广东省深圳市宝安区2019届高三9月调研考试数学文试题(WORD版)

广东省深圳市宝安区2015届高三9月调研测试数学（文）试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合},,,{},,{dcbBbaA==，则（）.A. B. C. D.2.若向量，，则实数的值为（）。

A. B. C. D.3.已知为虚数单位，则（）.A. B. C. D.4.如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形.如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（）.A. B.C. D.5.已知变量满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥,0,2,1yxyx则的最小值是（）.A. B. C. D.6.给出下列函数①；②；③；④.其中是偶函数的有（）.A.1个B.2个C.3个D.4个7.交通管理部门为了了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（）.A.101B.808C.1212D.20128.已知在中，则此三角形为（）.A. 直角三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形9. 设是直线，为两个不同的平面（）.A.若则B.若则；C.若则；D. 若则.10.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）.A. B. C. D.二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11. 函数的定义域是____________.12.曲线在点处的切线方程为______________.13.等比数列的前项和为，且成等差数列.若则_______.（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系中，圆C的参数方程为（为参数），则坐标原点到该圆的圆心的距离为________.15.（几何证明选讲选做题）已知圆的直径AB=13，C 为圆上一点，过C 作CD ⊥AB 于D(AB>BD)，若CD=6，则AD 的长为_________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本题满分12分）设函数π()sin(2),.4f x x x =+∈R(1)求；（2）若为锐角，且求的值.17（本题满分12分）对一批共50件的某电器进行分类检测，其重量（克）统计如下：重量段 件数515规定重量在82克及以下的为“A”型，重量在85及以上为“B”型.已知该批电器有“A”型的2件.(1)从该批电器中任选1件，求其为“B”型的概率；（2）从重量在的5件电器中，任选2件，求其中恰有1件为“A”型的概率.18.( 本题满分14分）三棱锥中，90,2,SAB SAC ACB AC BC SB ∠=∠=∠====（1）证明：；（2）求三棱锥的体积.19.(本题满分14分） 数列的前项和为，且111,21(),n n a a S n *+==+∈N数列为等差数列，且 (1)求数列的通项公式；（2）对于任意的1,()2n nn S k b *∈+⋅≥N 恒成立，求实数的取值范围.20.(本题满分14分）设动点到定点的距离与它到直线的距离相等，（1）求动点的轨迹的方程；（2）过的直线与轨迹交于两点，又过作轨迹的切线，当时，求直线的方程.21.(本题满分14分）已知函数的图像过点.(1)求的解析式；（2）若为实数）恒成立，求的取值范围；（3）当时，讨论221()()2x mF x f x xm+=+-在区间上极值点的个数.参考答案一、选择题（每题5分，共50分）填空题（每题5分，共40分） 11、（-∞，0）∪（2，+∞）12、【答案】x y e e k xe e y x x ==+=+=切线方程为,10,00/ 13、解析： 4，2，成等差数列，22132111444,44,440,215a a a a a q a q q q q ∴+=+=∴-+=∴==即，S ,(坐标系与参数方程) 2 15、(几何证明选讲选做题) 916、（本小题满分12分）解（1）12sin )482sin()8(==+⋅=ππππf …… 4分(2))2sin(4)82(2sin )82(πθππθπθ+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+f …… 5分 …… 6分54c o s 1s i n 2=-=∴θθθ是锐角 …… 8分4sinsin 4cos cos )4cos(πθπθπθ-=+∴ …… 10分10222532254=⨯-⨯=…… 12分17、解 (Ⅰ)设“从该批电器中任选1件，其为”B”型”为事件， ………1分 则 ……………………………3分所以从该批电器中任选1件，求其为”B”型的概率为. ……………………4分(Ⅱ)设“从重量在[80,85)的5件电器中，任选2件电器，求其中恰有1件为”A”型”为事件,记这5件电器分别为a ，b ，c ，d ，e ，其中”A”型为a ，b.从中任选2件，所有可能的情况为ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共10种． ………………8分其中恰有1件为”A”型的情况有ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，共6种．……10分 所以.所以从重量在[80,85)的5件电器中，任选2件电器，其中恰有1件为”A”型的概率为35. (12)分18、解（1）证明：90SAB SAC ∠=∠=︒∴,,SA AB SA AC AB AC A ⊥⊥=又…………4分 所以 …………5分 又，所以∴ …………7分∴ ……………………………………8分（2）在中，,13,2,90===∠BC AC ACB所以, ……10分 又 在中，29,17,==⊥SB AB AB SA ，所以 ……12分又所以339232)13221(31V ABC S =⨯⨯⨯⨯=-………14分 19、解（Ⅰ）因为*121()n n a S n N +=+∈···○1所以时，···○2○1○2得又因为，所以，所以 ，所以，所以3(3)336n b n n =+-⨯=-（Ⅱ）1(1)13311132n n n n a q S q ---===-- 所以对恒成立，即对恒成立令，112327333n n n n n n n n c c -----+-=-=当时，；当时，，所以所以20、解（Ⅰ）依题意，到距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛 物线…………………..2分曲线方程是……………………………………………..4分 （Ⅱ）显然直线的斜率存在，设直线的方程为： 设，因为，故两切线的斜率分别为…………………10分 由方程组 得所以 ………………………………………12分 当时，，，所以所以，直线的方程是 ………………………………14分 21.解 （Ⅰ）函数的图象过定点（1，0），………………………1分 把点（1，0）代入得，所以，………………………………………………………………2分 （Ⅱ）恒成立，即恒成立，得，因为，所以，………………………………………………………………3分令()2ln ,'()2(ln 1)h x x x h x x ==+，…………………………………………………4分 当时，，所以在为减函数；…………………………5分 当时，，所以在为增函数；…………………… 6分 的最小值为，故；……………………7分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，所以221()ln(0)2x mF x x x xm+=+->所以21()()11'()x m xm m F x xx m x--+=+-=又，由得，，．……………………9分（1）当时，得，，在（0，2）为增函数，无极值点.…10分（2）当⎪⎩⎪⎨⎧<<<<212mm且时，得且，根据的变化情况检验，可知有2个极值点； (12)分（3）当⎪⎩⎪⎨⎧≥<<212mm或⎪⎩⎪⎨⎧<<≥212mm时，得或时，根据的变化情况检验，可知有1个极值点；……………………13分综上，当时，函数在（0，2）无极值点；当或时，有1个极值点；当且时，有2个极值点．……………………14分。

绝密★启用前 试卷类型：（A ）深圳市2019年高三年级第一次调研考试数 学（文科） 2019．2本试卷共6页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液． 不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答． 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|12}A x x =-≤≤，{1,2,3}B =，则A B =2．设22i1iz -=+，则||z = 3．在平面直角坐标系xOy 中，设角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α终边过点(2,1)P -，则sin(π2)α-的值为（A ）{1} （B ）{2}（C ）{1,2}（D ）{1,2,3}（A（B ）2（C（D ）34．设x ，y 满足约束条件030426x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最大值为5．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，在区间(,0]-∞为增函数，且(3)0f =，则不等式(12)0f x ->的解集为6．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的 几何体的三视图，则该几何体的体积为72，则该圆锥的外接球表面积为 （A ）25π4（B ）16π （C ）25π （D ）32π8．古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：（1）取线段2AB =，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取112BC AB ==，连接AC ；（2）以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；（3）以A 为圆心，以AD为半径画弧，交AB 于点E ． 点E 即为线段AB 的黄金分割点．若在线段AB 上 随机取一点F ，则使得BE AF AE ≤≤的概率约为2.236≈）（A ）0.236 （B ）0.382 （C ）0.472 （D ）0.618（A ） 45-（B ）35-（C ）35（D ）45（A ）7（B ）9（C ）13（D ）15（A ）(1,0)-（B ）(1,2)-（C ）(0,2)（D ）(2,)+∞（A ）64 （B ）68 （C ）80 （D ）109第（8）题图EDCB9．已知直线π6x =是函数()sin(2)f x x ϕ=+π(||)2ϕ<图象的一条对称轴，为了得到函数()y f x =的图象，可把函数sin 2y x =的图象10．在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，BC =，1CC =M 为1AA 的中点，则异面直线AC 与1B M 所成角的余弦值为 11．已知1F ，2F 是椭圆12222=+by a x （0a b >>）的左，右焦点，过2F 的直线与椭圆交于P ，Q 两点，若1PF PQ ⊥且112QF PF =，则21F PF ∆与21F QF ∆的面积之比为12．已知函数ln ,0,()1,0,x x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩若12x x ≠且12()()f x f x =，则12||x x -的最大值为（A ）1（B（C ）2（D）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分． 第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答． 第22～23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．曲线1e xy x=-在点()1(1)f ，处的切线的斜率为 ． 14．已知平面向量a ,b 满足||2=a ，||4=b，|2|+=a b 则a 与b 的夹角为 ． 15．已知1F ，2F 是双曲线的两个焦点，以线段12F F 为直径的圆与双曲线的两条渐近线交于,,,A B C D 四个点，若这四个点与1F ，2F 两点恰好是一个正六边形的顶点，则该双曲线的离心率为 ．16．在ABC ∆中，︒=∠150ABC ，D 是线段AC 上的点，︒=∠30DBC ，若ABC ∆的面（A ）向左平行移动π6个单位长度 （B ）向右平行移动π6个单位长度 （C ）向左平行移动π12个单位长度 （D ）向右平行移动π12个单位长度 （A ）6（B ）23（C ）34（D）3（A ）2- （B1（C ）（D）BD 取到最大值时，=AC ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和． 已知14a =，公差0d >，4a 是2a 与8a 的等比中项．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列1{}nS 前n 项和为n T ．18．（本小题满分12分）工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y 进行检测，一共抽取了48件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y指标Y 的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标Y 都在[]9.8, 10.2内的概率；（3）已知该厂产品的维护费用为300元/次．工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用．假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？19．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，PD DC =，AD PC ⊥．（1）求证：AC AP =；（2）若平面APD ⊥平面ABCD ，120ADC ∠=︒，4AD DC ==，求点B 到平面PAC 的距离．20．（本小题满分12分）设抛物线C ：24y x =，直线:l 20x my --=与C 交于A ，B 两点．（1）若AB =，求直线l 的方程；（2）点M 为AB 的中点，过点M 作直线MN 与y 轴垂直，垂足为N ，求证：以MN 为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标．21．（本小题满分12分）已知函数()()2e 2xf x ax x =+--， 其中2a >-．（1）当0a =时，求函数()f x 在[]1,0-上的最大值和最小值；（2）若函数()f x 为R 上的单调函数，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+-=,sin ,cos 2ααt y t x （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=，直线l 与曲线C 交于A ，B 两个不同的点． （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）若点P 为直线l 与x 轴的交点，求2211PBPA+的取值范围．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数21)(-++=x x x f ，1)(2++-=mx x x g ．（1）当4-=m 时，求不等式)()(x g x f <的解集；（2）若不等式)()(x g x f <在12,2--［］上恒成立，求m 的取值范围．深圳市2019年高三年级第一次调研考试 文科数学试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷一．选择题（1） C （2） B （3） A （4） C （5） B （6） A （7） C （8） A （9） C（10）B （11）D （12）C12【解析】不妨设21x x <，由12()()f x f x =，要使12||x x -最大，即转化为求()12max x x -， 问题可转化为（如图所示）11(,)A x y 到1(0)y x x =+<距离的最大值问题． 此时需过A 点的切线与1y x =+平行．当0x >时，()ln 1f x x '=+，令()1f x '=，则11x =，(1,0)A ，21x =- 所以12||x x -的最大值为2．二．填空题：13．e 1+14．60︒ 15．2 16．16【解析】由题意可知 11sin15024ABC S ac ac ∆=︒==ac =．设BD x =，则14BCD ABD S S ax ∆∆+==可得x =，当且仅当a =时x 取到最大值，所以a =2c =，由余弦定理可得b = 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知14a =，公差0d >，4a 是2a 与8a 的等比中项．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列1{}nS 前n 项和为n T ． 【解析】（1）∵2a ，4a ，8a 成等比数列， ∴2428a a a =，∴2111(3)()(7)a d a d a d +=++， ……………………………………2分 ∴2(43)(4)(47)d d d +=++，解得4d =或0d =， ∵0d >，∴4d =． ………………………………………………………4分 ∴数列{}n a 的通项公式1(1)4()n a a n d n n *=+-=∈N ． …………………6分（2）∵21()222n n n a a S n n +==+， …………………………………………8分 ∴211111()2221n S n n n n ==-++， ………………………………………10分∴12111......nn T S S S =+++ 111111111()()()(1)21223121n n n ⎡⎤=-+-++-=-⎢⎥++⎣⎦． ……………12分 【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式、前n 项和公式、等比中项、裂项相消求和法等知识与技能，重点考查方程思想，考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养．18．（本小题满分12分）工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y 进行检测，一共抽取了48件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y 的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标Y 都在[]9.8, 10.2内的概率；（3）已知该厂产品的维护费用为300元/次．工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用．假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？【解析】（1） 指标Y 的平均值132=9.6+10+10.410.07666⨯⨯⨯≈．……………2分 （2）由分层抽样法知，先抽取的6件产品中，指标Y 在[]9.8,10.2内的有3件，记为123A A A 、、；指标Y 在(]10.2,10.6内的有2件，记为12B B 、；指标Y 在[)9.4,9.8内的有1件，记为C ． …………………3分从6件产品中随机抽取2件产品，共有基本事件15个：()()()121311A A A A A B ,、,、,、()()121A B A C ,、,、()()()()2321222,,,,A A A B A B A C 、、、、()()()31323,,,A B A B A C 、、、 ()()()1212,,,B B B C B C 、、． …………………5分其中，指标Y 都在[]9.8,10.2内的基本事件有3个：()()()121323,A A A A A A ,、,、．…………………6分所以由古典概型可知，2件产品的指标Y 都在[]9.8,10.2内的概率为31155P ==． …………………7分（3）不妨设每件产品的售价为x 元，假设这48件样品每件都不购买该服务，则购买支出为48x 元．其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件，有8件产品一年内的维护费用为600元/件，此时平均每件产品的消费费用为()1=4816300+8600=20048x x η⨯+⨯⨯+元； …………………9分 假设为这48件产品每件产品都购买该项服务，则购买支出为()48100x +元，一年内只有8件产品要花费维护，需支出8300=2400⨯元，平均每件产品的消费费用()1=48100+830015048x x ξ⨯+⨯=+⎡⎤⎣⎦元．…………………11分 所以该服务值得消费者购买． …………………12分【命题意图】本题主要考查通过用样本估计总体（平均数）、古典概型、概率决策等知识点，重点体现数学运算、数据分析等数学核心素养．19．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，PD DC =，AD PC ⊥．（1）求证：AC AP =；（2）若平面APD ⊥平面ABCD ，120ADC ∠=︒，4AD DC ==，求点B 到平面PAC 的距离．【解析】（1）证明：取PC 中点M ，连接AM ，DM ，……1分PD DC =，且M 为PC 中点，∴DM PC ⊥， ………………………………2分AD PC ⊥，ADDM D =， …………………3分∴PC⊥平面ADM ， ………………………………4分AM ⊂平面ADM ，∴PC AM ⊥， ……………………………………5分M 为PC 中点，∴AC PA =． ……………………………………6分（2）过点P 作PH 垂直AD 延长线于点H ，连接CH ， ……………………7分 平面APD ⊥平面ABCD ，平面APD平面ABCD AD =，PH ⊂平面APD ，PH ⊥AD ，∴PH ⊥平面ABCD ，……………………………8分CH ⊂平面ABCD ，∴PH ⊥CH ， ………………………………9分PD DC =，AD AD =，AC AP =，∴ADP ADC ∆≅∆， ∴120ADC ADP ∠=∠=︒，∴4PD CD AD ===，AC AP ==PH CH ==PC =…………………10分设B h 为点B 到平面PAC 的距离， 由于P ABC B ACP V V --=，可得1133ABC ACP B S PH S h ∆∆⋅=⋅，1442ABC S ∆=⨯⨯=12ACP S ∆=⨯= …………………………………………11分所以B h =．即点B 到平面PAC ．…………………………………………12分 【命题意图】本题主要考查了线面垂直的判定定理、线面垂直的定义、面面垂直的性质、等体积法求点到面的距离等知识，重点考查等价转换思想，体现了直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养．20．（本小题满分12分）设抛物线C ：24y x =，直线:l 20x my --=与C 交于A ，B 两点．（1）若AB =，求直线l 的方程；（2）点M 为AB 的中点，过点M 作直线MN 与y 轴垂直，垂足为N ，求证：以MN 为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标．【解析】（1）由22,4,x my y x =+⎧⎨=⎩消去x 并整理，得2480y my --=，……………1分显然216320m ∆=+>，设),(11y x A ，),(22y x B ，由韦达定理可得，124y y m +=，821-=⋅y y ，…………………………………3分12AB y y =-=AB ∴== ………………………………………4分 24m ∴=-（舍去）或21m =，1m ∴=±，∴直线方程为02=--y x 或02=-+y x ． ………………………………5分（2）设AB 的中点M 的坐标为),(M M y x ，则1222M y y y m +==， 又21212()444x x m y y m +=++=+，212222M x x x m +∴==+， ……………………………………………………6分 2(22,2)M m m ∴+，由题意可得(0,2)N m ， …………………………………7分设以MN 为直径的圆经过点),(00y x P则200(22,2)PM m x m y =+--，00(,2)PN x m y =--，…………………8分 由题意可得，0=⋅PN PM ，即22200000(42)420x m y m x y x --++-=， ………………………………9分由题意可知00220004204020x y x y x ⎧-=⎪=⎨⎪+-=⎩，，，……………………………………………10分 20=∴x ，00=y ， …………………………………………………11分∴定点)0,2(即为所求． ………………………………………………………12分【命题意图】本题主要考查抛物线方程、直线与抛物线位置关系、弦长公式、定点问题等知识，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、数学建模、逻辑推理等数学核心素养． 21．（本小题满分12分）已知函数()()2e 2xf x ax x =+--， 其中2a >-．（1）当0a =时，求函数()f x 在[]1,0-上的最大值和最小值；（2）若函数()f x 为R 上的单调函数，求实数a 的取值范围．【解析】（1）当0a =时，()=2e 2x f x x --，()=2e 1x f x '-．………………1分 由()0f x '>解得ln 2x >-，由()0f x '<解得ln 2x <-．故函数()f x 在区间[]1,ln 2--上单减，在区间[]ln2,0-上单增． …………2分 ∴ ()min ()ln 2ln 21f x f =-=-． ……………………3分 ∵2(1)=10ef --<，(0)=0f ， ∴ max ()(0)0f x f ==． ……………………………………4分 （2）法一： 令()()()2e 1xg x f x ax a '==++-，则()()22e xg x ax a '=++．（i ）当=0a 时，由（1）知，与题意不符； …………………5分 （ii ）当0a >时，由2()0 2g x x a ⎛⎫'>⇒>-+⎪⎝⎭，2()0 2g x x a ⎛⎫'<⇒<-+ ⎪⎝⎭． ∴ 22min 2()=g 2=e 10a g x a a --⎛⎫----< ⎪⎝⎭，∵ (0)=+10g a >，∴ 此时函数()f x '存在异号零点，与题意不符． ……………………6分 （iii ）当20a -<<时，由()0 g x '>，可得2 2x a ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭， 由()0 g x '<可得22x a ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭． ∴()g x 在2,2a ⎛⎫-∞--⎪⎝⎭上单调递增，在22+a ⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭，上单调递减．故22max 2()=g 2=e 1a g x a a --⎛⎫---- ⎪⎝⎭． ……………………7分由题意知，22e 10aa ----≤恒成立． ……………………8分令22t a --=，则上述不等式等价于e 12t t≤+，其中1t >-．……………9分 易证，当0t >时，e 112ttt >+>+， 又由（1）的结论知，当(]10t ∈-，时，e 12tt≤+成立． …………………11分 由2120a-<--≤，解得21a -<≤-． 综上，当21a -<≤-时，函数()f x 为R 上的单调函数，且单调递减． …12分（2）法二：因为2(1)10ef '-=-<，所以函数()f x 不可能在R 上单调递增．…6分 所以，若函数()f x 为R 上单调函数，则必是单调递减函数，即()0f x '≤恒成立． 由(0)10f a '=+≤可得1a ≤-，故()0f x '≤恒成立的必要条件为21a -<≤-． ……………………………7分 令()()()2e 1xg x f x ax a '==++-，则()()22e xg x ax a '=++．当21a -<≤-时，由()0 g x '>，可得2 2x a ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭， 由()0 g x '<可得22x a ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭， ∴()g x 在2,2a ⎛⎫-∞--⎪⎝⎭上单调递增，在22+a ⎛⎫--∞⎪⎝⎭，上单调递减． 故22max 2()=g 2=e1ag x a a --⎛⎫---- ⎪⎝⎭． ………………………………………9分 22()=e1ah a a ----令，下证：当21a -<≤-时，22()=e10ah a a ----≤．即证221eaa--≤-．令22t a --=，其中(]1,0t ∈-，则112t a -=+．则原式等价于证明：当(]1,0t ∈-时，e 12tt≤+． ……………………11分 由（1）的结论知，显然成立．综上，当21a -<≤-时，函数()f x 为R 上的单调函数，且单调递减． ………12分 【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，以及不等式恒成立问题，重点考查分类讨论、化归转化等数学思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+-=,sin ,cos 2ααt y t x （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=，直线l 与曲线C 交于A ，B 两个不同的点．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 为直线l 与x 轴的交点，求2211PBPA+的取值范围．【解析】（1）∵ θρcos 2= ∴ θρρcos 22=， …………………………………1分 ∵222y x +=ρ，x =θρcos ， …………………………………3分∴ 曲线C 的直角坐标方程为0222=-+x y x ． …………………………………5分 （2）将⎩⎨⎧=+-=,sin ,cos 2ααt y t x 代入曲线C 的直角坐标方程，可得08cos 62=+-t t α， …………………………………6分由题意知236cos 320α∆->=，故98cos2>α，又1cos 2≤α，⎥⎦⎤⎝⎛∈∴1,98cos 2α， …………………………………7分设这个方程的两个实数根分别为1t ，2t ，则αcos 621=+t t ，821=⋅t t ， …………………………………8分 1t ∴与2t 同号，由参数t 的几何意义可得：αcos 62121=+=+=+t t t t PB PA ，821=⋅=⋅t t PB PA ，22222()211PA PB PA PBPAPBPA PB+-⋅∴+=⋅221212212()29cos 4()16t t t t t t α+-⋅-==⋅， ……………………………………9分 ⎥⎦⎤⎝⎛∈1,98cos 2α ，⎥⎦⎤ ⎝⎛∈-∴165,41164cos 92α，2211PBPA+∴的取值范围为⎥⎦⎤⎝⎛165,41． ………………………………10分 【命题意图】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程互化、直线的参数方程、直线与圆的位置关系、函数的最值问题等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数21)(-++=x x x f ，1)(2++-=mx x x g ．（1）当4-=m 时，求不等式)()(x g x f <的解集；（2）若不等式)()(x g x f <在⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,2上恒成立，求m 的取值范围．【解析】（1）21)(-++=x x x f ，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<--≤+-=∴,2,12,21,3,1,12)(x x x x x x f ……………………………………………………1分当4-=m 时，14)(2+--=x x x g ，① 当1-≤x 时，原不等式等价于022<+x x ，解得，02<<-x ，12-≤<-∴x ． ………………………………………………2分② 当21<<-x 时，原不等式等价于0242<++x x ， 解得，2222+-<<--x ，221+-<<-∴x ． ……………………………………………………3分③ 当2≥x 时，11)2()(-=≤g x g ，而3)2()(=≥f x f ，∴不等式)()(x g x f <解集为空集． ………………………………………………4分综上所述，不等式)()(x g x f <的解集为),(222+--． ……………………5分 （2）① 当12-≤≤-x 时，)()(x g x f <恒成立等价于x x mx 22->，又0<x ， 2-<∴x m ，故4-<m ； …………………………………………………7分② 当211-≤<-x 时，)()(x g x f <恒成立等价于3)(>x g 恒成立，即3)(min >x g ， 只需⎪⎩⎪⎨⎧>->-3)21(3)1(g g 即可，由此可得⎪⎩⎪⎨⎧-<-<,29,3m m29-<∴m ， …………………………………………9分综上所述，9,2m⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭．……………………………………………………10分【命题意图】本题主要考查绝对值不等式以及一元二次不等式的解法、分段函数等知识点，重点考查分类讨论思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．。

绝密★启用前 试卷类型：A深圳市2019年高三年级第二次调研考试数 学（文科） 2019．4本试卷共6页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．2．复数21i+的共轭复数是3．已知双曲线C ：()22210x y a a −=>的渐近线方程为3y x =±，则该双曲线的焦距为（A ）(0,1)（B ）(0,3)（C ）(1,2)（D ）(2,3)（A ）1i +（B ）1i −（C ） 1i −+（D ）1i −−注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答． 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}220A x x x =−< ，{}13B x x =<<，则A B =4．某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图．若从每周使用时间在[)15,20，[)20,25，[]25,30三组内的学生中，用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[)20,25内的学生中选取的人数为5．已知角α为第三象限角，若πtan()34α+=，则sin α=6．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某几何体的三视图， 则该几何体的体积为7．若函数π()sin()6f x x ω=−(0)ω>图象的两个相邻最高点的距离为π，则函数)f x (的一个单调递增区间为（A ）8π3（B ）10π3（C ）14π3（D ）10π第6题图第4题图0.04 0.06 O5 10 15 20 25 300.010.02 a（A 2（B ）2 （C ）22 （D ）4（A ）1（（C （D ）4（A ）25（B ）5（C 5 （D 258．函数21()lgxf xx−=的图象大致为10．已知正方体1111ABCD A B C D−，P为棱1CC上的动点，Q为棱1AA的中点，设直线m为平面BDP与平面11B D P的交线，以下关系中正确的是11．已知1F、2F分别是椭圆C：2222+10x ya ba b=>>（）的左、右焦点，点A是1F关于直线bx ay ab+=的对称点，且2⊥AF x轴，则椭圆C的离心率为（A）ππ,63⎡⎤−⎢⎥⎣⎦（B）ππ,22⎡⎤−⎢⎥⎣⎦（C）ππ,36⎡⎤−⎢⎥⎣⎦（D）π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦第10题图（A）14（C）13（D）12（A）//m1D Q（B）//m平面11B D Q（C）1m B Q⊥（D）m⊥平面11ABB A（A）312（B）12（C）512（D）32（A）（B）（C）（D）9．十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即：“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长大于这个圆的内接正三角形边长的概率是多少？”贝特朗给出了“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理求解的方法，但结果都不相同，这类悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．其中“随机端点”的求法如下：设A为圆O上的一个定点，在圆周上随机取一点B，连接AB，求所得弦长大于圆O的内接正三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为15（B）12．若函数()ln f x x x a x =−−在区间(1,)+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分． 第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答． 第22～23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设函数23, 0,()(2), 0,x x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩则(3)f −＝______________．14．设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且6c =，1cos 4C =−，三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足12a =,122nn n a a +=++()n *∈N ．（1）判断数列{2}nn a −是否为等差数列，并说明理由； （2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求n S ．（A ）1(0,)2（B ）1(,e)2（C ） (0+)∞， （D ）1(,)2+∞第16题图(1)A'BDC第16题图(2)sin 2sin A B =，则b ＝______________．15．已知等边ABC ∆的边长为2，若点D 满足=2AD DC ，则=BD AC ⋅______________． 16．如图（1），在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =， D 为AB 的中点，将△ACD 沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '−．若三棱锥C A BD '−的外接球的半径为5，则A DB '∠=______________．ABCD18．（本小题满分12分）某网店经销某商品，为了解该商品的月销量y （单位：千件）与当月售价x （单位：元/件）之间的关系，收集了5组数据进行了初步处理，得到如下数表：x 5 6 7 8 9 y864.53.53（1）统计学中用相关系数r 来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，若[0.75,1]r ∈，则认为相关性很强；若[0.3,0.75)r ∈，则认为相关性一般；若[0,0.25]r ∈，则认为相关性较弱. 请根据上表数据计算y 与x 之间的相关系数r （精确到0.01），并说明y 与x 之间的线性相关关系的强弱；（2）求y 关于x 的线性回归方程；（3）根据（2）中的线性回归方程，估计当售价x 定为多少时，月销售金额最大？(月销售金额=月销售量⨯当月售价) 附注：参考数据：16512.85≈，参考公式：相关系数12211()()()()niii n niii i x x y y r x x y y ===−−=−−∑∑∑，线性回归方程y bx a =+，121()()()niii nii x x y y b x x ==−−=−∑∑，a y bx =−.19．（本小题满分12分）在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，以CE 和CF 为折痕把△DFC 和△BEC 折起，使点B 、D 重合于点P 位置，连结PA ，得到如图所示的四棱锥P AECF −.（1）在线段PC 上是否存在一点G ，使PA 与平面EFG 平行？若存在，求PGGC的值； 若不存在，请说明理由.（2）求点A 到平面PEC 的距离．CD FP20．（本小题满分12分） 设点P 是直线2y =−上一点，过点P 分别作抛物线2:4C x y =的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点. （1）若点A 的坐标为1(1,)4，求点P 的横坐标；（2）当△ABP 的面积为272时，求AB . 21．（本小题满分12分）已知函数()e +21xf x a x =−，其中常数e 2.71828......=，是自然对数的底数． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：对任意的1a ≥，当0x >时，()(e)f x x a x ≥+．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,sin ,αα=⎧⎨=⎩x y （α为参数），圆2C 的方程为22(2)4x y −+=，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为0θθ=(0)ρ≥．（1）求曲线1C 和圆2C 的极坐标方程；（2）当0π02θ<<时，若射线l 与曲线1C 和圆2C 分别交于异于点O 的M 、N 两点， 且||2||ON OM =，求△2MC N 的面积．23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数1()||||(1)f x x m x m m=−++>．（1）当2m =时，求不等式()3f x >的解集； （2）证明：1()3(1)f x m m +≥−．2019年深圳市高三第二次调研考试文科数学试题答案及评分参考第Ⅰ卷一．选择题（1） C （2） A （3） D （4） C （5） B （6）C （7） A （8） B （9） C （10）B （11）C （12）D12.【解法1】22()12a x af x x x'==．注意到函数2y x =()1+∞，上单调递增，且21x >． 若12a ≤，则120a −≥，则()0f x '>，函数()f x 在()1+∞，上单调递增，故()(1)0f x f >=，不合题意，应舍去． 当12a >12a >()01x ∈+∞，()01x x ∈，()f x ()0,x x ∈+∞(1)0f =0()0f x <()2(1)0f a +>，通过研究直线()1+∞，与曲线l n 0x x a x −−=的位置关系，易知(1)t x t =>，所以12a >. 【解法3】此题作为选择题，结合答案是有一些较为灵活的解题方法的，比如可以将问题转化为直线22l n 0(1)t t a t t −−=>与a =在()1+∞，上有交点，注意到0a ≠和函数()ln h x a x =的凹凸性以及(), ()g x h x 均过点()1,1，故可研究()h x 在()1,1处的切线即可．二．填空题：13．4 14．115．23 16．2π316【解法1】设A BD '∆的外接圆半径为r ，2A DB θ'∠=，其中π(0,)2θ∈．由正弦定理易得12a >时，此时存在()01x ∈+∞，，使得当()01x x ∈，时，()f x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()f x 单调递增．因为(1)0f =，所以0()0f x <．又因为()2(1)0f a +>，故此时()f x 在()1+∞，上必定存在零点．综上所述，答案为D ． 【解法2】函数()f x 在()1+∞，上存在零点，即方程ln 0x x a x −−=在()1+∞，上有解， 设(1)t x t =>，则方程可化为22ln 0(1)t t a t t −−=>，显然当0a =时，方程在()1+∞，上无解；当0a ≠时，方程可化为4sin 2sin 2r θθ=，故1cos r θ=解得1cos =2θ，所以A DB '∠2π=2=3θ． 【解法2】设A BD '∆的外接圆半径为r ，2A DB θ'∠=，其中π(0,)2θ∈，并设A B '中点为M ，DM b =，A M a '=，则有222()a b r r +−=，由于224a b +=，由此可得2br =，又因为21=5r +，所以=2r ，而11cos =22b r θ==，所以A DB '∠2π=2=3θ． n n n n n S n n ++−⨯−=+=−+−−. …………………………12分 【命题意图】本题主要考查数列的递推公式，等差数列的证明方法，分组求和法以及等差、等比数列的前n 项和公式等知识，重点考查等价转换思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．18．（本小题满分12分）某网店经销某商品，为了解该商品的月销量y （单位：千件）与售价x （单位：元/件）之间的关系，收集了5组数据进行了初步处理，得到如下数表：（1）统计学中用相关系数r 来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，若[0.75,1]r ∈，则三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足12a =,122nn n a a +=++()n *∈N ．（1）判断数列{2}nn a −是否为等差数列，并说明理由；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求n S ． 【解析】(1) 设2n n n b a =−，则1112n n n b a +++=−，……………………………2分则1111(2)(2)2n n n n n n n n n b b a a a a ++++−=−−−=−−， ……………………4分(22)22nnn n a a =++−−=()n *∈N ， ……………………………5分所以，数列{2}nn a − 是首项为0，公差2d =的等差数列．………………6分 (2)由（1）可知20(1)nn n a −=+−2， …………………………………………8分 ∴ 22(1)nn a n =+−，………………………………………………………………9分∴[]120(1)2(12)22122认为相关性很强；若[0.3,0.75)r ∈，则认为相关性一般；若[0,0.25]r ∈，则认为相关性较弱. 请计算相关系数r ，并说明y 与x 之间的线性相关关系的强弱（精确到0.01）； （2）求y 关于x 的线性回归方程；（3）根据（2）中的线性回归方程，应将售价x 定为多少，可获取最大的月销售金额？ 解：(1)由表中数据和附注中的参考数据得，7x =，5y =， ………………………………1分521()10ii x x =−=∑，521()16.5i i y y =−=∑，……………………………………………2分51()()12.5iii x x y y =−−=−∑，0.97r ≈≈− ……………………………3分因为0.97[0.75,1]r ≈−∈， ………………………4分 说明y 与x 的线性相关关系很强．.……………………………………………………5分（2）由（1）可知121()()12.51.2510()niii nii x x y y b x x ∧==−−−===−−∑∑ ………………………7分 ∧∧=⋅⋅−+（元）或者2= 1.2513.75z y x x x ∧∧=⋅−+（千元） ………10分则当 5.5x =时，z ∧PGGC的值； 若不存在，请说明理由.5 1.25713.75a y b x ∧∧∴=−=−−⨯=（），…………………………………………… 8分 1.2513.75y x ∧∴=−+……………………………………………………………………9分 （3）由题意可知， 月销售额的预报值21000=125013750z y x x x 取到最大值，即该店主将售价定为5.5元/件时，可使网店的月销售额最大. ……12分【命题意图】本题旨在考查概率统计在实际问题中的应用，以研究相关系数，线性回归，二次函数等知识为载体，考查了学生的数学运算、数学建模等数学核心素养． 19．（本小题满分12分）在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，以CE 和CF 为折痕把△DFC 和△BEC 折起，使点B 、D 重合于点P 位置，连结PA ，得到如图所示的四棱锥P AECF −.（1）在线段PC 上是否存在一点G ，使PA 与平面EFG 平行，若存在，求（2）求点A 到平面PEC 的距离． 解：（1）线段PC 上的点G 满足13PG GC =时，PA 与平面EFG 平行． ………1分 证明如下：连结EF ，EG ，FG ，AC ，记AC 与EF 的交点为O ，连结OG ． 在正方形ABCD 中，∵E 、F 分别为边AB 、AD 的中点， ∴13AO OC =， ……………………2分 故13AO PG OC GC ==， ……………………3分 ∴PA // OG ． ……………………4分∵PA EFG ⊄平面，OG EFG ⊂平面,∴ //PA EFG 平面 ． ……………………6分（2）解法一：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥， 翻折后PC PE ⊥，PC PF ⊥， 又PE PF P =，PC ∴⊥平面PEF ． ……………………8分记AC 与EF 的交点为O ，连结PO ， 可知△OPC 为直角三角形，2OP =，4PC =，32OC =，设P 到直线AC 的距离为h ，4232h =⋅，43h ∴=． ……………………9分33239P AEC AEC V S h −∆∴=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=，142PCE S PC PE ∆=⋅⋅=，设点A 到平面PCE 的距离为h '，AEF PAC⊥平面E F A E C F ⊂平面C C⊥平面平面C C C平面平面OPC OC,,PC EF AC EF ACPC C ⊥⊥=,∴EF PAC ⊥平面EF AECF ⊂平面,∴ PAC AEC ⊥平面平面 ∵ =PACAEC AC 平面平面∴ △OPC 斜边OC 上的高h 即为三棱锥-P AEC 的高． ……………………10分111416241433A PCE PCE V S h h −∆''∴=⋅⋅=⋅，41639h '∴=，解得4=3h '． …………………12分 解法二：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，翻折后PC PE ⊥，PC PF ⊥， 又PE PF P =，PC ∴⊥平面PEF ， ……………………8分记AC 与EF 的交点为O ，连结PO ， 可知△OPC为直角三角形，OP =4PC =，OC =易得P 到直线AC 的距离为43， ……………………9分 238342421=⋅⋅=∴ΔPAC S ，,,PC EF AC EF ACPC C ⊥⊥=,∴ EF PAC ⊥平面，-1116=339P AEC E PAC PAC V V S OE −∆∴=⋅⋅==，又142PCE S PC PE ∆=⋅⋅=，设点A 到平面PCE 的距离为h ， 1433A PCE PCE V S h h −∆∴=⋅⋅=⋅，41639h ∴=，解得4=3h 1=⋅⋅=ΔPOCS ． ……………………9分 ,,PC EF AC EF ACPC C ⊥⊥=，∴EF PAC ⊥平面，3422231=⋅⋅=∴E-POC V ，BCDEFPO． …………………12分 解法三：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，翻折后PC PE ⊥，PC PF ⊥， 又PE PF P =，PC ∴⊥平面PEF ． ……………………8分记AC 与EF 的交点为O ，连结PO ， 可知△OPC 为直角三角形，OP =4PC =，OC =易得22242-44416=3339E PAC E POC V V −∴=⋅=，又142PCE S PC PE ∆=⋅⋅=，设点A 到平面PCE 的距离为h ， 1433A PCE PCE V S h h −∆∴=⋅⋅=⋅，41639h ∴=，解得4=3h ． …………………12分 【说明】本题以翻折问题为载体考查空间中点，线，面的位置关系，线面平行的性质定理的应用，点到平面的距离等知识，意在考查考生的空间想象能力，逻辑推理能力以及运算求解能力．20．（本小题满分12分）设点P 是直线2y =−上一点，过点P 分别作抛物线2:4C x y =的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点.（1）若点A 的坐标为1(1,)4，求点P 的横坐标； （2）当△ABP 的面积为272时，求AB . 【解析】（1）由214y x =，所以12y x '=， ……………………………………1分 因为1(1,)4A ，由导数的几何意义知，切线PA 的斜率111=22PA k =⨯，……………………2分 所以切线PA 的方程为11:(1)42−=−PA l y x ，即1124=−y x ，………………………3分 又因为点P 为直线2y =−与直线1124=−y x 的公共点， 联立2y =−与1124=−y x ，可得P 点横坐标为72−．.…………………………4分 （2）法一：不妨设1122(,),(,)A x y B x y ，0(,2)P x −，由（1）可知112PA k x =，即直线PA 的方程为1111()2−=−y y x x x ， 即111:2PA l y x x y =−，同理可得221:2PB l y x x y =−，…………………………5分因为切线PA ，PB 均过点0(,2)P x −， 所以0110222222x x y x x y ⎧−=−⎪⎪⎨⎪−=−⎪⎩， ……………6分所以1122(,),(,)x y x y 为方程22x x y −=−的两组解， 所以直线AB 的方程为022x x y −=−，即0:22AB xl y x =+.…………………7分联立02224x y x x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得20280x x x −−=，显然0∆＞， 由韦达定理得，120122,8x x x x x +==−， ……………………………………8分所以AB ==， …………9分又因为点P 到直线AB的距离d =， …………………………10分所以322020111274(8)22222ABPx S AB d x ∆⎛=⋅=+=+= ⎝，………11分 解得201x =，所以=AB . ………………………12分法二：不妨设1122(,),(,)A x y B x y ，由（1）可知直线PA 的方程为21124x x y x =−， 同理，直线PB 的方程为22224x x y x =−，…………………………………………5分 联立解得1212(,)24x x x x P +，…………………………………………………………6分 又点P 在直线2y =−，所以1224x x=−，128x x =−， …………………………7分设直线AB 的方程为y kx m =+，联立24x y y kx m⎧=⎨=+⎩，可得2440x kx m −−=，由韦达定理得124x x k +=，1248x x m =−=−，可得2m =，(2,2)P k −，…………………………………………………………8分所以||AB == …………………9分 又因为点P 到直线AB的距离为2d =， ……………………………10分所以3222127||4(2)22ABP S AB d k ∆=⋅==+=，…11分 解得214k =，所以||2ln()x a <−，由()0f x '<解得2ln()x a>−．故()f x 在2,ln()a ⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭上单调递增，在2ln()a⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减． …………………………4分综上所述，当0a ≥时，()f x 在R 上单调递增；当0a <时， ()f x 在2,ln()a ⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭上单调递增，在2ln()a⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减． …………………………5分（2） 证法一：原不等式等价于e 12e 0x x x a ax a−−+−≥． ………………6分 令e 12()e x x g x x a ax a =−−+−，则2(1)(e 1)()x x a x g x ax −−−'=．…………………7分 当1a ≥时，e 1e 1x xa x x −−≥−−，…………………8分AB = ………………………12分【命题意图】本题以直线与抛物线为载体，及其几何关系为背景，利用方程思想解决几何问题，主要考查抛物线的切点弦，直线与抛物线的位置关系等知识，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力. 21．（本小题满分12分）已知函数()e +21xf x a x =−，其中常数e 2.71828......=，是自然对数的底数． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：对任意的1a ≥，当0x >时，()(e)f x x a x ≥+．【解析】（1）()e 2xf x a '=+． …………………………1分① 当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在R 上单调递增；………………………2分 ② 当0a <时，由()0f x '>解得令()e 1x h x x =−−，则当0x >时，()e 10xh x '=−>，∴ 当0x >时，()h x 单调递增，即()(0)0h x h >=， ………………………10分 ∴ 当01x <<时，()0g x '<；当1x =时，()0g x '=；当1x >时，()0g x '>， ∴ ()(1)0g x g ≥=． ………………………11分即e 12e 0x x e x x−−−+≥，…………10分 令xaaxa−−+−≥，则()(e)f x x a x ≥+，易证当0x >时，()()2e e 1xa x x −≥−，∴当()e e x g x x =−时，()e e x g x '=−，当1x <时，()0g x '<， ∴函数1x >在()0g x '>上单调递减，在()(1)0g x g ≥=上单调递增， ∴e e 0xx −≥， …………………11分∴1x =， 即e 1e 20x x x x−−−+≥， 从而，对任意的0x >，当1x ≠时，e e 0x x −>． …………………………12分x a ax a−−+−≥，故()(e)f x x a x ≥+． ………………12分 证法二：原不等式等价于()()2e e 1xa x x −≥−． ………………………6分令()e e x g x x =−，则()e e xg x '=−．当1x <时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>．∴()(1)0g x g ≥=，即e e 0xx −≥，当且仅当1x =时等号成立．…………………7分 当1x =时，()()2e e 1xa x x −≥−显然成立；当0x >且1x ≠时，e e 0xx −>．欲证对任意的1a ≥，()()2e e 1xa x x −≥−成立， 只需证()2e e 1xx x −≥−．……9分思路1： ∵0x >，∴不等式()2e e 1xx x −≥−可化为1e 20x x思路2： 令()21+e ()e xx xx ϕ−=，则(1)(e 3)()e xx x x ϕ−−+−'=．()0 3e 1x x ϕ'>⇒−<<，()0 103e x x x ϕ'<⇒><<−或．∴()x ϕ在(0,3e)−上单调递减，在(3e 1)−，上单调递增，在(1+)∞，上单调递减． …………………………11分∵ (0)=(1)1ϕϕ=，∴ ()21+e ()1e xx x20ln 1a ⎛⎫<<⎪⎝⎭． 当20ln x a ⎛⎫<< ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减；当2ln x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增．②—（i ）：若22e 1a ≤<−，则()(0)1e +20h a =−≤． ∵ 2ln(1)0h h a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭∴ 当()0,1x ∈时，()=()0g x h x '<；当()1+x ∈∞，时，()=()0g x h x '>． 与①同，不等式成立． …………………………9分x ϕ−=≤，即()21e e x x x −≤−．从而，对任意的1a ≥，当0x >时，()(+e)f x x a x ≥． …………………………12分 证法三：原不等式等价于2e 21e 0x a x x a x +−−−≥．令()2()e e 21xg x a x a x =−−−−，则()()e 2e 2xg x a x a '=−−−． ……………6分令()()e 2e 2xh x a x a =−−−，则()e 2xh x a '=−，其中0x >．① 当2a ≥时，()0h x '>．()h x 在()0+∞，上单调递增． 注意到(1)0h =，故当()0,1x ∈时，()=()0g x h x '<；当()1+x ∈∞，时，()=()0g x h x '>． ∴ ()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增．∴ min ()=(1)0g x g =，即()(e)f x x a x ≥+． …………………………7分 ② 当12a ≤<时，②—（ii ）：若21e 1a ≤<−，则()(0)1e +2>0h a =−， ∵ 2ln(1)0h h a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭， ∴ 020,ln x a ⎛⎫⎛⎫∃∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()00h x =，且当()00,x x ∈时，()=()0g x h x '>；当()01x x ∈，时，()=()0g x h x '<；当()1+x ∈∞，时，()=()0g x h x '>． ∴ ()g x 在()00,x 上单调递增，在()01x ，上单调递减，在()1,+∞上单调递增． ∵ (0)=10g a −≥，(1)=0g∴ 此时，()0g x ≥，即()(e)f x x a x ≥+．综上所述，结论得证． …………………………12分【命题意图】本题旨在考查导数在研究函数时的应用，以研究单调性，证明不等式等为载体，综合考查学生的分类讨论、化归转化、数形结合等数学思想，考查了学生的数学运算、逻辑推理等数学核心素养．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,sin ,αα=⎧⎨=⎩x y （α为参数），圆2C 的方程为22(2)4x y −+=，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为0θθ=(0)ρ≥．（1）求曲线1C 和圆2C 的极坐标方程；（2）当0π02θ<<时，若射线l 与曲线1C 和圆2C 分别交于异于点O 的M 、N 两点， 且||2||ON OM =，求△2MC N 的面积．解：（1）由2cos ,sin αα=⎧⎨=⎩x y 消去参数α可得1C 的普通方程为2214x y +=，……………1分 把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得22(cos )(sin )14ρθρθ+=，即222244cos 4sin 13sin ρθθθ==++， 所以1C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+； ………………………3分把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入22(2)4x y −+=，得4cos ρθ=，所以2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． ………………………5分（2）把0θθ=代入22413sin ρθ=+，得220413sin ρθ=+M ， 把0θθ=代入4cos ρθ=，得04cos ρθ=N ， ………………………6分 由||2||ON OM =，得2N M ρρ=，即224N M ρρ=， 即202016(4cos )13sin θθ=+， ………………………7分∵ 0π02θ<<，∴ 0sin 3θ=，0cos θ=，∴ 3ρ=M，04cos ρθ==N ， …………………8分 ∴ △2MC N 的面积222∆∆∆=−MC N C N C M O O S S S2011||()sin 222ρρθ=−⋅=⨯N M OC ．……………………10分 【命题意图】本题主要考查了椭圆，圆的极坐标方程与直角坐标方程以及参数方程的互化、极径ρ的几何意义与应用等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．考察考生的化归与转化能力．23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数1()||||(1)f x x m x m m=−++>． （1）当2m =时，求不等式()3f x >的解集；（2）证明：1()3(1)f x m m +≥−．解：（1）当2m =时，1()|2|||2f x x x =−++， ………………………1分①当12x ≤−时，原不等式等价于1(2)()32x x −−+>，解得34x <−，……………2分 ②当122x −<<时，原不等式等价于532>，不等式无解， ……………3分 ③当2x ≥时，原不等式等价于()12+32x x ⎛⎫−+> ⎪⎝⎭，解得94x >，………………4分 综上，不等式()3f x >的解集为39(,)(,)44−∞−+∞； ………………5分 （2）由题11()||||||f x x m x m m m=−++≥+， ………………………6分 0m >，11||m m m m∴+=+， 1()f x m m ∴≥+， 当且仅当1,x m m ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦时等号成立． ………………7分 11111()(1)1(1)(1)11f x m m m m m m m m m m ∴+≥++=+=−++−−−−，1m >，10m ∴−>，1(1)1131m m ∴−++≥+=−，…………9分 1()3(1)f x m m ∴+≥−，当2m =，且1[,2]2x ∈−时等号成立．……………………10分【说明】本题主要考查绝对值三角不等式以及不等式的解法，分段函数，基本不等式等知识点，重点考查分类讨论，数形结合的思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．。

2018-2019学年第一学期深圳市宝安区高三调研测试卷数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合},2,1,0,1,2{},1|1||{--=>+=B x x A 则=B A C R )( ( ).A. }2{-B. }1,2{-C. }1,0{D. }0,1,2{-- 2.下列函数中，既是偶函数又在区间),0(+∞上是单调递减函数的是（ ）.A. x x f 1)(=B. 1)(2+-=x x fC. |21|)(x x f = D. ||lg )(x x f = 3.设i 是虚数单位，若复数iai --310是实数，则a 的值为（ ）.A.3-B. 1-C. 3D. 14.等差数列}{n a 中，,26,2491321=-=++a a a a 则此数列}{n a 前20项和等于（ ）. A.220 B. 200 C. 180 D. 1605.已知向量),,2(),,1(m m =-=若1=⋅，则实数=m （ ）.A. ,1或1-B. 1-C. 0D. 2-6.若点(,)x y 位于曲线2||y x =与2y =所围成的封闭区域，则2x y -的最小值为（ ）. A.4- B.6- C. 0 D. 17.将函数)32cos(2π+=x y 的图像向右平移)0(>m m 个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则y x -2的最小值为（ ）.A.2π B. 3π C. 6π D. 12π8.椭圆)0(122>=+m my x 的离心率大于21的充分必要条件是（ ）A. 41<mB. 3443<<mC. 43>mD. 340<<m ,或43>m9.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序.若输入m 的值为2输出的结果为=i （ ）. A. 3 B. 4 C. 5 D. 610.给出下列关于互不相同的直线n l m ,,和平面βα,的四个命题： ①若,,A l m =⊂αα 点m A ∉，则l 与m 不共面；②若l m ,是异面直线，αα//,//m l ，且m n l m ⊥⊥,，则α⊥n ； ③若βαβα//,//,//m l ，则m l //；④若,//,//,,,ββααm l A m l m l =⊂⊂ ，则βα//. 其中为假命题的是（ ）.A. ①B. ②C.④D. ③二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分 必做题（9—13题）11.右图中的三个直角三角形是一个体积为20cm 3的几何体的三视图， 则h=______cm. 12.据统计，高三年级男生人数占该年级学生人数60％.男、女生数学平均分数分别为115,120，则这次考试该年级学生平均分数为_________.侧视图正视图13.设常数0>a ，若192+≥+a xa x 对一切正实数x 成立，则 a 的取值范围为_________.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14.（几何证明选讲选做题）如图，在Rt ABC 中，90,30,C A ∠=∠=圆O 经过B 、C ，且与AB 、AC分别相交于C 、D 。