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知识点考纲下载导数概念及其几何意义、导数的运算 了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.能根据导数定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数. 导数在研究函 数中的应用了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 会利用导数解决某些实际问题.定积分与微 积分基本定理了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.了解微积分基本定理的含义.1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝lim Δx →0Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx. (2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． (3)函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx 为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos__x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin__x f (x )＝a x (a >0且a ≠1) f ′(x )＝a x ln__a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x (x >0，a >0且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln x (x >0)f ′(x )＝1x(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )(5)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P (x 0，y 0)的切线相同．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×(教材习题改编)函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos xD ．－x cos x解析：选B .y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .(2018·开封市第一次模拟)已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋mx ＋n 相切于点A (1，3)，则n ＝( ) A ．－2 B ．1 C ．3D ．4解析：选C .对于y ＝x 3＋mx ＋n ，y ′＝3x 2＋m ，所以k ＝3＋m ，又k ＋1＝3，1＋m ＋n ＝3，可解得n ＝3.已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________． 解析：因为f ′(x )＝a (l ＋ln x )， 所以f ′(1)＝a ＝3. 答案：3(2017·高考全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x在点(1，2)处的切线方程为__________．解析：因为y ＝x 2＋1x ，所以y ′＝2x －1x 2，所以y ′|x ＝1＝2－1＝1，所以所求切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝0导数的计算[典例引领]求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝sin x 2(1－2cos 2x4)；(3)y ＝3x e x －2x ＋e ； (4)y ＝ln xx 2＋1；(5)y ＝ln 2x －12x ＋1.【解】 (1)因为y＝(3x 2－4x )(2x ＋1) ＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ， 所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)因为y ＝sin x 2(－cos x 2)＝－12sin x ，所以y ′＝(－12sin x )′＝－12(sin x )′＝－12cos x .(3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.(4)y ′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2. (5)y ′＝(ln2x －12x ＋1)′＝[ln(2x －1)－ln(2x ＋1)]′＝ [ln(2x －1)]′－[ln(2x ＋1)]′＝12x －1·(2x －1)′－12x ＋1·(2x ＋1)′＝22x －1－22x ＋1＝44x 2－1.[通关练习]1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2x ·f ′(2)，则f ′(5)＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C.f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)， 令x ＝2，得f ′(2)＝－12.再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5＋2f ′(2)＝30－24＝6. 2．求下列函数的导数：(1)y ＝x n e x ；(2)y ＝cos xsin x ；(3)y ＝e x ln x ；(4)y ＝(1＋sin x )2.解：(1)y ′＝nx n －1e x ＋x n e x ＝x n －1e x (n ＋x )． (2)y ′＝－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝－1sin 2x . (3)y ′＝e x ln x ＋e x ·1x＝e x ⎝⎛⎭⎫1x ＋ln x . (4)y ′＝2(1＋sin x )·(1＋sin x )′＝2(1＋sin x )·cos x .导数的几何意义(高频考点)导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小．高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度： (1)求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标； (3)已知切线方程求参数值．[典例引领]角度一 求切线方程(1)(2017·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．(2)曲线f (x )＝x 3－2x 2＋2(12≤x ≤52)，过点P (2，0)的切线方程为________．【解析】 (1)因为f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(1)＝a －1，又f (1)＝a ，所以切线l 的方程为y －a ＝(a－1)(x －1)，令x ＝0，得y ＝1，即直线l 在y 轴上的截距为1. (2)因为f (2)＝23－2×22＋2＝2≠0，所以点P (2，0)不在曲线f (x )＝x 3－2x 2＋2上． 设切点坐标为(x 0，y 0)，则12≤x 0≤52.且⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 30－2x 20＋2，0－y 02－x 0＝f ′（x 0），所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 30－2x 20＋2，－y 02－x＝3x 2－4x 0，消去y ，整理得(x 0－1)(x 20－3x 0＋1)＝0，解得x 0＝1或x 0＝3＋52(舍去)或x 0＝3－52(舍去)，所以y 0＝1，f ′(x 0)＝－1，所以所求的切线方程为y －1＝－(x －1)， 即y ＝－x ＋2.【答案】 (1)1 (2)y ＝－x ＋2角度二 已知切线方程(或斜率)求切点坐标若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【解析】 设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝ln x ＋1， 所以切线的斜率为k ＝ln x 0＋1，由题意知k ＝2，得x 0＝e ，代入曲线方程得y 0＝e. 故点P 的坐标是(e ，e)． 【答案】 (e ，e)若本例变为：若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则该切线的方程为________．解析：设切点为(x 0，y 0)， 因为y ′＝ln x ＋1， 由题意，得ln x 0＋1＝1， 所以ln x 0＝0，x 0＝1， 即点P (1，0)，所以切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝0角度三 已知切线方程求参数值(2016·高考全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线 y ＝ln(x＋1)的切线，则b ＝________．【解析】 求得(ln x ＋2)′＝1x ， [ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.设曲线y ＝ln x ＋2上的切点为(x 1，y 1)，曲线y ＝ln(x ＋1)上的切点为(x 2，y 2)， 则 k ＝1x 1＝1x 2＋1，所以x 2＋1＝x 1.又y 1＝ln x 1＋2，y 2＝ln(x 2＋1)＝ln x 1， 所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，所以x 1＝1k ＝12，y 1＝ln 12＋2＝2－ln 2，所以b ＝y 1－kx 1＝2－ln 2－1＝1－ln 2. 【答案】 1－ln 2(1)求曲线切线方程的步骤①求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率； ②由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)． (2)求曲线f (x )，g (x )的公切线l 的方程的步骤①设点求切线，即分别设出两曲线的切点的坐标(x 0，f (x 0))，(x 1，g (x 1))，并分别求出两曲线的切线方程；②建立方程组，即利用两曲线的切线重合，则两切线的斜率及在y 轴上的截距都分别相等，得到关于参数x 0，x 1的方程组，解方程组，求出参数x 0，x 1的值； ③求切线方程，把所求参数的值代入曲线的切线方程中即可． (3)求曲线的切线方程需注意三点①当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴(此时导数不存在)时，切线方程为x ＝x 0；②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解；③应正确区分“求在曲线点P 处的切线方程”和“求过曲线点P 处的切线方程”．[通关练习]1．(2018·云南省第一次统一检测)已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R )，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________．解析：由题意，得f ′(x )＝a ln x ＋a ，所以f ′(1)＝a ，因为函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，所以a ＝2，又f (1)＝b ，则2×1－b ＝0，所以b ＝2，故a ＋b ＝4. 答案：42．(2018·沈阳市教学质量检测(一))设函数f (x )＝g (x 2)＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为9x ＋y －1＝0，则曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为________．解析：由已知得 g ′(1)＝－9，g (1)＝－8，又f ′(x )＝12 g ′(x 2)＋2x ，所以f ′(2)＝12g ′(1)＋4＝－92＋4＝－12，f (2)＝g (1)＋4＝－4，所以所求切线方程为y ＋4＝－12(x －2)，即x ＋2y ＋6＝0.答案：x ＋2y ＋6＝03．若直线l 与曲线y ＝e x 及y ＝－14x 2都相切，则直线l 的方程为________．解析：设直线l 与曲线y ＝e x的切点为(x 0，e x0)，直线l 与曲线y ＝－14x 2的切点为(x 1，－x 214)，因为y ＝e x在点(x 0，e x0)处的切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝e x0，y ＝－x 24在点(x 1，－x 214)处的切线的斜率为y ′|x ＝x 1＝(－x 2)|x ＝x 1＝－x 12，则直线l 的方程可表示为y ＝e x 0x －x 0e x 0＋e x 0或y ＝－12x 1x＋14x 21， 所以⎩⎨⎧e x 0＝－x 12，－x 0e x 0＋e x 0＝x214，所以e x 0＝1－x 0，解得x 0＝0，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 答案：y ＝x ＋1导数的几何意义与其他知识交汇[典例引领]抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包含三角形内部与边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．【解析】 由于y ′＝2x ，所以抛物线在x ＝1处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. 画出可行域(如图)．设x ＋2y ＝z ，则y ＝－12x ＋12z ，可知当直线y ＝－12x ＋12z 经过点A ⎝⎛⎭⎫12，0，B (0，－1)时，z 分别取到最大值和最小值，此时最大值z ma x ＝12，最小值z min ＝－2，故取值范围是⎣⎡⎦⎤－2，12. 【答案】 ⎣⎡⎦⎤－2，12(1)本题以y ＝x 2在x ＝1处的切线问题为条件，利用导数的几何意义求得切线方程，构造出求x ＋2y 的取值范围的可行域，充分体现了导数与线性规划的交汇． (2)利用导函数的特性，在求解有关奇(偶)函数问题中，发挥出奇妙的作用． (3)导数还可以与数列、向量、解析几何等交汇．[通关练习]1．曲线f (x )＝－x 3＋3x 2在点(1，f (1))处的切线截圆x 2＋(y ＋1)2＝4所得的弦长为( ) A ．4 B ．2 2 C ．2D. 2解析：选A.因为f ′(x )＝－3x 2＋6x ，则在点(1，f (1))处的切线的斜率k ＝6－3＝3，又f (1)＝2，故切线方程为y －2＝3(x －1)，即3x －y －1＝0. 因为圆心C (0，－1)到直线3x －y －1＝0的距离d ＝0，所以直线3x －y －1＝0截圆x 2＋(y ＋1)2＝4所得的弦长就是该圆的直径4，故选A . 2．对正整数n ，设曲线y ＝(2－x )x n 在x ＝3处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列{a nn ＋2}的前n 项和等于________． 解析：因为y ′＝2nx n －1－(n ＋1)x n .所以曲线y ＝(2－x )x n 在x ＝3处的切线的斜率为(－13n －1)3n .所以切线方程为y ＝(－13n －1)3n (x －3)－3n .令x ＝0，得a n ＝(n ＋2)·3n ，所以a nn ＋2＝3n .所以数列{a nn ＋2}的前n 项和为31＋32＋33＋…＋3n ＝3（1－3n ）1－3＝3n ＋1－32.答案：3n ＋1－32导数运算的技巧(1)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数．(2)对于不具备求导法则结构形式的，要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．对数函数的真数是根式或者分式时，可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式，然后再求解比较方便；当函 数表达式含有三角函数时，可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导． 易误防范(1)利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x n )′＝nx n －1与指数函数的求导公式(a x )′＝a x ln a 混淆．(2)求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．1．(2018·四川成都模拟)曲线y ＝x sin x 在点P (π，0)处的切线方程是( ) A ．y ＝－πx ＋π2 B ．y ＝πx ＋π2 C ．y ＝－πx －π2D ．y ＝πx －π2解析：选A.因为y ＝f (x )＝x sin x ，所以f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，在点P (π，0)处的切线斜率为k ＝sin π＋πcos π＝－π，所以曲线y ＝x sin x 在点P (π，0)处的切线方程是y ＝－π(x －π)＝－πx ＋π2.故选A.2．已知函数f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )，且f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1B ．－2C ．2D ．0解析：选B .f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )＝ax 4＋(2a ＋b )x 2＋2b ，f ′(x )＝4ax 3＋2(2a ＋b )x 为奇函数，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.3. 函数g (x )＝x 3＋52x 2＋3ln x ＋b (b ∈R )在x ＝1处的切线过点(0，－5)，则b 的值为( )A.72B.52C.32D.12解析：选B.当x ＝1时，g (1)＝1＋52＋b ＝72＋b ，又g ′(x )＝3x 2＋5x ＋3x，所以切线斜率k ＝g ′(1)＝3＋5＋3＝11， 从而切线方程为y ＝11x －5，由于点⎝⎛⎭⎫1，72＋b 在切线上，所以72＋b ＝11－5， 解之得b ＝52.故选B.4．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．3D ．4解析：选B.由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率为－13，即f ′(3)＝－13，又g (x )＝xf (x )，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 5．(2018·广州市综合测试(一))设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( ) A ．(0，0) B ．(1，－1)C ．(－1，1)D ．(1，－1)或(－1，1)解析：选D.由题易知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ，所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0，又切线方程为x ＋y ＝0，所以x 0≠0，且⎩⎪⎨⎪⎧3x 20＋2ax 0＝－1x 0＋x 30＋ax 20＝0，解得a ＝±2，x 0＝－a2. 所以当⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1a ＝－2时，点P 的坐标为(1，－1)；当⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1a ＝2时，点P 的坐标为(－1，1)，故选D.6．若f (x )＝(x 2＋2x －1)e 2－x ，则f ′(x )＝________． 解析：f ′(x )＝(x 2＋2x －1)′e 2－x ＋(x 2＋2x －1)(e 2－x )′ ＝(2x ＋2)e 2－x ＋(x 2＋2x －1)·(－e 2－x ) ＝(3－x 2)e 2－x . 答案：(3－x 2)e 2－x7．(2018·昆明市教学质量检测)若函数f (x )＝2cos(ωx ＋π4)的图象在x ＝0处的切线方程为y＝－3x ＋1，则ω＝________.解析：由题意，得f ′(x )＝－2ωsin(ωx ＋π4)，所以f ′(0)＝－2ωsin π4＝－ω＝－3，所以ω＝3. 答案：38．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x ＝0，即a ＝－13x 3(x ＞0)，故a ∈(－∞，0)． 答案：(－∞，0) 9．求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝x ＋cos x x ＋sin x；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln （2x ＋3）x 2＋1.解：(1)法一：因为y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)＝6x 4＋3x 3－8x 2－4x ，所以y ′＝24x 3＋9x 2－16x －4. 法二：y ′＝(3x 3－4x )′(2x ＋1)＋(3x 3－4x )(2x ＋1)′＝(9x 2－4)(2x ＋1)＋(3x 3－4x )·2＝24x 3＋9x 2－16x －4.(2)y ′＝（x ＋cos x ）′（x ＋sin x ）－（x ＋cos x ）（x ＋sin x ）′（x ＋sin x ）2＝（1－sin x ）（x ＋sin x ）－（x ＋cos x ）（1＋cos x ）（x ＋sin x ）2＝－x cos x －x sin x ＋sin x －cos x －1（x ＋sin x ）2.(3)因为y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x ， 所以y ′＝－12sin 4x －12x ·4·cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .(4)y ′＝[ln （2x ＋3）]′（x 2＋1）－（x 2＋1）′ln （2x ＋3）（x 2＋1）2＝（2x ＋3）′2x ＋3·（x 2＋1）－2x ln （2x ＋3）（x 2＋1）2＝2（x 2＋1）－2x （2x ＋3）ln （2x ＋3）（2x ＋3）（x 2＋1）2.10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32.(2)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，所以x 0＝±1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18，即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)， 切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.1．(2018·成都市第二次诊断性检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－12，＋∞)B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选 D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x ＞0)，根据题意有f ′(x )≥0(x ＞0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x ＞0)恒成立，即2a ≥－1x2(x ＞0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞）.2．过点A (2，1)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线最多有( ) A ．3条 B ．2条 C ．1条D ．0条解析：选A.由题意得，f ′(x )＝3x 2－3，设切点为(x 0，x 30－3x 0)，那么切线的斜率为k ＝3x 20－3，利用点斜式方程可知切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，将点A (2，1)代入可得关于x 0的一元三次方程2x 30－6x 20＋7＝0.令z ＝2x 30－6x 20＋7，则z ′＝6x 20－12x 0.由z ′＝0得x 0＝0或x 0＝2.当x 0＝0时，z ＝7＞0；x 0＝2时，z ＝－1＜0.所以方程2x 30－6x 20＋7＝0有3个解．故过点A (2，1)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线最多有3条．3．曲线f (x )＝e x 在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝ax 2－a (a ≠0)相切，则过切点且与该切线垂直的直线方程为__________．解析：曲线f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1. 设其与曲线g (x )＝ax 2－a 相切于点(x 0，ax 20－a )．则g ′(x 0)＝2ax 0＝1，且ax 20－a ＝x 0＋1. 解得x 0＝－1，a ＝－12，切点坐标为(－1，0)．所以过切点且与该切线垂直的直线方程为 y ＝－1·(x ＋1)，即x ＋y ＋1＝0. 答案：x ＋y ＋1＝04．(2018·山东青岛自主诊断)函数y ＝f (x )图象上不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)处的切线的斜率分别是k A ，k B ，规定K (A ，B )＝|k A －k B ||AB |(|AB |为线段AB 的长度)叫作曲线y ＝f (x )在点A 与点B 之间的“近似曲率”．设曲线y ＝1x 上两点A ⎝⎛⎭⎫a ，1a ，B ⎝⎛⎭⎫1a ，a (a ＞0且a ≠1)，若m ·K (A ，B )＞1恒成立，则实数m 的取值范围是______． 解析：因为y ′＝－1x 2，所以k A ＝－1a 2，k B ＝－a 2.又|AB |＝⎝⎛⎭⎫a －1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a －a 2＝2⎪⎪⎪⎪1a －a ， 所以K (A ，B )＝|k A －k B ||AB |＝|a 2－1a 2|2|1a －a |＝1a ＋a2，因为a ＞0且a ≠1，所以a ＋1a ＞2a ·1a ＝2，即1K （A ，B ）＜22.由m ·K (A ，B )＞1恒成立得，m ＞1K （A ，B ），即m ≥22.答案：⎣⎡⎭⎫22，＋∞5．设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直，求a ＋b 的值． 解：对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2， 对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ， 设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两条切线互相垂直． 所以(2x 0－2)·(－2x 0＋a )＝－1，即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0，① 又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2，y 0＝－x 20＋ax 0＋b ，⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0.② 由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52.6．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解：(1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)， 则y 1＝kx 1，① y 1＝－x 21＋92x 1－4，② ①代入②得，x 21＋⎝⎛⎭⎫k －92x 1＋4＝0. 因为P 为切点，所以Δ＝⎝⎛⎭⎫k －922－16＝0，得k ＝172或k ＝12. 当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17.当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1.因为P 在第一象限， 所以所求的斜率k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线， 其方程为y ＝－2x ＋5.③ 将③代入抛物线方程得， x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9，所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，－4.。
课时分层训练(十三) 变化率与导数、计算导数A 组 基础达标一、选择题1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)C [∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．]2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A ．－eB ．－1C ．1D ．eB [由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x，所以f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.]3．曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝－3x －1C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－3x －1A [由题意得y ′＝(x ＋1)e x＋2，则曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率为(0＋1)e 0＋2＝3，故曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝3x ，即y ＝3x －1.]4．(2018·南宁、钦州第二次适应性考试)若直线y ＝kx ＋1是函数f (x )＝ln x 图像的一条切线，则k ＝( )【导学号：79140073】A.1e 2B.1e C ．eD ．e 2A [由f (x )＝ln x ，得f ′(x )＝1x .设切点为(x 0，ln x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＝kx 0＋1，k ＝1x 0，解得x 0＝e 2，则k ＝1x 0＝1e2，故选A.]5．已知y ＝f (x )是可导函数，如图2101，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )图2101A ．－1B ．0C ．2D ．4B [由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.]二、填空题6．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.1－ln 2 [分别求出两个对应函数的导数，设出两个切点坐标，利用导数得到两个切点坐标之间的关系，进而求出切线斜率，求出b 的值． 求得(ln x ＋2)′＝1x ，[ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.设曲线y ＝ln x ＋2上的切点为(x 1，y 1)，曲线y ＝ln(x ＋1)上的切点为(x 2，y 2)， 则k ＝1x 1＝1x 2＋1，所以x 2＋1＝x 1.又y 1＝ln x 1＋2，y 2＝ln(x 2＋1)＝ln x 1， 所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， 所以x 1＝1k ＝12，y 1＝ln 12＋2＝2－ln 2，所以b ＝y 1－kx 1＝2－ln 2－1＝1－ln 2.]7．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图像在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.【导学号：79140074】1 [∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.]8．曲线y ＝a ln x (a ＞0)在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a ＝________.8 [∵y ＝a ln x ，∴y ′＝ax，∴在x ＝1处的切线的斜率k ＝a ，而f (1)＝a ln 1＝0，故切点为(1,0)， ∴切线方程为y ＝a (x －1)．令y ＝0，得：x ＝1；令x ＝0，y ＝－a . ∴三角形面积S ＝12×a ×1＝4，∴a ＝8.] 三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝ln(2x ＋1)x.[解] (1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′＝tan x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x＝tan x ＋xcos 2x.(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11. (3)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln(2x ＋1)x ′＝[ln(2x ＋1)]′x －x ′ln (2x ＋1)x 2＝(2x ＋1)′2x ＋1·x －ln(2x ＋1)x ＝2x2x ＋1－ln(2x ＋1)x＝2x －(2x ＋1)ln(2x ＋1)(2x ＋1)x2. 10．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． [解] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5.∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)·(x －2)， 又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0， 解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.B 组 能力提升11．曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2D [易知曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线斜率存在，设其为k .∵y ′＝12e 12x ，∴k ＝12e 12×4＝12e 2，∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x＝2，∴所求面积为S ＝12×2×|－e 2|＝e 2.]12．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，且与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m 的值为( ) A ．－1 B ．－3 C ．－4D ．－2D [∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图像的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，解得m ＝－2.]13．设曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．(1,1) [∵函数y ＝e x 的导函数为y ′＝e x， ∴曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设P (x 0，y 0)(x 0＞0)，∵函数y ＝1x 的导函数为y ′＝－1x 2，∴曲线y ＝1x(x ＞0)在点P 处的切线的斜率k 2＝－1x 20.易知k 1k 2＝－1，即1·⎝⎛⎭⎪⎫－1x20＝－1，解得x 20＝1，又x 0＞0，∴x 0＝1.又∵点P 在曲线y＝1x(x ＞0)上，∴y 0＝1，故点P 的坐标为(1,1)．]14．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图像为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围.【导学号：79140075】[解] (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．。
课时作业(十三) [第13讲 变化率与导数、导数的运算] [时间：35分钟 分值：80分] 图K13－1 1．如图K13－1，函数y＝f(x)在A、B两点间的平均变化率是( ) A．2 B．1 C．－2 D．－1 2．f(x)＝，则f′(8)等于( ) A．0 B．2 C. D．－1 3．[2011·青岛模拟] 设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝( ) A．e2 B．ln2 C. D．e 4．[2011·海淀模拟] 设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为________． 5．已知物体的运动方程是s＝t3－6t2＋32t(t表示时间，s表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( ) A．2秒或4秒 B．2秒或16秒 C．8秒或16秒 D．4秒或8秒 6．[2011·湖南卷] 曲线y＝－在点M处的切线的斜率为( ) A．－ B. C．－ D. 7．下列图像中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(aR，a≠0)的导函数f′(x)的图像，则f(－1)＝( ) 图K13－2 A. B．－ C. D．－或 8．[2011·潍坊模拟] 若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝( ) A．－1 B．－2 C．2 D．0 9．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为________． 10．若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________． 11．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)0.a2－1＝0，a0，因此不是凸函数；对于f′(x)＝cosx－sinx，f″(x)＝－sinx－cosx，x∈，sinx>0，cosx>0， f″(x)<0，因此是凸函数；对于，f′(x)＝－1，f″(x)＝－<0，因此是凸函数；对于，f′(x)＝－ex－xex，f″(x)＝－ex－ex－xex＝－(x＋2)ex<0，因此是凸函数． 12．[解答] 当a＝－1时，f(x)＝lnx＋x＋－1，x(0，＋∞)． 所以f′(x)＝，x(0，＋∞)， 因此f′(2)＝1， 即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1. 又f(2)＝ln2＋2， 所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(ln2＋2)＝x－2，即x－y＋ln2＝0. 【难点突破】 13．[解答] (1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3. 当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋， 于是解得故f(x)＝x－. (2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)． 令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为. 令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)． 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为S＝|2x0|＝6. 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
