贵阳市2015年高三适应性监测考试(二)文科数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,2,3,5A B ==，()U C A B ⋃=（ ）。
A. {}3,5 B. {}3,4,5 C. {}1,2,3,4 D. {}2,3,4,52. 设复数1z ai =+（a是正实数），且z ，则(1)z i +等于( ). A. 13i -+ B. 13i - C. 13i + D. 3i -+3. 若,x y R ∈，则x y >的一个充实不必要条件是（ ）。
A. x y > B. 22x y >>D. 33x y >4. 函数()sin()3f x x π=-的图像的一条对称轴方程为（ ）。
A.35 B. 35- C. 45D. 45- 5. 如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 值等于（ ）。
A. 18B. 20C. 21D. 406. 函数3211()32f x x x a =-+仅一个零点，则a 的取值范围为（ ）。
A. 1(0,)6B. 1(,0)6-C. 1(,0)(,)6-∞⋃+∞D. 1(,)(0,)6-∞⋃+∞7.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的所有棱中，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（ ）。
A.C.48.若实数,x y 满足不等式组523010y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩的最大值是（ ）。
A. 1-B. 2-C. 1D. 29. 函数(0,1)x y a a a =>≠与b y x =的图像如图，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 0a b > B. 0a b +> C. 1b a > D. log 2a b >10. 以双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的一个焦点F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的面积为（ ）。
贵阳第一中学2015届高考适应性月考卷（一）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．因为{*6}Ux x =∈<N ，所以{12345}U =，，，，．因为{135}AB =，，，所以(){24}U A B =，ð． 2．因为1px ：≤，所以1p x ⌝>：；因为10x x -<，所以(1)0x x -<，所以01x x <>或，所以q p ⌝是成立的必要不充分条件．3．因为16ππtan πtan 5πtan 333⎛⎫=+== ⎪⎝⎭． 4．因为211312442⎛⎫+=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以其共轭复数是12-． 5．因为19469()9()99022a a a a S +⋅+⋅===． 6．因为1122log log 0x y <<，所以111222log log log 1x y <<，因为12log y x =在定义域上单调递减，所以1x y >>．7．因为1sin (2)sin 166212(2)2122x x x x x x y x x x ππ⎧⇒==⎪⎪=⎨⎪>⇒=⇒=->⎪⎩≤令，代入答案检验：满足．令与矛盾（舍）． 8．因为sin 2y x =的图象向右平移4π个单位后函数变为sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin 2cos 22x x π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭， 再向上平移1个单位后函数变为cos 21y x =-+．9． 因为1a b ⋅=22()21,0,0()4m n m n mn m n m n mn m n +⇒++=>>⇒+⇒+由≥≤2()201)1m n m n m n ++-⇒+-+-≥≤舍或，所以，m n +1．10．由可行区域知，目标函数2t x y =+在点(0,1)M -处取得最小值2-，在直线2t x y =+与半圆221(0)x y y +=≥相切时取得最大值，由1)d r t ==⇒=舍负，所以2x y +的取值范围是[2,-． 11．令()sin 3x f x x =+，因为()sin()sin ()33x x f x x x f x ⎛⎫-=-+-=-+=- ⎪⎝⎭，所以()sin 3x f x x =+ 在定义域上为奇函数，排除B ；令2x π=，所以1026f ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以，排除D ；又因为()sin 3x f x x =+=0sin ,sin 33x x x y y x ⇒=-==-由与的图象只有一个交点，所以()sin 3x f x x =+ 只有一个零点，故排除A ．12．因为(1)y f x =-的图象关于点(10)，对称，所以()y f x =的图象关于点(00)，对称，即()f x 为奇函数．由不等式2222(621)(8)0(621)(8)f x x f y y f x x f y y -++-<⇒-+<-- 2(8)f y y =-，又函数()y f x =是定义在R 上的增函数226218x x y y ⇒-+<-2(3)x ⇒-22(4)2y +-<．2221,(,)x y OM M x y O +=∈圆：222(3)(4)2(>3)x y x -+-<．22x y += 2(13,49)OM ∈．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．由题意知，该几何体是一个底面边长是8，斜高是5的正四棱锥，所以2854480cm 2S S ⨯==⨯=△侧． 14．311(1)(12)(3)28f f f ⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭． 15．由性质1：(2)f x +是偶函数()f x ⇒关于2x =对称，而①关于2x =-对称，于是排除①．性质2：()f x 在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数，而③是周期性变化，于是排除③．16．()f x 在(1,0)-和(2,4)上单调递增，在(0,2)和(4,5)上单调递减，所以max min ()max{(0),(4)}2,()min{(1),(2),(5)}f x f f f x f f f ==-＝，因为(2)f 未知，所以最小值不能确定，故①错，②对；因为()f x 在[1,5]-上的最大值为2，故③错；当34(2),23f a ==时，函数()y f x a =-只有两个零点，故④错，综上所述，真命题为②. 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ………………………（2分） 由222262k x k k πππ-+π-+π,∈Ζ≤≤， ………………………………………（4分） 得,63k x k k ππ-+π+π∈Ζ≤≤， ………………………………………（5分）()f x ∴的单调递增区间是+,,63k k k ππ⎡⎤-π+π∈⎢⎥⎣⎦Ζ． ……………………………（6分） （Ⅱ）∵π()2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴π()2sin 226f A A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．∵π02A <<，∴ππ5π2666A -<-<，∴ππ262A -=， ……………………………（8分） ∴π3A =． …………………………………………………………………………（9分）由1sin 2ABC S bc A ==△ ………………………………………………………（11分）解得4b =. ……………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）（i ）公路1抽取20622040⨯=+辆汽车，公路2抽取40642040⨯=+辆汽车． ………………………………………………………………………………（2分）（ii ）通过公路1的两辆汽车分别用12,A A 表示，通过公路2的4辆汽车分别用1234,,,B B B B 表示，任意抽取两辆汽车共有15种可能的结果：12111213142222324(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),A A A B A B A B A B A B A B A B A B １121314232434(,),(,),(,),(,),(,),(,)B B B B B B B B B B B B ，……………………（4分）其中至少有1辆通过公路1的有9种， ………………………………………………（5分）所以至少有1辆通过公路1的概率为35．………………………………………………（6分）（Ⅱ）频率分布表，如下：………………………………………………………（8分）设12C C ，分别表示汽车A 在前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；12D D ，分别表示汽车B 在前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙．12()0.20.40.6,()0.10.40.5,P C P C =+==+=∴汽车A 应选择公路1． ………………………………………………………（10分）12()0.20.40.20.8,()0.10.40.40.9,P D P D =++==++=∴汽车B 应选择公路2． ………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图1，连接1AC 交1A C 于点F ，则F 为1AC 的中点，又1D AB DF DF BC 是的中点，连接，则∥． ……………（2分）111DF A CD BC A CD ⊂⊄又因为平面，平面， ……………（4分）11BC A CD 所以∥平面．…………………………………（6分） （Ⅱ）解：1111ABC A B C AA CD -⇒⊥因为直三棱柱，,,AC CB D AB CD AB =⇒⊥由已知是中点111AA AB A CD ABB A =⇒⊥又平面． ……………………………………………（8分）12AA AC CB AB CD ====⇒=由， ………………………………………（9分）111,3C A ABE A ABE V S CD -=⋅四边形由 ………………………………………………………（10分）11()2A ABE AA BE AB S +⨯==四边形而 ………………………………………………（11分）11 2.3C A ABE V -=⨯=所以， …………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由于11()2122f x ax k f a x ⎛⎫''=+⇒==+ ⎪⎝⎭切， ………………………（2分）又212l l k a ⊥⇒=⇒+=⇒切切1a =． ……………………………………（4分） （Ⅱ）2114()2,(0,)22ax f x ax x x x+'=+=∈+∞， ①当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值； …………（6分）②当0a <时，令()0,f x '>即2211404ax x x a +>⇒<⇒<<-，(0,)x ∈+∞，0,x ⎛∴∈ ⎝时，函数()f x 单调递增；x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，函数()f x 单调递减， ……………………………………………………………………………（8分）故0x =是()f x 的极大值点．依题意：12<<， ………………………（10分） 解得：11416a -<<-，综上所述，a 的取值范围为11,416⎛⎫-- ⎪⎝⎭． ………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）(4),40,l y k x kx y k =---=设直线：即1,d d ==由垂径定理：又 …………………………（2分）71024k ⇒=-或 ……………………………………………………（4分）0724280l y x y ⇒=+-=：或．…………………………………………………………（6分）（Ⅱ）1(,),()0,P m n l y n k x m kx y n km -=-⇒-+-=设点则直线：2110l x y n m k k--++=同理：， ……………………………………………………（8分）因为直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理得：圆心1C 到直线1l 与圆心2C 到直线2l 的距离相等，化简得：(2)3m n k m n --=--， 或(8)5m n k m n -+=+-， ………………………（10分）关于k 的方程有无穷多解，有：20,803050m n m n m n m n --=-+=⎧⎧⎨⎨--=+-=⎩⎩，或， 解之得：点P 坐标为51,22⎛⎫- ⎪⎝⎭或313,22⎛⎫- ⎪⎝⎭． ……………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：如图2，∵PA 是切线，AB 是弦，∴BAP C ∠=∠． ……………………（2分）又∵APD CPE ∠=∠，∴BAP APD C CPE ∠+∠=∠+∠．∵,ADE BAP APD ADE C CPE ∠=∠+∠∠=∠+∠∴，∴ADE AED ∠=∠． ………………………………………………………（5分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BAP C ∠=∠且APC BPA ∠=∠，∴APC △∽BPA △，∴PC CA PA AB=， ……………………………………………（7分）∵AC AP =，∴APC C BAP ∠=∠=∠，由三角形内角和定理可知：180APC C CAP ∠+∠+∠=︒． ∵BC 是圆O 的直径，∴90BAC ∠=︒，∴1809090APC C BAP ∠+∠+∠=︒-︒=︒， ∴190303C APC BAP ∠=∠=∠=⨯︒=︒． ………………………………………（9分）在Rt ABC △中，CA AB =PC CA PA AB==． ……………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由题可得22sin 4cos ,sin ,cos y x ρθρθρθρθ===∵， 24y x =∴， ………………………………………（3分）直线l 的普通方程为10x y +-=． ………………………（5分）（Ⅱ）将1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入221212420,2y x t t t t t =++=+=-=得其中，128AB t t =-==则． ……………………………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）()f x =+|3||4|x x ==-++， ∴()(4)f x f ≥，即|3||4|x x -++9≥， …………………………………………（2分）∴4,349x x x -⎧⎨---⎩≤≥① 或43,349x x x -<<⎧⎨-++⎩≥② 或3,349,x x x ⎧⎨-++⎩≥≥③ 解得不等式①：5x -≤；②：无解；③：4x ≥，所以()(4)f x f ≥的解集为{|5x x -≤或4}x ≥． ………………………（5分）（Ⅱ）()()f x g x >即()|3||4|f x x x =-++的图象恒在()(3)g x k x =-图象的上方，……………………………………………………………………………（6分）可以作出21,4,()|3||4|7,43,21,3x x f x x x x x x ---⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+⎩≤≥的图象，而()(3)g x k x =-图象为恒过定点(3,0)P ，且斜率k 变化的一条直线， 作出函数(),y f x =()y g x =图象如图3，…………………………………………（8分）其中2,PB k = (4,7)A -，∴1PA k =-，由图可知，要使得()f x 的图象恒在()g x 图象的上方，实数k 的取值范围应该为12k -<≤．…………………………………………………（10分）。
高三年级（文）考试数学参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．二．填空题：本大题共7小题，第9至12题每小题6分，第13至15题每小题4分，共36分．9． 2p ； 2 ； 2,3x x k k Z pp 禳镲=+?睚镲铪10． 0 ； (1,)-+?11． 3 ； 14-12． [2,0)-； ([2,22)--13． (8,0]-1415． 2或3三．解答题：本大题共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16、（本小题满分15分） 解：（1）x x x f 2sin 3cos 2)(2+=⋅=1)62sin(212cos 2sin 3++=++=πx x x ……4分∴函数)(x f 的最小正周期ππ==22T ……5分 令Z k k x k ∈+≤+≤+,2236222πππππ，解得Z k k x k ∈+≤≤+,326ππππ ∴函数)(x f 的单调递减区间是Z k k k ∈++,]32,6[ππππ ……7分（2）由2)(=A f ，得21)62sin(2=++πA ，即21)62sin(=+πA在△ABC 中，∵π<<A 0，∴6562ππ=+A ，得3π=A ……9分又∵2323121sin 21=⨯⨯⨯==∆c A bc S ABC ，∴2=c ∴由余弦定理得：3cos 2222=-+=A bc c b a ，∴3=a ……13分BAPDCOH由233sin sin sin ===AaC c B b ，得B b sin 2=，C c sin 2=∴2sin sin =++CB cb ……15分17、（本小题满分15分）解：（1）取BD 的中点O ，连接CO ，则BD CO ⊥． ………………1分又∵平面DBC ⊥平面ABD ，平面DBC平面ABD BD =，∴⊥CO 平面ABD ． …………………………3分 而AP ⊥平面ABD ，∴PA CO //． ……………………4分 又∵CO 在平面DBC 内，PA DBC ⊄平面∴//PA 平面DBC ． …7分 （2）∵PA CO //，∴OAPC 四点共面．连接AO 并延长交PD 延长线为H ．∵平面DBC ⊥平面ABD ，平面DBC平面ABD BD =，BD AH ⊥，∴AH ⊥平面BCD ，∴直线CO 即直线PH 在平面BCD 内的射影． ∴HCO ∠即直线PH 平面BCD 所成的角． ………10分∵PA OC 21=，∴PAH OC ∆是的中位线． ∴OH OA ==又∵3=OC ，∴ 1tan =∠HCO ∴︒=∠45HCO ………………13分因此直线PC 与平面DBC 所成角为45 ………………15分 18、（本小题满分15分）解：（1）41)21)(21(,211=-+∴-=+n n n n b b a b 0212111=--∴++n n n n b b b b2111-=-∴+nn b b …………6分（2）由（1）知221,22)2)(1(111+-=∴--=--+=n b n n b b n n ……8分 )1(2)1(212121+=+-=+=∴n n n b a n n …………10分 由于)2(11)2()1()1(2)2(2121++=++=+⋅++=+k k k k k k k k k a a k k)211(211+-+=k k …………13分于是)2114121311(2112312+-++-+-+=++++n n n a a a a a a n n 11113(1)22124n n n n =++--<+++…………15分19、（本小题满分14分）解：(1)设点(,)P x y 是()y g x =图象上任一点，则点P 关于y 轴的对称点(,)Q x y -在()y f x =的图象，即1()2x y f x x-=-=--11()2xg x x \=-- …………………………6分(2) 由已知()F x 为偶函数，且在(0,)+?上单调递减 …………………………8分 故原不等式可化为2()(2)F ax F x ≥+，即22ax x ≤+对任意的0x >恒成立 …10分即222x a x xx+?+ …………………………12分所以a £[a ? ………………………14分 20、（本小题满分15分）解：(1)设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8p，所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，所以C 的方程为y 2＝4x . …………4分 (2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故线段AB 的中点为D (2m 2＋1，2m )，|AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)． …………7分又直线l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m y －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故线段MN 的中点为E ⎝⎛⎭⎫2m2＋2m 2＋3，－2m ，|MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m 2. …………10分 由于线段MN 垂直平分线段AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即 …………12分 4(m 2＋1)2＋⎝⎛⎭⎫2m ＋2m 2＋⎝⎛⎭⎫2m 2＋22＝ 4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1. …………14分 所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0. …………15分。
2015年贵州省贵阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合U＝{1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{2，4}，则∁U（A∪B）＝（）A．{2}B．{3}C．{1，2，4}D．{1，4} 2．（5分）已知为虚数单位，复数z＝i（2﹣i），则|z|＝（）A．B．C．1D．33．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y＝e﹣x C．y＝lg|x|D．y＝﹣x2+1 4．（5分）下列命题正确的是（）A．∃x0∈R，x02+2x0+3＝0B．∀x∈N，x3＞x2C．x＞1是x2＞1的充分不必要条件D．若a＞b，则a2＞b25．（5分）对任意实数k，直线y＝kx+1与圆x2+y2＝4的位置关系一定是（）A．相离B．相切C．相交且不过圆心D．相交且过圆心6．（5分）已知sin2α＝，则cos2（）＝（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的b＝（）A．7B．9C．11D．138．（5分）如图三棱锥V﹣ABC，VA⊥VC，AB⊥BC，∠VAC＝∠ACB＝30°，若侧面VAC⊥底面ABC，则其主视图与左视图面积之比为（）A．4：B．4：C．：D．：9．（5分）在等比数例{a n}中，2a4，a6，48成等差数列，且a3•a5＝64，则{a n}的前8项和为（）A．255B．85C．255或﹣85D．255或85 10．（5分）已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z＝y﹣ax取得最大值时的唯一最优解为（1，3），则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，﹣1）11．（5分）抛物线C1：y＝x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：﹣y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝（）A．B．C．D．12．（5分）定义域为R的函数f（x）对任意x都有f（x）＝f（4﹣x），且其导函数f′（x）满足（x﹣2）f′（x）＞0，则当2＜m＜4时，有（）A．f（2）＞f（2m）＞f（log2m）B．f（log2m）＞f（2m）＞f（2）C．f（2m）＞f（log2m）＞f（2）D．f（2m）＞＞f（2）＞f（log2m）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知向量，夹角为45°，且||＝1，||＝3，则|2﹣|＝．14．（5分）若S n是等差数列{a n}的前n项和，且S8﹣S3＝20，则S11的值为．15．（5分）已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为．16．（5分）欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．已知铜钱是直径为4cm的圆面，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴整体落在铜钱内），则油滴整体（油滴是直径为0.2cm的球）正好落入孔中的概率是（不作近似计算）．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．（12分）若＝（sinωx，cosωx），＝（cosωx，cosωx），ω＞0，x∈R，f（x）＝•﹣，且f（x）的最小正周期是π，设△ABC三个角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）求ω的值；（2）若c＝，f（C）＝，sin B＝3sin A，求a，b的值．18．（12分）某校研究性学习小组，为了分析2014年某小国的宏观经济形势，查阅了有关材料，得到了2013年和2014年1～5月CPI同比（即当年某月与前一年同月相比）的增长数据（见下表），但2014年3，4，5个月数据（分别为x，y，z）没有查到，有的同学清楚的记得2014年的5个CPI数据成等差数列（Ⅰ）求x，y，z的值和2014年1～5月该国CPI数据的方差（Ⅱ）一般认为，某月的CPI数据达到或超过3个百分点就已经通货膨胀，而达到或超过5个百分点为严重通货膨胀，先随机从2013年5个月和2014年5个月的数据中各抽取一个数据，求抽的数据的月份相同且2013年通货膨胀2014年严重通货膨胀的概率．该国2013年和2014年1～5月份的CPI数据（单位：百分点，1个百分点＝1%）19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，P A＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点（Ⅰ）求证：BC⊥平面PNB；（Ⅱ）若平面P AD⊥平面ABCD，求三棱锥P﹣NBM的体积．20．（12分）已知两点F1（﹣1，0）及F2（1，0），点P在以F1，F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|+|PF2|＝4．（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）如图，动直线l：y＝kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2面积S的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝﹣lnx，x∈[1，3]（Ⅰ）求f（x）的最大值与最小值（Ⅱ）若任意x∈[1，3]，t∈[0，2]，有f（x）＜4﹣at恒成立，求实数a的取值范围．四、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）AB是⊙O的一条切线，切点为B，过⊙O外一点C作直线CE交⊙O 于G，E，连接AE交⊙O于D，连接CD交⊙O于F，连接AC，FG，已知AC＝AB（1）证明：AD•AE＝AC2；（2）证明：FG∥AC．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ＝1．（1）求直线l与圆C的公共点个数；（2）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换得到曲线C′，设M（x，y）为曲线C′上一点，求4x2+xy+y2的最大值，并求相应点M的坐标．六、选修4-5：不等式选讲24．（Ⅰ）已知a和b是任意非零实数．证明：≥4；（Ⅱ）若不等式|2x+1|﹣|x+1|＞k（x﹣1）﹣恒成立，求实数k的取值范围．2015年贵州省贵阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合U＝{1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{2，4}，则∁U（A∪B）＝（）A．{2}B．{3}C．{1，2，4}D．{1，4}【解答】解：集合A∪B＝{1，2，4}，则∁U（A∪B）＝{3}，故选：B．2．（5分）已知为虚数单位，复数z＝i（2﹣i），则|z|＝（）A．B．C．1D．3【解答】解：复数z＝i（2﹣i）＝2i+1，则|z|＝．故选：A．3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y＝e﹣x C．y＝lg|x|D．y＝﹣x2+1【解答】解：A中，y＝为奇函数，故排除A；B中，y＝e﹣x为非奇非偶函数，故排除B；C中，y＝lg|x|为偶函数，在x∈（0，1）时，单调递减，在x∈（1，+∞）时，单调递增，所以y＝lg|x|在（0，+∞）上不单调，故排除C；D中，y＝﹣x2+1的图象关于y轴对称，故为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，故选：D．4．（5分）下列命题正确的是（）A．∃x0∈R，x02+2x0+3＝0B．∀x∈N，x3＞x2C．x＞1是x2＞1的充分不必要条件D．若a＞b，则a2＞b2【解答】解：A错，∵方程的根的判别式△＝4﹣4×3＜0，此方程没有实数解：B错，∵当x＝1时，x3＝x2；C对，∵x2＞1⇔（x﹣1）（x﹣1）＞0⇔x＜﹣1或x＞1∴x＞1⇒x2＞1成立，但x2＞1⇒x＞1不成立，∴x＞1是x2＞1的充分不必要条件；D错，∵若a＞b，则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）不一定大于0．故选：C．5．（5分）对任意实数k，直线y＝kx+1与圆x2+y2＝4的位置关系一定是（）A．相离B．相切C．相交且不过圆心D．相交且过圆心【解答】解：对任意的实数k，直线y＝kx+1恒过点（0，1），且斜率存在∵（0，1）在圆x2+y2＝4内∴对任意的实数k，直线y＝kx+1与圆x2+y2＝4的位置关系一定是相交但直线不过圆心．故选：C．6．（5分）已知sin2α＝，则cos2（）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵sin2α＝，∴cos2（）＝＝＝＝．故选：B．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的b＝（）A．7B．9C．11D．13【解答】解：模拟执行程序框图，可得a＝1，b＝1满足条件a≤4，b＝3，a＝2满足条件a≤4，b＝5，a＝3满足条件a≤4，b＝7，a＝4满足条件a≤4，b＝9，a＝5不满足条件a≤4，退出循环，输出b的值为9．故选：B．8．（5分）如图三棱锥V﹣ABC，VA⊥VC，AB⊥BC，∠VAC＝∠ACB＝30°，若侧面VAC⊥底面ABC，则其主视图与左视图面积之比为（）A．4：B．4：C．：D．：【解答】解：主视图为Rt△VAC，左视图为以△VAC中AC的高VD为一条直角边，△ABC中AC的高BE为另一条直角边的直角三角形．设AC＝X，则VA＝x，VC＝，VB＝x，BE＝x，则S主视图：S左视图＝＝4：．故选：A．9．（5分）在等比数例{a n}中，2a4，a6，48成等差数列，且a3•a5＝64，则{a n}的前8项和为（）A．255B．85C．255或﹣85D．255或85【解答】解：在等比数例{a n}中，a3•a5＝64，可得a42＝64，解得a4＝±8．当a4＝8时，2a4，a6，48成等差数列，即16，a6，48成等差数列，可得a6＝32．q2＝＝4，解得q＝±2，q＝2时解得a1＝＝1，q＝﹣2时，q＝﹣1q＝2，a1＝1时，S8＝＝＝255．q＝﹣2时解得a1＝﹣1，S8＝＝＝85．当a4＝﹣8时，2a4，a6，48成等差数列，即﹣16，a6，48成等差数列，可得a6＝16．q2＝无解．故选：D．10．（5分）已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z＝y﹣ax取得最大值时的唯一最优解为（1，3），则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝y﹣ax为y＝ax+z，联立，解得A（1，3），∵使目标函数z＝y﹣ax取得最大值时的唯一最优解为（1，3），由图可知a＞1，∴实数a的取值范围为（1，+∞）．故选：A．11．（5分）抛物线C1：y＝x2（p＞0）的焦点与双曲线C2：﹣y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝（）A．B．C．D．【解答】解：由抛物线C1：y＝x2（p＞0）得x2＝2py（p＞0），所以抛物线的焦点坐标为F（0，）．由﹣y2＝1得a＝，b＝1，c＝2．所以双曲线的右焦点为（2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即①．设该直线交抛物线于M（），则C1在点M处的切线的斜率为．由题意可知＝，得x0＝，代入M点得M（，）把M点代入①得：．解得p＝．故选：D．12．（5分）定义域为R的函数f（x）对任意x都有f（x）＝f（4﹣x），且其导函数f′（x）满足（x﹣2）f′（x）＞0，则当2＜m＜4时，有（）A．f（2）＞f（2m）＞f（log2m）B．f（log2m）＞f（2m）＞f（2）C．f（2m）＞f（log2m）＞f（2）D．f（2m）＞＞f（2）＞f（log2m）【解答】解：∵函数f（x）对任意x都有f（x）＝f（4﹣x），∴函数f（x）的对称轴为x＝2∵导函数f′（x）满足（x﹣2）f′（x）＞0，∴函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，（﹣∞，2）上单调递减∵2＜m＜4∴2＜log2m＜2m∴f（2m）＞f（log2m）＞f（2）．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知向量，夹角为45°，且||＝1，||＝3，则|2﹣|＝．【解答】解：根据题意，得；|2﹣|＝＝＝＝．故答案为：．14．（5分）若S n是等差数列{a n}的前n项和，且S8﹣S3＝20，则S11的值为44．【解答】解：∵S8﹣S3＝a4+a5+a6+a7+a8＝20由等差数列的性质可得，5a6＝20∴a6＝4由等差数列的求和公式可得s11＝＝11a6＝44故答案为：44．15．（5分）已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为36π．【解答】解：如图，设正四棱锥底面的中心为O，则在直角三角形ABC中，AC＝×AB＝6，∴AO＝CO＝3，在直角三角形P AO中，PO＝＝＝3，∴正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为3，∴正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径r＝3，球的表面积S＝4πr2＝36π故答案为：36π16．（5分）欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．已知铜钱是直径为4cm的圆面，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴整体落在铜钱内），则油滴整体（油滴是直径为0.2cm的球）正好落入孔中的概率是（不作近似计算）．【解答】解：∵铜钱的面积S＝π（2﹣）2，能够滴入油的图形为边长为1﹣2×＝的正方形，面积，∴P＝＝，故答案为：．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．（12分）若＝（sinωx，cosωx），＝（cosωx，cosωx），ω＞0，x∈R，f（x）＝•﹣，且f（x）的最小正周期是π，设△ABC三个角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）求ω的值；（2）若c＝，f（C）＝，sin B＝3sin A，求a，b的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝a•b﹣＝sinωx cosωx+cos2ωx﹣＝sin2ωx+cos2ωx＝sin（2ωx+）由T＝＝＝π解得：ω＝1（Ⅱ）∵f（C）＝sin（2C+）＝，∴2C+＝（舍去）或2C+＝，∴C＝由余弦定理可得：7＝a2+b2﹣2ab cos即有：a2+b2﹣ab＝7①∵sin B＝3sin A∴由正弦定理可得：b＝3a②由①②即可解得：a＝1，b＝318．（12分）某校研究性学习小组，为了分析2014年某小国的宏观经济形势，查阅了有关材料，得到了2013年和2014年1～5月CPI同比（即当年某月与前一年同月相比）的增长数据（见下表），但2014年3，4，5个月数据（分别为x，y，z）没有查到，有的同学清楚的记得2014年的5个CPI数据成等差数列（Ⅰ）求x，y，z的值和2014年1～5月该国CPI数据的方差（Ⅱ）一般认为，某月的CPI数据达到或超过3个百分点就已经通货膨胀，而达到或超过5个百分点为严重通货膨胀，先随机从2013年5个月和2014年5个月的数据中各抽取一个数据，求抽的数据的月份相同且2013年通货膨胀2014年严重通货膨胀的概率．该国2013年和2014年1～5月份的CPI数据（单位：百分点，1个百分点＝1%）【解答】解：（1）∵2014年的5个CPI数据4.9，5.0，x，y，z成等差数列∴公差d＝5﹣4.9＝0.1，∴x＝5.1，y＝5.2，z＝5.3，∴2014年1～5月该国CPI数据的平均值为：＝＝5.1，S2＝[（4.9﹣5.1）2+（5.0﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.2﹣5.1）2+（5.3﹣5.1）2]＝0.02．（2）先随机从2013年5个月和2014年5个月的数据中各抽取一个数据，基本事件总数n＝5×5＝25，抽的数据的月份相同且2013年通货膨胀2014年严重通货膨胀，包含的基本事件个数m＝2，∴抽的数据的月份相同且2013年通货膨胀2014年严重通货膨胀的概率P＝＝．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，P A＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点（Ⅰ）求证：BC⊥平面PNB；（Ⅱ）若平面P AD⊥平面ABCD，求三棱锥P﹣NBM的体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵P A＝AD，N为AD的中点，∴PN⊥AD，又底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，又因为N为AD的中点，∴BN⊥AD，又PN∩BN＝N∴AD⊥平面PNB，∵AD∥BC∴BC⊥平面PNB…6分（Ⅱ）解：∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD ∴PN⊥平面ABCD，∴PN⊥NB，∵P A＝PD＝AD＝2，∴PN＝NA＝，∴S△PNB＝又BC⊥平面PNB，PM＝2MC，∴V P﹣NBM ＝V M﹣PNB＝V C﹣PNB＝＝…12分20．（12分）已知两点F1（﹣1，0）及F2（1，0），点P在以F1，F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|+|PF2|＝4．（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）如图，动直线l：y＝kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2面积S的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆定义可得2a＝|PF1|+|PF2|＝4．即a＝2，又c＝1，b＝＝，则椭圆方程为+y2＝1；（Ⅱ）将直线l的方程y＝kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2＝12中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12＝0．由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△＝64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）＝0，化简得：m2＝4k2+3．设d1＝|F1M|＝，d2＝|F2N|＝，当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1﹣d2|＝|MN|•|tanθ|∴|MN|＝||，S＝||（d1+d2）＝||＝＝＝，∵m2＝4k2+3，∴当k≠0时，|m|＞，|m|+＞+，S＜2．当k＝0时，四边形F1MNF2是矩形，S＝2．所以四边形F1MNF2面积S的最大值为2．21．（12分）已知函数f（x）＝﹣lnx，x∈[1，3]（Ⅰ）求f（x）的最大值与最小值（Ⅱ）若任意x∈[1，3]，t∈[0，2]，有f（x）＜4﹣at恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）因为函数，所以，令f′（x）＝0得x＝±2．因为x∈[1，3]，所以当x∈[1，2]时，f′（x）＜0，当x∈[2，3]时，f′（x）＞0．故f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增．所以．又f（1）＝，且f（1）﹣f（3）＝ln3﹣1＞0．所以f（1）＞f（3）．所以x＝1时，f（x）max＝，f（x）min＝f（2）＝．（2）由（1）知当x∈[1，3]时，，故对任意x∈[1，3]，t∈[0，2]，有f（x）＜4﹣at恒成立，只需对于t∈[0，2]，有＜4﹣at恒成立，即恒成立．令g（t）＝at，t∈[0，2]．所以，解得．所以实数a的取值范围是．四、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）AB是⊙O的一条切线，切点为B，过⊙O外一点C作直线CE交⊙O 于G，E，连接AE交⊙O于D，连接CD交⊙O于F，连接AC，FG，已知AC＝AB（1）证明：AD•AE＝AC2；（2）证明：FG∥AC．【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的一条切线，AE为割线，∴AB2＝AD•AE，又∵AB＝AC，∴AC2＝AD•AE．（2）由（1）得，∵∠EAC＝∠DAC，∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC＝∠ACE，∵∠ADC＝∠EGF，∴∠EGF＝∠ACE，∴GF∥AC．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ＝1．（1）求直线l与圆C的公共点个数；（2）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换得到曲线C′，设M（x，y）为曲线C′上一点，求4x2+xy+y2的最大值，并求相应点M的坐标．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程（t为参数）化为普通方程是x﹣y﹣＝0，圆C的极坐标方程ρ＝1化为普通方程是x2+y2＝1；∵圆心（0，0）到直线l的距离为d＝＝1，等于圆的半径r，∴直线l与圆C的公共点的个数是1；（Ⅱ）圆C的参数方程是，（0≤θ＜2π）；∴曲线C′的参数方程是，（0≤θ＜2π）；∴4x2+xy+y2＝4cos2θ+cosθ•2sinθ+4sin2θ＝4+sin2θ；当θ＝或θ＝时，4x2+xy+y2取得最大值5，此时M的坐标为（，）或（﹣，﹣）．六、选修4-5：不等式选讲24．（Ⅰ）已知a和b是任意非零实数．证明：≥4；（Ⅱ）若不等式|2x+1|﹣|x+1|＞k（x﹣1）﹣恒成立，求实数k的取值范围．【解答】证明：（Ⅰ）|2a+b|+|2a﹣b|≥|2a+b+2a﹣b|＝4|a|∴．（Ⅱ）记h（x）＝|2x+1|﹣|x+1|＝若不等式|2x+1|﹣|x+1|＞k（x﹣1）﹣恒成立，则函数h（x）的图象在直线y＝k（x﹣1）﹣的上方，∵y＝k（x﹣1）﹣经过定点（1，﹣），当x＝﹣时，y＝h（x）取得最小值﹣，显然，当y＝k（x﹣1）﹣经过定点P（1，﹣）与M（﹣，﹣）时，k PM ＝＝，即k＞；当y＝k（x﹣1）﹣经过定点P（1，﹣）与直线y＝x平行时，k得到最大值1，∴．。
