人物简介 代数学之父——韦达

代數學之父韋達
韋達(Francis Viete, 1540 - 1603) 是法國人，早年研習法律，曾任巴黎裁判所的律師，喜歡在工餘鑽研數學。

在法國與西班牙戰爭期間，曾成功為法軍破譯西班牙軍隊的密碼，其數學成就也因而得到注意。

代數學之父
韋達的數學研究範圍相當廣泛，其中以符號代數最為突出，被譽為「代數學之父」。

受到希臘數學家丟番圖以字母表示未知量和冪的影響，韋達在著作《分析方法引論》中，首次有系統地以符號表示系數。

的研究
韋達對於幾何學也有相當的研究。

1579 年，他給出圓周率π 的第一個無窮乘積的表達式：
並由此計算得π 準確至十六位小數的值。

韦达韦达，F．(Viète，Francois)1540年生于法国普瓦图地区［Poitou，今旺代省的丰特奈-勒孔特(Fontenay－le-Comte)］；1603年12月13日卒于巴黎．数学．韦达的名字应译为“维埃特”，因其著作均用拉丁文发表，故名字常用拉丁文拼法Vieta，译音是韦达，沿用至今．韦达的父亲艾蒂安(E tienne)是丰特奈的律师．韦达早年在家乡接受初等教育，后来到普瓦捷(Poitiers)大学学习法律，1560年获法学学士学位，成了一名律师．1564年放弃这一职位，做了一段秘书和家庭教师工作．1573年10月受查理九世委派任雷恩(Rennes)布列塔尼(Brittany)地方法院律师．闲暇期间钻研各种数学问题．1580年3月在巴黎成为法国行政法院审查官，后任皇室私人律师．1584年遭政敌陷害被放逐，5年后又被亨利三世召回宫中，充任最高法院律师．在法兰西与西班牙的战争期间(1595—1598)，韦达为亨利四世破译截获的西班牙密码信件，卓有成效．后来几年辗转于丰特奈和巴黎．1602年被亨利四世免职，次年去世．韦达是法国16世纪最有影响的数学家．他在毕业以后(1564—1568)和从政在野期间(1584—1589)曾潜心探讨数学，并一直将这一研究作为业余爱好．为了把研究成果及时发表，还自筹资金印刷和发行自己的著作．由于他的论著内容深奥，言辞艰涩，故其理论当时并没有产生很大影响．直到1646年，由荷兰数学家F．van斯霍滕(Schooten)在莱顿出版了韦达全部著作的文集，才使他的理论渐渐流传开来，得到后人的承认和赞赏．平面三角学与球面三角学《应用于三角形的数学定律》(Canon mathematicus seu ad triangula cum appedicibus，巴黎，1579)是韦达最早的数学专著之一，也是早期系统论述平面和球面三角学的著作之一．该书于1571年付印，共有4个部分，但最后只有前两部分于1579年出版．书中的第一部分列出6种三角函数表，第一个表和第六个表以分和度为间隔，给出6条三角函数线精确到5位和10位小数的值，其他的表则列出与三角值有关的乘法表、商表等．第二部分给出造表的方法，解释了三角形中诸三角线量值关系的运算公式，其中有韦达自己发现或补充的公式，如正切定律和差化积公式等．他将这些公式汇于一个总表中，使得任意给出某些已知量后，可以从表中得出未知量的值．该书以直角三角形为基础．对斜三角形，韦达仿效古人的方法化为直角三角形来解决．对球面三角形，则使用与平面三角形相仿的记号化为球面直角三角形，给出计算的完整公式及其记忆法则，如提出涉及钝角的余弦定理cosA=-cosBcosC＋sinBsinCcosa．韦达在三角学方面不仅多有创见，而且运用灵活．1593年亨利四世为解答一个45次方程召见韦达．该方程是由比利时数学家A．van罗门(Roomen)提出的，即45y-3795y3＋95634y5-…＋945y41-45y43＋y45=c．罗门以此向全世界的数学家提出挑战，征求解答．荷兰驻法大使对亨利四世说，法国人不具备解决这一问题的能力．韦达来到后看出这个角学知识，几分钟后就用铅笔写出了一个解．第二天他已找到了该方程的全部23个正根，而当时并不承认其负根，认为正弦值为负是难以理解的．两年后韦达发表了“回答”(Responsum，1595)一文，解释了他的方法．韦达根据45=3·3·5，首先将一个角5等分，然后再将每一份3等分两次，使之分别与五次方程和三次方程相对应，则上述问题可如下求解，先用3x-x3=C的根x求t：3t-t3=x；再根据方程5y-5y3＋y5=t sinnθ用sinθ表示的问题．后来，韦达又专门写了一篇论文“截角术”(Ad angularium sectionum)，初步讨论了正弦、余弦、正切弦的一般公式，首次把代数变换应用到三角学中．他考虑含有倍角的方程，具体给出了将cosnx表示成cosx的函数(n≤11)，并给出一个确定系数的表．就其应用的方法来看，韦达已能给出当n 等于任意正整数的倍角表达式了．“截角术”在他生前没有发表，直到1615年才由安德森(Anderson)印刷所出版．符号代数与方程理论《分析方法入门》(In artem analyticem isagoge，图尔，1591)是韦达最重要的代数著作，也是最早的符号代数专著，书中第1章引用了两种希腊文献：帕波斯(Pappus)的《数学文集》(Mathe-matical collection)第7篇和丢番图(Diophantus)的《算术》(Arithmetica)，他将帕波斯提出的几何定理与问题和丢番图著作中的解题步骤结合起来，认为代数是一种由已知结果求条件的逻辑分析技巧，并自信希腊数学家已经应用了这种分析术(arsanalytice)，他自己只不过将这种分析方法重新组织．韦达不赞成用algebra(代数)这个词，因为它是一个外来语，在欧洲语言中没有意义，建议用analyse(分析)来代替它．韦达不满足于丢番图对每一问题都用特殊解法的思想，试图创立一般的符号代数．他引入字母来表示量，用辅音字母B，C，D等表示已知量，用元音字母A(后来用过N)等表示未知量x，而用A quadratus，A cubus表示x2，x3，并将这种代数称为“类的运算”(logistice speciosa)，以此区别于用来确定数目的“数的运算”(logistice numerosa)．对这种“类”，他在第2章中借用了欧几里得(Euclid)《几何原本》中对量所作的规定，如：整体等于部分之和；相等的两个量分别加上相等的两个量结果仍相等；以及某些运算性质，例如：若a∶b=c∶d则(a+c)∶(b+d)=a∶b=c∶d；若ac=b2(或ad=bc)则a∶b=b∶c(或a∶b=c∶d)等．从而使类的运算法则符合于通常数的四则运算法则．这样，他的“分析方法”对数和几何量在使用上就没有差别了，韦达以此为根据展开了关于代数方程的讨论．书中第5章在列举了方程的构成方法及类型后，给出了解方程的基本步骤．如将方程一边的某一项移至另一边；用方程中每一项都有的“类”除各项，降低方程的阶；消去最高项的系数，将方程变成比例的形式等．第6章处理了一些涉及综合法的问题，第7章讨论了几何量与数之间的关系，若事物本身能表示成长度、面积或体积，则在方程中能用一个数表示这个量．韦达拘泥于希腊人的齐性(homogeneity)原则，即认为一个数表示线段，二数之积表示面积，三数之积表示体积，它们之间是不能混合运算的．因此在韦达列举的方程中，要求每一顶的已知量与未知量的乘积次数相等，称之为均匀性或齐次性(homogeneous)，使整个方程表示同一种几何意义(例如将三次方程y3+py+q=0记为x3＋A2x=B3等)．最后一章即第8章中韦达讨论了各种可能出现的方程的表示方法，共有29条规则．其中给出了方程的定义：一个方程是一个未知量与一个确定量的比较．在数学中，代数与算术的区别在于代数引入了未知量，用字母等符号表示未知量的值进行运算．韦达之前，已有不少数学家用字母代替特定的数，但并不常用，韦达是第一个使之系统化的人．虽然他选用的符号并不优良(相等、相乘等概念在运算中仍用文词表示)，没有沿用下来，现在用a，b，c表示已知量，x，y，z表示未知量的习惯用法是R．笛卡儿(Descartes)继韦达之后提出的，可是当韦达提出类的运算与数的运算的区别时，就已规定了代数与算术的分界．这样，代数就成为研究一般的类和方程的学问，这种革新被认为是数学史上的重要进步，它为代数学的发展开辟了道路，因此韦达被西方称为“代数学之父”．1593年，韦达又出版了另一部代数学专著——《分析五篇》(Zeteticorum libri quinque，亦称《发现五篇》， 5卷，约1591年完成)，用具体实例将类运算与丢番图的《算术》相比较，并试图将后者在几何形式下的代数恒等式重新推导出来，如a3＋3a2b+3ab2+b3=(a＋b)3cubo”］等，还包含有二次和三次不定方程的解，其中有34个问题引自丢番图的《算术》(包括13个有同样数值的问题)，而解题方法却是韦达的分析术．《论方程的识别与订正》(De aequationum recognitione etemendatione，1615)是韦达逝世后由他的朋友 A．安德森(Ander－son)在巴黎出版的，但早在1591年业已完成．其中得到一系列有关方程变换的公式，给出了G．卡尔达诺(Cardano)三次方程和L．费拉里(Ferrari)四次方程解法改进后的求解公式．例如，对方程x3＋3B2x=2Z3，韦达设y2＋yx=B2(B2可理解为一个矩形的面积，该矩形的小边为y，大边与小边的差额为x)，则有(B2-y2)/y=x，代入原方程，得(B6-3B4y2＋3B2y4-y6)/y3＋(3B4-3B2y2)/y=2Z3．将所有项都乘 y3，并适当合并，得y6+2Z3y3=B6，这个方程有一个二次Z6=D3就得到(B2-D2)/D为所求的x．在处理四次方程时，韦达同样使用其化简原理，首先消去含x3的项，化为方程x4+a2x2＋b3x=c4，然后将含有x2和x的项移到方程的右边，并在方程两边同时加上x2y2+y4/4，则方程变为然后选择适当的y，使方程右边变成完全平方数，代换y值，求出两边的平方根，于是得到关于x的两个二次方程，再解之．他还推出了一般二次方程的求根公式，类似于现在的结果．在该书第8章，韦达给出卡尔达诺三次方程不可约情形的三角解法：若x3-3a2x=a2b，其中a＞b/2，则利用三角恒等式(2cosα)3-3(2cosα)=2cos3α，令x=2acosα，由b=2acos3α确定3α，可得出方程的三个根韦达只给出一个根，其方法为后人沿用．《论方程的识别与订正》的另一成就是记载了著名的韦达定理，即方程的根与系数的关系式．韦达给出4个定理，论述了在二次方程中如果第二项的系数是两数和的相反数，第三项的系数是这两数的乘积，那么这两个数就是这个方程的根．此外，韦达在最后一章中试图将多项式分解成一次因子，如从二次到五次方程中分解出x-x k，但没有成功，只是在进行过程中较早得到代数方程(x)=0的形式．韦达还探讨了代数方程数值解的问题，1591年已有纲要，1600年以《幂的数值解法》(De numerosa potestatum)为题出版．其中给出的求方程的近似根与求一般根的方法一致，其过程与I．牛顿(Newton)近似方法相仿，由估值开始，经过逐次迭代求得结果．该方法到1680年前后才被普遍使用．几何学的贡献1593年韦达在《分析五篇》中曾说明怎样用直尺和圆规作出413 导致某些二次方程的几何问题的解．同年他的《几何补篇》(Su-pplementum geometriae)在图尔出版了，其中给出尺规作图问题所涉及的一些代数方程知识，从直线的截距公设开始，用已给两线段的比例中项及圆弧和截距间的关系式，较早地将倍立方和三等分角问题转化为解三次方程的问题，并给出两个用三角方法解三次方程的命题．后来他又得到用给定线段求解倍立方作图问题的解答(发表于1646年)．《几何补篇》中还有6个命题研究了圆内接正七边形的作图法，指出这种作图亦可导致三次方程，即x3=ax+a．韦达在同年出版的《各种数学解答》(Variorum de rebusmathematicis responsorum)的前半部分又重述了倍立方体、三等分角及圆内接正七边形问题，并以对偶形式讨论了割圆曲线、平面和球面三角形、阿基米德螺线等问题，给出无穷几何级数的求和公式等结果．此外，在第18章中韦达最早明确给出有关圆周率π值的无穷运算式即π的第一个解析表达式．这是在考虑单位圆内正多边形时发现圆面积为而得到的．他还利用圆内接正393216边形得到π的精确到10位小数的近似值，被认为是当时西方最好的圆周率值．韦达强调10进分数(小数)优于欧洲罗马时代流传下来的60进分数，而且创造了一套10进分数表示法，促进了记数法的改革．1600年，韦达又发表一部关于阿波罗尼奥斯(Apollomus)几何作图相切问题的专著．该问题原意是：任给三个圆形(可以是点、直线或圆)，求作一个圆过给定的点并切于给定的直线或圆．因为求作一圆与已给的三个圆相切为最难，后人常以此代称为阿波罗尼奥斯相切问题．阿波罗尼奥斯的原著已失传，解法也无从知晓．韦达在此试图收集已散失的论文，并亲自解了这道相切题．他通过单独处理该题10种特殊情形的每一种，严格陈述了求解方法，给出应用两个圆相似中心的欧几里得解法，得到同时代数学家的赞赏．他还在附录中列举解法的几何构造及其注释，为后人对这一问题的研究提供了帮助．当韦达解决了比利时数学家罗门提出的45次方程后，作为礼尚往来，他把阿波罗尼奥斯问题回敬给罗门，后来还帮助罗门化简了这一问题的求解方法．韦达用代数方法解决几何问题的思想由笛卡儿继承，发展成为解析几何学．韦达崇尚古代学者的功绩，认为自己的工作只是用新的方法、技巧或新的形式恢复古人的工作，如使用字母、方程求解等，而对一些概念上的革新持冷漠态度．他在研读卡尔达诺有关三次方程的著作时借鉴了其中的解法，却对卡尔达诺解出的负根置之不理，而且在自己的论著中自始至终不承认负根．另外，韦达对哥白尼的天文学理论抱有成见，在格列高利十三世(Pope Gregory XIII)的历法改革中坚持错误观点，与其他科学家进行了长期争论．但韦达在数学上的巨大成就引导了一大批后继数学家．他在《分析方法入门》的结尾写下这样一句座右铭“没有不能解决的问题”(Nullum non problema solvere)，这不仅对代数学家是一种鼓舞，而且对所有从事数学工作的人来说都是一种极大的鞭策．。

韦达介绍他1540年生于法国的普瓦图。

1603年12月13日卒于巴黎。

年轻时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。

韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。

韦达在欧洲被尊称为“现代数学之父”。

韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。

韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。

他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系。

给出三次方程不可约情形的三角解法。

著有《分析方法入门》、《论方程的识别与订正》等多部著作。

韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角学方面的巨著。

他的《应用于三角形的数学定律》（1579年）是韦达最早的数学专著之一，可能是西欧第一部论述6种三角形函数解平面和球面三角形方法的系统著作。

他被称为现代代数符号之父。

韦达还专门写了一篇论文"截角术"，初步讨论了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代数变换应用到三角学中。

他考虑含有倍角的方程，具体给出了将COS(nx)表示成COS(x)的函数并给出当n≤11等于任意正整数的倍角表达式了。

他的《解析方法入门》一书（1591年），集中了他以前在代数方面的大成，使代数学真正成为数学中的一个优秀分支。

他对方程论的贡献是在《论方程的整理和修正》一书中提出了二次、三次和四次方程的解法。

一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac>0)中，设两个根为x1，x2 则X1+X2= -b/aX1*X2=c/a用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)中，若b^2-4ac<0 则方程没有实数根若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根定理拓展(1)若两根互为相反数，则b=0(2)若两根互为倒数，则a=0(3)若一根为0，则c=0(4)若一根为1，则a+b+c=0(5)若一根为-1，则a-b+c=0(6)若a、c异号，方程一定有两个实数根例1已知p+q=198，求方程x^2+px+q=0的整数根．(94祖冲之杯数学邀请赛试题) 解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得x1+x2=－p，x1x2=q．于是x1·x2－(x1+x2)=p+q=198，即x1·x2－x1－x2+1=199．∴运用提取公因式法(x1－1)·(x2－1)=199．注意到（x1－1）、（x2－1）均为整数，解得x1=2，x2=200；x1=－198，x2=0．例2已知关于x的方程x^2－(12－m)x+m－1=0的两个根都是正整数，求m的值．解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得x1+x2=12－m，x1x2=m－1．于是x1x2+x1+x2=11，即(x1+1)( x2+1)=12．∵x1、x2为正整数，解得x1=1，x2=5；x1=2，x2=3．故有m=6或7．例3求实数k，使得方程kx^2+(k+1)x+(k－1)=0的根都是整数．解：若k=0，得x=1，即k=0符合要求．若k≠0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，且X1≤X2，由韦达定理得∴x1x2－X1－x2=2，(x1－1)( x2－1)=3．因为x1－1、x2－1均为整数，所以X1=2，X2=4；X1=—2，X2=0.所以k=1,或k=-1/7例4已知二次函数y=－x&sup2;+px+q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α>1>β，求证：p+q>1．(97四川省初中数学竞赛试题)证明：由题意，可知方程－x&sup2;+px+q=0的两根为α、β．由韦达定理得α+β=p，αβ=－q．于是p+q=α+β－αβ，=－(αβ－α－β+1)+1=－(α－1)(β－1)+1>1(因α>1>β)．5证明结论由一元二次方程求根公式为：X = (-b±√b^2-4ac)/2a（注意：a指二次项系数，b指一次项系数，c指常数，且a≠0）可得X1= (-b+√b^2-4ac)/2a ，X2= (-b-√b^2-4ac)/2a1. X1﹢X2=（-b+√b^2-4ac)/2a+（-b-√b^2-4ac)/2a所以X1﹢X2=-b/a2. X1X2= [（-b+√b^2-4ac﹚÷2a]×[（-b-√b^2-4ac﹚÷2a]所以X1X2=c/a（补充：X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2X1·X2（扩充）3.X1-X2=（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a 又因为X1.X2的值可以互换，所以则有X1-X2=±【（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a】所以X1-X2=±（√b^2-4ac）/a。

关于韦达的简介
韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。

韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。

人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。

历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。

国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。

消息传开，数学界为之震惊。

同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。

韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。

你了解韦达定理吗?。

解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。

韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。

人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。

历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。

国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。

消息传开，数学界为之震惊。

同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。

韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。

你能利用韦达定理解决下面的问题吗？一 真题链接1.（2012•兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c （a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a 、b 、c 有如下关系：x1+x2=-a b x1•x2=a c把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴的两个交点为A （x1，0），B （x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 连个交点间的距离为：参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴的两个交点A （x1，0），B （x2，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．（1）当△ABC 为直角三角形时，求b2-4ac 的值； （2）当△ABC 为等边三角形时，求b2-4ac 的值．2.（2010•娄底）阅读材料：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据上述材料填空：已知x1，x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，则3.已知关于x 的方程x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12=0有两个相等的实数根，且满足2a-b=0． ①利用根与系数的关系判断这两根的正负情况．②若将y=x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12图象沿对称轴向下移动3个单位，写出顶点坐标和对称轴方程．4.设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据该材料填空：若关于x 的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1+x2=x1•x2．则k 的值为二 名词释义一元二次方程ax2+bx+c=0（a 、b 、c 属于R ，a≠0）根的判别，△=b2-4ac ，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

韦达定理韦达生于法国西部普瓦图的丰特标勒贡特，曾经在法王亨利四世手下任职，还当过律师，数学原本只是他的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。

他在数学方面的主要贡献有，第一次用字母代替已知量，确定了符号代数的原理和方法，使当时的代数学系统化，并把代数学作为解析的方法使用，因此有“代数学之父”之称。

在几何学方面，他利用阿基米德的方法，通过多边形来计算圆周率π，在计算中，他使用了393216边形，得到π的近似值为3.141592653……。

精确到小点后面的第9位，是第一个超越祖冲之的人（祖冲之当时算到第六位）。

韦达不仅是一个数学家，而且还是一个破译密码的专家。

他在法国政府任职时，曾经帮助法国政府破译了西班牙国王菲利浦二世使用的密码，对法国战胜西班牙起了重要作用，这样引起了西班牙国王的大怒，致使菲利蒲二世认为是法国人使用了什么“巫术”，因而还向罗马教皇指控法国“犯罪”。

青少年朋友们在初中学了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）方程的根α，β和系数a、b、c的关系式是这就是我们熟悉的韦达定理。

但是这种说法不是很确切。

请看下面几个定理的发表时间就清楚了。

定理1.一元二次方程ax2+px+q=0两个根为α和β，则α+β=-p，αβ=q定理2.一元三次方程x3+px2+qx+r=0的三个正根是α、β、γ，则α+β+γ=-p，αβ+βγ+αγ=q，αβγ=-r定理3.一元n次方程x n+ax n-1+ax n-2+x n-3+…+a n-1x+a n=0的n个正根为x1，x2，x3，…x n，则x1+x2+x3+…x n=-a1x1x2+x1x3+x1x4+…x2x3+x2x4+…x n-1x n=a2x1x2x3+x1x2x4+…+x2x3x4+x2x3x5+…+x n-2x n-1x n=-a3……。

x1x2…xn=（-1）n a n定理4.（把定理2中的“正”字去掉就得到定理4）定理1的发表时间在历史上没有记载，然而定理2却是意大利数学家卡丹（1501～1576年）在1545年发表的，所以定理1应在此之前，而法国数学家的创作年代应在1550年之后，因此定理2也不应当是韦达的功劳。

61053X
2019 (011)
韦达(1540—1603),法国数学家
韦达出生于法国的普瓦图,他从小就对数学很感兴趣。

韦达在成年后成为了一名律师,但他一直利用业余时间来研
究数学。

1579年,韦达著《应用于三角形的数学定律》一书，系统
地论述了三角函数的相关解法：后来,他又发表了一篇名为
“截角术”的论文，首次把代数变换应用到几何学中
1593年，韦达的《分析方法入门》出版，在书中，韦达对
代数学加以系统地整理，创设了大量的代数符号「这种革新
被认为是数学史上的重要进步,它为代数学的发展开辟了道
路，韦达因此被人们称为“代数学之父”O
ISSN1672-8858
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龙源期刊网 代数学之父作者：李劲来源：《初中生世界·七年级》2016年第10期弗朗索瓦·韦达，法国数学家，十六世纪最有影响的数学家之一，被尊称为“代数学之父”.他是第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进的数学家，是十六世纪法国最杰出的数学家之一.你知道第一个系统地使用字母来表示已知数的人是谁吗？他是法国数学家弗朗索瓦·韦达.韦达1540年生于法国的普瓦图，今旺代省的丰特奈 - 勒孔特.1603年12月13日逝世于巴黎.年轻时学习法律并当过律师.后从事政治活动，当过议会的议员.在与西班牙的战争中，曾为政府破译敌军的密码.韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，而且用字母表示系数.他通常以辅音字母表示已知量，以元音字母表示未知量，这种用字母代替数的做法无疑是代数的精髓.韦达还揭示了代数和算术的本质区别，他说代数是施行于事物的“类的运算”，而算术则是用来确定数目的“数的运算”，这样，代数就成为研究一般类型的学问，从而奠定了代数学的基础.在这种学科中，用字母表示数字的好处是显而易见的.后来，笛卡儿又对韦达使用的字母作了改进，他用字母表中前面的字母（如a，b，c）表示已知量，字母表中后面的字母（如x，y，z）表示未知量，成为现在的习惯用法.韦达带来了代数学理论研究的重大进步.韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角学方面的巨著.《应用于三角形的数学定律》（1579年）是韦达最早的数学专著之一，可能是西欧第一部论述6种三角形函数解平面和球面三角形方法的系统著作，他在1591年所写的《分析术引论》是最早的符号代数著作，是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用.因此，他获得了“代数学之父”的称号.他还写下了《数学典则》等不少数学论著.韦达的著作，以独特的形式包含了文艺复兴时期的全部数学内容.只可惜韦达著作的文字比较晦涩难懂，在当时不能得到广泛传播.在他逝世后，才由别人汇集整理并编成《韦达文集》于1646年出版.（作者单位：江苏省扬州大学附属中学东部分校）。

人物简介: 代数学之父——韦达韦达F Viete,Francois,1540～1603,法国数学家;韦达1540年出生于法国普瓦图地区的一个律师家庭,早年在家乡接受初等教育,后来考入普瓦杰大学学习法律;20岁时,他大学毕业了,理所当然地继承父业,成为一名律师;但过了4年之后,他便辞掉律师职务,去给别人做了一段时间的秘书和家庭教师;直到1573年,韦达才又重操旧业,出任法国某地方法院律师,后来在政治上几经波折,于1589年被亨利三世任命为法国最高法院律师;1595年～1598年,法国和西班牙发生战争,韦达效力于亨利四世,为法国军队翻译截获的军事密码,立下汗马功劳;但政治生涯多变化,在韦达去世前一年,他被亨利四世免去了职务,韦达的一生可谓波折起伏;但就是在这样一种环境下,他始终将数学作为业余爱好,在工作之余坚持数学研究,并自费印刷和发行自己的数学着作,最终取得了许多创造性的成就,充分体现了一个数学家对数学事业的热爱和执着追求;韦达在数学上的研究领域主要包括方程理论、符号代数、三角学及几何学等,在每一个领域他都做了一些有意义的工作;符号代数与方程理论数学中代数与算术的区别在于代数引入了未知量,用字母等符号表示未知量的值进行运算,而算术则是以具体的数进行运算;1591年,韦达出版了他最重要的代数学着作分析方法入门,这是最早的符号代数专着;在书中,韦达引入字母表示未知量,并使之系统化,使得代数成为研究一般的类和方程的学问,为代数学的进一步发展奠定了基础;为此,韦达被后人称为“代数学之父”;在研究方程的一般解法的过程中,韦达试图创立一种一般的符号代数来代替原来的每一问题各有一种特殊解法的情形;他引人字母来表示量,用辅音字母B,C,D等表示已知量,用元音字母A表示未知量,并将这种代数称为“类的运算”以区别于原来的“数的运算”;同时,韦达还规定了“类”的运算法则与数的运算法则相同;以此为起点,韦达对代数方程理论进行了较为系统的研究;韦达这样给出了方程的定义：一个方程是一个未知量和一个确定量的比较;他将方程作了一定的分类,给出了饵方程的基本步骤和方法;1615年,韦达的生前好友将韦达早在1591年完成的论方程的识别与订正一书整理出版;书中研究了几类高次方程的解法,并得到了一般二次方程的求根公式,更为重要的是,韦达在书中提出了着名的韦达定理,即方程根与系数的关系式;他清楚地论述了对于二次方程,若第二项的系数是两数的和的相反数,第三项的系数是这两数的乘积,那么这两个数就是此方程的根;这在我们的中学代数中是一个很重要的定理,想来同学们对此肯定不会太陌生吧几何学上的贡献韦达充分发挥自己在代数研究上的优势,用代数方法研究解决了一些几何问题;他给出了一些尺规作图问题涉及的代数方程知识,较早地将着名的倍立方体问题“求作一立方体的边,使该立方体的体积为给定立方体的两倍”和三等分角问题“分一个给定的任意角为三个相等的部分”转化为解三次方程的问题;事实上着名的三大几何作图问题——倍立方体问题、三等分角问题和化圆为方问题“作一个正方形,使其与一给定的圆面积相等”,只有圆规和直尺是不能完成精确的作图的;直到19世纪,这种不可能性才被数学家证明,距离这三大问题的提出已经有两千年之久了;韦达在各种数学解答一书中,讨论了一些几何作图问题,给出了无穷几何级数的求和公式,还最早明确给出了计算圆周率π的如下公式：错误!这是π的第一个解析表达式;韦达利用圆的内接393216边形将π精确到小数点后10位数字,这在当时是欧洲最好的圆周率值;韦达用代数方法解决几何问题的思想对后来的数学发展的意义是深远的,因为它正体现了解析几何学的根本精神;三角学上的成就韦达在三角学方面也有许多创造性的工作;1579年出版的应用于三角学的数学定律是韦达最早的数学着作之一,也是早期系统论述三角学的着作之一;书中给出了许多三角函数表和造表方法,韦达自己发现或补充的公式包括我们现在代数课本中出现的和差化积公式：错误!利用自己纯熟的三角学知识,韦达曾解决了当时一道着名的方程难题——求解45次方程：45y－3795y3＋9563y5－……＋945y41－45y43＋y45＝C这是比利时数学家罗门向全世界数学家提出来的挑战;当时的法国国王亨利四世为此召见韦达,要求他解出此方程以为法国争得荣誉;韦达接受任务后,立即开始钻研,凭借他敏锐的数学直觉,他发现此方程与单位圆中心角为2π／45的弧所对的弦有密切关系,并很快得出了方程的一个解;第二天,他就将方程的所有正根全部求了出来;在解方程的过程中,韦达首次将代数变换应用于三角学中,并讨论了正弦、余弦等的一般公式,具体给出了将cos nx 表示成cos x的函数n≤11;尽管韦达的方程理论仍然存在着许多不足,比如他不承认方程负根的存在等,但他所取得的数学成就对后来的数学家有着深远的影响,他的名言：“没有不能解决的问题”永远激励着人们奋发向上,向更高的山峰攀登,去探索未知的数学世界;。

漫谈法国历史上最杰出的十位数学家NO10: 韦达 (现代代数符号之父)韦达（François Viète,1540~1603）,法国数学家，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。

韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。

在欧洲被尊称为“代数学之父”，在法国和西班牙的战争中，韦达利用精湛的数学方法，成功破译西班牙的军事密码，为他的祖国赢得战争主动权。

这里提一下中国学生在初中，高中经常学到的韦达定理:韦达定理(Vieta's Theorem）的内容（根与系数的关系）一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且b^2-4ac≥0)中设两个实数根为X1和X2则X1+X2= -b/aX1*X2=c/a用韦达定理判断方程的根:若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根若b^2-4ac<0>NO9. 笛卡尔 (解析几何之父)勒内·笛卡尔（Rene Descartes，公元1596年3月31日—公元1650年2月11日），出生于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷拉海（现改名为笛卡尔以纪念），逝世于瑞典斯德哥尔摩，法国著名哲学家、物理学家、数学家、神学家。

他对现代数学的发展做出了重要的贡献，创立了直角坐标系，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。

他所建立的解析几何在数学史上具有划时代的意义。

笛卡尔堪称17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”。

平面解析几何通过平面直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系，以及曲线与方程之间的一一对应关系，运用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题。

在解析几何创立以前，几何与代数是彼此独立的两个分支，解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，使形与数统一起来，这是数学发展史上的一次重大突破。

【中考攻略】专题4：韦达定理应用探讨韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。

韦达第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。

韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。

人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。

韦达定理说的是：设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ，，则1212bc x +x =x x =a a-⋅，。

这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a ，b ，c 的关系。

其逆命题：如果12x x ，满足1212b c x +x =x x =a a-⋅，，那么12x x ，是一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠的两个根也成立。

韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式2=b 4ac 0∆-≥。

韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。

锦元数学工作室将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值； ③构造一元二次方程； ④求方程中待定系数的值； ⑤在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用。

下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。

一、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。

典型例题：例1：（2012湖北武汉3分）若x 1、x 2是一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则x 1＋x 2的值是【 】A ．－2B ．2C ．3D ．1 【答案】C 。

【考点】一元二次方程根与系数的关系。

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得x 1＋x 2＝3。

故选C 。

例2：（2001湖北武汉3分）若x 1、x 2是一元二次方程x 2＋4x ＋3＝0的两个根，则x 1·x 2的值是【 】A.4.B.3.C.－4.D.－3. 【答案】B 。

第五节 韦达定理韦达（Viete ，Francois ，seigneurdeLa Bigotiere ）是法国十六世纪最有影响的数学家之一。

第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。

他1540年生于法国的普瓦图。

1603年12月13日卒于巴黎。

年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。

韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。

韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。

韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。

韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。

韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。

他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系。

给出三次方程不可约情形的三角解法。

著有《分析方法入门》、《论方程的识别与订正》等多部著作。

一、学习目标1.掌握韦达定理及其简单的应用；2.会应用一元二次方程根的判别式和韦达定理分析解决一些综合性的问题.二、学习重点与难点重点是熟练应用韦达定理，难点是韦达定理的逆应用.三、要点精讲212121221212122121212(1)(0),,.(2)0,, .(3),(1)()0.ax bx c a x x b cx x x x a ax px q x x x x p x x q x x x x x x x x ++≠+=-=++=+=-=-++=一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个根是、那么如果方程的两个根是、那么以为根的一元二次方程二次项系数为是四、典型例题215602,.x kx k +-=例、已知方程的一个根是求另一个根及的值111:(1),632,,5533()2,5[()2]7.555x x x k k =-∴=--+=-∴=--+=-解法设方程的另一个根是则由韦达定理得又2111(2)2,522607,,732.55x k k x x x =⋅+-==-+==-法把代入方程即得设方程的另一个根是再利用韦达定理有解得22221017,.4x x ax a a +-+=例、已知关于的一元二次方程的两个实根的平方和为求的值121212222221,2121222:,,2122184()2()2.224841711 3.440,11,0,3,0,3.a x x x x a x x a a a a x x x x x x a a a a a a ⎧+=-⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩-++-∴+=+-=--=+-==-∆≥=-∆<=∆>=解设方程的两实根为、由韦达定理依题意得解得或而时时故为所求 2232(243)20,,(1);(2),.x x m x x m ++--=例、已知关于的一元二次方程是否存在使方程的两根互为相反数使方程的两根互为倒数并说明理由2121212::(22)4320,,(1).,40,220,0,.(2).32,1,12244,,.55m x mx m x x mx x mm m m x x mm m ++--=+=-=+=∴=--==+=-∴=-解原方程化为设两根为、存在要使方程的两根互为相反数则有解得存在使方程的两个根互为相反数存在要使方程的两根互为倒数则即解得存在使方程的两根互为倒数2222212121214(3)(2)0,2(1):,.17(2),,.2x x m x m m x x x x x x m -+++=+-=例、已知关于的方程证明无论是任何实数方程总有两个正根设、是方程的两个根且满足求的值2224222212221212121:(1)[(3)]4(2)245(2)1220,,0,.,230,0,2,0,.m m m m m m m x x m x x m x x x x ∆=-+-⋅+=++=+++≥>∴∆>∴++=+>=>∴解判别式恒成立不论为何实数总有成立方程总有两根设方程的两根为、由韦达定理得均大于即方程总有两个正根221212222121212122222(2)3,,21717,()3,22217(3)3,222m x x m x x x x x x x x x x m m m ++=+=+-=+-=+∴+-⨯==±由韦达定理得而整理得解得五、课堂训练222221230( )()560 ()560 ()560 ()560x x A y y B y y C y y D y y +-=+-=++=-+=--=、以方程的两个根的和与积为两根的一元二次方程是212121222:230,2,3,230,2(3)5,(2)(3)6,560..x x x x x x x x y by c b c y y B +-=+=-=---++==-+-=-=--=∴++=解设方程的两根分别为、则设以、为根的方程为则所求方程为选22121122122,,21,21,( )()2 () 2 ()1 ()1x x x x x x x x A B C D -=-==--、如果是两个不相等实数且满足那么22112221212:210,210,210,1..x x x x x x x x x x D --=--=∴--=∴=-解由已知得、是方程的两根选 2360,3220,.x x x k m n m n k -+=+=、设关于的方程的两根是和且则值为 :2()20,864480,16.m n m m k k ++=∴=-+=∴=-解由已知得代入方程得224(2)(2)10, .x m x m x m ---+==、若关于的方程的两根互为倒数则12221:,1,23412,,0,;,0,.x x m m m m m m m =∴=-∆=--+=∆<=∆>∴=解设、是方程的两根则当方程无解不合题意当六、作业21022,.x px q p q ++=、一元二次方程的两根分别为求 2231901,.x x m m -+=、已知方程的一个根是那么它的另一个根及值2121232-30,(1)(1)4,.x x k x x x x k +=++=-、若方程的两个根分别是、且满足求的值224,(21)10,.nm n x x m x m m --++=、是关于的方程的两实根求代数式的值21222121254730,,:(1);(2)x x x x x x x x -+=+-、设方程的两根为、不解方程求下列各式值22:2(3)10,11,.x m x m x S S αβαβ+-+==+思考题已知关于的一元二次方程的两实数根为、若求的取值范围11:2(3)26,3362412(32)0,,2326 3.2S m m m m m S αβαβαβ+=+==-=-∆=-=-≥∴≤∴≤⋅-=-解::1. 2. 3.16 4.16251:1.4,1; 2.,16; 3.1; 4.1; 5.(1),(2)3164: 3.B D S --±≤-参考答案课堂练习 课后作业思考题。

数学家韦达
弗朗索瓦·韦达（法语：Fran&ccedil;ois Viète；1540年－1603年12月13日），法国数学家，十六世纪最有影响的数学家之一，被尊称为“代数学之父”。

他是第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进的数学家。

韦达
由于韦达做出了许多重要贡献，成为十六世纪法国最杰出的数学家之一。

韦达1540年生于法国的普瓦图[Poitou, 今旺代省的丰特奈 - 勒孔特 (Fontenay.-le-Comte)]。

1603年12月13日卒于巴黎。

年轻时学习法律并当过律师。

后从事政治活动，当过议会的议员。

在对西班牙的战争中，曾为政府破译敌军的密码。

韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。

韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。

韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角学方面的巨著。

他的《应用于三角形的数学定律》（1579年）是韦达最早的数学专著之一，可能是西欧第一部论述6种三角形函数解平面和球面三角形方法的系统著作。

他被称为现代代数符号之父。

韦达还专门写了一篇论文"截角术"，初步讨论了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代数变换应用到三角学中。

他考虑含有倍角的方程，具体给出了将COS(nx)表示成COS(x)的函数并给出当n≤11等于任意正整数的倍角表达式了。

韦达韦达(1540-1603) 法国十六世纪最有影响的数学家之一。

曾在普瓦蒂埃大学攻读法律，后操律师业。

符号代数的创始人之一。

他用字母分别表示方程的未知数和系数，从而可用一般的形式来表示方程的根并讨论有关性质。

发现了方程的根与系数之间的关系，后称“韦达定理”。

在三角和几何方面也有成就。

主要著作有《标准数学》、《论方程的整理与修正》、《分析术引论》等。

韦达1540年生于法国普瓦图地区，他的父亲是个律师。

韦达早年在家乡接受初等教育，后来到普瓦捷大学学习法律，1560年获法学学士学位，成了一名律师。

1564年放弃这一职位，做了一段秘书和家庭教师的工作。

他利用闲暇时间钻研各种数学问题。

在法兰西与西班牙的战争期间，韦达为亨利四世破译截获的西班牙密码信件，卓有成效。

他在大学毕业以后和从政在野期间，曾潜心探讨数学，并一直将这一研究作为业余爱好。

为了把研究成果及时发表，还自筹资金印刷和发行自己的著作。

由于他的论著内容深奥，言辞艰涩，故其理论当时并没有产生很大影响。

直到1646年，由荷兰数学家斯霍滕在莱顿出版了韦达全部著作的文集，才使他的理论渐渐流传开来，得到后人的承认和赞赏。

韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角学方面的巨著。

他的《应用于三角形的数学定律》（1579年）是韦达最早的数学专著之一，可能是西欧第一部论述6种三角函数解平面和球面三角形方法的系统著作。

他被称为现代代数符号之父。

韦达还专门写了一篇论文“截角术”，初步讨论了正弦，余弦，正切等的一般公式，首次把代数变换应用到三角学中。

他考虑含有倍角的方程，具体给出了将cosnx表示成cosx的函数，并给出当n≤11时，任意正整数的倍角表达式。

《分析方法入门》是韦达最重要的代数著作，书中集中了他以前在代数方面的大成，也是最早的符号代数专著，使代数学真正成为数学中的一个优秀分支。

书中应用了希腊数学家帕波斯和丢番图的著作，但韦达不满足于丢番图对每一问题都用特殊解法的思想，试图创立一般的符号代数。

字母表示数韦达
韦达（F. Vieta，1540—1603）是法国数学家，他第一次有意识地使用系统的代数字母与符号，以辅音字母表示已知量，元音字母表示未知量，推进了方程论的发展，使代数成为一般类型的形式和方程的学问，因其抽象而应用更为广泛，被称为“代数符号之父”。

在研究一元二次方程的解法时，他发现了一元二次方程的根与系数之间存在的特殊关系。

由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。

以一元二次方程为例，通过字母与数字的运算和组合，呈现丰富的数学概念：一元二次方程的标准形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c 是常数且a ≠ 0。

韦达定理指出：一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：
x1 + x2 = -b/a，x1 × x2 = c/a
例如，对于方程3x^2 - 5x + 2 = 0，它的根可以分别是x1 和x2。

根据韦达定理，我们有：
x1 + x2 = -(-5/3) = 5/3
x1 × x2 = 2/3
通过韦达定理，我们可以方便地找到一元二次方程的根与系数之间的关系，从而简化计算过程。