分式方程增根与无解专题说课讲解

浅谈分式方程增根与无解教案浅谈分式方程增根与无解Zhujiang 沈石林 增根，无解？是不是一回事吗？有的同学说，增根就是无解，无解就是增根。

难道增根和无解有区别吗？有联系吗？分式方程的增根，指的是解分式方程时，把分式方程化成整式方程的变形过程中，方程两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围，而产生的未知数的值。

分式方程无解，不论未知数为何值，都不能使分式方程两边的值相等，它包含两种情形。

（1）原分式方程去分母后得到的整式方程无解，导致原分式方程无解；（2）原分式方程化为整式方程后，有解，但是这个解使原分式方程的分母为零，即是原分式方程的增根，从而原方程无解。

例1. 解方程:2344222+=---x x x x 。

解：方程两边同乘：（x+2）（x-2）； 得： 2（x+2）-4x=3（x-2）； 解得 x=2；经检验当x=2时，原方程无意义，x=2是增根；所以，原分式方程无解例2. 解方程2x2x -32x 1-x ++=+。

小结：例2这种情况就是整式方程无解，导致原方程无解，由此可见分式方程无解，不一定就是产生增根。

例3. 当a 为何值时，关于x 的方程2x 34-x ax 2-x 22+=+会产生增根？注意：如果将例3的问题“会产生增根，变成无解”例4. 当a 为何值时，关于x 的方程2x 34-x ax 2-x 22+=+会产生无解？ 解：方程两边同乘：（x+2）（x-2）；得：2（x+2）+ax=3（x-2）整理得（a-1）x=-10 ①若分式方程无解，则有两种情况：（1）方程①无解导致原方程无解，a-1=0时，即a=1时，0·x=-10，此时原方程无解，则a=1.（2）出现增根导致无解，则x=2或x=-2.代入解的a=-4或6.总结：弄清楚分式方程的增根与无解的区别和联系，分式方程出现无解不一定就是出现增根，还有可能是去分母后整式方程无解，知道这一点后能帮助我们提高解分式方程的正确性，对判定分式方程解的情况有一定的指导意义。

【八年级】浅谈分式方程的增根与无解在学习分式方程时，增根与无解是避不开的话题，也是绝大部分同学弄不清楚的地方。

今天，给大家带来 2 类典型的问题。

一、解分式方程时，增根是如何产生的？增根到底有多少个？二、增根与无解到底有怎样的区别与联系。

1.有关增根的问题1.1增根是如何产生的先看一个有意思的问题：x-1=0显然，我们都知道原方程的解为 x=1，但是如果我们没有直接移项，而是在方程的两边同时乘以 x，则原方程可化为 x(x-1)=0，可解得 x=0 或x=1.我们当然知道第一种方法是正确的，但是为什么我在等号两边同时乘了一个 x，就会变成两个解呢？这是因为两边同时乘的这个 x，我们没有确保它是不等于 0 的。

换言之，第二种解法的 x=0 就是这个一元一次方程的增根。

因为我在方程 x-1=0 两边同时乘以 x 后，得到的方程 x(x-1)=0 与原方程不是同解方程。

而我们解分式方程时，总是将分式方程化成整式方程进行求解。

由于这个过程扩大了原来末知数的取值范围，使得所化成的整式方程与原分式方程不是同解方程，带来了可能使所化成的整式方程成立，而使原分式方程分母为零的末知数的值，也即增根。

1.2增根到底有多少个再看一个有意思的问题，也是以前很多老师争论不休的问题。

故原方程无解，因此原方程的增根有 0 个。

这个问题为什么会产生歧义呢？这个方程的增根到底有几个？解法一、二、三到底哪个是正确的？首先，需要明确一点：解所有不含参数的分式方程，按照所有项移到方程左边，进而通分，这样的方式解得的分式方程永远都不会有增根，即解法三这样的。

因为这种解法，一直在进行等价转化，即都是同解方程。

那既然这种解法不会产生增根，为什么教材不提倡这种做法呢？笔者觉得原因有两个。

一、通过通分化简求值的方法相比于去分母化成整式方程更加麻烦，虽然不需要验根，但是对于复杂一些的分式方程，通分的计算量不小。

二、更重要的一点，通分的方法无法处理含参数的分式方程。

分式方程专题一：知识梳理如果一个分式方程的根能使此方程的公分母为零,那么这个根就是原方程的增根。

产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根。

二：例题精讲例题1：若方程﹣=1有增根，则它的增根是，m=．【解答】解：由分式方程有增根，得到（x+1）（x﹣1）=0，解得：x=±1，分式方程去分母得：6﹣m（x+1）=x2﹣1，把x=1代入整式方程得：6﹣2m=0，即m=3；把x=﹣1代入整式方程得：6=0，无解，综上，分式方程的增根是1，m=3．故答案为：1；3．反馈：（1）若关于x的分式方程=1有增根，则增根为；此时a=．（2）关于x的方程+=2有增根，则m=．（3）若关于x的分式方程=﹣有增根，则k的值为．例题2：若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是．【解答】解：方程两边都乘以x﹣2，得：﹣2+x+m=2（x﹣2），解得：x=m+2，∵方程的解为正数，∴m+2＞0，且m+2≠2，解得：m＞﹣2，且m≠0，故答案为：m＞﹣2且m≠0．反馈：（1）已知关于x的方程=3的解是正数，则m的取值范围是．（2）关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是．例题3：若关于x的分式方程=a无解，则a的值为．【解答】解：两边同乘以x+1，得x﹣a=ax+a移项及合并同类项，得x（a﹣1）=﹣2a，系数化为1，得x=，∵关于x的分式方程=a无解，∴x+1=0或a﹣1=0，即x=﹣1或a=1，∴﹣1=，得a=﹣1，故答案为：±1．反馈：（1）关于x的方程无解，则k的值为．（2）若关于x的分式方程无解，则m的值为．（3）若关于x的分式方程无解，则m=．三：典型错题1.在中，x的取值范围为．2.要使方式的值是非负数，则x的取值范围是．3.已知，则分式的值为．4.将分式（a、b均为正数）中的字母a、b都扩大到原来的2倍，则分式值为原来的倍．5.若=+，则A=，B=．6.若解分式方程产生增根，则m=．7.若关于x的方程是非负数，则m的取值范围是．8.关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是9.已知，则的值为．10．已知a2+b2=9ab，且b＞a＞0，则的值为．参考答案：例题1：反馈：（1）若关于x的分式方程=1有增根，则增根为；此时a=．【解答】解：去分母得：2x﹣a=x+1，由分式方程有增根，得到x+1=0，即x=﹣1，把x=﹣1代入得：﹣2﹣a=0，解得：a=﹣2，故答案为：﹣1；﹣2（2）关于x的方程+=2有增根，则m=．【解答】解：去分母得：5x﹣3﹣mx=2x﹣8，由分式方程有增根，得到x﹣4=0，即x=4，把x=4代入整式方程得：20﹣3﹣4m=0，快捷得：m=，故答案为：（3）若关于x的分式方程=﹣有增根，则k的值为．【解答】解：去分母得：5x﹣5=x+2k﹣6x，由分式方程有增根，得到x（x﹣1）=0，解得：x=0或x=1，把x=0代入整式方程得：k=﹣；把x=1代入整式方程得：k=，则k的值为或﹣．故答案为：或﹣例题2：反馈：（1）已知关于x的方程=3的解是正数，则m的取值范围是．【解答】解：解关于x的方程=3得x=m+6，∵方程的解是正数，∴m+6＞0且m+6≠2，解这个不等式得m＞﹣6且m≠﹣4．故答案为：m＞﹣6且m≠﹣4．（2）关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是．【解答】解：把方程移项通分得，∴方程的解为x=a﹣6，∵方程的解是负数，∴x=a﹣6＜0，∴a＜6，当x=﹣2时，2×（﹣2）+a=0，∴a=4，∴a的取值范围是：a＜6且a≠4．故答案为：a＜6且a≠4．例题3：反馈：（1）关于x的方程无解，则k的值为．【解答】解：去分母得：2x+4+kx=3x﹣6，当k=1时，方程化简得：4=﹣6，无解，符合题意；由分式方程无解，得到x2﹣4=0，即x=2或x=﹣2，把x=2代入整式方程得：4+4+2k=0，即k=﹣4；把x=﹣2代入整式方程得：﹣4+4﹣2k=﹣12，即k=6，故答案为：﹣4或6或1（2）若关于x的分式方程无解，则m的值为．【解答】解：两边都乘以（x﹣2），得x﹣1=m+3（x﹣2）．m=﹣2x+5．分式方程的增根是x=2，将x=2代入，得m=﹣2×2=5=1，故答案为：1．（3）若关于x的分式方程无解，则m=．【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：m﹣（x﹣1）=0，即m=x﹣1，∵关于x的分式方程无解，∴x=1或x=﹣1，当x=1时，m=0，当x=﹣1时，m=﹣2，故答案为：0或﹣2．典型错题：1.在中，x的取值范围为0＜x≤1．2.要使方式的值是非负数，则x的取值范围是x≥1或x＜﹣2．3.已知，则分式的值为．4.将分式（a、b均为正数）中的字母a、b都扩大到原来的2倍，则分式值为原来的倍．5.若=+，则A=﹣12，B=17．6.若解分式方程产生增根，则m=﹣2或1．．7.若关于x的方程是非负数，则m的取值范围是m≥﹣2且m≠﹣1 ．8.关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是a≠5，a≠0．9.已知，求的值．【解答】解：将两边同时乘以x，得x2+1=3x，===．10．已知a2+b2=9ab，且b＞a＞0，求的值．【解答】解：∵a2+b2=9ab，∴a2+b2+2ab=11ab，a2+b2﹣2ab=7ab，即（a+b）2=11ab，（a﹣b）2=7ab，∵b＞a＞0，即b﹣a＞0，∴a+b=，b﹣a=，则原式=﹣=﹣=﹣．。

分式方程的增根和无解专题讲义班级： 姓名：题型一:解分式方程, 解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为0,所以解分式方程必须检验.例1.解方程(1) 2223-=---xx x (2) 114112=---+x x x专练一、解分式方程 （每题5分共50分）（1） 223433x x x x +-=+ （2）3513+=+x x ； （3）30120021200=--xx（4）255522-++x x x =1 (5) 2124111x x x +=+--. (6) 2227461x x x x x +=+--（7）11322x x x -+=--- (8)512552x x x=--- (9) 6165122++=-+x x x x题型二:关于增根:将分式方程变形为整式方程,方程两边同时乘以一个含有未知数的整式,并越去分母,有时可能产生不适合原分式方程的根,这种根通常称为增根.例2、 若方程xx x --=+-34731有增根,则增根为 .例3．若关于x 的方程313292-=++-x x x m 有增根, 则增根是多少?产生增根的m 值又是多少?评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是：（1）将所给方程化为整式方程；（2）由所给方程确定增根（使最简公分母为零的未知数的值或题目给出）（3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。

专练习二：1.若方程3323-+=-x x x 有增根,则增根为 . 2、 使关于x 的方程a x x a x2224222-+-=-产生增根的a 的值是（ ） A. 2 B. －2 C. ±2 D. 与a 无关3、若解分式方程21112x x m x x x x+-++=+产生增根，则m 的值是（ ） A. －1或－2 B. －1或2 C. 1或2 D. 1或－24.当m 为何值时,解方程115122-=-++x m x x 会产生增根?5、关于x 的方程x x k x -=+-323会产生增根，求k 的值。

分 式 方 程 的 增 根 与 无 解 讲 解例1解方程—24x 3•①x 2 x 4 x 2解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 )，得2 (x+2) -4x=3 (x-2 ).②解这个方程，得x=2.经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=2是原方程的增根.所以原方程无解.例2解方程x 13 x2 .x 22 x解：去分母后化为x — 1 = 3— x + 2 (2+ x ).整理得0x = 8.因为此方程无解，所以原分式方程无解.例3 (2007湖北荆门)若方程 王卫二―丄无解，则m= ------------ .x 22 x解：原方程可化为x 3二—m.x 2 x 2方程两边都乘以x — 2，得x — 3=— m解这个方程，得x=3— m因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根.即 x=2，所以2=3— m 解得m=1.故当m=1时，原方程无解.ax例4当a为何值时，关于x的方程齐厂齐①会产生增根?解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得 2 (x + 2)+ ax= 3 (x —2)整理得(a—1) x = —10若原分式方程有增根，则x= 2或-2是方程②的根.把x = 2或一2代入方程②中，解得，a = —4或6.若将此题“会产生增根”改为“无解”，即:2 ax 3当a为何值时，关于x的方程厂2 厂门①无解?此时还要考虑转化后的整式方程（a—1）x二—10本身无解的情况，解法如下:解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得 2 (x + 2)+ ax= 3 (x —2)整理得(a—1) x = —10若原方程无解，则有两种情形:（1）当a—1 = 0 （即a= 1）时，方程②为0x =一10，此方程无解，所以原方程无解。

（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解•原方程若有增根，增根为x = 2或一2,把x = 2或一2代入方程②中，求出a= —4或6.综上所述，a= 1或a = —4或a=6时，原分式方程无解.例5: （2005扬州中考题）6A 、0B 、1C 、-1D 、1 或-1分析：使方程的最简公分母(x+1)(x-1)=0 则x=-1或x=1，但不能忽略增根除满足最简公 分母为零,还必须是所化整式方程的根。

(完整)认清“增根”和“无解”第 1 页 共 1 页认清“增根”和“无解”分式方程的增根是由于把分式方程转化为整式方程时,去掉了原分式方程中分母不为0的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围,这样，整式方程的解可能使分式方程的分母为0，分式方程无意义．因此,这个解虽然是变形后整式方程的解，但不是原分式方程的解，即为增根．可见,增根不是原分式方程的解，但却是分式方程去分母后所得整式方程的解．分式方程无解分两种情况：一是原分式方程化为整式方程后，该整式方程无解；二是分式方程去分母后所得整式方程有解，但该解却是分式方程的增根．可见，分式方程有增根与无解是完全不相同的,它们既有联系，又有区别．增根是无解的一种特殊情形,分式方程无解应从两个方面考虑．一、利用分式方程有增根确定字母的值解题妙招：解决此类问题的一般步骤是:①把分式方程化为整式方程；②求出使最简公分母为0的未知数的值；③把未知数的值分别代入整式方程，求出字母系数的值．例1 若分式方程11(1)(2)x m x x x -=--+有增根，则m 的值为（ ） A.0或3 B 。

1 C.1或2- D.3解析：方程两边乘（x —1）（x+2)，得x(x+2）-（x-1）（x+2）=m.解得x=m-2。

令(1)(2)0x x -+=，解得1x =或2x =-．因为分式方程有增根,将1x =，2x =-分别代入x=m —2，得3m =或0m =．所以3m =或0m =时，原分式方程有增根．故选A ．二、利用分式方程无解求字母的值解题妙招：解决此类问题，一定要从分式方程有增根和整式方程无解两个方面去考虑,以防出现漏解．例2 若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a 的值为 ． 解析：方程两边乘x （x —1），得x(x —a ）-3（x —1)=x(x —1）。

化简,得(2)3a x +=．当整式方程无解时，则20a +=，解得2a =-．当分式方程有增根时，则最简公分母(1)0x x -=，解得0x =或1x =．①当0x =时，a 无解；②当1x =时，1a =．所以当1a =或a=2-时，原分式方程无解．故填1或2-．。

浅谈分式方程的根,无解或增根Zhujiang 沈石林1）若关于x 的方程15102x m x x-=--无解，则m = 。

2）当m 为何值时，关于x 的方程223242mx x x x +=--+会产生增根？3）若关于x 的方程213446m m x x x ++=-++无解，则m 的值为 。

1 增根要理解两点：①增根的由来？增根是使最简公分母为0的未知数的解。

②增根怎么用？增根是分式方程化为整式方程的解。

2.无解分为两种情况：第一，就是分式方程无解即增根；第二，是分式方程化为整式方程，整式方程无解，即化简后ax b = 时，0a =且0b ≠时整式方程无解，这种情况下一般是未知数的前面含有字母。

解答 （1）若关于x 的方程15102x m x x-=--无解，则m = . 解：15102x m x x-=-- 2(5)(1)(x x m x --=-(化为整式方程) [](5)2(1)0x m x -+-=2(1)m x =--(把5x =代入)m = -8经检验，5550x -=-=5x =是原方程的增根，也是无解。

（2）当m 为何值时，关于x 的方程223242mx x x x +=--+会产生增根？ 解：原方程为2(2)3(2)x mx x ++=-，即(1)10m x -=-当2x =时， (1)210,4m m -⨯=-=-当2x =-时 (1)(2)10,m m -⨯-=-=因此，当4m =-或6m =时，关于x 的方程223242mx x x x +=--+会产生增根。

分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，所以应先确定增根的可能值，让最简公分母(2)(2)0x x +-=，得2x =或2x =-，然后代入化为整式方程的方程算出m 的值。

（3）若关于x 的方程2234416mx m x x x ++=-+-无解，求m 的值。

解：去分母得：443x mx m m ++-=+化简得：(1)510m x m +-+= 因为，方程2234416mx m x x x ++=-+-无解 所以，(4)(4)0x x +-=或1m =-当4x =-时，1(1)(4)510,3m m m +⨯--+==- 当4x =时，(1)4510,5m m m +⨯-+==所以，m 的值为1-或13-或5。