2018年高考考点完全题数学文专题突破练习题 数形结合思想专练 含答案 精品

一、选择题1.设a ，b ，c 均为正数，且122log a a =，121()log 2b b =，21()log 2cc =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】C2. 【湖北省天门、仙桃、潜江2018届期末联考】已知直线交椭圆于A ，B 两点，若C ，D 为椭圆M 上的两点，四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，则四边形ACBD 的面积的最大值为 A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意可得，解得或，不妨设，则，，直线的方程为，可设直线的方程为联立，消去，得到，直线与椭圆有两个不同的交点则，解得，设，，，，当时，取得最大值，四边形ACBD的面积的最大值为，故选3.如图为某几何体的三视图，则其体积为（）A.243π+ B.243π+C.43π+ D.43π+【答案】D4.若实数 x y ，满足2301x y y x -+≥⎧⎨≥≥⎩，则z 的最小值为（ ） A ．3 B【答案】D5.如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且32 43AM AB AN AD ==，，连接AC ，MN 交于P 点，若AP AC λ=，则λ的值为（ ）A BCMA ．35B ．37 C.613D ．617【答案】D【解析】因为()++AP AC AB AD AB AD λλλλ===，又3243AM AB AN AD ==，，所以4332AP AM AN λλ=+，而,,P M N 三点共线，43132λλ+=，43132λλ+=，λ=617，故选D. 6. 【广东省广州大学附中等2018届联考】如图，是半径为，的扇形，是弧上的点，是扇形的内棱矩形，经，若，且当时，四边形的面积取得最大，则的值为（）．A. B. C. D.【答案】B7. 【河北省唐山市2018届第一次模拟】已知，，，是半径为的球面上的点，，，点在上的射影为，则三棱锥体积的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，由题意，PA=PB=PC=2，∠ABC=90°，可知P在平面ABC上的射影G为△ABC的外心，即AC 中点，则球的球心在PG的延长线上，设PG=h，则OG=2﹣h，∴OB2﹣OG2=PB2﹣PG2，即4﹣（2﹣h）2=4﹣h2，解得h=1．则AG=CG=，过B作BD⊥AC于D，设AD=x，则CD=,再设BD=y，由△BDC∽△ADB，可得,∴y=，,令f（x）=，则f′（x）=，由f′（x）=0，可得x=，∴当x=时，f（x）max=，∴△ABD面积的最大值为,则三棱锥P﹣ABD体积的最大值是故答案为：B.8.在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=（ ）A ．4B ．49C ．49- D ．0【答案】A9.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，0)3()(=++-x f x f ；当)3,0(∈x 时，xxe xf ln )(=，其中e 是自然对数的底数，且72.2≈e ，则方程0)(6=-x x f 在]9,9[-上的解的个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】D【解析】当0>x 时，0)3()(=++-x f x f (3)()()3,f x f x f x T ⇒+=--=⇒=又0)(6=-x x f()6x f x ⇒=，记()6xg x =⇒原命题可转化为(),()f x g x 的图象交点个数.又2(1ln )'()00,'()0;3,'()0e x f x x e x e f x e x f x x -==⇒=⇒<<><<>，可作出(),()f x g x 在[0,)+∞上的图象（如下图）⇒(),()f x g x 在(0,9]上的交点个数为3，根据(),()f x g x 均为奇函数可得：(),()f x g x在[9,9]-上的交点个数为3317++=，故选D.10. 【安徽省芜湖市2018届一模】已知函数，若方程有三个不同的实数根，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】B二、填空题11.在边长为1的正方形中，，的中点为，，则__________．【答案】12.已知函数()sin 2y k kx πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭与函数26y kx k =-+的部分图像如右图所示，则ϕ=____________．【答案】6π-【解析】令2062sin(2)sin()066x y k k k y x ππϕϕϕ=⇒=-+=⇒=⇒=+⇒+=⇒=-.13. 【河北省定州中学2018届第二次阶段考试】已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，以为圆心的圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为 ，若，则_______．【答案】1 【解析】由题意，在抛物线上，则，则，① 由抛物线的性质可知，，则，被直线截得的弦长为，则，由，在中，，即，代入整理得，② 由①②，解得，，故答案为.14. 【福建省莆田市2018届3月】已知是上的偶函数，且．若关于的方程有三个不相等的实数根，则的取值范围是__________．【答案】三、解答题15 已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x( x >0 )．(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．16. 【山东省淄博市2018届高三3月模拟】已知椭圆的右焦点为，原点为，椭圆的动弦过焦点且不垂直于坐标轴，弦的中点为，过且垂直于线段的直线交射线于点．（1）证明：点在定直线上；（2）当最大时，求的面积．【解析】（1）显然椭圆的右焦点的坐标为，设所在直线为：，且．联立方程组：，得：；其中，点的坐标为所在直线方程为：．所在的直线方程为：，联立方程组：，得，故点在定直线上；17.已知椭圆()2222:10x y a b a b Ω+=>>，过点,12Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭作圆221x y +=的切线，切点分别为,S T .直线ST 恰好经过Ω的右顶点和上顶点.（1）求椭圆Ω的方程；（2）如图，过椭圆Ω的右焦点F 作两条互相垂直的弦,AB CD .① 设,AB CD 的中点分别为,M N ，证明: 直线MN 必过定点，并求此定点坐标； ②若直线,AB CD 的斜率均存在时，求由,,,A C B D 四点构成的四边形面积的取值范围.(2) ①若直线 ,AB CD 斜率均存在，设直线()()()1122:1,,,,AB y k x A x y B x y =-, 则中点1212,122x x x x M k ⎛++⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 先考虑0k ≠ 的情形.由()221220y k x x y ⎧=-⎪⎨+-=⎪⎩得()2222124220k x k x k +-+-=.由直线AB 过点()1,0F ，可知判别式0∆>恒成立. 由韦达定理，得2122412k x x k +=+，故2222,1212k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，将上式中的k 换成1k -，则同理可得222,22k N k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭.若22222122k k k =++，得1k =±，则直线MN 斜率不存在. 此时直线MN 过点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.下证动直线MN 过定点2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.② 当直线,AB CD 的斜率均存在且不为0时， 由①可知，将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得 ()2222124220k x k x k +-+-=,所以12AB x =-==)222122112k kk ++==+.同理，)2222111221k k CD k k ⎫+⎪+⎝⎭==++，。

数学思想专项练(二) 数形结合思想(对应学生用书第页)题组利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题．方程－＝＋(＞)的解的个数是( )．．．．[∵＞，∴＋＞.而＝－的图象如图，∴＝－的图象与＝＋的图象总有个交点．]．已知函数()＝－，则下列结论正确的是( )．()有三个零点，且所有零点之积大于－．()有三个零点，且所有零点之积小于－．()有四个零点，且所有零点之积大于．()有四个零点，且所有零点之积小于[在同一坐标系中分别作出()＝与()＝的图象，如图所示，由图象知()与()有三个交点，设三个交点的横坐标从左到右分别是，，，因为＜，＞，所以－＜＜－，同理＜＜＜＜，即－＜＜－，即所有零点之积大于－.]．(·内蒙古包头一模)定义在上的奇函数()满足(－)＝－()且在[]上为增函数，若方程()＝(＞)在区间[－]上有四个不同的根，，，，则＋＋＋的值为( )．．－．．－[此函数是周期函数，又是奇函数，且在[]上为增函数，综合条件得函数的示意图如图所示．由图看出，四个交点中，轴左侧的两个交点的横坐标之和为×(－)＝－，另两个交点的横坐标之和为×＝，所以＋＋＋＝－.故选.]．(·湖南湘中名校联考)已知函数()＝－＋＋＋有两个极值点，，若＜()＜，则关于方程[()]－()－＝的实数根的个数不可能为( )．．．．[由题意，得′()＝－＋＋.因为，是函数()的两个极值点，所以，是方程－＋＋＝的两个实数根，所以由[()]－()－＝，可得()＝或()＝.由题意，知函数()在(－∞，)，(，＋∞)上单调递减，在(，)上单调递增，又＜()＜，依题意作出简图，如图所示，结合图形可知，方程[()]－()－＝的实根个数不可能为，故选.]．(·合肥二模)若函数()＝＋在[π，π]上有且只有一个零点，则实数＝.[函数()＝＋在[π，π]上有且只有一个零点，即方程＋＝在[π，π]上只有一解，即函数＝－与＝，∈[π，π]的图象只有一个交点，由图象可得＝.]．设()是定义在上且周期为的函数，在区间[)上，()＝(\\(，∈，，∉，))其中集合＝，则方程()－＝的解的个数是.【导学号：】[由于()∈[)，则只需考虑≤<的情况．在此范围内，当∈且∉时，设＝，，∈*，≥且，互质，若∈，则由∈()，可设＝，，∈*，≥且，互质，因此＝，则＝，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此∉，因此不可能与每个周期内∈对应的部分相等，只需考虑与每个周期∉部分的交点．画出函数草图．图中交点除()外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期∉部分，且＝处( )′＝)＝)<，则在＝附近仅有一个交点，因此方程解的个数为.]题组利用数形结合思想求解不等式或参数范围．若不等式＞ (＞，≠)对任意∈都成立，则的取值范围为( )。

数形结合思想专练一、选择题1．若f (x )是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f (－3)＝0，则x ·f (x )<0的解集是( )A ．{x |－3<x <0或x >3}B ．{x |x <－3或0<x <3}C ．{x |x <－3或x >3}D ．{x |－3<x <0或0<x <3} 答案 B解析 因为f (x )是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，则在(－∞，0)上是减函数． 而x ·f (x )是奇函数，画x ·f (x )大致图象如图，由图可知：x ·f (x )<0的解集为{x |x <－3或0<x <3}，故选B.2．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3的相邻两条对称轴之间的距离为π4，将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g (x )的图象，若g (x )＋k ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2有且只有一个实数根，则k 的取值范围是( )A ．k ≤12B ．－1≤k <－12C ．－12<k ≤12D ．－12<k ≤12或k ＝－1答案 D解析 因为f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π4，结合三角函数的图象可知T 2＝π4，又T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3.将f (x )的图象向右平移π8个单位得到f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫x －π8＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以方程为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋k ＝0.令2x －π6＝t ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以－π6≤t ≤5π6.若g (x )＋k ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2有且只有一个实数根， 即g (t )＝sin t 与y ＝－k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6有且只有一个交点.如图所示，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1，即－12<k ≤12或k ＝－1. 3．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则实数b 的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ．答案 C解析 曲线方程可化简为(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)，即表示圆心为(2,3)、半径为2的半圆，数形结合，当直线y ＝x ＋b 与此半圆相切，须满足圆心(2,3)到直线y ＝x ＋b 距离等于2，解得b ＝1＋22或b ＝1－2 2.因为是下半圆，则舍去b ＝1＋22；当直线过点(0,3)时，解得b ＝3，故1－22≤b ≤3，所以C 正确．4．设θ为两个非零向量a 、b 的夹角，已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1，则( ) A ．若θ确定，则|a |唯一确定 B ．若θ确定，则|b |唯一确定 C ．若|a |确定，则θ唯一确定 D ．若|b |确定，则θ唯一确定 答案 B解析 如图，构造OA →＝a ，OB →＝b ，且〈a ，b 〉＝θ，则OA t →＝t a ，由平行四边形法则知OC t→＝b ＋t a .当OC ⊥l 时，|OC t →|取最小值为1，此时sin θ＝|OC →||OB →|＝1|b |.故若θ确定，则|b |唯一确定，所以答案为B.5．若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x >0，－－x ，x <0，有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D ．(0，＋∞)答案 B解析 根据题意可知“伙伴点组”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y ＝－ln (－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象，使它与函数y ＝kx －1(x >0)的图象交点个数为2即可．设切点为(m ，ln m )，y ＝ln x 的导函数为y ′＝1x，可得km －1＝ln m ，k ＝1m，解得m ＝1，k ＝1，可得函数y ＝ln x (x >0)过(0，－1)点的切线斜率为1，结合图象可知k ∈(0,1)时有两个交点．故选B.二、填空题6．当x ∈(1,2)时，(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围为________． 答案 (1,2]解析 在同一坐标系内作出y ＝(x －1)2，x ∈(1,2)及y ＝log a x 的图象，若y ＝log a x 过(2,1)，则log a 2＝1，∴a ＝2.结合图形，若使x ∈(1,2)时，(x －1)2<log a x 恒成立，则1<a ≤2.7．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，若抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．答案 2解析 记抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，注意到直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，于是抛物线y 2＝4x 上的动点P 到直线l 2的距离等于|PF |，问题即转化为求抛物线y 2＝4x 上的动点P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离与它到焦点F (1,0)的距离之和的最小值，结合图形，知该最小值等于焦点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即为|4×1－3×0＋6|5＝2.8．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店这三天售出的商品最少有________种．答案 29解析 由于前二天都售出的商品有3种，因此第一天售出的有19－3＝16种商品第二天未售出；第三天售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出，三天总商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数为29.分别用A ，B ，C 表示第一、二、三天售出的商品，如图最少时的情形，故答案为29.三、解答题9．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|.(1)求f (x )的最小值，并求出f (x )取最小值时x 的取值范围； (2)若不等式f (x )≤a (x ＋1)的解集为空集，求实数a 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取等号，∴f (x )min ＝3，此时x ∈．(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x <－1，3，－1≤x <2，2x －1，x ≥2，那么函数f (x )的图象如图所示．由于y ＝a (x ＋1)的图象是过定点P (－1,0)、斜率为a 的直线，由图可得不等式f (x )≤a (x ＋1)的解集为空集时，a 的取值范围是k AC ≤a <k PB ，即a ∈上的最小值．解 (1)当a ＝1时，因为x |x －1|＋1＝x ， 所以x ＝－1或x ＝1.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋1，x ≥a ，－x 2＋ax ＋1，x <a ，(其示意图如图所示)①当0<a ≤1时，x ≥1≥a ，这时，f (x )＝x 2－ax ＋1，对称轴是x ＝a 2≤12<1，所以函数y ＝f (x )在区间上递增，f (x )min ＝f (1)＝2－a ； ②当1<a ≤2时，当x ＝a 时函数f (x )min ＝f (a )＝1；③当2<a <3时，x ≤2<a ，这时，f (x )＝－x 2＋ax ＋1，对称轴是x ＝a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，f (1)＝a ，f (2)＝2a －3.因为(2a －3)－a ＝a －3<0，所以函数f (x )min ＝f (2)＝2a －3.综上，当0<a ≤1时，f (x )min ＝2－a ；当1<a ≤2时，f (x )min ＝1；当2<a <3时，f (x )min＝2a －3.12．设函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x ≤0，g x ，x >0，其中f (x )＝ax 3－3ax ，g (x )＝12x 2－ln x ，方程F (x )＝a 2有且仅有四个解，求实数a 的取值范围．解 x ∈(0,1)时，g ′(x )＝x －1x <0，x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝x －1x>0，所以当x ＝1时，g (x )取极小值g (1)＝12.(1)当a ＝0时，方程F (x )＝a 2不可能有4个解；(2)当a <0时，因为f ′(x )＝3a (x 2－1)，若x ∈(－∞，0]时，f ′(x )＝3a (x 2－1)，当x ∈(－1,0]时，f ′(x )>0，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值f (－1)＝2a ，又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图1所示，从图象可以看出F (x )＝a 2不可能有4个解；(3)当a >0时，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，当x ∈(－1,0]时，f ′(x )<0，所以当x ＝－1时，f (x )取得极大值f (－1)＝2a ，又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图2所示，从图象看出方程F (x )＝a 2若有4个解，则12<a 2<2a ，且2a >12，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2.。

二、数形结合思想方法一 函数图象数形沟通法 模型解法函数图象数形沟通法，即通过函数图象来分析和解决函数问题的方法，对于高中数学函数贯穿始终，因此这种方法是最常用的沟通方法．破解此类题的关键点：①分析数理特征，一般解决问题时不能精确画出图象，只能通过图象的大概性质分析问题，因此需要确定能否用函数图象解决问题．②画出函数图象，画出对应的函数、转化的函数或构造函数的图象． ③数形转化，这个转化实际是借助函数图象将难以解决的数理关系明显化． ④得出结论，通过观察函数图象得出相应的结论．典例1 设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎫x －π2f ′(x )>0.则函数y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8解析 ∵当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1，f (x )是最小正周期为2π的偶函数， ∴当x ∈[－3π，3π]时，0≤f (x )≤1. ∵当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎫x －π2f ′(x )>0， ∴当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )为单调减函数；当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，f (x )为单调增函数， ∵当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1，定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝f (x )的草图如图，由图知y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为6，故选C. 答案 C思维升华 由函数图象的变换能较快画出函数图象，应该掌握平移(上下左右平移)、翻折(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转化法与函数解析式的关系．跟踪演练1 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的所有实数解之和为( ) A ．－7 B ．－6 C ．－3 D ．－1答案 A解析 因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2，如图，在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象，由图知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的实数解有7个．不妨设7个解中x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7，故选A. 方法二 几何意义数形沟通法 模型解法几何意义数形沟通法即在解决问题的过程中对题目中的一些代数式进行几何意义分析，将其转化为与几何结构相关的问题，通过解决几何问题达到解决代数问题的目的．此方法适用于难以直接解决的抽象问题，可利用图形使其直观化，再通过图形的性质快速解决问题．破解此类题的关键点：①分析特征，一般从图形结构、性质等方面分析代数式是否具有几何意义．②进行转化，把要解决的代数问题转化为几何问题．③得出结论，将几何问题得出的结论回归到代数问题中，进而得出结论．典例2 如果实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，则yx 的最大值为( )A.12B.33C.32D. 3解析 方程(x －2)2＋y 2＝3的几何意义为坐标平面上的一个圆，圆心为M (2,0)，半径为r ＝3(如图)，而y x ＝y －0x －0则表示圆M 上的点A (x ，y )与坐标原点O (0，0)的连线的斜率．所以该问题可转化为动点A 在以M (2,0)为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA 的斜率的最大值．由图可知当∠OAM 在第一象限，且直线OA 与圆M 相切时，OA 的斜率最大， 此时OM ＝2，AM ＝3，OA ⊥AM ，则OA ＝OM 2－AM 2＝1，tan ∠AOM ＝AM OA ＝3，故yx的最大值为3，故选D. 答案 D思维升华 解决此类问题需熟悉几何结构的代数形式，一般从构成几何图形的基本因素进行分析，主要有(1)比值——可考虑直线的斜率． (2)二元一次式——可考虑直线的截距． (3)根式分式——可考虑点到直线的距离． (4)根式——可考虑两点间的距离．跟踪演练2 设点P (x ，y )满足：{ x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，x ≥1，y ≥1，则y x －xy的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞B.⎣⎡⎦⎤－32，32 C.⎣⎡⎦⎤－32，1 D ．[－1,1] 答案 B解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，x ≥1，y ≥1所表示的可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，其中A (2,1)，B (1,2)，令t ＝y x ，f (t )＝t －1t ，根据t 的几何意义可知，t 为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连接OA ，OB ，显然OA 的斜率12最小，OB 的斜率2最大，即12≤t ≤2.由于函数f (t )＝t －1t 在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增，故－32≤f (t )≤32，即y x －xy的取值范围是⎣⎡⎦⎤－32，32.方法三 圆锥曲线数形沟通法 模型解法圆锥曲线数形沟通法是根据圆锥曲线中许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合思想，快速解决某些相应的问题．破解此类题的关键点：①画出图形，画出满足题设条件的圆锥曲线的图形，以及相应的线段、直线等．②数形求解，通过数形结合，利用圆锥曲线的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆与圆锥曲线的位置关系等进行分析与求解．③得出结论，结合题目条件进行分析，得出所要求解的结论．典例3 已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，－1 B.⎝⎛⎭⎫14，1 C ．(1,2)D ．(1，－2)解析 点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离，如图所示，设焦点为F ，过点P 作准线的垂线，垂足为S ，则|PF |＋|PQ |＝|PS |＋|PQ |，故当S ，P ，Q 三点共线时取得最小值，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，设点P 的横坐标为x 0，代入y 2＝4x 得x 0＝14，故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，－1，故选A. 答案 A思维升华 破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数和形的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息进行研究．直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论．跟踪演练3 已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－2，12解析 因为(－2)2<8×4，所以点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图所示，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ ，由抛物线的定义可知，△APF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PQ |＋|P A |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |.因为A (－2,4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12，故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2，12.。