高二数学月考姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}2|10,2,3,4,5A x xB =∈<=R 则A B ⋂=（）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,42．已知正态分布()21,N σ的正态密度曲线如图所示，()2~1,X N σ，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（）A ．()102P X -≤B ．()122P X -≥C ．()1122P X -≤≤D ．()()112022P X P X ≤-≤3．若:1p k =，:q 函数()1lnkx f x x k-=+为奇函数，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．()73111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为（）A ．42B ．35C ．7D ．15．2023贺岁档电影精彩纷呈，小明期待去影院观看．小明家附近有甲、乙两家影院，小明第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为25和35．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为35；如果他第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为12．若小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为（）A ．2350B ．12C ．25D ．596．植树节这天，某学校组织5名学生依次给树木浇水，其中甲和乙是好朋友，必须相邻，丙不在第三位，则不同的浇水顺序的种数为（）A ．30B ．36C ．40D ．427．下列说法正确的是（）A ．随机变量()~3,0.2XB ，则()20.032P X ==B ．某人在7次射击中，击中目标的次数为X 且()~7,0.8X B ，则当5X =时概率最大；C ．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件D ．从10个红球和20个白球颜色外完全相同中，一次摸出5个球，则摸到红球的个数服从超几何分布；8．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()()2e xg x f x x '=-+也是定义在R 上的奇函数，则关于x 的不等式()()21220g x g x -++>的解集为（）A ．()(),13,-∞-⋃+∞B ．()(),31,-∞-⋃+∞C ．()1,3-D ．()3,1-二、多选题9．已知52(2)x a x+的展开式中所有项的系数之和为1，则（）A ．展开式的常数项为40-B ．1a =C ．展开式中系数最大的项的系数为80D ．所有幂指数为非负数的项的系数和为8-10．已知0,0a b >>，且1a b +=，则（）A ．41ab >B ．2728a b +≥C ．41912a b +≥+D 2≤11.如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动n 次后质点位于位置n X .则下列命题正确的是（）A.3(0)0P X ==B.41(2)4P X =-=C.()0n E X =D.移动n 次后质点最有可能回到原点.三、填空题12．已知随机变量ξ的取值为i （i ＝0，1，2）．若(015)P ξ==，()1E ξ=，则()23D ξ-=____．13．用模型e bx y a =拟合一组数据组()(),1,2,,9i i x y i =⋅⋅⋅，其中51129y y y e ⋅⋅⋅=.设ln z y =，变换后的线性回归方程为ˆ5=+zx ，则129x x x ++⋅⋅⋅+=_______．14．已知实数a ，b 满足()e 1e ln a bb a b -+=-，则2b a -的最大值是_______.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()11f x x x=++．(1)求()f x 在R 上的解析式；(2)用函数单调性的定义证明：()f x 在()0,1上是减函数．16.已知函数()()e xf x ax a =-∈R .（1）当1a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.17盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．（1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；（2）记取出的3个小球上的最小数字为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ．18.已知()21e 4e 52xx f x ax =-+--.（1）当3a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，证明：()()12120f x f x x x +++<.19．（本小题满分17分）PM2.5是指环境空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量越高，说明空气污染越严重．城市中的PM2.5成分除扬尘等自然因素外，燃料的燃烧也是一个重要来源．某市环境检测部门为检测燃油车流量对空气质量的影响，在一个检测点统计每日过往的燃油车流量x （单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度y （单位：3μg/m ）．检测人员采集了50天的数据，制成22⨯列联表（部分数据缺失）：燃油车日流量1500x <燃油车日流量1500x ≥合计PM2.5的平均浓度100y <1624PM2.5的平均浓度100y ≥20合计22（1）完成上面的22⨯列联表，并根据小概率值0.005α=的独立性检验，能否认为PM2.5的平均浓度小于3100μg/m 与燃油车日流量小于1500辆有关联？（2）经计算得y 与x 之间的回归直线方程为0.12386ˆ7.x y=-，且这50天的燃油车的日流量x 的标准差249x s =，PM2.5的平均浓度y 的标准差36y s =．若相关系数r 满足0.75r ≥，则判定所求回归直线方程有价值；否则判定其无价值．①判断该回归直线方程是否有价值；②若这50天的燃油车的日流量x 满足502811.2310ii x==⨯∑，试求这50天的PM2.5的平均浓度y 的平均数y （利用四舍五入法精确到0.1）．参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α0.010.0050.001x α6.6367.87910.828回归方程ˆˆˆya xb =+，其中()()()112211ˆnniii ii i nni ii i x x y x y nxyb x x y xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆab y x =-；相关系数()()niix x y y r --=∑参考数据：11.230.024650⨯=，224962001=1548.55≈．参考答案：1．B 2．C【分析】借助正态密度曲线的对称性逐项判断即可得.【详解】正态分布()21,N σ的正态密度曲线关于直线1x =对称，可得图中阴影部分可表示为()()()()()1101100222P X P X P X P X P X ≤≤=≤-≤=-≤=-≥，故选项A ，B 正确；对C ：由对称性可得()()()112202P X P X P X -≤≤=≥=≤，故选项C 错误；对D ：由对称性可得()()0112P X P X ≤≤=≤≤，所以图中阴影部分面积可表示为()()()101202P X P X P X ⎡⎤≤≤=≤-≤⎣⎦，故选项D 正确．故选：C ．3．A 4．A【分析】写出展开式通项，令x 的指数为3，求出参数的值，代入通项后即可得解.【详解】()71x +的展开式通项为()17C 0,1,2,,7r rr T x r +=⋅= ，因为()()()7773311111x x x x x -=⎛⎫++++ ⎝⎭+⎪，在()7C 0,1,2,,7r r x r ⋅= 中，令3r =，可得3x 项的系数为37C 35=；在()3377C C 0,1,2,,7k k k k x x x k --⋅=⋅= 中，令33k -=，得6k =，可得3x 项的系数为67C 7=.所以，()73111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为35742+=.故选：A.5．D【分析】设出事件，根据条件概率公式得到()()63,2510P AB P BC ==，结合全概率公式求出答案.【详解】设小明第一天去甲影院为事件A ，第二天去甲影院为事件B ，小明第一天去乙影院为事件C ，第二天去乙影院为事件D .故()()()()2331,,,5552P A P C P B A P B C ====，由()()()()()()31,52P AB P BC P B A P B C P A P C ====可得()()63,2510P AB P BC ==，故()()()6327251050P B P AB P CB =+=+=，则小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为()()()351027950P BC P C B P B ===.故选：D 6．C【分析】分丙在第一或第五位，在第二位或第四位，两种情况，求出浇水顺序，相加得到答案.【详解】若丙在第一或第五位，甲乙进行捆绑，内部可以全排列，甲乙看作一个整体，和剩余的两个学生进行全排列，故不同的浇水顺序有23232A A 24=种，若丙在第二位或第四位，甲乙进行捆绑，内部可以全排列，且甲乙只能有两个位置可以选择，再将剩余的两为同学进行排列，则不同的浇水顺序有222222A A 16⨯=种，则不同的浇水顺序共有241640+=种．故选：C 7．D 8．A【分析】根据()g x 为奇函数及()f x '为偶函数可求()g x ，利用导数可判断()g x 为R 上的减函数，从而可求不等式的解.【详解】因为()()2e x g x f x x =-+'，故()()2e 2e 0x xf x x f x x --++'---='，故()()2e 2e x xf x f x -+-=+''，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，故()()0f x f x +-=，故()()0f x f x ''--=，故()e e x x f x -='+，故()e e x xg x x -=-++，此时()e e 1210x xg x -=--+≤-+<'，故()g x 为R 上的减函数，而()()21220g x g x -++>等价于()()2122g x g x ->--，即2122x x -<--即2230x x -->，故1x <-或3x >故选：A.9．ACD 【分析】令1x =，根据系数可得1a =-，根据二项式定理展开，进而逐项分析判断.【详解】令1x =，得5(2)1a +=，解得1a =-，B 错误；因为5(21)x -的展开式的通项公式为()()55155C 21C 2,0,1,2,3,4,5rrr r r r T x xr --+=⨯==，可得54532(21)32808040101x x x x x x -=-+-+-，则53222(21)10132808040x x x x x x x -=-+-+-，则有：展开式的常数项为40-，A 正确；展开式中系数最大的项的系数为80，C 正确；所有幂指数为非负数的项的系数和为328080408-+-=-，D 正确．故选：ACD.故选：BCD 11．ABC【详解】（1）设质点n 次移动中向右移动的次数为Y ，显然每移动一次的概率为12，则1(,2Y B n ，()2n X Y n Y Y n =--=-，所以1344111(2)(1)C ()(224P X P Y =-====.（2）由（1）知，1(,2Y B n ，1()22nE Y n =⋅=，又2n X Y n =-，所以()2()0n E X E Y n =-=.（3）由（1）知，C 11()C ()()222k k k n k nnnP Y k -===，N,k k n ∈≤，当n 为偶数时，{C }kn 中间的一项2C nn取得最大值，即2nY =时概率最大，此时0n X =，所以质点最有可能位于位置0；当n 为奇数时，{C }kn 中间的两项1122C,Cn n nn-+取得最大值，即12n Y -=或12n Y +=时概率最大，此时1n X =-或1n X =，所以质点最有可能位于位置1-或1.故选：ABC 12．85【分析】根据已知条件，结合离散型随机变量分布列的性质，以及期望公式，求出()()315125P P ξξ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，再结合方差公式，即可求解.【详解】随机变量ξ的取值为i (i ＝0，1，2），()105P ξ==，()1E ξ=，则()()()()12214125P P P P ξξξξ⎧=+==⎪⎨=+==⎪⎩，解得()()315125P P ξξ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，所以2221312()(01)(11)(21)5555D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=，故()()282325D D ξξ-==.故答案为：85.13．6【详解】根据回归直线方程，必过样本点中心()x z ，再利用换元公式，以及对数运算公式，化简求值.【分析】因为线性回归方程为ˆ5=+zx 恒过()x z ，因为51129e y y y ⋅⋅⋅=，所以()129ln 51y y y ⋅⋅⋅=，即()129129ln ...ln ln ...ln 51999y y y y y y z +++===，6515599z x =+=+=，129699x x x x ++⋅⋅⋅+==，1296x x x ++⋅⋅⋅+=，故答案为：6.14．2ln 22-【提示】因为()e 1e ln a bb a b -+=-，所以()ln eln e a bb a b b +++=+，设()e x f x x =+，则()e 10xf x '=+>，所以函数()e xf x x =+在(),-∞+∞上单调递增，所以ln a b b +=，四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()11f x x x=++．(1)求()f x 在R 上的解析式；(2)用函数单调性的定义证明：()f x 在()0,1上是减函数．16.已知函数()()e xf x ax a =-∈R .（1）当1a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【小问1详解】当1a =时，()e x f x x =-，()e 1xf x '=-，所以()1e 1f =-，()1e 1f '=-，曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为()e 1y x =-；【小问2详解】要使()0f x ≥恒成立，则需()min 0f x ≥成立，()e x f x a '=-，当a<0时，()0f x '>，所以()f x 在(),∞∞-+递增，而11e 10a f a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，不合题意；当0a =时，()e 0xf x =>恒成立，符合题意；当0a >时，令()0f x '=得ln x a =，则()f x 在(),ln a ∞-递减，在()ln ,a ∞+递增，所以()()min ln ln 0f x f a a a a ==-≥，解得0e a <≤.综上所述，0e a ≤≤.17.盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．（1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；（2）记取出的3个小球上的最小数字为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ．【小问1详解】记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M ，先确定3个不同数字的小球，有34C 种方法，然后每种小球各取1个，有111222C C C ⨯⨯种取法，所以()3111422238C C C C 4=C 7P M ⨯⨯⨯=.【小问2详解】由题意可知，X 的可取值为1,2,3，当1X =时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球，所以()1221262638C C C C 91=C 14P X +==；当2X =时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球，所以()1221242438C C C C 22=C 7P X +==；当3X =时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球，所以()1221222238C C C C 13=C 14P X +==，所以X 的分布列为：所以()92110123147147E X =⨯+⨯+⨯=.18.已知()21e 4e 52xx f x ax =-+--.（1）当3a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，证明：()()12120f x f x x x +++<.（1）当3a =时，()21e 4e 352xx f x x =-+--，()()()2e 4e 3e 1e 3x x x x f x =-+-=---'，则当()()e 0,13,x∞∈⋃+，即()(),0ln 3,x ∞∞∈-⋃+时，()0f x '<，当()e 1,3x∈，即()0,ln 3x ∈时，()0f x '>，故()f x 的单调递减区间为(),0∞-、()ln 3,∞+，单调递增区间为()0,ln 3；（2）()2e4e xx f x a -+'=-，令e x t =，即()24f x t t a '=-+-，令11e xt =，22e xt =，则1t 、2t 是方程240t t a -+=的两个正根，则()2Δ441640a a =--=->，即4a <，有124t t +=，120t t a =>，即04a <<，则()()1122221212121211e 4e 5e 4e 522x x x x f x f x x x ax ax x x +++=-+---+--++()()()()22121212141ln ln 102t t t t a t t =-+++--+-()()()2121212121241ln 102t t t t t t a t t ⎡⎤=-+-++---⎣⎦()()1162161ln 102a a a =--+---()1ln 2a a a =---，要证()()12120f x f x x x +++<，即证()()1ln 2004a a a a ---<<<，X123P91427114令()()()1ln 204g x x x x x =---<<，则()111ln ln x g x x x x x-⎛⎫=-+='- ⎪⎝⎭，令()()1ln 04h x x x x =-<<，则()2110h x x x '=--<，则()g x '在()0,4上单调递减，又()11ln111g =-='，()12ln 202g =-<'，故存在()01,2x ∈，使()0001ln 0g x x x =-='，即001ln x x =，则当()00,x x ∈时，()0g x '>，当()0,4x x ∈时，()0g x '<，故()g x 在()00,x 上单调递增，()g x 在()0,4x 上单调递减，则()()()()000000000111ln 2123g x g x x x x x x x x x ≤=---=--⨯-=+-，又()01,2x ∈，则00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故()000130g x x x =+-<，即()0g x <，即()()12120f x f x x x +++<.19．（本小题满分17分）PM2.5是指环境空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量越高，说明空气污染越严重．城市中的PM2.5成分除扬尘等自然因素外，燃料的燃烧也是一个重要来源．某市环境检测部门为检测燃油车流量对空气质量的影响，在一个检测点统计每日过往的燃油车流量x （单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度y （单位：3μg/m ）．检测人员采集了50天的数据，制成22⨯列联表（部分数据缺失）：燃油车日流量1500x <燃油车日流量1500x ≥合计PM2.5的平均浓度100y <1624PM2.5的平均浓度100y ≥20合计22（1）完成上面的22⨯列联表，并根据小概率值0.005α=的独立性检验，能否认为PM2.5的平均浓度小于3100μg/m 与燃油车日流量小于1500辆有关联？（2）经计算得y 与x 之间的回归直线方程为0.12386ˆ7.x y=-，且这50天的燃油车的日流量x 的标准差249x s =，PM2.5的平均浓度y 的标准差36y s =．若相关系数r 满足0.75r ≥，则判定所求回归直线方程有价值；否则判定其无价值．①判断该回归直线方程是否有价值；②若这50天的燃油车的日流量x 满足502811.2310ii x==⨯∑，试求这50天的PM2.5的平均浓度y 的平均数y （利用四舍五入法精确到0.1）．参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α0.010.0050.001x α6.6367.87910.828回归方程ˆˆˆya xb =+，其中()()()112211ˆnniii ii i nni ii i x x y x y nxyb x x y xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆab y x =-；相关系数()()niix x y y r--=∑参考数据：11.230.024650⨯=，224962001=1548.55≈．18．解：（1）22⨯列联表如下：燃油车日流量1500x <燃油车日流量1500x ≥合计PM2.5的平均浓度100y <16824PM2.5的平均浓度100y ≥62026合计222850零假设0H ：PM2.5的平均浓度小于3100μg/m 与燃油车日流量小于1500辆无关联．根据列联表中的数据，计算得()220.005501620689.6247.87924262228x χ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯，所以根据小概率值0.005α=的独立性检验，推断0H 不成立，所以可以认为PM2.5的平均浓度小于3100μg/m 与燃油车日流量小于1500辆有关联．（2）①由题意，得()()()50150211ˆ0.2iii i i x x y y bx x ==--==-∑∑，得()()()50502110.12iiii i x y y x x x ==--=-∑∑，由249,36x y s s ====，得()()()505020.120.12i i i x y x x r x y ---=⨯∑∑2490.120.830.7536=⨯=>，所以该回归直线方程有价值．②因为249x s==249=，所以1548.55x =≈，又0.1273.860.121548.5573.86111.966112.0x y =-≈⨯-=≈．故可推算出这50天PM2.5平均浓度y 的平均数y 约为112.0．。
专题52：列联表独立性检验精讲温故知新1. 数值变量与分类变量数值变量：数值变量的取值为实数，其大小和运算都有实际含义．分类变量：这里所说的变量和值不一定是具体的数值，例如：性别变量，其取值为男和女两种，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量，分类变量的取值可以用实数表示．注意点：分类变量的取值可以用实数来表示，例如男性，女性可以用1,0表示，学生的班级可以用1,2,3来表示．这些数值只作编号使用，并没有大小和运算意义．分类变量是相对于数值变量来说的．变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量才是分类变量．2：列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为2×2列联表构造一个随机变量K2＝n（ad－bc）（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d），其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．3. 分类变量与列联表的实际应用利用2×2列联表分析两个分类变量间的关系时，首先要根据题中数据获得2×2列联表，然后根据频率特征，即将aa＋b与cc＋d⎝⎛⎭⎪⎫ba＋b与dc＋d的值相比，直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，但方法较粗劣．4. 独立性检验的理解1．独立性检验：利用χ2的取值推断分类变量X 和Y 是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验． 2．χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .注意点：(1)卡方越小，独立性越强，相关性越弱；卡方越大，独立性越弱，相关性越强．(2)当χ2≥x α时，我们就推断H 0不成立，即认为X 和Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2＜x α时，我们没有充分证据推断H 0不成立 ，可以认为X 和Y 独立． 根据所给的观测值，与所给的临界值表中的数据进行比较，即可得出结论． 5. 有关“相关的检验” 用χ2进行“相关的检验”步骤 (1)零假设：即先假设两变量间没关系． (2)计算χ2：套用χ2的公式求得χ2值．(3)查临界值：结合所给小概率值α查得相应的临界值x α. (4)下结论：比较χ2与x α的大小，并作出结论． 6. 有关“无关的检验” 运用独立性检验的方法(1)列出2×2列联表，根据公式计算χ2. (2)比较χ2与x α的大小作出结论题型一：列联表例1：假设有两个变量X 和Y ，他们的取值分别为1x ，2x 和1y ，2y ，其列联表为：则表中a ，b 的值分别是（ ） A ．94，96 B ．54，52C ．52，50D ．52，60【答案】D【详解】根据列联表知，=732152a -=，又8a b +=，所以60b =， 故选：D举一反三下列是关于出生男婴与女婴调查的22⨯列联表那么D __________．【答案】82【详解】解：由题意，4598E +=，35A D +=，45A B +=，35E C +=，180B C +=47A ∴=，92B =，88C =，82D =，53E =故答案为： 82.题型二：等高条形图例2：为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人，男性40人，女性60人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则关于样本下列叙述中正确的是（ ）A ．是否倾向选择生育二胎与户籍无关B ．是否倾向选择生育二胎与性别有关C ．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同D ．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 【答案】D【详解】对于A ，城镇户籍中40%选择生育二胎，农村户籍中80%选择生育二胎，相差较大，则是否倾向选择生育二胎与户籍有关，A 错误；对于B ，男性和女性中均有60%选择生育二胎，则是否倾向选择生育二胎与性别无关，B 错误； 对于C ，由于男性和女性中均有60%选择生育二胎，但样本中男性40人，女性60人，则倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数不同，C 错误；对于D ，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍有5020%10⨯=人，城镇户籍有5060%30⨯=人，农村户籍人数少于城镇户籍人数，D 正确.故选：D.举一反三为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如等高条形图：根据图中的信息，下列结论中不正确的是（）A．样本中多数男生喜欢手机支付B．样本中的女生数量少于男生数量C．样本中多数女生喜欢现金支付D．样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量【答案】C【详解】对于A，由右图可知，样本中多数男生喜欢手机支付，A对；对于B，由左图可知，样本中的男生数量多于女生数量，B对；对于C，由右图可知，样本中多数女生喜欢手机支付，C错；对于D，由右图可知，样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量，D对.故选：C.题型三：独立性检验的概念及计算例3：（2022·湖北武汉·模拟预测）通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表：跳绳性别合计男女爱好40 20 60 不爱好20 30 50已知()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，则以下结论正确的是（）A．根据小概率值0.001α=的独立性检验，爱好跳绳与性别无关B．根据小概率值0.001α=的独立性检验，爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C．根据小概率值0.01α=的独立性检验，有99%以上的把握认为“爱好跳绳与性别无关”D．根据小概率值0.01α=的独立性检验，在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好跳绳与性别无关”【答案】A【详解】由题知()()()()()22 2110(40302020)7.82260506050n ad bcKa b c d a c b d-⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯因为7.82210.828<，所以爱好跳绳与性别无关且这个结论犯错误的概率超过0.001，故A正确，B错误，又因为7.822 6.635>，所以有99%以上的把握认为“爱好跳绳与性别有关，或在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好跳绳与性别有关.故C和D错误.故选：A.举一反三1．（2022·江西南昌·一模（理））根据分类变量x与y的观察数据，计算得到2 2.974K=，依据下表给出的2K 独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是（）A．有95%的把握认为变量x与y独立B．有95%的把握认为变量x与y不独立C．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过10%D．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%【答案】D【详解】因为2 2.974 2.706K=>，所以变量x与y不相互独立，这个结论犯错误的概率不超过10%.故选：D 2．（2022·四川雅安·三模（文））为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的22K≈.参照附表，下列结论正确⨯列联表中，由列联表中的数据计算得29.616的是（）附表：A．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“药物有效”B．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“药物无效”C．有99％以上的把握认为“药物有效”D．有99％以上的把握认为“药物无效”【答案】C解：因为29.616<<，所以有99%以上的把握认为“药物有效”．K7.87910.828K≈，即2故选：C．题型四：独立性检验的基本思想例4：（2022·江西·二模（文））千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩销云，地上雨淋林”“日落云里走，雨在半夜后”……小明同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下22⨯列联表：并计算得到219.05K=，下列小明对地区天气判断正确的是（）A．夜晚下雨的概率约为1 5B．未出现“日落云里走”，但夜晚下雨的概率约为12C．出现“日落云里走”，有99.9%的把握认为夜晚会下雨D．有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关【答案】D【详解】根据表中数据可知,夜晚下雨的概率约为252511002P+==,所以A错.未出现“日落云里走”，但夜晚下雨的概率约为255254514P==+,故B错.219.0510.828K=>,对照临界值表可知,有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关,但不能说有99.9%的把握认为夜晚会下雨,故C错,D对.故选:D举一反三（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设0H ：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用22⨯列联表计算的结果，认为0H 成立的可能性不足1%，那么2K 的一个可能取值为（ ）A ．7.879B ．6.635C ．5.024D ．3.841【答案】A【详解】若0H 成立的可能性不足1%，则2 6.635K >，由选项知：27.879K =. 故选：A.题型五：独立性检验解决实际问题例5：（2022·全国·高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)P B A P B A 与(|)(|)P B A P B A 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R ．（ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅；（ⅱ）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【解析】(1)由已知222()200(40906010)=24()()()()50150100100n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==++++⨯⨯⨯， 又2( 6.635)=0.01P K ≥，24 6.635>，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. (2)(i)因为(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()P B A P B A P AB P A P AB P A R P B A P B A P A P AB P A P AB =⋅⋅⋅⋅，所以()()()()()()()()P AB P B P AB P B R P B P AB P B P AB =⋅⋅⋅ 所以(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅，(ii) 由已知40(|)100P A B =，10(|)100P A B =，又60(|)100P A B =，90(|)100P A B =， 所以(|)(|)=6(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅举一反三（2021·全国·高考真题（文））甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为15075% 200=,乙机床生产的产品中的一级品的频率为12060% 200=.（2）()22400150801205040010 6.63527013020020039K⨯-⨯==>>⨯⨯⨯,故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.精练巩固提升一、单选题1．（2022·全国·模拟预测）某初级中学有700名学生，在2021年秋季运动会中，为响应全民健身运动的号召，要求每名学生都必须在“立定跳远”与“坐位体前屈”中选择一项参加比赛．根据报名结果知道，有12的男生选择“立定跳远”，有34的女生选择“坐位体前屈”，且选择“立定跳远”的学生中女生占25，则参照附表，下列结论正确的是（）附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n ＝a ＋b ＋c ＋d ．A ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为选择运动项目与性别无关B ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为选择运动项目与性别无关C ．有97.5%的把握认为选择运动项目与性别有关D ．有95%的把握认为选择运动项目与性别有关【答案】C 【详解】解：由题意得：设该校男生人数为x ，女生人数为y ，则可得如下表格：由题意知12411524y x y =+，即43y x =，又x ＋y ＝700，解得300,400,x y =⎧⎨=⎩则()2270015030015010046.67 5.024300400250450K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为选择运动项目与性别有关.故选C ． 2．（2022·四川成都·三模（理））在某大学一食品超市，随机询问了70名不同性别的大学生在购买食物时是否查看营养说明，得到如下的列联表：附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．根据列联表的独立性检验，则下列说法正确的是（）．A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该校大学生在购买食物时要查看营养说明的人数中男生人数更多B．在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为该校女大学生在购买食物时要查看营养说明的人数与不查看营养说明的人数比为3 4C．在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别与是否查看营养说明有关系D．在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为性别与是否查看营养说明有关系【答案】C【详解】由题可得2270(15102025)= 5.83 5.02435353040K⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯，∴在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别与是否查看营养说明有关系.故选：C.3．（2021·全国·模拟预测（理））为了丰富教职工业余文化生活，某校计划在假期组织70名老师外出旅游，并给出了两种方案(方案一和方案二)，每位老师均选择且只选择一种方案，其中有50%的男老师选择方案一，有75%的女老师选择方案二，且选择方案一的老师中女老师占40%，则参照附表，得到的正确结论是（ ）附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.A ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“选择方案与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“选择方案与性别无关”C ．有95%以上的把握认为“选择方案与性别有关”D ．有95%以上的把握认为“选择方案与性别无关”【答案】C【详解】设该校男老师的人数为x ，女老师的人数为y ，则可得如下表格：由题意0.40.50.25x y =+，可得43y x =，可得30x =，40y =， 则()227015301510 4.667 3.84125453040K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 但4.667 5.024<，所以无97.5%以上有95%以上的把握认为“选择方案与性别有关”.故选：C.4．（2021·安徽黄山·二模（理））下列命题：①在线性回归模型中，相关指数2R 表示解释变量x 对于预报变量y 的贡献率，2R 越接近于0，表示回归效果越好；②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；③两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好；④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大． 其中正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C解：①在线性回归模型中，相关指数2R 表示解释变量x 对于预报变量y 的贡献率，2R 越接近于0，表示回归效果越不好，①错误；②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，②正确；③两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，③正确；④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，④正确．故选：C ．5．（2022·河南·长葛市第一高级中学模拟预测（理））某校计划在课外活动中新增攀岩项目，为了解学生喜欢攀岩和性别是否有关，面向全体学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男、女生人数相同，并绘制成等高条形图（如图所示），则下列说法正确的是（ ） ()20P K k ≥ 0.05 0.010k 3.841 6.635参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．A ．参与调查的学生中喜欢攀岩的女生人数比喜欢攀岩的男生人数多B ．参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多C ．若参与调查的男、女生人数均为100人，则能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢攀岩和性别有关D ．无论参与调查的男、女生人数为多少，都能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢攀岩和性别有关【答案】C【详解】对于选项A ：因为参加调查的男、女生人数相同，而男生中喜欢攀岩的占80%，女生中喜欢攀岩的占30%，所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多，所以选项A 错误；对于选项B ：参与调查的女生中喜欢攀岩的人数占30%，不喜欢攀岩的人数占70%，所以参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数少，所以选项B 错误；对于选项C ：若参与调查的男、女生人数均为100人，根据图表，列出2×2列联表如下：所以()2220080702030500050.505 6.6351109010010099K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢攀岩和性别有关，C 正确；对于选项D ：如果不确定参与调查的男、女生人数，无法计算2K ，D 错误．故选：C ．6．（2022·山东聊城·一模）根据分类变量x 与y 的成对样本数据，计算得到2 6.147χ=.依据0.01α=的独立性检验()0.01 6.635x =，结论为（ ）A ．变量x 与y 不独立B ．变量x 与y 不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01C ．变量x 与y 独立D ．变量x 与y 独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01【答案】C【详解】按照独立性检验的知识及比对的参数值，当2 6.147χ=，我们可以下结论变量x 与y 独立.故排除选项A,B;依据0.01α=的独立性检验()0.01 6.635x =，6.147<6.635,所以我们不能得到“变量x 与y 独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01”这个结论.故C 正确，D 错误.故选：C7．（2022·天津·模拟预测）下列说法错误的是（ ）A ．线性相关系数0r >时，两变量正相关 B ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值就越接近于1C ．在回归直线方程ˆ0.20.8yx =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 平增加0.2个单位 D ．对分类变量X 与Y ，随机变量2χ的观测值越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大【答案】B【详解】A ：线性相关系数0r >时，变量为正相关，正确；B ：两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数||r 的值就越接近于1，错误；C ：在回归直线方程ˆ0.20.8yx =+中，当1x ∆=时，ˆ0.2y ∆=，正确； D ：对分类变量X 与Y ，随机变量2χ的观测值越大，变量间的关系把握程度越大，正确.故选：B8．（2020·河南·模拟预测（文））2020年2月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播､微课推送等多种方式来指导学生线上学习.为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男､女学生，发现有80%的男生喜欢网络课程，有40%的女生不喜欢网络课程，且有99%的把握但没有99.9%的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男､女学生总数量可能为（ ）附：()()()()()2n ad bc a b c d a c b d -++++，其中n a b c d =+++.A ．130B ．190C ．240D ．250【答案】B 【解析】【分析】设男、女学生的人数都为5x ，则男、女学生的总人数为10x ，建立22⨯列联表，由独立性检验算出2K ，结合观测值和选项可得答案.【详解】依题意，设男、女学生的人数都为5x ，则男、女学生的总人数为10x ，建立22⨯列联表如下，故()2222108310553721⋅-==⋅⋅⋅x x x x K x x x x ，由题意可得106.63510.82821x <<， 所以139.33510227.388x <<，结合选项可知，只有B 符合题意.故选：B.二、多选题9．（2021·福建福州·一模）“一粥一饭，当思来之不易”，道理虽简单，但每年我国还是有2000多亿元的餐桌浪费，被倒掉的食物相当于2亿多人一年的口粮．为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘行动”．某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了90位来店就餐的客人，制成如下所示的列联表，通过计算得到K 2的观测值为已知()2 6.6350.010P K =，()210.8280.001P K =，则下列判断正确的是（ ）A ．在该餐厅用餐的客人中大约有66.7%的客人认可“光盘行动”B ．在该餐厅用餐的客人中大约有99%的客人认可“光盘行动”C ．有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关D ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关【答案】AC【详解】∵K 2的观测值为9，且P （K 2≥6.635）＝0.010，P （K 2≥10.828）＝0.001，又∵9＞6.635，但9＜10.828，∴有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关，或者说，在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关，所以选项C 正确，选项D 错误，由表可知认可“光盘行动”的人数为60人，所以在该餐厅用餐的客人中认可“光盘行动”的比例为6010090⨯%≈66.7%， 故选项A 正确，选项B 错误.故选：AC.10．（2022·湖南岳阳·三模）下列说法正确的是（ ）A ．线性回归方程y bx a =+必过(,)x yB ．设具有线性相关关系的两个变量x ，y 的相关系数为r ，则r 越接近于0，x 和y 之间的线性相关程度越强C ．在一个22⨯列联表中，由计算得2K 的值，则2K 的值越小，判断两个变量有关的把握越大D ．若()2~1,X N σ，()20.2P X >=，则()010.3P X <<= 【答案】AD【详解】因为线性回归方程y bx a =+必过样本中心点(,)x y ，所以选项A 正确； 因为r 越接近于0，x 和y 之间的线性相关程度越弱，所以选项B 不正确；因为2K 的值越小，确定两个变量有关的把握的程度越小，所以选项C 不正确；因为()2~1,X N σ，所以()()()1011220.32P X P X P X <<=<<=->=，因此选项D 正确，故选：AD 三、填空题11．（2020·宁夏·固原一中模拟预测（文））在独立性检验中，统计量K 2有两个临界值：3.841和6.635.当K 2＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当K 2＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当K 2≤3.841时，认为两个事件无关.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算K 2＝20.87.根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病之间是________的(有关、无关).【答案】有关【详解】K 2＝20.87＞6.635时，有99%的把握说明打鼾与患心脏病有关.故答案为：有关12．（2022·全国·模拟预测）某大学为了解喜欢看篮球赛是否与性别有关，随机调查了部分学生，在被调查的学生中，男生人数是女生人数的2倍，男生喜欢看篮球赛的人数占男生人数的56，女生喜欢看篮球赛的人数占女生人数的13.若被调查的男生人数为n ，且有95%的把握认为喜欢看篮球赛与性别有关，则n 的最小值为______.【答案】12【详解】由题意得到如下列联表：所以2235263663822n n n n n n n n n n χ⎛⎫⋅-⋅⎪ ⎭⎝==⋅⋅⋅. 因为有95%的把握认为喜欢看篮球赛与性别有关，所以2 3.841χ≥，即3 3.8418n ≥， 3.841810.243n ⨯≥≈. 又2n ，3n ，6n 为整数，所以n 的最小值为12.故答案为：12 13．（2020·山西·大同一中模拟预测（理））某班主任对全班30名男生进行了作业量多少的调查，数据如下表：该班主任据此推断男生认为作业多与喜欢玩电脑游戏有关系，则这种推断犯错误的概率不超过________． 附表及公式：参考公式：K 2＝2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -++++. 【答案】0.05【详解】计算得K 2的观测值k ＝230(12828)14162010⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈4.286＞3.841，则推断犯错误的概率不超过0.05.故答案为：0.05．14．（2022·辽宁葫芦岛·二模（理））下列说法：①线性回归方程y bx a =+必过(),x y ；②命题“21,34x x ∀≥+≥”的否定是“21,34x x ∃<+<”③相关系数r 越小，表明两个变量相关性越弱；④在一个22⨯列联表中，由计算得28.079K =，则有99%的把握认为这两个变量间有关系；其中正确．．的说法是__________．(把你认为正确的结论都写在横线上） 本题可参考独立性检验临界值表： 【答案】①④详解：线性回归方程ˆˆˆybx a =+必过样本中心点(),x y ，故①正确． 命题“21,34x x ∀≥+≥”的否定是“21,34x x ∃≥+<” 故②错误③相关系数r 绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，故不正确；④在一个22⨯列联表中，由计算得28.079K =，则有99%的把握认为这两个变量间有关系，正确.故答案为①④.四、解答题15．（2022·全国·高考真题（文））甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，()2P K k0.100 0.050 0.010k 2.706 3.841 6.635【解析】(1)根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次，设A家公司长途客车准点事件为M，则24012 ()26013==P M；B共有班次240次，准点班次有210次，设B家公司长途客车准点事件为N，则210()27840==P N.A家公司长途客车准点的概率为12 13；B家公司长途客车准点的概率为7 8 .(2)列联表22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++=2500(2403021020) 3.205 2.70626024045050⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯， 根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关. 16．（2020·全国·高考真题（文））某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=（3）22⨯列联表如下：()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.。
列联表的两种抽样模型以及齐性和独立性的检验问题禹建奇（桂林理工大学理学院，广西桂林541004）摘要：本文讨论二维列联表数据的两种抽样模型，以及相关的齐性和独立性检验问题，说明两种抽样模型的联系，以及齐性及独立性检验的一致性.关键词：列联表；抽样模型；齐性；独立性检验中图分类号：G642.0文献标志码：A文章编号：1674-9324（2015）14-0071-02作者在讲授统计课程时，经常会遇到列联表的齐性和独立性检验问题，这两个问题分别牵涉到两种抽样方式，但两种检验的检验统计量与结果却是一样的.大多数教材，如吴喜之、赵博娟所著《非参数统计》，只是简单指出两种抽样方式的不同，两种检验的一致性只是殊途同归，巧合而已.本文论证了这两种模型的联系，导出两种检验的一致性，可见，这种一致性绝不是巧合.一、乘积多项分布模型与整体多项分布模型首先我们来看两个二位列联表的例子（摘自吴喜之、赵博娟所著《非参数统计》第八章）.例1对于某种疾病有三种处理方法，某医疗机构分别对22，15和19个病人用这三种方法处理，处理的结果分“改善”和“没有改善”两种，并且列在下表中：问：不同处理的改善比例是不是一样？例2在一个有三个主要百货商场的商贸中心，调查者问479个不同年龄段的人首先去三个商场中的哪一个，结果如下：问：人们对这三个商场的选择和他们的年龄是否独立？这两个例子的数据都有下面的两因子列联表形式：这里，每个格子的频数n ij 为随机变量，行频数总和n i •=∑j n ij ，列频数总和n •j =∑i n ij ，频数总和n ••=∑i n i •=∑j n •j ，A 1，A 2，…，A r 为行因子的r 个水平，B 1，B 2，…，B c 为列因子的c 个水平.用p ij 表示第ij 个格子频数占总频数的理论比例（概率）.显然，p ij =E （n ij ）/n ••，这里E （n ij ）为n ij的数学期望，而相应的第i 行的理论比例（概率）p i •及第j 列的理论比例（概率）p •j 分别为p i •=∑j p ij ，p •j =∑i p ij •对于例1代表的那一类问题，要检验的是每行分布的齐性（homogeneity ）.一般来说，对齐性的检验就是检验H 0：“对所有行，给定行的条件列概率相同.”记给定第i 行后第j 列的条件概率为p j|i =p ij p i •，零假设则为H 0∶p j|i =p j|i *=，∀j ，i ≠i *.而备选假设为H 1“零假设中的等式至少有一个不成立.”在零假设下，条件概率p j|i 与i 无关，我们可以记该条件概率为p j ，则p •j =∑i p ij =∑i p i •p j|i =∑i p i .p j =p j ∑i p i .=p j ，零假设即为H 0∶p j|i =p •j ，∀j ，i对于例1的具体问题，零假设为：“对于各种不同的处理，改善的比例或概率相同.”注意，这里因为只有两种结果，所以，对不同处理改善的比例相同就意味着对各种处理没有改善的比例也相同.这种关于齐性的检验的数据获取，一般都类似于例8.1，对行变量的每一水平i ，试验前选定一定数目（n i ·）的对象，然后在试验时观测并记录在列变量的不同水平所得到的相应频数.在零假设之下，第ij 个格子的期望值E ij =E （n ij ）应该资助项目：本文获“桂林理工大学博士科研启动基金（2014）”支持作者简介：禹建奇（1970-），男，湖南邵阳人，数学博士，教师，研究方向：数理统计. All Rights Reserved.等于n i •p •j ，但p •j 未知，零假设下，可以用其估计p^•j =n •jn ••代替.这样期望值的估计值为E ^ij =n i •p ^•j =n i •n •j /n ••而第ij 个格子的实际频数为n ij ，故Pearson χ2统计量为Q=∑i ∑j （n ij -E ij ）2E ij =∑i ∑j（n ij -n i •n •j n ••）2n i •n •j /n ••它在样本量较大时（E ij ≥5，∀i ，j ）近似地服从自由度为（r-1）（c-1）的χ2分布.一般而言，对r ×c 的列联表，试验前先选定各行的总频数n i ·，再进行独立抽样，记录各个格子的频数，这样，每行的分布是一独立的多项分布P （n ij =o ij ，j=1.2.…，c ）=n i •！n i1！n i2！…n ic ！p 1|i n i1…p c|inic这里，o ij 是n ij 的观测值，p i|1，….p i|c 为给定行的条件概率.所以，整个列联表的分布为独立多项分布的乘积P （n ij =o ij ，j=1.2.…，c ，i=1.2.…，r ）=∏ri=1n i •！∏ri=1∏cj=1n ij ！∏ri=1∏cj=1p j|in ij这种抽样模型称列联表的乘积多项分布模型.而对于例2那一类问题，要检验的是行和列变量的独立性（INDEPENDENCE ）.当行变量与列变量独立时，一个观测值分配到第ij 个格子的理论概率p ij 应该等于行列两个概率之积p i •p •j ，即零假设为H 0∶p ij =p i •p •j ，∀i ，j这时，在零假设下，它的估计值为p^ij =p ^i •p ^•j =n i •n ••n •j n ••，而第ij 个格子的期望值估计为E ^ij ≈n ••p ^ij =n i •n •j /n ••可以看到，这和前面检验齐性时零假设下的期望值一样，由此可以得到和上面检验齐性时导出的同样的统计量Q ，这样导出的Q 当然也有同样的渐近χ2分布.这类关于独立性的问题的数据获取，通常是随机选取一定数目的样本，然后记录这些个体分配到各个格子的数目（频数）.它并不事先固定某变量各水平的观测对象数目，这和齐性问题有所区别.一般地，对r ×c 的列联表，试验前先选定总频数n ••，再进行独立抽样，记录n ••个对象落在各个格子的频数，这样，整个列联表的分布为一多项分布P （n ij =o ij ，j=1.2.…，c ，i=1.2.…，r ）=∏ri=1n ••！∏ri=1∏cj=1n ij ！∏r i=1∏c j=1p ijn ij这种抽样模型称列联表的整体多项分布模型.二、两种模型的联系如上所述，很多的统计教材也都指出，同一个列联表数据可以有两种抽样模型，而且对两种模型分别做齐性和独立性检验时，检验过程与结论完全一样，但是其中的缘由却未见说明.其实可以证明，这并不是巧合，它是下面两个定理的结果.定理一：齐性问题与独立性问题等价，即各行的齐性等价于行与列变量的独立性.证明：各行齐性，即对∀i ，j ，p j|i =p •j ，⇔p ij =p i •p j|i⇔p ij =p i •p •j ，即独立性定理二：在整体多项分布中，考虑固定各行总频数的条件概率，则得乘积多项分布.证明：整体多项分布即：P （n ij =o ij ，j=1.2.…，c ，i=1.2.…，r ）=∏ri=1n ••！∏r i=1∏cj=1n ij ！∏r i=1∏c j=1p ijn ij注意到n i •，i=1.2.…，r 的分布亦为一多项分布P （n i •=o i •，i=1.2.…，r ）=n ••！∏r i=1n i •！∏ri=1p i •n i •可以得到，固定各行总频数的条件概率为：P （n ij =o ij ，j=1.2.…，c ，i=1.2.…，r|n i •=o i •，i=1.2.…，r ）=P （n ij =o ij ，j=1.2.…，c ，i=1.2.…，r ）P （n i •=o i •，i=1.2.…，r ）=（n ••！∏r i=1∏c j=1n ij ！∏r i=1∏c j=1p ij n ij）/（n ••！∏ri=1n i •！∏ri=1p i •n i •）=∏ri=1n i •！∏r i=1∏cj=1n ij ！∏r i=1∏cj=1（p ij /p i •）nij=∏ri=1n i •！∏r i=1∏cj=1n ij ！∏r i=1∏c j=1（p j|i ）n ij三、最后结论整体抽样模型的独立性当然等价于固定各行总频数时的齐性，所以，综合可得以下结论：二维列联表的数据，可能来自两种不同的抽样模型：整体多项分布模型和乘积多项分布模型，但是两种模型其实是一致的，即乘积多项分布模型可以认为是整体多项分布模型在限定各行总频数的条件下的条件分布模型，同时由于齐性与独立性的等价，不论以何种模型分析同一个列联表的齐性或独立性，得到的结果是一样的.参考文献：[1]吴喜之，赵博娟.非参数统计[M].中国统计出版社，2013.[2]阿兰，阿格莱斯蒂.分类数据分析[M].重庆大学出版，2012.. All Rights Reserved.。
