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1.对数的概念如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。
即指数式与对数式的互化：log ba aN b N =⇔=2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。
自然对数：通常将以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。
3．对数的运算性质：如果0a >，且1,0,0a M N ≠>>，那么：⑴log ()log log a a a M N M N ⋅=+；（积的对数等于对数的和） 推广1212log (...)log log ...log a k a a a k N N N N N N ⋅=+++ ⑵log log log aa a MM N N=-；（商的对数等于对数的差） ⑶log log (R)a a M M ααα=∈，则log a = 。
⑷log a N a N =2．换底公式：log log log a b a NN b=（,0,,1,0a b a b N >≠>） 换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的． 推广：⑴1log log a b b a=⑵log log log log a b c a b c d d =， ⑶1log log n a a M M n =，则log na m M = 。
特别地：log log 1a b b a =知识要点对数运算与对数函数【例1】 求下列各式中x 的取值范围。
（1）2log (5)x +（2）1log (10)x x --【例2】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式。
（1） 1642= （2） 9132=- （3） 481log 3=（4） 6125log -=a （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606【例3】 计算（1）lg 4lg 25+ （2）22log 24log 6-（3）531log ()3（4） 001.0lg （5）e1ln （6）1lg【巩固1】3log =2log =(2log (2= 21log 52+=【巩固2】）. A. 1 B. －1 C. 2 D. －2【巩固3】计算2(lg5)lg 2lg50+⋅＝ .知识要点【例4】 （1）（2 。
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N Ûlog a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =bNN a a log log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数（1）对数函数的定义）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: : loglog a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象）对数函数的图象O xyy = l o g x a > Oxy<a <a y = l o g x a 1111( ())底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0. ④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. 基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是的图象是1 1 1-1 1111 1 xxxxy y y y O OOOA BC D解析：f （x ）=îíì<<-³.10,log ,1,log 22x x x x答案：A 2.若f －－1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －－1（x ）的值域为___________________. 解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －－1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________. 解析：由0≤log 21（3－x ）≤1Þlog 211≤log 21（3－x ）≤log 2121Þ21≤3－x ≤1Þ2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x7y=z ，则x 、y 、z 之间满足之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由logx 7y=z Þx z=7y Þx 7z=y ，即y =x 7z. 答案：B 5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则，则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D 6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于等于 A.42 B.22 C.41 D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A 7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A. 21 B.－21 C.2 D.－2 解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B 注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21. 8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是能是OxyOxyOxyOxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，)111-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观. 【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间. 解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增. 注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域. 【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23. 【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|. （1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值. 解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x . 又∵3)2(2--x x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4， ∴当x ＝4时，y min ＝lg4. 【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f（x 1）+f （x 2）］＜f （221x xx x +）成立的函数是）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A 探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，127m +m －+m ）－+m+2m ≥+xm+2m ）+x m ≥2m （当且仅当=xm ，即=m 时等号成立）+x m +2m ）=4m ，即4m ≥≥169. 可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较. 3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用. 。
对数与对数函数I、基本知识一、对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．二、对数的性质与运算法则1．对数的性质几个恒等式(M，N，a，b都是正数，且a，b≠1)①a log a N＝；②log a a N＝；③log b N＝log a Nlog a b；④log am b n＝nmlog a b；⑤log a b＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d＝ .2．对数的运算法则(a>0，且a≠1，M>0，N>0)①log a(M·N)＝；②log a MN＝；③log a M n＝ (n∈R)；④log anM＝ .三、对数函数的图象与性质II 、教材回归1、【课本改编】写出下列各式的值(1)log 26－log 23＝________；(2)lg5＋lg20＝________； (3)(log 29)·(log 34)＝________； (4)lg3＋2lg2－1lg1.2＝________；(5)(lg5)2＋lg2·lg50＝________； (6)⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg25÷100－12＝________.2、[2014·安徽高考]⎝ ⎛⎭⎪⎫1681 －34＋log 354＋log 345＝________.3、[2014·陕西高考]已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________.4、若log a 34<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是_____．5、[课本改编](1)若2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b＝________.(2)已知a23＝49(a >0)，则log 23a ＝________.III 、基本例题一、对数的化简与求值例1 (1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧12 x，x ≥4，f x ＋1 ，x <4，则f (2＋log 23)的值为________．(2)计算(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25的值．(3)计算(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)的值．二、对数函数的图象及应用例2 (1)[2014·福建高考]若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，2x，x ≤0，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的范围如何？三、对数函数的性质及应用例3 (1)[2014·辽宁高考]已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >b >aD. c >a >b(2)[2014·天津高考]函数f (x )＝log 12 (x 2－4)的单调递增区间为( ) A. (0，＋∞) B. (－∞，0) C. (2，＋∞)D. (－∞，－2)[奇思妙想] 本例(1)中，若c ＝log 312，其余条件不变，该如何作答．四、数形结合的思想在对数中的妙用[2015·河北唐山模拟]当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A. (0，22) B. (22，1) C. (1，2) D. (2，2) IV 、基本练习1. 计算：(1)(log23＋log89)(log34＋log98＋log32)；(2) 1－log63 2＋log62·log618log64.2. [2015·安徽皖南八校联考]若函数f(x)＝log a(x＋b)的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝a x＋b的大致图象是( )3. [2015·兰州模拟]已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则y＝f(x)与y＝log7x的图象的交点的个数为( )A. 3B. 4C. 5D. 64．[2013·课标全国卷Ⅱ]设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )A. c>b>aB. b>c>aC. a>c>bD. a>b>c5. [2015·洛阳模拟]已知函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)单调递减，则a的取值范围是( )A. (－∞，4]B. [4，＋∞)C. [－4,4]D. (－4,4]6、当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<log a x恒成立，即a的取值范围是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (1,2]D. (0，1 2 )。
对数与对数函数学完本节你可以：(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．(2)理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图象通过的特殊点． (3)知道对数函数是一类重要的函数题型．(4)了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0，(a ≠1). 知识点总结：1.对数:如果a x=N (a>0,且a ≠1),那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作 .其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:当a>0,且a ≠1时,a x=N ⇔x=log a N (符号功能)——熟练转化; 常用对数:以10为底log 10N 写成 ;自然对数:以e 为底log e N 写成 (e =2.71828…). 2.对数的性质(1)在对数式中N=a x>0(负数和零没有对数);(2)log a 1= ,log a a= (1的对数等于0,底数的对数等于1); (3)如果把a b=N 中的b 写成 ,则有 =N (对数恒等式). （4）log Na a =3.对数的运算性质:如果a>0,且a ≠1,M>0,N>0,那么:(1)log a (M ·N )= ; (2)log a MN= ; (3)log a M n= ;(4)log a b= (a>0,且a ≠1;c>0,且c ≠1;b>0)(换底公式); (5)log a b= ;(6)log a n b m= .4.对数函数的性质5.反函数 (1)反函数概念函数y=a x(x ∈R)与对数函数y=log a x (x ∈(0,+∞))互为反函数.即同底的指数函数与对数函数互为反函数. (2)反函数的性质互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称. 考点分析：考点一 对数式的化简运算 例1（1）化简求值(1) 91log 81log 251log 32log 53264⋅⋅⋅ (2) 7lg142lglg 7lg183-+- (3))36log 43log 32(log log 42122++ (4)()248125255log 125log 25log 5(log 8log 4log 2)++++ 【答案】（1）-10；（2）0；（3）3；（4）13【解析】(1)原式=103log 2log 5log 2log 253322526-=--- (2) 原式=2lg(27)2(lg 7lg 3)lg 7lg(32)⨯--+-⨯ =lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20+-++--=(3)原式=38log )6log 43log 5(log )6log 43log5(log 2222222221==+-=++-(4)原式135log 2log 3313)2log 3)(5log 315log 5log 3(255222=⋅=++= 变式训练1（1）计算下列各式的值 （1）()222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++；（2）33(lg 2)3lg 2lg5(lg5)++． 【解析】（1）原式=()22lg52lg 2lg5(2lg 2lg5)lg 2++++=22lg10(lg 5lg 2)++=2+1=3；（2）原式=()()22lg 2lg 5lg 2lg 2lg 5(lg 5)⎡⎤+-+⎣⎦+3lg 2lg5=()22lg 22lg 2lg5(lg5)++ =()2lg 2lg51+=．(2) 已知18log 9,185ba ==，求36log 45． 【答案】2a ba+- 【解析】 解法一：18log 9,185b a ==，18log 5b ∴=，于是181818183618181818log 45log (95)log 9log 5log 4518log 36log (182)1log 221log 9a b a ba ⨯+++=====⨯+-+．解法二：18log 9,185b a ==，18log 5b ∴=，于是1818181836218181818log 45log (95)log 9log 5log 45.18log 362log 18log 92log 9a ba ⨯++====--解法三：18log 9,185b a ==，lg9lg18,lg5lg18a b ∴==，362lg 45lg(95)lg9lg5lg18lg18log 4518lg362lg18lg92lg18lg182lg 9a b a ba a ⨯+++∴=====---． 解法四：18log 9a =，189.a ∴=又185,4559181818bbaa b+=∴=⨯==．令36log 45x =，则364518x a b+==，即218181836()18,()18,339xx a bx a b ++==∴= 21818log .9x a b ∴=+21818log 18log 92a b a bx a++∴==--．考点二 对数函数的图像性质例2（1）图中的曲线是log a y x =的图象，已知a 的值为43，310，15，则相应曲线1234,,,C C C C 的a 依次为（ ）.43，15，31043，310，15C. 15，310，43D. 43310，15【答案】A例2（2）(2016·福州模拟)函数y ＝lg|x －1|的图象是 ( A )变式训练2（1）函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图像是( )[答案] B[解析] 由函数值域为R ，可以排除C 、D ，当x >0时，f (x )＝lg(x －1)在(1，＋∞)上递增，排除A ，选B.(2)函数y ＝log a x 与y ＝－x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是 ( A )考点三 利用对数函数比较大小及解不等式例3（1）利用对数函数的性质比较0.23、3log 2、5log 4的大小．【答案】0.235log 4>>3log 2【解析】0.231>，3log 21<，5log 41<，∴只需比较3log 2与5log 4的大小即可3222952222log 2log 5log 5log 5log 51log 4log 3log 42log 3log 9====< ∴3log 2<5log 4 ∴0.235log 4>>3log 2例3（2）已知111222log log log b a c <<，则（）A.222b a c >>B.222a b c >>C.222c b a >>D.222c a b >>【关键词】2005年，天津文，高考【解析】 ∵1012<<，111222log log log b a c << ∴b a c >>，又21>，∴222b a c >>【答案】A 变式训练3（1）下列大小关系正确的是（ ）.A. 30.440.43log 0.3<<B. 30.440.4log 0.33<<C. 30.44log 0.30.43<<D. 0.434log 0.330.4<< 【关键词】2005年，山东卷文，高考【解析】 在同一坐标系中分别画出0.4x y =，3x y =，4log y x =的图象，分别作出当自变量x 取3，0.4，0.3时的函数值.观察图象容易得到：30.44log 0.30.43<<. 故选C.【答案】C（2）已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>【答案】 C【解析】另2log 3.4m =，4log 3.6n =，310log 3l =，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得m l n >>又∵5xy =为单调递增函数， ∴ a c b >> 故选C. （3）已知2log 13a<，求a 的取值范围.【解析】 法一∵2log 1log 3aa a <=， ∴当1a >时，根据log a x 是增函数得23a <，所以1a >； 当01a <<时，根据log a x 是减函数得203a >>.综上所述，20(1)3a ,,⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭；法二结合对数函数的图象知，当0a >时，2log 013a <<；当01a <<时，当23a =时，有2log 13a =，结合图象知，当此曲线向y 轴靠近时，满足题意，此时a 逐渐减小，故203a <<. 综上所述，()2013a ,,⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭.在上面的对数函数图象中，共有四条对数函数log a y x =，底数a 的大小比较可以通过作一条直线：1y =，于四条曲线分别交于点1234,,,P P P P ，易知，这四点的横坐标即对应相应的底数的值，故比较这四点的横坐标即可.【答案】()2013,,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭考点四 对数函数的综合问题例4（1）函数212log (617)y x x =-+的值域是（ ）.A. RB. [8,)+∞C. (,3]-∞-D. [3,)+∞ 【答案】C例4（2）对于212()log (23)f x x ax =-+，⑴函数的“定义域为R ”和“值域为R ”是否是一回事； ⑵结合“实数a 取何值时，()f x 在[1)-+∞，上有意义”与“实数a 取何值时，函数的定义域为(1)(3)-∞+∞，，”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别.⑶结合⑴⑵两问，说明实数a 的取何值时()f x 的值域为(1]-∞-，. ⑷实数a 取何值时，()f x 在(1]-∞，内是增函数.⑸是否存在实数a ，使得()f x 的单调递增区间是(1]-∞，，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.【解析】 记22()()3g x x a a μ==-+-，则12()log f x μ=；⑴不一样；定义域为R ⇔()0g x >恒成立.得：24(3)0a ∆=-<，解得实数a 的取值范围为(.值域为R ：12log μ值域为R μ⇔至少取遍所有的正实数，则24(3)0a ∆=-≥，解得实数a 的取值范围为([3)-∞+∞，，. ⑵①实数a 的取何值时，()f x 在[1)-+∞，上有意义：命题等价于()0g x μ=>对于任意[1)x ∈-+∞，恒成立，则1(1)0a g <-⎧⎨->⎩或2130a a -⎧⎨->⎩≥，解得实数a 的取值范围为(2-.②实数a 的取何值时，函数的定义域为(1)(3)-∞+∞，，：由已知得二次不等式2230x ax -+>的解集为(1)(3)-∞+∞，，可得132a +=，则2a =.故a 的取值范围为{2}.区别：“有意义问题”正好转化成“恒成立问题”来处理，而“定义域问题”转化成了解集问题，即取遍解集内所有的数值.⑶易知()g x 的值域是[2)+∞，，又()g x 的值域是2[3)a -+∞，， 得2321a a -=⇒=±，故a 的取值范围为{11}-，.⑶的错误解法：由已知有2232x ax -+≥恒成立，即2440a ∆=-≤，解得：11a -≤≤错因分析：若()f x 的值域为(]1-∞-，,则有()1f x -≤；若()1f x -≤，可能存在()f x 的值域为(]3-∞-，，说明：原题中“()f x 的值域为(1]-∞-，”不能直接等价转化为条件“2232x ax -+≥恒成立”.⑷命题等价于()g x 在(1]-∞，上为减函数，且()0g x >对任意的(1]x ∈-∞，恒成立，则1(1)0a g ⎧⎨>⎩≥，解得a 的取值范围为[12)，.⑸()f x 的单调递增区间为223x ax μ=-+的单调递减区间A 与2230x ax -+>的解集B 的交集. 故(]A a =-∞，.若2230x ax -+=有根，则记方程2230x ax -+=的两根为1212()x x x x ，≤，则12()()B x x =-∞+∞，，；若2230x ax -+=无根，则R B =.而(1]AB =-∞，，只可能有1a =.此时，不等式变为2230x a -+>，解集为R ，满足题意.故a 存在，1a =.该题主要考察复合对数函数的定义域、值域以及单调性问题.解题过程中遇到了恒成立问题，“恒为正”与“取遍所有大于零的数”不等价，同时又考察了一元二次函数函数值的分布情况，解题过程中结合三个“二次”的重要结论来进行处理.【答案】⑴不一样；⑵区别：“有意义问题”正好转化成“恒成立问题”来处理，而“定义域问题”转化成了解集问题，即取遍解集内所有的数值.⑶{11}-，.⑷[12)，⑸a 存在，1a =变式训练4（1）已知函数()log (1),()log (1)a a f x x g x x =+=-其中(01)a a >≠且．（1）求函数()()f xg x -的定义域； （2）判断()()f x g x -的奇偶性，并说明理由；（3）求使()()0f x g x ->成立的x 的集合.【解析】 （1）()()log (1)log (1)a a f x g x x x -=+-- ，若要式子有意义，则1010x x +>⎧⎨->⎩，即11x -<<.所以所求定义域为{}11x x -<<. （2）设()()()F x f x g x =-，则()()()log (1)log(1)a F x f x g x x x -=---=-+-+[]log (1)log (1)()a a x x F x =-+--=-，所以()()f x g x -是奇函数.（3）()()0f x g x ->，即 log (1)log (1)0a a x x +-->，log (1)log (1)a a x x +>-. 当01a <<时，上述不等式等价于101011x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+<-⎩，解得10x -<<；当1a >时，原不等式等价于101011x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得01x <<.综上所述, 当01a <<时，原不等式的解集为{10}x x -<<；当1a >时 , 原不等式的解集为{01}x x <<.【答案】（1）{}11x x -<<，（2）奇函数，（3）{01}x x << （2）已知函数2()lg[2(1)94]f x mx m x m =++++，⑴若此函数的定义域为R ，求实数m 的取值范围； ⑵若此函数的值域为R ，求实数m 的取值范围.【解析】 ⑴此函数的定义域为全体实数，即对于任意的x R ∈，22(1)940mx m x m ++++>恒成立.下面对m 进行分类讨论：①若0m =，则22(1)9424mx m x m x ++++=+不满足条件； ②若0m ≠，要使得22(1)94mx m x m ++++恒大于零， ⇔不等式组24(1)4(94)0m m m m >⎧⎨∆=+-+<⎩成立， 解得：01142m m m >⎧⎪⎨><-⎪⎩或，即14m >.从而知，当14m >时，函数()f x 的定义域为全体实数.⑵此函数的值域为全体实数，则22(1)94mx m x m ++++能取到大于零的任意实数， ①若0m =，则22(1)9424mx m x m x ++++=+，满足条件；②若0m ≠，则需满足：24(1)4(94)0m m m m >⎧⎨∆=+-+⎩≥， 解得01124m m >⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩，即104m <≤，综上知：当1[0,]4m ∈时，函数()f x 的值域为全体实数.本题涉及到解一元二次不等式的解法，可根据学生情况进行讲解.【答案】⑴14m >，⑵1[0,]4m ∈考点五 反函数例5. 函数2()log 2f x x =-，则1()f x -的定义域是（ ）A ．RB ． [)2,-+∞C ．[)1,+∞D ．()0,1 【解析】 A ;即函数2()log 2f x x =-的值域． 变式训练5求函数11x x e y e +=-，()0,x ∈+∞的反函数．【解析】 ∵ 12111x e y x x e e +==+--，∴211x e y =+-， 即11x y e y +=-，∴1ln 1y x y +=-，∵0x >,∴1x e >．∴2111x y e =+>－． ∴11x x e y e +=-，()0,x ∈+∞的反函数为1ln 1x y x +=-()1x >．家庭作业1．已知121log <a ，那么a 的取值范围是( ) A.210<<a B.21>a C.121<<a D.210<<a 或a>1【答案】D【解析】当a>1时，由a a a log 21log <知21>a ，故a>1；当0<a<1时，由a a a log 21log <知0<a<21， 故210<<a .综上知：a 的取值范围是210<<a 或a>1.2．函数y =）A.()4,1--B.()4,1-C.()1,1-D.(]1,1- 【答案】C【解析】要使原题有意义，必须满足：210340x x x +>⎧⎨--+>⎩，解得11x -<<．3.为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点（ ） A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】C 【解析】函数3lg 10x y +==lg(3)1x +-，由“左加右减”知，选C ． 4.函数2lg 11y x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象关于( ) A.x 轴对称 B.y 轴对称 C.原点对称 D.直线y x =对称 【答案】C【解析】此函数是奇函数，奇函数图象关于原点对称。
