新北师大版八年级数学下册《四章因式分解回顾与思考》教案_9

初中八年级数学下册第三章图形的平移与旋转教案1 因式分解一、教学目标1.知识与技能（1）理解因式分解的概念；（2）掌握从整式乘法得出因式分解的方法．2.过程与方法让学生经历从整式乘法得出因式分解的过程，向学生渗透对比、类比的数学思想方法．3.情感态度及价值观（1）培养学生积极参与的意识，使学生形成自主学习、合作学习的良好习惯；（2）体会事物之间互相转化的思想，从而初步接受对立统一观点．二、教学重点、难点重点：因式分解的概念．难点：认识因式分解与整式乘法的关系，并能意识到可以运用整式乘法的一系列法则来解决因式分解的各种问题．三、教具准备课件.四、教学过程（一）设置问题，以趣激情手工课上，老师给小王同学发下一张如图1-1（1）形状的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成图1-1（2）形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，请问你能帮助小王同学解决这个问题吗？你能给出数学解释吗？（1）（2）图1-1（留一定的时间让学生思考、讨论，在学生感到新奇又不知所措的过程中积蓄了强烈的求知欲望．设置悬念，无疑对整节的学习也创设了良好的情绪状态．）（二）以旧探新，引出课题因式分解的概念类同于因数分解的概念，借助于学生已有的整式乘法的基础，给学生提供一些问题背景，同时给学生留有充分探索的空间．这个环节围绕几个问题展开，在积极的状态下，用类比的方法，找到新知生长点，把数的有关知识正迁移到式，由学生自己给出因式分解的名称，引出课题，显得顺理成章．再看下面两个式子：x （x +1）=2x +x （1）2x +x= x （x +1） （2）同时设疑，既然我们学习了整式乘法，几个整式乘积可以写成一个多项式（1）的形式，那么反过来，一个多项式化为几个整式乘积的形式又叫什么呢？即上面的（2）式．我们给它起个名字，叫做因式分解，也就是我们今天所要学习的内容（板书课题）．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形就叫做因式分解．（三）初步应用，巩固新知趁此时学生处在一个积极思维的状态，教师给出两个练习．1.下列代数式的变形，哪些是因式分解？哪些不是？（1）2m （m －n ）=2m 2－2mn ；（2）4x 2－4x+1=（2x －1）2；（3）x 2－3x+1=x （x －3）+1.2.填空：（1）∵3a（a+4）=3a 2+12a ，∴3a 2+12a=（ ）（ ）；（2）∵（a+3）2=a 2+6a+9，∴a 2+6a+9=（ ）（ ）；（3）∵（2－a ）（2+a ）=4－a 2，∴4－a 2=（ ）（ ）.通过此练习，引导学生归纳自己对因式分解的理解，师生归纳要注意的问题：（1）因式分解是对多项式而言的一种变形；（2）因式分解的结果仍是整式；（3）因式分解的结果是几个整式的积的形式；（4）因式分解与整式乘法正好相反．因式分解与整式乘法的关系如下：2(1)x x x x −−−−→++←−−−−因式分解整式乘法.即因式分解和整式乘法是互为相反方向的式子变形．（四）课堂小结谈谈你这节课有什么收获.（五）教学反思2 提公因式法一、教学目标1.知识与技能（1）使学生经历探索寻找多项式各项的公因式的过程，能确定多项式各项的公因式；（2）会用提取公因式法进行因式分解．2.过程与方法（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，确定多项式各项的公因式，加强学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力；（2）由乘法分配律的逆运算过渡到因数分解，再由单项式与多项式的乘法运算过渡到因式分解，进一步发展学生的类比思想；（3）寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法，培养学生的初步归纳能力．3.情感态度及价值观：进一步培养学生的矛盾对立统一的哲学观点以及实事求是的科学态度．二、教学重点、难点重点：能观察出多项式的公因式，根据分配律把公因式提出来．难点：（1）正确识别多项式的公因式；（2）整体思想的运用以及代数式的符号变换的处理．三、教具准备课件.四、教学过程（一）算一算计算： 2976971397⨯+⨯-⨯.师：你是用什么方法计算的？这个式子的各项有相同的因数吗？（二）想一想多项式ab+ac 中，各项有相同的因式吗？多项式x 2+4x 呢？多项式mb 2+nb –b 呢？ 结论：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．（三）议一议多项式2x 2y +6x 3y 2中各项的公因式是什么？结论：（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．（四）试一试将下列多项式写成几个因式的乘积的形式：（1）ab+ac ； （2）x 2+4x ； （3）mb 2+nb –b .如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．（五）做一做1.将下列多项式进行分解因式：（1）3x+6；（2）7x2–21x；（3）8a3b2–12ab3c+ab；（4）–24x3–12x2+28x.学生归纳：提取公因式的步骤：（1）找公因式；（2）提公因式．2.因式分解：a（x–3）+2b（x–3）.引导学生通过类比将提取单项式公因式的方法与步骤推广应用于提取的多项式公因式．由于题中很显明地表明，多项式中的两项都存在着（x-3），通过观察，学生较容易找到公因式是（x-3），并能顺利地进行因式分解．3.在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立．（1）2–a=______（a–2）；（2）y–x=______（x–y）；（3）b+a=______（a+b）；（4）（b–a）2=______（a–b）2；（5）–m–n=______（m+n）；（6）–s2+t2=______（s2–t2）.注意事项：（1）首先注意分清前后两个多项式的底数部分是相等关系还是互为相反数的关系；（2）当前后两个多项式的底数相等时，则只要在第二个式子前添上“+”；（3）当前后两个多项式的底数部分是互为相反数时，如果指数是奇数，则在第二个式子前添上“–”；如果指数是偶数，则在第二个式子前添上“+”．4.将下列各式因式分解：（1）a（x–y）+b（y–x）；（2）3（m–n）3–6（n–m）2.进一步引导学生采用类比的方法由提取的公因式是单项式类比出提取的公因式是多项式的方法与步骤．（1）观察多项式中括号内不同符号的多项式部分，并把它们转换成符号相同的多项式；（2）再把相同的多项式作为公因式提取出来．（六）拓展思考把（a＋b－c）（a－b＋c）＋（b－a＋c）（b－a－c）分解因式．通过学生的讨论，当提取的公因式由两项过渡到三项时，应该采用何种对策，从而进一步提高学生的观察能力与思维能力．注意事项：通过讨论，学生逐步意识到如果采用提取公因式的方法，必须先把所有括号内的多项式中字母a前面的符号都化为正号，再进行观察比较可以找出公因式（a－b＋c）．（七）反馈练习1.将下列多项式进行分解因式：（1）8x–72；（2）4m3–8m2；（3）a2b–2ab2+ab；（4）–48mn–24m2n3；2.把下列各式因式分解：（1）x（a+b）+y（a+b）；（2）3a（x–y）–（x–y）；（3）2（y–x）2+3（x–y）；（4）mn（m–n）–m（n–m）2.（八）课堂小结谈谈这节课的收获.（九）教学反思.3．公式法第1课时一、教学目标1．知识与技能（1）理解平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性；（2）会用平方差公式进行因式分解；（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解. 2．过程与方法经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的互逆、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性．3．情感态度及价值观在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”.二、教学重点、难点重点：用平方差公式进行因式分解.难点：揭示平方差公式的结构特征和平法差公式的灵活运用.三、教具准备课件.四、教学过程填空：（1）（x+5）（x–5） = ；（2）（3x+y）（3x–y）= ；（3）（3m+2n）（3m–2n）= ．它们的结果有什么共同特征？尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一（二）探究新知1.多媒体出示，让学生观察、讨论，得出结论.结论：整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法.这种分解因式的方法称为运用公式法. 活动目的：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，区别整式乘法与分解因式的同时，认识学习新的分解因式的方法——公式法.注意事项：能正确理解两者的联系与区别即可.2.找特征：))((22b a b a b a -+=-.(1)公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成两个数的平方差的形式.(2)公式右边:（是分解因式的结果）.★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式.3.试一试（多媒体出示）下列多项式能转化成两个数的平方差的形式吗？如果能，请将其转化成两个数的平方差的形式.（1）m 2-81；（2）1-16b 2；（3）4m 2+9；（4）a 2x 2-25y 2；（5）-x 2-25y 2. .____________________49_;____________________9__;____________________2522222=-=-=-n m y x x让学生通过自己的归纳找到因式分解中平方差公式的特征，并能利用相关结论进行实例练习.注意事项：在老师的指导下，完善学生对公式特征的相关描述并得出结论.同时要求学生对于不能利用平方差公式进行分解因式的式子给出相应的解释.（三）范例讲解例1 把下列各式因式分解：（1）25–16x 2 ； （2）9a 2–241b .教师例题讲解，明确思维方法，给出书写范例.注意事项: 使学生明确运用平方差公式进行分解因式的实质是找到“a”和“b”．（四）练习1.判断正误：（1）x 2+y 2=（x+y ）(x –y ). ( )（2）x 2–y 2=（x+y ）(x –y ) . ( )（3）–x 2+y 2=–（x +y ）(x –y ). ( )（4）–x 2–y 2=–（x+y ）(x –y ) . ( )2.把下列各式因式分解：（1）-9+4x 2；（3）0.25q 2-121p 2； （4）p 4-1.通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对平方差公式的特征是否清楚，对平方差公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．（五）能力提升1.把下列各式因式分解：； ； .2.简便计算：22241)2(z y x -2)2(254)1(n m --22)()(9)2(n m n m --+2394)3(xy x -（六）课堂小结从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？学生认识到了以下事实：（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；（七）教学反思探索分解因式的方法实际上是对正是乘法的再认识，而本节正是对平方差公式的再认识：（1）本节课的教学设计借助于学生已有的整式乘法运算的基础，给学生留有充分探索与交流的时间和空间，让他们经历从整式乘法到分解因式的转换过程并能用符号合理的表示出分解因式的关系式，同时感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性.（2）有意识的培养学生逆向思考问题的习惯，不仅对提高解题能力有益，更重要的是改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维习性，提高学习效果、学习兴趣，及思维能力和整体素质．（3）保证基本的运算技能的训练，避免复杂的题型训练.第2课时一、教学目标1．知识与技能（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；（2）会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；（3）使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．2．过程与方法经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力.3．情感态度及价值观培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值.二、教学重点、难点重点：用完全平方公式进行因式分解.难点：揭示完全平方公式的结构特征和选用合适的方法进行因式分解.三、教具准备课件.四、教学过程（一）复习回顾回顾完全平方公式，直入主题将完全平方公式倒置得新的分解因式方法．在上一课时平方差公式倒置学习的基础上，学生比较容易理解和接受此课时的学习铺垫内容．（二）学习新知总结归纳完全平方公式的基本特征，讲授新知形如222b ab a +±的多项式称为完全平方式． 注意事项：举例说明便于学生理解．同时归纳总结，由分解因式与整式乘法的互逆关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.（三）落实基础1．判断下列各式是不是完全平方式．22222222(1)(2)2(3)2x y x xy y x xy y +++-+；；；2.请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．结论：找完全平方式可以紧扣下列口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央； 完全平方式可以进行因式分解：a 2–2ab +b 2=（a –b ）2 ；a 2+2ab +b 2=（a+b ）2.加深学生对完全平方式特征的理解，为后面的分解因式作铺垫．（四） 范例讲解例1把下列各式因式分解：； . 教师引导，师生共同完成.让学生理解在完全平方公式中的a 与b 不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．例2 把下列各式因式分解：； . 对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，使学生清楚地了解提公因式法（包括提取负号）是分解因式首先考虑的方法，再考虑用完全平方公式分解因式．在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法进行因式分解.（五） 随堂练习1.判别下列各式是不是完全平方式，若是说出相应的a 、b 各表示什么？()()()()()22222222421_____249______3_____414_____452_____x y a b x y a b x x y ++++-+++++；；；；．229124)2(b ab a +-4914)1(2++x x 9)(6))(3(2++-+n m n m 22)())(2(2)2)(4(n m n m m n n m +++---xyy x 44)2(22+--22363)1(ay axy ax ++22222(1)69(2)14(3)24(4)441(5)14x x a x x x x m m -++-++-+-；；；；；112.把下列各式因式分解：（1）m 2–12mn +36n 2； （2）16a 4+24a 2b 2+9b 4；(3）–2xy –x 2–y 2 ； （4）4–12（x –y ）+9（x –y )2.3.用简便方法计算：222003200340102005+⨯-4.一天,小明在纸上写了一个算式为4x 2 +8x+11,并对小刚说:“无论x 取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试?”（六）课堂小结从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？你认为分解因式中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系？学生认识到了以下事实：（七）教学反思本节课我们学习了运用公式法分解因式的第二种方法，即逆用完全平方公式分解因式的方法，使用该方法的关键就是观察完全平方式的结构特征：两数的平方和与这两个数的乘积的2倍，具体应用时要特别关注第二项的符号.把一个多项式进行因式分解的一般方法是：先看有无公因式可提取，然后再尝试用公式法分解因式，直到最终结果再也不能分解因式为止.运算类型的课往往比较枯燥，学生容易产生浮躁的心理，不利于知识的掌握与运算能力的提高.本节课的设计尽量做了平实无华，将新知教学层层深入，适当的巩固练习，每一个环节让学生感觉不吃力.同时设计过程中注意题型的变化，引导学生暴露学习中的问题，这样易于激发学生的兴趣，使学生的思维不断被拓展，从而达到强化所学知识和提高能力的目的.。

北师大初中八年级数学下册第四章因式分解分解因式教学目标1．经历探索因式分解方法的过程，体会数学知识之间的整体联系（整式乘法与因式分解）。

2．了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系。

3．感受整式乘法在解决问题中的作用。

教学重难点探索因式分解方法的过程，了解因式分解的意义。

教学过程1.创设情景，导出问题（1）读一读：首先教师进行章首导图教学，指出本章将要学习和探索的对象.教师进行情景的多媒体演示（演示章头图）.章首图力图通过一幅形象的图画——对开的两量列车和有对比性的两个式子，向大家展现了本章要学习的主要内容，并渗透本章的重要思想方法——类比思想，让学生体会因式分解与整式乘法之间的互逆关系。

（2）想一想：993-99能被100整除吗？你能把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？今天我们大家一起来研究一下这个问题。

2.探索交流，概括概念想一想：993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流。

小时是这样做的（1）小明在判断993-99能否被100整除时是怎么做的？（2）993-99还能被哪些正整数整除。

归纳：在这里，解决问题的关键是把一个数化成几个数积的乘积。

议一议：现在你能尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流。

鼓励学生类比数的分解将a3-a分解。

做一做：计算下列各式：（1）（m+4）（m-4）= ;（2）（y-3）2= ；（3）3x（x-1）= ；（4）m（a+b+c）=.根据上面的算式填空：（1）3x2-3x=（）（）（2）m2-16=（）（）（3）ma+mb+mc=（）（）（4）y2-6y+9=（）（）请问，通过以上两组练习的演练，你认为这两组练习之间有什么关系？答案：第一组：（1）m2-16；（2）y2-6y+9；（3）3x2-3x；（4）ma+mb+mc；第二组：（1）3x（x-1）；（2）（m+4）（m-4）；（3）m（a+b+c）；（4）（y-3）2。

第一组是把多项式乘以多项式展开整理之后的结果，第二组是把多项式写成了几个固式的积的形式，它们这间恰好是一个互逆的关系。

北师大版本八年级数学下第四章因式分解全章教案1 因式分解【知识与技能】使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念；通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力.【过程与方法】认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能利用这种关系寻求因式分解的方法；通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识.【情感态度】培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度.【教学重点】因式分解的概念.【教学难点】难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并利用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法.一.情景导入，初步认知下题简便运算怎样进行？问题1：736×95+736×5问题2：-2.67× 132+25×2.67+7×2.67【教学说明】对乘法公式进行分析，为因式分解作铺垫.二.思考探究，获取新知问题：(1)993-99 能被99 整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。

993-99 = 99×992-99 = 99(992-1)∴993-99 能被99 整除.(2)993-99 能被100 整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。

小明是这样做的：993-99 = 99×992－99×1 = 99（992－1）= 99（99+1）（99- 1）= 99×98×100所以993-99 能被100 整除.想一想：（1）在回答993-99 能否被100 整除时，小明是怎么做的？（2）请你说明小明每一步的依据.（3）993-99 还能被哪些正整数整除？为了回答这个问题，你该怎做？【教学说明】老师点拨：回答这个问题的关键是把993-99 化成了怎样的形式？【归纳结论】以上三个问题解决的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式.可以了解:993-99 可以被98、99、100 三个连续整数整除.将99 换成其他任意一个大于 1 的整数,上述结论仍然成立吗?学生探究发现：用a 表示任意一个大于1 的整数，则：a3-a=a×a2-a=a×(a2-1)=a ×(a+1)(a-1)=(a-1)×a×(a+1)① 能理解吗?你能与同伴交流每一步怎么变形的吗？② 这样变形是为了达到什么样的目的？【教学说明】经历从分解因数到分解因式的类比过程，探究概念本质属性.【归纳结论】把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式.三.运用新知，深化理解1.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？（1）4a（a+2b）=4a2+8ab；（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）；（3）a2－4=（a+2）(a－2）；（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.答案：（2）（3）是因式分解.2.试将下列各式化成几个整式的积的形式（1）3x2-2x= - (2)m2-4n2 =答案：（1）x(3x-2) （2）(m+2n)(m-2n)3.分解因式.4m2-4m= 2a3+2a= y2+4y+4=答案：4m(m-1) 2a(a2+1) (y+2)2 4.如果a+b=10,ab=21,则a2b+ab2 的值为.答案：210.5.如果a-3b=-3,那么5-a+3b 的值是（）A.0B.2C.5D.8答案：D.6.9993-999 能被998 整除吗？能被1000 整除吗？解：9993-999=999（9992-1）=999（999+1）（999-1）=999×1000×998 所以9993- 999 能被998 整除，能被1000 整除。

第四章因式分解回顾与思考一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生已经学习了因式分解的两种方法：提公因式法与公式法，逐步认识到了整式乘法与因式分解之间是一种互逆关系，但对因式分解在实际中的应用认识还不够深，应用不够灵活，对稍复杂的多项式找不出分解因式的策略．因此，教学难点是确定对多项式如何进行分解因式的策略及讨论.学生的动经验基础：在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对比、类比、讨论、归纳等活动方法，获得了一些对多项式进行分解因式以及利用分解因式解决实际问题所必须的数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．二、教学任务分析在前几节的学习中，学生已经掌握了提取公因式与公式法的用法，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的教学目标是：1．知识与技能：（1）使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法；（2）熟练地综合运用几种因式分解方法．2．过程与方法：（1）发展学生对因式分解的应用能力，培养寻求解决问题的策略意识，提高解决问题的能力；（2）注重学生对因式分解的理解，发展学生分析问题的能力和推理能力．3．情感与态度：通过因式分解综合练习和开放题练习，提高学生观察、分析问题的能力，培养学生的开放意识；通过认识因式分解在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识．三、教学过程分析本节课设计了八环节：回顾思考——知识梳理——知识归纳——小试牛刀 ——小组比拼——畅所欲言——布置作业——教师寄语。

第一环节 回顾思考活动内容：1、举例说明什么是分解因式。

2、因式分解与整式乘法有什么关系？3、因式分解常用的方法有哪些？活动目的：学生通过回顾与思考，将本章的主要知识点串联起来．注意事项：学生对因式分解的概念与两种常用方法以及分解因式与整式乘法的互逆关系有了较清楚的认识与理解，但语言叙述严谨性不够，有待加强．第二环节 知识梳理请你试着梳理构建本章的知识体系活动目的：找一个学生来梳理本章的知识，其他同学补充。

第四章因式分解1.经历将一个多项式分解成几个整式乘积的形式的过程,体会因式分解的意义,发展运算能力.2.能用提公因式法和公式法分解因式.认识整式乘法与因式分解的关系,体会数学知识之间的相互联系.1.进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力,发展有条理地思考及语言表达能力.2.养成认真勤奋、严谨求实的科学态度.因式分解是整式的一种重要的恒等变形,它和整式乘法运算有着密切的联系,是后续学习分式化简与运算、解一元二次方程的重要基础.学生已有的因数分解、整式乘法运算的学习经验是本章学习的基础.本章在知识与技能方面主要解决两个问题:什么是因式分解?怎样进行因式分解?对于第二个问题,只学习提公因式法与公式法(平方差公式与完全平方公式)这两种方法.本章教科书尽可能帮助学生从几何角度理解代数的含义,发展学生的类比思想以及从特殊到一般的思考问题的方法,帮助学生体会数学知识之间的联系.为此,教科书通过设计因数分解的例子让学生体会因数分解的必要性,继而用字母表示数体现一般化;通过类比因数分解体会因式分解的意义和因式分解的方法,体会数学知识之间的相互联系;通过经历借助拼图解释整式变形的过程,体会几何直观的作用;通过分析因式分解与整式乘法之间的互逆过程,学习因式分解的方法,提高学生对知识间联系的认识.具体地,本章设计了3节内容.第1节“因式分解”,先利用993-99的例子突出与因数分解的类比,体会因式分解的必要性,然后用几何图形的拼图解释因式分解,在了解因式分解概念的基础上,体会因式分解与整式乘法的关系.第2节“提公因式法”,它的依据是乘法分配律或者单项式乘多项式的法则.对于学生来说,难点是怎样在多项式的各项中发现公因式,为此,教科书让学生从简单的多项式ab+bc的各项中发现相同因式入手,由浅入深地体会如何寻找公因式,并以例题示范的形式学习用提公因式法进行因式分解及其注意事项,形成基本技能.第3节“公式法”,其关键是熟悉平方差公式、完全平方公式的式子及其特点.学生初学时的一个难点是如何根据一个多项式的形式与特点选择运用恰当的公式.为此,教科书将这两个公式编成两课时,分开教学.需要说明的是,根据《标准》的要求,本章教科书介绍了最基本的因式分解的方法:提公因式法和公式法(平方差公式、完全平方公式).教学中应把握好这一要求,不要刻意提高要求、增加难度,另外,教科书通过设置恰当的、有一定梯度的题目,关注了学生知识技能的掌握和不同层次学生的需求.【重点】1.探索分解因式的方法.2.会用提公因式法把多项式分解因式.3.会用公式法把多项式分解因式.【难点】1.因式分解的概念的理解.2.确定多项式的公因式.3.确定合适的方法分解因式.1.要引导学生多角度理解因式分解的意义.(1)类比因数分解理解因式分解.通过类比数式993-99的分解过程,帮助学生认识多项式a3-a的分解.(2)通过拼图帮助理解因式分解.通过拼图前后图形的面积不变,可以形象地解释多项式x2+2x+1变形为(x+1)2的合理性,以直观形象的方式,促进学生对因式分解的理解.教师要引导学生用自己的语言说明变形过程.(3)对比整式乘法加深理解因式分解.通过对整式乘法运算与因式分解的对比,充分感受两者之间互为逆过程的关系.2.要注重发展学生的观察、发现、归纳、概括等能力.对于因式分解概念的教学,要让学生通过观察、对比整式乘法运算与因式分解,归纳概括出整式乘法运算与因式分解互为逆过程的关系.在学生经历探索因式分解方法的过程中,更要注重发展学生的观察、发现、归纳、概括等能力.探索因式分解的方法,事实上是对整式乘法运算的再认识.在教学中,教师要借助学生已有的整式乘法运算的基础,给学生提供丰富的问题情境,留有充分探索与交流的时间和空间,让他们经历从整式乘法运算到因式分解的转换过程,并能用符号合理地表示出因式分解的方法.3.要坚持用整式乘法帮助学生理解因式分解,培养学生逆向思考问题的习惯.因式分解与整式乘法之间具有互为逆过程的关系.在因式分解概念的教学中,要重视运用这种关系进一步加深对因式分解的理解,在探索因式分解的方法的过程中,教师要坚持运用这种关系更好地促进学生领会提公因式法分解因式与乘法分配律或单项式乘多项式之间的联系,领会因式分解的公式法与乘法公式之间的联系,进一步巩固“因式分解的结论是否正确可用整式乘法或乘法公式来检验”,从而培养学生的逆向思维.4.保证基本的运算技能,避免复杂的题型训练.运用提公因式法和公式法分解因式是学习本章内容的一个重要目标.由于因式分解在后面学习分式、解一元二次方程等内容中还可以继续巩固,因此教学中要依据教科书的要求,适当地分阶段进行必要的训练,使学生在具备基本运算技能的同时,能够明白每一步的算理.教学中要避免过于烦琐的运算,不要过分追求题目的数量和难度.另外,本章只要求在有理数范围内因式分解,教学要遵循《标准》和教科书的要求.1因式分解1.使学生了解因式分解的意义,理解因式分解的概念.2.认识因式分解与整式乘法的关系——互逆关系(即相反变形),并能运用这种关系寻求因式分解的方法.1.通过解决实际问题,学会将实际应用问题转化为数学问题,并用所学到的数学知识解决问题,体验解决问题策略的多样性,发展实践应用意识.2.通过对因式分解与整式乘法的观察与比较,学习代数式的变形和转化,培养学生分析问题的能力与综合应用能力.培养学生接受矛盾的对立统一观点,独立思考、勇于探索的精神和实事求是的科学态度.【重点】因式分解的概念.【难点】理解因式分解与整式乘法的关系,并运用它们之间的关系寻求因式分解的方法.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习有关整式乘法的知识.导入一:【问题】简便运算.(1)736×95+736×5;(2)-2.67×132+25×2.67+7×2.67.[设计意图]观察实例,分析两个问题的共同属性:解决问题的关键是把一个数式化成几个数的积的形式,此时学生对因式分解还相当陌生,但学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉.这一步的目的是设计问题情境,复习相关知识点与计算,引入新课,让学生通过回顾用简便方法计算——因数分解这一特殊算法,运用类比很自然地过渡到因式分解的概念上,从而为因式分解的理解和掌握打下基础.导入二:【问题】(1)993-99能被99整除吗?为了回答这个问题,你该怎样做?把你的想法与同学交流.因为993-99=99×992-99×1=99(992-1),所以993-99能被99整除.(2)993-99能被100整除吗?为了回答这个问题,你该怎样做?把你的想法与同学交流.小明是这样做的:993-99=99×992-99×1=99(992-1)=99×9800=99×98×100,所以993-99能被100整除.[设计意图]以一连串的知识性问题引入,在学生已有的知识基础上,先让学生解决一些具体的数的运算问题,通过简便运算把一个式子化成几个数的乘积的形式,并且问题的设置由浅入深,逐步让学生体会因数分解的过程和意义.这一环节的设置对学生理解下面因式分解的概念起到了很大作用,体现了知识螺旋上升的特点.一、因式分解的概念a3-a=a·a2-a·1=a·(a2-1)=a·(a+1)(a-1)=(a-1)·a·(a+1).(1)你能理解吗?你能与同伴交流每一步是怎么变形的吗?(2)这样变形是为了达到什么样的目的?像这样,把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.[设计意图]从知识性的问题过渡到思考性的问题,巧妙设问:“如果我们将数字换成字母,上述结论仍然成立吗?”引发学生联想到用字母表示数的方法,得出a3-a=(a-1)·a·(a+1),这个过程对学生来说是思维上的一次飞跃,是从对具体、个别事物的认识上升到对一般事物规律性、结构性的认识,是对学生思维能力水平的一次提高,同时很自然地从因数分解过渡到因式分解,初步树立起学生对因式分解概念的直观认识.解答:(1)ma+mb+mc=m(a+b+c).(2)x2+2x+1=(x+1)2.像这样,把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.[设计意图]以拼图前后面积不变的方式,加深学生对因式分解的理解,形象地说明因式分解是整式的恒等变形,对学生的思维发展具有实际价值.学生通过观察,给出填空的答案,可能有不同的形式,只要合理就都应给予鼓励.要注意的是,这里拼图前后的数量关系主要指向面积,教师要适当引导.(1)3x(x-1)=;(2)m(a+b-1)=;(3)(m+4)(m-4)=;(4)(y-3)2=.根据上面的算式进行因式分解:(1)3x2-3x=()();(2)ma+mb-m=()();(3)m2-16=()();(4)y2-6y+9=()().思考:因式分解与整式乘法有什么关系?举例说明.[设计意图]通过两组练习,类比两种不同的运算,进一步让学生体会什么是因式分解,以及因式分解与整式乘法之间的互逆关系,这个时候,因式分解的概念已基本在学生头脑中确立.由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解,发展学生的逆向思维.[知识拓展]对于因式分解应注意以下几点:(1)分解的对象必须是多项式;(2)分解的结果一定是几个整式的乘积的形式;(3)要分解到不能分解为止.1.把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解,因式分解也可称为分解因式.2.因式分解与整式乘法是互逆过程.3.因式分解要注意以下几点:(1)分解的对象必须是多项式;(2)分解的结果一定是几个整式的乘积的形式;(3)要分解到不能分解为止.1.下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是()A.x2-x-2=x(x-1)-2B.(a+b)(a-b)=a2-b2C.x2-4=(x+2)(x-2)D.x2-=解析:主要考查因式分解的概念.故选C.2.下列各式因式分解正确的是()A.a+b=b+aB.4x2y-8xy2+1=4xy(x-2y)+1C.a(a-b)=a2-abD.a2-2ab+2a=a(a-2b+2)解析:主要考查因式分解的概念.故选D.3.把一个多项式化成的形式,这种变形叫做因式分解.答案:几个整式的积4.因式分解与整式乘法的关系是.答案:互为逆过程5.计算×13-×6+×2的结果是.解析:利用因式分解可以简化计算.原式=×(13-6+2)=×9=7.故填7.1因式分解一、因式分解的概念二、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第93页随堂练习的1,2题.【选做题】教材第94页习题4.1的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.(柳州中考)下列式子是因式分解的是()A.x(x-1)=x2-1B.x2-x=x(x+1)C.x2+x=x(x+1)D.x2-x=(x+1)(x-1)2.下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是()A.x2-9+6x=(x+3)(x-3)+6xB.(x+5)(x-2)=x2+3x-10C.x2-8x+16=(x-4)2D.(x-2)(x+3)=(x+3)(x-2)3.观察下面计算962×95+962×5的过程,其中最简单的方法是 ()A.962×95+962×5=962×(95+5)=962×100=96200B.962×95+962×5=962×5×(19+1)=962×(5×20)=96200C.962×95+962×5=5×(962×19+962)=5×(18278+962)=96200D.962×95+962×5=91390+4810=96200【能力提升】4.计算(1)~(3)题,并根据计算结果将(4)~(6)题进行因式分解.(1)(x-2)(x-1)=;(2)3x(x-2)=;(3)(x-2)2=;(4)3x2-6x=()();(5)x2-4x+4=()();(6)x2-3x+2=()().【拓展探究】5.下列从左到右的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?请说明理由.(1)a(x+y)=ax+ay;(2)x2+2xy+y2-1=x(x+2y)+(y+1)(y-1);(3)ax2-9a=a(x+3)(x-3);(4)x2+2+=;(5)2a3=2a·a·a.【答案与解析】1.C(解析:因式分解就是把一个多项式化成几个整式的积的形式,对各选项分析判断后利用排除法求解.故选C.)2.C(解析:根据因式分解的概念可知只有C是因式分解.故选C.)3.A(解析:利用因式分解进行计算比较简单.故选A.)4.(1)x2-3x+2(2)3x2-6x (3)x2-4x+4(4)3x x-2(5)x-2x-2(6)x-2x-1(解析:利用因式分解与整式乘法互为逆过程解答.)5.解:因为(1)(2)的右边都不是整式的积的形式,所以它们不是因式分解;(4)中,都不是整式,所以不是因式分解;(5)中的2a3不是多项式,所以它也不是因式分解.只有(3)的左边是多项式,右边是整式的积的形式,所以(3)是因式分解.本节课以学生的思维进程发展为主线,采用逐步渗透和类比的思想方法.在概念引入时从因数分解与因式分解的类比,到概念强化阶段整式乘法与因式分解的过程的类比,再到等式恒等变形与因式分解的类比,逐渐加深学生的认识.主要体现在从一开始以一连串的知识性问题引入,到后来教学环节中多次提出思考性的问题,启发、引导学生做进一步的猜想、探究,这种循序渐进的思维进程有助于学生理解接受新知识.本课的设计过多强调学生用高度抽象的语言来描述概念.在例题的讲解过程中,没有让学生尝试自己独立完成.注意引导学生从几何的角度理解因式分解.最好将因式分解的方法也一起适当地融入到本节课的教学内容中.随堂练习(教材第93页)1.解:2.解:(2)(4)是因式分解.因为(2)(4)满足因式分解的定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式.习题4.1(教材第94页)1.解:2.解:(2)(3)是因式分解.3.解:原式=I(R1+R2+R3)=2.5×(24.2+36.4+39.4)=250.故代数式的值为250.4.解:如右图所示.x2+x+2x+2=x2+3x+2=(x+2)·(x+1).5.解:(1)原式=1999×(1999+1)=1999×2000,所以19992+1999能被1999整除,也能被2000整除. (2)原式=×(16.9+15.1)=4,故16.9×+15.1×能被4整除.学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算,并且学习了整式的乘法运算,因此对于因式分解的引入,学生不会感到陌生,它为今天学习因式分解打下了良好基础.由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程,而逆向思维对于八年级学生来说还比较生疏,接受起来还有一定的困难,另外本节还没有涉及因式分解的具体方法,所以对于学生来说,寻求因式分解的方法是一个难点.已知a=2,b=3,c=5.求代数式a(a+b-c)+b(a+b-c)+c(c-a-b)的值.解:当a=2,b=3,c=5时,a(a+b-c)+b(a+b-c)+c(c-a-b)=a(a+b-c)+b(a+b-c)-c(a+b-c)=(a+b-c)(a+b-c)=(a+b-c)2=(2+3-5)2=0.2提公因式法经历探索求多项式各项公因式的过程,能在具体问题中确定多项式各项的公因式,会用提公因式法把多项式分解因式,积累确定公因式的初步经验.自主探索,合作交流,先学后教,当堂训练.进一步了解分解因式的意义,加强学生的逆向思维,并逐渐渗透化归的思想方法.【重点】用提公因式法分解因式.【难点】确定多项式各项的公因式.第课时1.使学生了解因式分解的意义,了解因式分解和整式乘法是整式的两种相反方向的变形.2.让学生会确定多项式中各项的公因式,会用提公因式法进行因式分解.自主探索,合作交流.1.通过与因数分解的类比,让学生感悟数学中数与式的共同点,体验数学的类比思想.2.通过对因式分解的教学,培养学生“换元”的意识.【重点】因式分解的概念及提公因式法的应用.【难点】正确找出多项式中各项的公因式.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习有关乘法分配律的知识.导入一:【问题】一块场地由三个长方形组成,这些长方形的长分别为,,,宽都是,求这块场地的面积.解法1:这块场地的面积=×+×+×=++==2.解法2:这块场地的面积=×+×+×=×=×4=2.从上面的解答过程看,解法1是按运算顺序:先算乘法,再算加减法进行计算的,解法2是先逆用乘法分配律,再进行计算的,由此可知解法2要简单一些.这个事实说明,有时我们需要将多项式化为几个整式的积的形式,而提公因式法就是将多项式化为几个整式的积的形式的一种方法.[设计意图]让学生通过利用乘法分配律的逆运算这一特殊算法,运用类比思想自然地过渡到提公因式法的概念上,从而为提公因式法的掌握打下基础.导入二:【问题】计算×15-×9+×2采用什么方法?依据是什么?解法1:原式=-+==5.解法2:原式=×(15-9+2)=×8=5.解法1是按运算顺序:先算乘法,再算加减法进行计算的,解法2是先逆用乘法分配律,再进行计算的,由此可知解法2要简单一些.这个事实说明,有时我们需要将多项式化为几个整式的积的形式,而提公因式法就是把多项式化为几个整式的积的形式的一种方法.[设计意图]让学生通过利用乘法分配律的逆运算这一特殊算法,运用类比思想自然地过渡到提公因式法的概念上,从而为提公因式法的掌握打下基础.一、提公因式法分解因式的概念如果一块场地由三个长方形组成,这三个长方形的长分别为a,b,c,宽都是m,那么这块场地的面积为ma+mb+mc或m(a+b+c),可以用等号来连接,即:ma+mb+mc=m(a+b+c).大家注意观察这个等式,等式左边的每一项有什么特点?各项之间有什么联系?等式右边的项有什么特点?分析:等式左边的每一项都含有因式m,等式右边是m与多项式a+b+c的乘积,从左边到右边的过程是因式分解.由于m是左边多项式ma+mb+mc中的各项ma,mb,mc都含有的一个相同因式,因此m叫做这个多项式各项的公因式.由上式可知,把多项式ma+mb+mc写成m与多项式a+b+c的乘积的形式,相当于把公因式m从各项中提出来,作为多项式ma+mb+mc的一个因式,把m从多项式ma+mb+mc的各项中提出后形成的多项式a+b+c,作为多项式ma+mb+mc的另一个因式.总结:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法.[设计意图]通过实例的教学,使学生明白什么是公因式和用提公因式法分解因式.结论:多项式中各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式.多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么?你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解吗?结论:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法.[设计意图]从让学生找出几个简单多项式的公因式,再到让学生尝试将多项式分解因式,使学生理解公因式以及提公因式法分解因式的概念.(1)3x+x3;(2)7x3-21x2;(3)8a3b2-12ab3c+ab;(4)-24x3+12x2-28x.〔解析〕首先要找出各项的公因式,然后再提取出来.要避免提取公因式后,各项中还有公因式,即“没提彻底”的现象.解:(1)3x+x3=x·3+x·x2=x(3+x2).(2)7x3-21x2=7x2·x-7x2·3=7x2(x-3).(3)8a3b2-12ab3c+ab=ab·8a2b-ab·12b2c+ab·1=ab(8a2b-12b2c+1).(4)-24x3+12x2-28x=-(24x3-12x2+28x)=-(4x·6x2-4x·3x+4x·7)=-4x(6x2-3x+7).【学生活动】通过刚才的练习,大家互相交流,总结出提取公因式的一般步骤和容易出现的问题.总结:提取公因式的步骤:(1)找公因式;(2)提公因式.容易出现的问题(以本题为例):(1)第(2)题中只提出7x作为公因式;(2)第(3)题中最后一项提出ab后,漏掉了“+1”;(3)第(4)题提出“-”号时,没有把后面的因式中的每一项都变号.教师提醒:(1)各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分;(2)因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数相同;(3)若多项式的首项为“-”,则先提取“-”号,然后再提取其他公因式;(4)将分解因式后的式子再进行整式的乘法运算,其积应与原式相等.[设计意图]经历用提公因式法进行因式分解的过程,在教师的启发与指导下,学生自己归纳出提公因式的步骤及提取公因式时容易出现的类似问题,为提取公因式积累经验.1.提公因式法分解因式的一般形式,如:ma+mb+mc=m(a+b+c).这里的字母a,b,c,m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式.2.提公因式法分解因式的关键在于发现多项式的公因式.3.找公因式的一般步骤:(1)若各项系数是整系数,则取系数的最大公约数;(2)取各项中相同的字母,字母的指数取最低的;(3)所有这些因式的乘积即为公因式.1.多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是 ()A.-6ab2cB.-ab2C.-6ab2D.-6a3b2c解析:根据确定多项式各项的公因式的方法,可知公因式为-6ab2.故选C.2.下列用提公因式法分解因式正确的是()A.12abc-9a2b2=3abc(4-3ab)B.3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2y)C.-a2+ab-ac=-a(a-b+c)D.x2y+5xy-y=y(x2+5x)解析:A.12abc-9a2b2=3ab(4c-3ab),错误;B.3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2),错误;D.x2y+5xy-y=y(x2+5x-1),错误.故选C.3.下列多项式中应提取的公因式为5a2b的是()A.15a2b-20a2b2B.30a2b3-15ab4-10a3b2C.10a2b-20a2b3+50a4bD.5a2b4-10a3b3+15a4b2解析:B.应提取公因式5ab2,错误;C.应提取公因式10a2b,错误;D.应提取公因式5a2b2,错误.故选A.4.填空.(1)5a3+4a2b-12abc=a();(2)多项式32p2q3-8pq4m的公因式是;(3)3a2-6ab+a=(3a-6b+1);(4)因式分解:km+kn=;(5)-15a2+5a=(3a-1);(6)计算:21×3.14-31×3.14=.答案:(1)5a2+4ab-12bc (2)8pq3(3)a (4)k(m+n)(5)-5a (6)-31.45.用提公因式法分解因式.(1)8ab2-16a3b3;(2)-15xy-5x2;(3)a3b3+a2b2-ab;(4)-3a3m-6a2m+12am.解:(1)8ab2(1-2a2b).(2)-5x(3y+x).(3)ab(a2b2+ab-1).(4)-3am(a2+2a-4).第1课时一、提公因式法分解因式的概念二、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第96页随堂练习.【选做题】教材第96页习题4.2.二、课后作业【基础巩固】1.把多项式4a2b+10ab2分解因式时,应提取的公因式是.2.(2014·淮安中考)因式分解:x2-3x=.3.分解因式:12x3y-18x2y2+24xy3=6xy·.【能力提升】4.把下列各式因式分解.(1)3x2y-6xy;(2)5x2y3-25x3y2;(3)-4m3+16m2-26m;(4)15x3y2+5x2y-20x2y3.【拓展探究】5.分解因式:a n+a n+2+a2n.6.观察下列各式:12+1=1×2;22+2=2×3;32+3=3×4;….这列式子有什么规律?请你将猜想到的规律用含有字母n(n为自然数)的式子表示出来.【答案与解析】1.2ab2.x(x-3)3.(2x2-3xy+4y2)4.解:(1)3xy(x-2). (2)5x2y2(y-5x). (3)-2m(2m2-8m+13). (4)5x2y(3xy+1-4y2).5.解:原式=a n·1+a n·a2+a n·a n=a n(1+a2+a n).6.解:由题中给出的几个式子可得出规律:n2+n=n·(n+1).本节运用类比的思想方法,在新概念的提出、新知识点的讲授过程中,使学生易于理解和掌握.如学生在接受提公因式法时,由提公因数到提公因式,由整式乘法的逆运算到提公因式法的概念,都是利用了类比的数学思想,从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然,容易理解.在小组讨论之前,应该留给学生充分的独立思考的时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.由于因式分解的主要目的是对多项式进行恒等变形,它的作用更多的是应用于多项式的计算和化简,比如在以后将要学习的分式运算、解分式方程等中都要用到因式分解的知识,因此应该注重因式分解的概念和方法的教学.随堂练习(教材第96页)解:(1)m(a+b). (2)5y2(y+4). (3)3x(2-3y). (4)ab(a-5). (5)2m2(2m-3).(6)b(a2-5a+9). (7)-a(a-b+c). (8)-2x(x2-2x+3).习题4.2(教材第96页)1.解:(1)2x2-4x=2x(x-2). (2)8m2n+2mn=2mn·4m+2mn·1=2mn(4m+1). (3)a2x2y-axy2=axy·ax-axy·y=axy(ax-y). (4)3x3-3x2+9x=3x(x2-x+3). (5)-24x2y-12xy2-28y3=-(24x2y+12xy2+28y3)=-4y(6x2+3xy+7y2). (6)-4a3b3+6a2b-2ab=-(4a3b3-6a2b+2ab)=-2ab(2a2b2-3a+1). (7)-2x2-12xy2+8xy3=-(2x2+12xy2-8xy3)=-2x(x+6y2-4y3). (8)-3ma3+6ma2-12ma=-(3ma3-6ma2+12ma)=-3ma·(a2-2a+4).2.解:(1)m+m+m=m(++)=3.14×(202+162+122)=2512. (2)∵xz-yz=z·(x-y),∴原式=×(17.8-28.8)=×(-11)=-7. (3)∵ab=7,a+b=6,∴a2b+ab2=ab(a+b)=7×6=42.3.解:(1)不正确,因为提取的公因式不对,应为n(2n-m-1). (2)不正确,因为提取公因式-b后,第三项没有变号,应为-b(ab-2a+3). (3)正确. (4)不正确,因为最后的结果不是乘积的形式,应为(a-2)(a+1).提公因式法是本章的第2小节,占两个课时,这是第一课时,它主要让学生经历从乘法分配律的逆运算到提公因式的过程,让学生体会数学中的一种主要思想——类比思想.运用类比的思想方法,在新概念的提出、新知识点的讲授过程中,可以使学生易于理解和掌握.如学生在接受提公因式法时,由整式乘法的逆运算到提公因式法的概念,就利用了类比的数学思想,从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然,容易理解,进而使学生进一步理解因式分解与整式乘法运算之间的互逆关系.已知方程组求7y(x-3y)2-2(3y-x)3的值.〔解析〕将代数式分解因式,产生x-3y与2x+y两个因式,再根据方程组整体代入,使计算简便.解:7y(x-3y)2-2(3y-x)3=(x-3y)2[7y+2(x-3y)]=(x-3y)2(7y+2x-6y)=(x-3y)2(2x+y).由方程组可得原式=12×6=6.第课时1.经历探索多项式因式分解方法的过程,能在具体问题中确定多项式各项的公因式.2.会用提公因式法把多项式分解因式(多项式中的字母指数仅限于正整数的情况).3.进一步了解因式分解的意义,加强学生的逆向思维,并渗透化归的思想方法.1.由学生自主探索解题途径,在此过程中,通过观察、对比等手段,确定多项式各项的公因式,加强学生的逆向思维,渗透化归的思想方法,培养学生的观察能力.2.由乘法分配律的逆运算过渡到因式分解,从提取的公因式是一个单项式过渡到提取的公因式是多项式,进一步发展学生的类比思想.3.寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法,培养学生的初步归纳能力.通过观察能合理地进行因式分解,并能清晰地阐述自己的观点.【重点】用提公因式法把多项式分解因式.【难点】探索多项式因式分解方法的过程.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习提公因式法分解因式的知识.导入一:【问题】把下列各式分解因式:(1)8mn2+2mn;(2)a2b-5ab+9b;(3)-3ma3+6ma2-12ma;(4)-2x3+4x2-8x.[设计意图]回顾上一节课提取公因式的基本方法与步骤,为学生能从容地把提取的公因式从单项式过渡到多项式提供必要的基础.以板演的形式让学生回忆起提取公因式的方法与步骤,使学生真正理解基本方法和步骤.导入二:上节课我们学习了用提公因式法分解因式,知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式,那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢?本节课我们就来揭开这个谜.。

教学设计因式分解1 课标分析一、内容标准：课标对本章的要求是能用提公因式法、公式法进行因式分解。

整个学段要求体会数学知识之间的联系，掌握必要的运算技能，经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。

对于本节，在内容标准上没有具体的要求。

二、数学思想方法,核心概念：教材从因数分解的例子入手，让学生体会因数分解的必要性，继而用字母表示数体现一般化，发展从特殊到一般的思考问题的方法；通过类比数的分解体会因式分解的意义，体会数学知识之间的相互联系，发展学生的类比思想；经历借助拼图解释整式变形的过程，帮助学生从几何的角度理解代数，渗透数形结合思想，体会几何直观的作用；给出因式分解的概念后，再由一般回归特殊，设计一组特例，通过对整式乘法运算与因式分解的对比，充分感受两者之间互为逆过程的关系，发展学生的逆向思维，进一步体会数学知识间的联系；为体会因式分解的意义，在应用环节，借助因式分解将问题转化，简便运算，渗透转化、最优化思想。

十大核心概念在本节课中突出培养的是学生的运算能力、几何直观、应用意识。

2 教材分析一、教材地位：本节是北师版八年级下册第四章因式分解第一节内容。

属于“数与代数”领域中（一）数与式中的“整式与分式”。

因式分解是代数式的一种重要恒等变形。

它是学习分式的基础,又在恒等变形、代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用,.就本节课而言，着重阐述了两个方面，一是因式分解的概念，二是因式分解与整式乘法的相互关系。

它是在继整式乘法的基础上来讨论因式分解概念，继而，通过探究与整式乘法的关系，来寻求因式分解的原理。

这一思想实质贯穿后继学习的各种因式分解方法。

通过本节课的学习，不仅使学生了解因式分解的概念和原理，而且又为后面学习因式分解作好了充分的准备。

因此，它起到了承上启下的作用。

二、重点、难点分析：了解因式分解的意义及其本质属性是学习整章因式分解的关键，由乘法到因式分解的变形是一个逆向思维。

在七年级整式乘法的较长时间的学习，学生容易造成思维定势，产生“倒摄抑制”作用，阻碍学生新概念的形成。