当前位置：文档之家 › 线性代数习题参考答案

线性代数习题参考答案

  • 格式：docx
  • 大小：496.75 KB
  • 文档页数：129

第一章行列式§行列式的概念1.填空⑴排列6427531的逆序数为____________ ，该排列为_______ 排列。

(2)i = _____ , j = _______ 时，排列1274 i56 j 9为偶排列。

(3)n阶行列式由____ 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的_n个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n元排列。

若该排列为奇排列，则该项的符号为___________ 号；若为偶排列，该项的符号为_______ 号。

(4)在6阶仃列式中，含3i5a23a32a44a5i a66的项的符号为___________________________ ，含832843814851866825 的项的符号为 _________ 。

2.用行列式的定义计算下列行列式的值8110 0(1)0 822 8230 832 833解：该行列式的3!项展开式中，有 _________ 项不为零，它们分别为____________________ _________________________________ ,所以行列式的值为__________________________ 。

0 0 0IIIIII82,2旦n82n⑵+++ Frpbh■0 8n斗2 III8n 4,n J 8n 4n8n1 8n2 III8n,n 4 8nn解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ___________________ ,而它的逆序数是_________ ,故行列式值为 ______________________ 。

3 •证明：在全部n元排列中，奇排列数与偶排列数相等证明：n元排列共有n!个，设其中奇排列数有m个，偶排列数为n2个。

对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有n1 ___ n2，同理得n2____ n1，所以n1 ___ n2。

4.若一个n阶行列式中等于0的元素个数比n2-n多，则此行列式为0,为什么？5.n阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n至少为多少？(提示：利用3题的结果)6.利用对角线法则计算下列三阶行列式2 0 1(1) 1 -4 -1—18 31 1 1(2) a b c2 . 2 2a b c参考材料§2行列式的性质1 •利用行列式的性质计算系列行列式214 13-121 (1)12 3 2 56 21 0 0 b 1 0 -1 c 1 0 -1 d—ab acae⑶ bd-cd debf cf—efa -1 0 02.证明下列恒等式ax+by ay+bz az+bx x y z(1) D =ay+bz az+bx ax+by =(a3 +b3：y z xaz+bx ax + by ay + bz z x y （提示：将行列式按第一列分解为两个行列式之和，再利用性质证明）a2 b22(a+1)2(b+1)c 1 22 (d +1)2a ：2b 一c 2 22d2a 3b 32c 32d 32=02 c3.已知四阶行列式 D 的第三行元素分别为：-1,0,2,4 ;第四行元素的对应的余 子式依次是2，io ，a ，4，求a 的值。

4.已知 1365， 2743，4056， 6695， 5356 能被 13 整除，证明：1 1 3 6 52 2 7 4 33 4 0 5 6 能被13整除。

4 6 6 9 55 5 3 5 6（提示：注意观察行列式中第 2, 3, 4, 5列元素的特点）x 0-1 x 0 -1III川 00 0⑶+ + +d ■ ■F b Frhrn 亠 n 」丄 亠 丄 =x +ax +・*+a n 」x + a0 0川 x -1a nanAa n _2川 a 2 x（提示：从最后一列起,后列的x 倍加到前一列）1 2 3 42 2 2 1 15.已知D 5 = 3 1 2 4 5 = 27,1 1 12 24 3 15 0求:(1) 3A 12 2A 22 2A 32 A 42 A 52 ；(2) A 41 A 42 A 43 和 A 44 ' A 45。

(提示：利用行列式按行(列)展开的性质计算)0,即x =a,x =b,x =c 为根。

然后，把所有列加到第一列上，可发现第四个根，计算如下：解2 :(注意各行元素之和相等，可计算f(X )的值后，求根。

)6. 设 f (x)二 求f (x) = 0的根。

1：首先，行列式展开式中含4X 项，所以f(x) =0有四个根。

而通过观察，将x =a,x = b,x = c 代入行列式,行列式中均有两行元素相同 ，此时行列式值为§3行列式的计算1.利用三角行列式的结果计算下列n 阶行列式3 11113 11(1)D =113 11113（提示：注意各行（列）元素之和相等）（提示：可考虑按第一行 （列）展开）x y 0 x ⑵1 '0 00 HI y HI ¥0 III 0 III0 0 0 0”r 4 rx y 0 x2.用迭代法计算下列彳 亍列 1式2 1 0 0IH 0 0 01 2 1 0IH 0 0 0（1）D n =++ I--■ R■ 片4 4+■4 +■r0 0 0 0 IH 1 2 10 0 0 0 IH0 1 2解：按第一行（列）展开，得递推公式：D n = _ Dn_ + — Dn/。

于是D n __ D nj= D n斗一 _D n, =|l （ =D 2 一_ D 1 = ______________________________________ 。

由此得：D n = D n/ + _________=—Dn^ +________________ 八1 +a 11 III 11 1 +a2 III 1,佝 M0,i=1,2」li,n ）* ■h* 1 411III1+an⑶D n（提示：可考虑第一行的 T 倍加到各行，再化为三角行列式）a +b ab 0 III 0 0 01 a +b ab III 0 0 01 a +b III0 0 (2) Dn = ++1- Fd 4卜 卜+ +h f0 0 0III 1 a +b ab0 0 0 III 0 1a +b 解：按第一行展开，有递推公式 D n = D n」+ ______ D n/，得递推公式：D n -aD n 厂 __________ (D n 」-aD n 』二 ........... (D^ —aD i )-同理可得：D n -bD n 」二 联立①与②，解方程组得：D n3. 利用范德蒙行列式的结果计算下列行列式再利用范德蒙行列式的结果计算行列式)(1)D n 1 =(a-1)nIII(a-n) 1严■■ III (a- n)n ■i a -1III ► a-n 1III1(提示：利用行列式的性质，先化行列式为标准形式的范德蒙行列式，，(a=0,1,2,H|, n)a 14na n 4 a参考材料n a i n丄a ib in扎2a ib iIH b n⑵D n卄na2++a2 b2Fka2 b2i4IH azbTdb nrh，(a* 0)na n ■+an -1b n舟n-2*2 a n ■+b n +IH a n 4i b n4ib n打解：在i行中提出a"因子，4.构造辅助行列式法计算下列行列式i i i ia b c d(i) D = 2 ,2 2 ,2 （缺行的范德蒙行列式）a b c d4 a b 44 c d4i a i b i c i d ix解：构造辅助范德蒙行列式D = 2a b2 2 c d2 2 x ，D为D中兀素x3a b3 3 c d3 3 x4a b4 4 c d4 4 xi i i i ia b c d x 的余子式，而D =2 a b2 2 c d2 2 x =3 .3 3 .3 3a b c d x4 .4 4 .4 4a b c d x1 10 1 +a 1=0 21 HI 1HI 2 *2 mn 川 n a n则 D n =D ,而 D 二1 a 11 III 1 2* ■h 2 & 1 I III 2 ■r h*nqn ■p HI n a n⑵D n叩2川务7解：构造辅助行列式D5. 用数学归纳法证明（2） 假定等式对于小于 n阶的行列式成立；（3） （下证n 阶行列式成立）由于，D n 二 D n 」+ D n/ （注：按最后一行（列）展开）所以，COS T1 0 III 0 01 2cos 日 1III 0 00 + + 1 P F 2cos6 卜III 0 ■ ■ 0 + + =cosnQ + 0 I0 I川 ■ 1 + 2cosD n（1） n =1时，等式显然成立；证明：6.D n= a aIIIIII IIIa aa , (n — I)a+X 式 0,求 A n1 + A n2+ A nn（提示：将所有行加到最后一行）参考材料§3克来姆（Cramer）法则1.用克来姆法则解下列方程组f 2X i - X2 - X3 = 4(1) 34 4x2—2x3= 113捲-2X24X3二11x, 3X2 x3 =02x15x^0为-x^ — 0kx1 X2 X3 = 02.当k取何值时，方程组x1kx2「x3=0有非零解？2为-x2x3 =0参考材料第二章矩阵§矩阵的概念及运算1.判断正误(1)设A为m n矩阵，B为s p矩阵，若AB = BA ,贝U AB与BA必为同阶方阵。

( )(2)A与B为n阶方阵，入为实数，有|(丸A)B = B@A)=九A B。

( )(3)A与B 为n 阶方阵，(AB)"二A k B k(k • N )。

( )(4)A与B 为n 阶方阵，(A±B) =A2±2AB + B2。

( )2 2(5) A 为n 阶方阵，(A土E ) = A2±2A+E。

( )2 2(6) A 与B 为n 阶方阵，(A，B)(A-B)=A -B。

( )2(7)A为n 阶方阵，(A - E)(A — E) =A —E。

( )(8) A 与B 为n 阶方阵，AJ+BTlTA + B 。

( ) (9)A与B 为n阶方阵，fB T卜AB。

( )2.选择题⑴设A, B,C 均为n 阶方阵，AB^BA, AC^CA，则ABC =( )(A) ACB (B) CBA (C) BCA (D) CAB(2) 若A为实对称矩阵，贝U A T A的值( )(A)咗0 (B) - 0 (C) =0 (D)不能确定2(3) 设A 为方阵，f(x)二x -x-2 ,则f(A)为()(A) A2-A-2 (B) A2 - A-2E52z-2 0、3.设A =-1 0 ,B = 1 -1 ，计算<2 3」厂11」1⑴―A-3B ；(2) AB T；(3) A T B。

合集下载

线性代数课本答案

线性代数课本答案

2 a11 x1
1.2 矩 阵 的基本 运 算
+ + ··· +
a21 x1 x2
2 a22 x1
+ + ··· +
··· ··· ··· ···
+ + ··· +
an1 x1 xn an2 x2 xn ···
2 ann xn
a12 x1 x2 ··· a1n x1 xn
··· a2n x2 xn
α1 + α2 0.
= 4 β1 + 4 β1 = 4|A| + 4|B| = 20 ，|A − B| =
β2 + β2 β2 β2 β2 0 B4. 能拆成4个二阶行列式的和． a+1 b+2 a b+2 1 b+2 a b a 2 1 b 1 2 = + = + + + = ad − bc + 4a − 2c + d − 3b − 2. c+3 d +4 c d +4 3 d +4 c d c 4 3 d 3 4 B6. 总按第一行展开． 1 + a1 1 1 ··· 1 0 1 + a1 1 1 ··· 1 1
1 B7. 证法一：Dn = ··· 1 1 1 + a2 ··· 1 1 1 ··· 1 1 ··· ··· ··· ··· 1 ··· 1 + an−1 1 1 ··· + 1 1 1 ··· 1 1 1 + a2 ··· 1 1 1 ··· 1 1 ··· ··· ··· ··· 1 ··· 1 + an−1 1 0 ··· 0 an
线代参考答案(完整版)

线代参考答案(完整版)

线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第一节 行列式的定义一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A D ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ]（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。

线性代数考试题及答案

线性代数考试题及答案

线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，线性无关的向量集合的最小维度是：A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案：D2. 矩阵A的行列式为0，这意味着：A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案：B3. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示，其特征值是：A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案：D4. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的秩最多是：A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案：D5. 给定两个向量v1和v2，它们的点积v1·v2 > 0，这意味着：A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案：C6. 对于任意矩阵A，下列哪个矩阵总是存在的：A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案：C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是：A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案：D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是：A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案：A9. 一个矩阵的迹（trace）是：A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案：B10. 矩阵的范数有很多种，其中最常见的是：A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案：D二、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是基（Basis）以及它在向量空间中的作用是什么？答：基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。

(完整版)线性代数试题及答案

(完整版)线性代数试题及答案

线性代数习题和答案第一部分 选择题 （共 28 分）、单项选择题（本大题共 14 小题，每小题 2 分，共 28 分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

C. 3D. 46.设两个向量组 α1，α2，⋯， αs 和β 1，β2，⋯， βs 均线性相关，则（）A. 有不全为 0 的数λ 1，λ2，⋯，λs 使λ1α1+λ2α2+⋯+λs αs =0 和λ 1β 1+λ 2β 2+⋯λ s βs =0B. 有不全为 0 的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 使λ 1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+⋯+λs （ α s + β s ）=0C. 有不全为 0 的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 使λ1（α 1- β1）+λ2（α2- β2）+⋯+λs （αs - βs ）=0D.有不全为 0的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 和不全为 0的数μ 1，μ 2，⋯，μ s 使λ1α1+λ2α2+⋯+ λ s α s =0 和μ 1β1+μ2β2+⋯+μ s βs =07.设矩阵 A 的秩为 r ，则 A 中（ ）A. 所有 r- 1阶子式都不为 0B.所有 r- 1阶子式全为 0C.至少有一个 r 阶子式不等于 0D.所有 r 阶子式都不为 08. 设 Ax=b 是一非齐次线性方程组， η1，η2是其任意 2 个解，则下列结论错误的是（ ）A. m+n C. n- m a 11a 12a 13 a 11=m ，a 21a 22a 23 a 21a 11 a 12 a 13等于（2.设矩阵 A=0 ，则 A - 1 等于（ 3A. 0 1 3C. 03.设矩阵 A=a 21 a 22 a 23B. - (m+n) D. m- nB.D.21 ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A *中位于 41，2）的元素是（A. –6 C. 2 4.设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC ，则必有（ A. A =0 C. A 0 时 B=C 5.已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关，则秩（ A. 1B. 6 D. –2 ) B. B D. |A| 0 时 B=C C 时 A=0 A T )等于( )B. 21.设行列式 =n ，则行列式10.设 A 是一个 n （≥3）阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）A. 如存在数λ和向量 α使 A α=λα，则α是 A 的属于特征值λ的特征向量B. 如存在数λ和非零向量 α，使（λE- A ）α=0，则λ是 A 的特征值C. A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如λ 1，λ 2，λ 3是A 的 3个互不相同的特征值， α1，α2，α3依次是 A 的属于λ 1，λ2， λ3的特征向量，则 α 1，α 2， α 3有可能线性相关 11. 设λ 0是矩阵 A 的特征方程的 3重根， A 的属于λ 0的线性无关的特征向量的个数为 k ，则必有（ ）222（a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23） +（a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23） +（a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23） =.18. 设向量（ 2， -3， 5）与向量（ -4， 6， a ）线性相关，则 a= .19. 设A 是 3×4矩阵，其秩为 3，若η1，η2为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2个不同的解，则它 的通解为 .20. 设 A 是 m ×n 矩阵， A 的秩为 r （<n ） ，则齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系中含有解的个A. η1+η2 是 Ax=0 的一个解 C. η 1-η 2是 Ax=0 的一个解 9. 设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（A. 秩 （A ）<n C.A=0 11B.η1+ η2是 Ax=b 的一个解22D. 2 η 1-η 2 是 Ax=b 的一个解 ) B. 秩 (A)=n- 1D. 方程组 Ax=0 只有零解A. k ≤ 3C. k=312. 设 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（A.| A| 2必为 1 C. A - 1=A T 13. 设 A 是实对称矩阵， C 是实可逆矩阵，A.A 与 B 相似B. A 与 B 不等价C. A 与 B 有相同的特征值D. A 与 B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）23 A.34 1 0 0C. 0 2 30 3 5第二部分B. k<3 D. k>3 ）B.|A|必为 1D.A 的行（列）向量组是正交单位向量组 B=C T AC .则（ ） 34 B. 26 1 1 1 D. 1 2 0102 非选择题（共 72 分）2 分，共 20 分）不写解答过程，将正确的答案写在每1 1 115. 3 569 25 361 111 2 316.设 A=B=.则 A+2B=1 111 2 417. 设 A =(a ij )3 × 3 ， |A|=2 ， A ij 表示 |A|中 元 素a ij 的 代 数 余 子 式 （ i,j=1,2,3 ） , 则数为.21. 设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α- β）=22.设 3阶矩阵 A 的行列式 |A |=8，已知 A 有 2个特征值 -1和 4，则另一特征值为 .0 10 6223.设矩阵 A=1 3 3 ，已知 α = 1 是它的一个特征向量，则α 所对应的特征值2 10 82为24.设实二次型 f （x 1,x 2,x 3,x 4,x 5）的秩为 4，正惯性指数为 3，则其规范形为 三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 6分，共 42分）26.试计算行列式4 2 327.设矩阵 A= 110， 求矩阵 B 使其满足矩阵方程AB=A+2B.12321 3 028.给定向量组α 1=1，3 α2=， α=， α10 2 2 =4.3419试判断 α 4 是否为 α 1， α2，α3 的线性组合；若是， 则求出组合系数。