的 2\pi 周期解。
9）设 \phi(x) 是齐次线性微分方程组\frac{dy}{dx}=A(x)y\\ 的一个基解矩阵，并且 n 维向量函数 f(x,y) 在区域 a<x<b,\left| \left| y\right|\right|<+\infty 上连续，试证明：求解初值问题\frac{dy}{dx}=A(x)y+f(x,y),y(x_0)=y_0\\ 等价于求解积分方程 y(x)=\phi (x)\phi^{-1}(x_0)y_0+\int_{x_0}^{x}\phi (x)\phi^{-1}(s)f(s,y(s))ds\\ 其中 x_0\in(a,b)10）证明：方程 y'=\sqrt[5]{\frac{y^4+2}{x^6+2}} 的每条积分曲线有两条水平渐近线。
《常微分方程》期终测试试卷<A ）<适用班级：班）下属学院_________________班级_________姓名____________成绩______________________。
2、一阶方程0=+Ndy Mdx ，若存在可微函数)0)(,(≠μy x 使_____________ _________________________时，称),(y x μ为这个方程的积分因子。
3、____________________称为黎卡提方程，若它有一个特解)(x y ，则经过变换____________________，可化为伯努利方程。
4、对R y x y x ∈∀),(),,(21，存在常数)0(>N ，使____________________则称),(y x f 在R 上关于y 满足李普希兹条件。
5、若)(x ϕ为毕卡逼近序列)}({x n ϕ的极限，则有≤ϕ-ϕ|)()(|x x n _________。
6、方程22y x dx dy +=定义在矩形域R ：22≤≤-x ，22≤≤-y 上，则经过点)0,0(解的存在区间是__________________。
7、若),,3,2,1)((n i t x i =是n 阶齐线性方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n 的n 个解，)(t w 为其伏朗基斯行列式，则)(t w 满足一阶线性方程__________________。
8、设0)(1≠t x 是二阶齐线性方程0)()(21=+'+'x t a x t a x 的一个解，则该方程的通解为____________________________________________。
9、若),,3,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x 为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的通解为_____________________________。
《常微分方程》模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格4分，共80分）1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。
2、一阶微分方程2=dyx dx的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 21=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 24=+y x ，满足条件33ydx =⎰的解为 22=-y x 。
3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。
4、对方程2()dyx y dx=+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。
5、方程过点共有 无数 个解。
6、方程''21=-y x的通解为 4212122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为421912264=-++x x y x 。
7、方程无 奇解。
8、微分方程2260--=d y dyy dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩dyz dx dz z y dx。
9、方程的奇解是 y=0 。
10、35323+=d y dy x dx dx是 3 阶常微分方程。
11、方程22dyx y dx=+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。
12、微分方程22450d y dy y dx dx--=通解为 512-=+x xy C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组21d d y x y -=)1,2(πx x y xy+-=d d y xy=d d45⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩dyz dxdz z y dx。
13、二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()y x y x ϕϕ==成为其基本解组的充要条件是 线性无关 。
14、设1342A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则线性微分方程组dXAX dt =有基解矩阵 25253()4φ--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦t t t t e e t ee 。
二、解方程（每个小题8分，共120分） 1、答案：方程化为令，则，代入上式，得 分离变量，积分，通解为 ∴ 原方程通解为2、答案：特征方程为 即。
特征根为 ，对应特征向量应满足 可确定出同样可算出对应的特征向量为∴ 原方程组的通解为 。
3、0d d )2(=-+y x x y x xy x y 21d d +=xu y =x u x u x y d d d d +=u xux +=1d d 1-=Cx u x Cx y -=2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x ty y x tx4d d d d 01411=--=-λλλE A 0322=--λλ31=λ12-=λ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0031413111b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111b a 12-=λ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2122b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--t t t t C C y x 2e e 2e e 2331x y xy2e 3d d =+答案：齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为代入原方程，确定出原方程的通解为+4、2-=x y dydx ； 答案：2-=x y dydx是一个变量分离方程 变量分离得22yxdy dx =两边同时积分得22y x c =+（其中c 为任意常数） 5、答案：积分： 故通解为： 6、{}0)(22=-+-xdy dx y xx y答案：0)(22=+--dx y x x xdy ydx两边同除以22y x +得022=-+-xdx y x xdy ydx ，即021)(2=-dx y x arctg d ， 故原方程的解为C x y x arctg =-2217、2453dxx y dtdy x y dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ .答案：方程组的特征方程为203A E λλλ---==--45即(2)(3)(4)(5)0λλ----⨯-=，即25140λλ--= 特征根为17λ=，22λ=-xC y 3e-=xx C y 3e)(-=C x C x +=5e 51)(xC y 3e -=x2e51xy e xydx dy =+xy xe xy e dx dy xy xy-=-=dx y xe xdy xy )(-=dx xe ydx xdy xy =+dxxe dxy xy =xdx e dxyxy =c x e xy+=--2210212=++-c e x xy对应特征向量应满足1127405370a b --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可得1145a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 同样可算出22λ=-时，对应特征向量为2211a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴ 原方程组的通解为72127245--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦t t t t x e e C C y e e 8、答案：线性方程的特征方程故特征根是特征单根，原方程有特解代入原方程A=-B=0不是特征根，原方程有特解代入原方程B=0所以原方程的解为9、0)2()122(=-++-+dy y x dx y x 答案：，令z=x+y ，则 所以 –z+3ln|z+1|=x+， ln =x+z+即10、220++=d x dx x dt dt答案：所给方程是二阶常系数齐线性方程。
其特征方程为210λλ++=特征根为112λ=-+，212λ=- ∴方程的通解为111()()2221212(sin )t t t x c e c ec c e---=+=+ sin cos2x x t t ''+=-0x x ''+=210λ+=i λ=±1()sin f t t =i λ=(cos sin )x t A t B t =+122()cos 2f t t =-2i λ=cos2sin 2x A t B t =+13A =1211cos sin cos cos223x c t c t t t t =+-+2)(1)(2-+-+-=y x y x dx dy dx dydx dz +=1,212121+-+=---=z z z z dx dz dx dz z z =++-121C 3|1|+z 1C yx Cey x +=++23)1(11、312+++-=y x y x dx dy 答案： (x-y+1)dx-(x++3)dy=0xdx-(ydx+xdy)+dx-dy-3dy=0即d -d(xy)+dx--3dy=0所以三、证明题（共160分）1、（12分）证明如果满足初始条件的解，那么 。
证明：设的形式为=（1）（C 为待定的常向量）则由初始条件得= 又= 所以C==代入（1）得= 即命题得证。
2、（12分）设在区间上连续．试证明方程的所有解的存在区间必为。
证明 ：由已知条件，该方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件。
显然是方程的两个常数解。
任取初值，其中,。
记过该点的解为， 由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾； 故该解的存在区间必为。
3、（12分）设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C 使得=C ． 证明：设，是方程的两个解，则它们在上有定义，2y 2y 212x 331dy C y y x xy x =--+-3312132Ax x t =/）是（ϕηϕ=)(0t =)(t ϕ[]η)(0t t A e-)(t ϕ)(t ϕC e At )(0t ϕη=C e At 01)(0-At e0At e -1)(0-At e η0At e -η)(t ϕηη)(0t t A At Ate e e --=)(x ϕ),(∞+-∞y x xysin )(d d ϕ=),(∞+-∞xoy 1±=y ),(00y x ),(0∞+-∞∈x 10<y )(x y y =)(x y y =1=y 1-=y ),(∞+-∞)(1x y )(2x y 0)()(=+'+''y x q y x p y )(01x y )(02x y 0)(1≠x y )(),(x q x p ),(∞+-∞),(0∞+-∞∈x )(2x y )(1x y )(1x y )(2x y ),(∞+-∞其朗斯基行列式为 由已知条件，得 故这两个解是线性相关的；由线性相关定义，存在不全为零的常数， 使得， 由于，可知．否则，若，则有，而，则， 这与，线性相关矛盾．故 4、（12分）叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理的内容，并给出唯一性的证明。
定理：设00:||,||R x x a y y b -≤-≤.（1）(,)f x y 在R 上连续，（2）(,)f x y 在R 上关于y 满足利普希茨条件：120,(,),(,)L x y x y R ∃>∀∈，总有1212|(,)(,)|||f x y f x y L y y -≤-.则初值问题00(,)()dyf x y dx y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩存在唯一的解()y x ϕ=，定义于区间0||x x h -≤上，连续且满足初值条件00()x y ϕ=，这里(,)min(,),max |(,)|x y R bh a M f x y M∈==.唯一性：设()x φ是积分方程在区间00[,]x h x h -+上的解，则()()x x φϕ=.证明：00()(,())xx x y f d φξφξξ=+⎰，001()(,())xn n x x y f d ϕξϕξξ-=+⎰，1,2,......n =首先估计0x x ≥.000|()()||(,())|()xx x x f d M x x ϕφξφξξ-≤≤-⎰，10|()()||(,())(,())|xxx x f f d ϕφξϕξξφξξ-≤-⎰2000|()()|()()2!xxx x MLLd LM x d x x ϕξφξξξξ≤-≤-=-⎰⎰ )()()()()(2121x y x y x y x y x W ''=0)()(0)()()()()(0201020102010=''=''=x y x y x y x y x y x y x W 21αα，0)()(2211=+x y x y αα),(∞+-∞∈x 0)(1≠x y 02≠α02=α0)(11=x y α0)(1≠x y 01=α)(1x y )(2x y )()()(11212x Cy x y x y =-=αα设10|()()|()(1)!nn n ML x x x x n ϕφ+-≤-+成立，则 001210|()()||(,())(,())||()()|()(2)!n xxn n n n x x ML x x f f d d x x n ϕφξϕξξφξξϕξφξξ+++-≤-≤-=-+⎰⎰这就证明了对任意的n ，总成立估计式：110|()()|()(1)!(1)!n n n n n ML ML x x x x h n n ϕφ++-≤-≤++. 因此，{()}n x ϕ一致收敛于()x φ，由极限的唯一性，必有00()(),[,]x x x x h x h φϕ=∈-+.5、（10分）求解方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。
