2015届高考数学专题讲解与精炼：第二章函数与基本初等函数3、二次函数与幂函数(pdf版,含详解)

有关二次函数的问题，数形结 合，密切联系图像是探求解题 思路的有效方法．用函数思想 研究方程、不等式(尤其是恒成 立)问题是高考命题的热点．
题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]． (1)当 a＝－1 时，求函数 f(x)的最大值和最小值； (2)求实数 a 的取值范围，使 y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
(1)当 a＝－2 时， 求 f(x)的最值； 即 a≤－6 或 a≥4.
2 (3) 当 a ＝ 1 时， f ( x ) ＝ x ＋2x＋3， (2)求实数 a 的取值范围，使 y ∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3， 此时定义域 ＝ f(x) 在区间 [ － 4,6] 上是单调 为 x∈[ －6,6] ， 且 f(x)＝ 函数； 2 x ＋2x＋3，x∈0，6] (3)当 a＝1 时，求 f(|x|)的单调 2 ， x － 2 x ＋ 3 ， x ∈ [ － 6 ， 0] 区间． ∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，
(2)构造函数 y＝ x ，利用函数单调性求 m 范围．
1 2
题型分类·深度剖析
题型三
解析
幂函数的图像和性质
2
【例 3】 (1)已知幂函数 f ( x) (n2 2n 2) xn 3n (n∈Z)的图像关于 y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则 n 的值为 ( ) 解得 n＝1 或 n＝－ 3，经检验只有 n＝1 适合题意，故选 B. 1 A ．－ 3 C． D．1 或 2 2 1的定义域为 (2) 因为函数 y＝B． [02 ，＋∞)，且在定义域内为增函数，
所以－a≤－5 或－a≥5，即 a≤－5 或 a≥5.
故 a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．

第十七页，编辑于星期五：十二点 三十一分。
C 聚焦考向透析
考向二 求二次函数解析式
例题精编
审题视点 典例精讲 类题通法
变式训练
已知二次函数 f(x)有两个零 点 0 和－2，且它有最小值－1. (1)求 f(x)解析式；
对于(1)，可设二次函数的零点式，再结合最值 求出系数 a 即得； 对于(2)，可通过图象上点的对应关系求 g(x)解 析式．
(2)若 g(x)与 f(x)图象关于原点对 称，求 g(x)解析式．
第十八页，编辑于星期五：十二点 三十一分。
C 聚焦考向透析
考向二 求二次函数解析式
例题精编
审题视点 典例精讲 类题通法
变式训练
已知二次函数 f(x)有两个零 点 0 和－2，且它有最小值－1. (1)求 f(x)解析式； (2)若 g(x)与 f(x)图象关于原点对 称，求 g(x)解析式．
(1)由于 f(x)有两个零点 0 和－2，
所以可设 f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，
这时 f(x)＝ax(x＋2)＝a(x＋1)2－a，
由于 f(x)有最小值－1，
a＞0
所以必有
，解得 a＝1.
－a＝－1
因此 f(x)的解析式是 f(x)＝x(x＋2)＝x2＋2x.
第十九页，编辑于星期五：十二点 三十一分。
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
利用幂函数图象结合指数的奇偶性解 答．
第十二页，编辑于星期五：十二点 三十一分。
C 聚焦考向透析
考 向 一 幂函数图象性质及应用
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
(1) 分别作出 f(x)，g(x)，h(x)的图象，如图所示．
可知 h(x)＞g(x)＞f(x)．

第四十四页，编辑于星期五：十一点 三十三分。
课时作业（十一）
第四十五页，编辑于星期五：十一点 三十三分。
第十七页，编辑于星期五：十一点 三十三分。
思考题 1 如图是幂函数 y＝xm 和 y＝xn 在第一象限内的图 像，则( )
A．－1<n<0<m<1 B．n<－1,0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1
第十八页，编辑于星期五：十一点 三十三分。
【解析】 借助 y＝x，y＝x－1 的图像易知，－1<n<0,0<m<1， 故选 A.
第九页，编辑于星期五：十一点 三十三分。
3．下列四个数中最大的是( )
A．(ln 2)2
B．ln(ln 2)
C．ln 2
D．ln 2
答案 D
解析 0<ln2<1,0<(ln2)2<ln2<1，ln(ln2)<0， ln 2＝12ln2<ln2.
第十页，编辑于星期五：十一点 三十三分。
4．若偶函数 f(x)在(－∞，0)上单调递减，则不等式 f(－
1)<f(lgx)的解集是( )
A．(0,10)
B．(110，10)
C．(110，＋∞)
D．(0，110)∪(10，＋∞)
答案 D
第十一页，编辑于星期五：十一点 三十三分。
5．函数
的图像可能是( )
第十二页，编辑于星期五：十一点 三十三分。
答案 C
第十三页，编辑于星期五：十一点 三十三分。
第十四页，编辑于星期五：十一点 三十三分。
第四十一页，编辑于星期五：十一点 三十三分。

b -4ac < 0.
2
a < 0,
(2)ax +bx+c<0,a≠0 恒成立的充要条件是 2
b -4ac < 0.
2
基础梳理
自我检测
第六页，编辑于星期五：九点 三十九分。
第6讲 二次函数、幂函数
基础梳理
1
考纲考向
2
3
考点基础
考点基础
重点难点
随堂演练
4
3.幂函数的概念
一般地,形如 y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中 α 为常数.
(1)在研究一元二次方程根的分布问题时,常借助于二次函数的图象数形结
合来解,一般从①开口方向,②对称轴位置,③判别式,④端点函数值符号这四个
方面分析.
(2)在研究一元二次不等式的有关问题时,一般需借助于二次函数的图象、
性质求解.
2.与二次函数有关的简单的不等式恒成立问题.
a > 0,
(1)ax +bx+c>0,a≠0 恒成立的充要条件是 2
基础梳理
自我检测
第十一页，编辑于星期五：九点 三十九分。
12
第6讲 二次函数、幂函数
自我检测
1-2
考纲考向
3
考点基础
考点基础
重点难点
随堂演练
4-5
1
2
3.下图中曲线是幂函数 y=xn 在第一象限的图象.已知 n 取±2,± 四个值,则相
应于曲线 C1,C2,C3,C4 的 n 值依次为(
1 1
2 2
4a + 2b + c = -1,
a = -4,
a-b + c = -1, 解得 b = 4,

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1.二次函数的定义与解析式 (1)定义
2 函数 y＝ax ＋bx＋c(a≠0)
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4．常用幂函数的图象与性质
性质 y ＝x 函数 特征 定义域 值域 奇偶性 R R 奇
y＝x2 R [0，＋∞) 偶
y＝x3 R R 奇
y＝x－1 (－∞，0)∪ [0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0)∪ [0，＋∞) (0，＋∞) 非奇非偶 奇
考点
考纲要求
考查角度
结合五种基本幂函 求幂函数的解析式；研究幂函 幂函 数的图象，了解其 数的性质、复合函数的性质； 数 变化情况；了解与 图象的判断 指数函数的区别 掌握二次函数的图 象及性质；通过“ 二次 三个二次”掌握函 函数 数、方程、不等式 间的关系 求解析式；求单调区间；求最 值或区间最值；通过图象考查 系数对图象的影响；利用含参 数不成立、恒成立的式子，求 参数的范围；根的分布
增 (1,1) (0,0)
增
(1,1) (0,0)
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3．幂函数的概念

B．①④
C．②③
[解析] 因为图象与 x 轴交于两点，所以 b2－ 4ac>0，即 b2>4ac，①正确；对称轴为 x＝－1，即－ 2ba＝－1,2a－b＝0，②错误；
结合图象，当 x＝－1 时，y>0，即 a－b＋c>0， ③错误；
由对称轴为 x＝－1 知，b＝2a.又函数图象开口 向下，所以 a<0，所以 5a<2a，即 5a<b，④正确．
解析：∵a>b>c，且a＋b＋c＝0， ∴a>0，c<0. 答案：D
2．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，如果f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，则f(x1＋
x2)＝( )
A．－2ba
B．－ba
C．c
4ac－b2 D. 4a
解析：由题意得：a≠0，x1，x2关于x＝－2ba对称，
所以x1＋2 x2＝－2ba，x1＋x2＝－ba.
• 怎样求二次函数的解析式？
• 根据已知条件确定二次函数的解析式，一 般用待定系数法，二次函数三种表示形式 的选择规律如下
• (1)若已知函数图象上任意三个点的坐标， 宜选用一般式；
• (2)若已知顶点坐标、对称轴或最大(小)值 ，宜选用顶点式；
• 1．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且 a＋b＋c＝0，则它的图象可能是( )
• (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)
• (2)顶点式：
，其中(h，k)为
抛物线的顶f(x)＝点a(x坐－x1标)(x－．x2)(a≠0)
• (3)两根式：
．
• 3．二次函数的图象与性质
• ____________________[通关方略 ]____________________

[例 1] (2014·郑州模拟)设 abc＞0，二次函数 ) f(x)＝ax2＋ bx＋ c 的图象可能是(
b 【解析】 A 项，∵a＜0，－ ＜0，∴b＜0.又∵abc＞0，∴c＞0，由图知 f(0)＝c＜0， 2a b 故 A 错；B 项，∵a＜0，－ ＞0，∴b＞0，又∵abc＞0，∴c＜0，而 f(0)＝c＞0，故 B 2a b 错；C 项，∵a＞0，－ ＜0，∴b＞0，又∵abc＞0，∴c＞0，而 f(0)＝c＜0，故 C 错； 2a b D 项，∵a＞0，－ ＞0，∴b＜0，又∵abc＞0，∴c＜0，由图知 f(0)＝c＜0，故选 D. 2a
【考情分析】
高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低，且多以 选择题形式出现，难度偏大，属中高档题．
【命题角度】
高考对二次函数图象与性质的考查主要有以下几个命题角度： (1)二次函数图象的识别问题；
(2)二次函数的最值问题；
(3)二次函数图象与其他图象有公共点问题．
高频考点全通关——二次函数图象与性质的应用 闯关二：典题针对讲解——二次函数图象的识别问题
【答案】
D
高频考点全通关——二次函数图象与性质的应用
闯关二：典题针对讲解——二次函数的最值问题
[例 2] (2013·辽宁高考 )已知函数 f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－ x2＋ 2(a － 2)x － a2 ＋ 8. 设 H1(x) ＝ max{f(x) ， g(x)} ， H2(x) ＝ min{f(x) ， g(x)}(max{p， q} 表示 p，q 中的较大值， min{p，q}表示 p， q 中的较小 值)．记 H1(x)的最小值为 A， H2(x)的最大值为 B，则 A－B＝( A．a2－2a－ 16 B．a2＋ 2a－16 C．－ 16 ) D． 16

基础梳理
课 时 训考练点 突 破
1．已知函数 f(x)＝ax2＋x＋5 的图象均在 x 轴上方，则 a
的取值范围是( )
A.0，210 C.210，＋∞
B.－∞，－210 D.－210，0
数学 第十人页，教编A辑于版星期·五理：十科三点 四(A十三H分)。
基础梳理
课 时 训考练点 突 破
解析：由于 f(x)的图象均在 x 轴上方，则 f(x)>0 恒成立， 故有aΔ>＝0，1－20a<0， ∴a>210，故选 C.
基础梳理
课 时 训考练点 突 破
第6节 二次函数与幂函数
数学 第一人页，教编A辑于版星期·五理：十科三点 四(A十三H分)。
基础梳理
课 时 训考练点 突 破
基础梳理
数学 第二人页，教编A辑于版星期·五理：十科三点 四(A十三H分)。
基础梳理
课 时 训考练点 突 破
1．二次函数 (1)定义 函数__y_＝__a_x_2＋__b_x_＋__c_(a_≠__0_) ____叫做二次函数． (2)表示形式 ①一般式：y＝____ax_2_＋__b_x_＋__c(_a_≠__0)_____； ②顶点式：y＝__a_(x_－__h_)_2＋__k_(_a_≠_0_)_，其中_(_h_，_k_)_为抛物 线顶点坐标； ③零点式：y＝_a_(_x－__x_1_)(_x_－__x_2)_(_a≠__0_) ___，其中x1、x2是 抛物线与x轴交点的横坐标．
数学 第二人十一教页A，编版辑于·星理期五科：十三(点A四H十)三分。
基础梳理
课 时 训考练点 突 破
即时突破1 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]． (1)当a＝－2时，求f(x)的最值； (2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单 调函数． 解：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， 由于x∈[－4,6]， ∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6])＝15， 故f(x)的最大值是35.

第二十七页，编辑于星期五：十一点 五十五分。
变式训练 3 若 a＜0，则下列不等式成立的是( )
A．2a＞12a＞(0.2)a
B．(0.2)a＞12a＞2a
C.12a＞(0.2)a＞2a
D．2a＞(0.2)a＞12a
【解析】 ∵a＜0，∴y＝xa 在(0，＋∞)上是减函数， ∴0.2a＞12a＞2a，故选 B. 【答案】 B
第四节 二次函数与幂函数
考纲传真 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数 y＝x，y ＝x2，y＝x3，y＝x ，y＝1x的图象，了解它们的变化情况.2.理 解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之 间的关系解决简单问题．
第一页，编辑于星期五：十一点 五十五分。
1．二次函数 (1)二次函数的三种形式 一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c (a≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k) ； 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2 为 f(x)的零 点．
第十五页，编辑于星期五：十一点 五十五分。
变式训练 1 已知函数 f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若 f(x)在区间[2,3]上有最大值 5，最小值 2.
(1)求 a，b 的值； (2)若 b<1，g(x)＝f(x)－m·x 在[2,4]上单调，求 m 的取值 范围．
第十六页，编辑于星期五：十一点 五十五分。
【解】 (1)f(x)＝ax2－2ax＋2＋b＝a(x－1)2＋2＋b－a， 若 a>0，则 f(x)在区间[2,3]上是增函数．
则有ff23＝ ＝23＋ a＋b＝2＋2， b＝5， 解得ab＝＝10.， 若 a<0，则 f(x)在区间[2,3]上是减函数， 则有ff23＝ ＝23＋ a＋b＝2＋5， b＝2， 解得ab＝＝－3，1. 综上可知，a＝1，b＝0 或 a＝－1，b＝3.

一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的 作用。 ②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性， 掌握函数图像通过的特殊点。 ③了解指数函数 y ax 与对数函数 y log a x 互为反函数（a>0，a≠1）。 ④知道指数函数是一类重要的函数数模型.
（3）导数在研究函数中的应用 ①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调 性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）。
考查函数的对称性和导数的应用
ff((1)1)f(f(5)3)ba185
相切
(2014 理 3 文 5).设函数 f (x) ，g(x) 的定义域都为 R，且 f (x) 时奇函数，
g(x) 是偶函数，则下列结论正确的是
C
A . f (x) g(x) 是偶函数 B .| f (x) | g(x) 是奇函数
2013 年 12.分段函数 20. 函数导数应用
2014 年 5. .函数的奇偶性 12. 导数的应用 21. 函数导数应用（三项式分解因式、讨论）
（2011 理 2 文 3）下列函数中，既是偶函数又在 (0,)
单调递增的函数是 考查函数的性质：奇偶性，单调性
（A）y x2 (B) y x 1 （C）y x2 1 (D) y 2 x
考查指对数函数图像：临界点+分类+ a对对数图像影响
（2012 文科）(16)设函数 f (x) =(x+1x)22++1sinx的最大值为 M，
最小值为 m，则 M+m=_2___ 考查函数的最值
单一求导确定单调区间再求最值难
f(x)x22x1sixn 12xsixn
x21
x21
转成奇函数