2019-2020学年安徽省“庐巢六校联盟”高二上学期第二次段考数学(文)试题(解析版)

2019-2020学年安徽省“庐巢六校联盟” 高二上学期第二次段考数学（文）试题一、单选题1．关于空间直角坐标系O xyz -中的一点(1,2,3)P 有下列说法： ①OP 的中点坐标为13,1,22⎛⎫⎪⎝⎭； ②点P 关于x 轴对称的点的坐标为1,2)3(,---； ③点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2,)3-； ④点P 关于xOy 平面对称的点的坐标为(1,2,)3-. 其中正确说法的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】类比平面直角坐标系中点的性质，对空间直角坐标系O xyz -中点的坐标与对称性说法，判断正误即可. 【详解】空间直角坐标系O xyz -中，点(1,2,3)P ，则：对于①，OP 的中点坐标为13,1,22⎛⎫⎪⎝⎭，①正确； 对于②，点P 关于x 轴对称的点的坐标为1,23(,)--，②错误； 对于③，点P 关于坐标原点对称的点的坐标为1,2)3(,---，③错误； 对于④，点P 关于xOy 平面对称的点的坐标为(1,2,)3-，④正确. 综上所述：正确的说法序号是①④. 故选：B 【点睛】本题考查了空间中点的坐标与对称性问题的应用，是基础题. 2．下列图形中不一定是平面图形的是（ ）A．三角形B．平行四边形C．梯形D．四边相等的四边形【答案】D【解析】利用平面基本性质及推论求解．【详解】利用公理2可知：三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形，而四边相等的四边形可能是空间四边形不一定是平面图形．故选D．【点睛】本题考查图形是否是平面图形有判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．3．下面给出了四个条件：①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线l都相交的两条直线；④两两相交的三条直线. 其中，能确定一个平面的条件有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】依次判断每个选项：三个点共线时不成立；点在直线上时不成立；两直线异面时不成立；相交于一点时不成立，判断得到答案.【详解】在①中，空间共线的三个点能确定无数个平面，故①不成立；在②中，一条直线和直线上的一个点能确定无数个平面，故②不成立；在③中，和直线l都相交的两条直线能确定一个或三个平面，故③不成立；在④中，两两相交的三条直线能确定一个或三个平面（相交于一点），故④不成立.故选：A【点睛】本题考查平面的确定，是基础题，解题时要认真审题，注意公理三及其推论的合理运用.4．已知正方体外接球的体积是323，那么正方体的棱长等于（）A．B C．3D【答案】D【解析】设正方体棱长为a,先由球的体积求球的半径r，直径2r，列等式即可求出棱长．【详解】正方体外接球的体积是323π，则外接球的半径r=2，设正方体棱长为a,=2r=4，则棱长3= 故选：D 【点睛】本题考查正方体的外接球问题，掌握正方体的体对角线为球的直径是解题的关键. 5．若集合{}21,A m=，{}3,4B =，则“2m =”是“”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：根据题意，由于集合{}21,A m =，{}3,4B =，当m=2时，则可知，可知条件能推出结论，反之当，则说明m=2,或者m=-2，那么结论不能推出条件，故可知应该是充分不必要条件，选A. 【考点】充分条件点评：主要是考查了集合的交集运算，以及充分条件的判定，属于基础题。

6．直线220ax y +-=与直线()120x a y -++=互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ） A ．26,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．26,55⎛⎫⎪⎝⎭ C ．26,55⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．26,55⎛⎫-⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】1a =-时，直线分别化为：220,20x y x -+=+=，此时两条直线不垂直.1a ≠-时，利用两条直线垂直可得：1211a a -⨯=-+，解得a . 联立方程解出即可得出. 【详解】1a =-时，直线分别化为：220,20x y x -+=+=，此时两条直线不垂直.1a ≠-时，由两条直线垂直可得：1211a a -⨯=-+，解得1a =. 综上可得：1a =. 联立220220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得25x =，65y =. ∴这两条直线的交点坐标为26,55⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本题考查了直线相互垂直、分类讨论方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.7．下列说法中，不正确的是( )A ．“若p q 则”与“若q p 则”是互逆的命题B ．“若非p q 则非“与“若q p 则”是互否的命题C ．“若非p q 则非”与“若p q 则”是互否的命题D ．“若非p q 则非”与“若q p 则”是互为逆否的命题 【答案】B 【解析】【详解】主要考查四种命题的概念及其关系。

因为“若非p q 则非“与“若q p 则”的否命题是若p q 则“，所以“若非p q 则非“与“若q p 则”是互否的命题不正确，故选B8．动点A 在圆221x y +=上移动时，它与定点(3,0)B 连线的中点的轨迹方程是（ ）A ．22(3)4x y ++=B ．22(3)1x y -+=C ．2231()22x y ++= D ．22(23)41x y -+=【答案】C【解析】设出AB 中点M 的坐标(,)x y ，根据中点坐标公式求出点A 的坐标，根据点A在圆221x y +=上，代入圆的方程即可求得中点M 的轨迹方程.【详解】设中点(,)M x y ，则动点23(2),A x y -，∵A 在圆221x y +=上， ∴22()(231)2x y -+=，即22(23)41x y -+=.故选：D 【点睛】此题是个基础题. 考查代入法求轨迹方程和中点坐标公式，体现了数形结合的思想以及分析解决问题的能力.9．已知定点(2,0)P -和直线()():131225,)0(l x y R λλλλ+++-+=∈，则点P 到直线l 的距离d 的最大值为（ ）A ．BCD ．【答案】B【解析】直线:1312()()()250l x y λλλ+++-+=，化为：230()25x y x y λ+-++-=，令203250x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，可得直线l 经过定点()1,1Q ，可得点P 到直线l 的距离d 的最大值为PQ . 【详解】直线:1312()()()250l x y λλλ+++-+=，化为：230()25x y x y λ+-++-=，令203250x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得1x y ==. 因此直线l 经过定点()1,1Q ，∴点P 到直线l 的距离d 的最大值为PQ ==. 故选：B 【点睛】本题考查了直线系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 10．已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短弦的长为（ ） A ． B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】试题分析：，最短的弦长为，选C.【考点】直线与圆位置关系11．过点P(2,4)作圆()()22:125C x y -+-=的切线，则切线方程为( )A x －y ＝1B ．2x －y ＝0C ．x ＋2y －10＝0D ．x －2y －8＝0【答案】C【解析】判断点P 在圆上，根据切线和直线PC 的垂直，求出切线的斜率，利用点斜式可得结果. 【详解】因为点P(2,4)在圆C 上， 所以切线与直线PC 垂直， 因为42221PC k -==- 112PC k k k ∴⋅=-⇒=-，所以切线方程为y －4＝－12(x －2)，即x ＋2y －10＝0，故选C ． 【点睛】本题主要考查圆的方程与性质以及圆的切线方程，属于基础题.求圆的切线方程时一点要注意运用切线的性质：切点与圆心连线与切线垂直.12．在下列四个正方体中，,A B 为正方体的两个顶点，,,M N Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用线面平行判定定理可知B 、C 、D 均不满足题意，从而可得答案. 【详解】对于选项A ，设MN 中点为P ，易知AB 与PQ 相交，故直线AB 与平面MNQ 不平行； 对于选项B ，由于AB MQ ∕∕，结合线面平行判定定理可知B 不满足题意； 对于选项C ，由于AB MQ ∕∕，结合线面平行判定定理可知C 不满足题意； 对于选项D ，由于AB NQ ∕∕，结合线面平行判定定理可知D 不满足题意； 故选：A 【点睛】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题.二、填空题13．命题“00,231x R x ∃∈->”的否定是__________. 【答案】,231x R x ∀∈-≤【解析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可. 【详解】特称命题的否定是全称命题，则命题的否定为：“,231x R x ∀∈-≤” 故答案为：,231x R x ∀∈-≤ 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，结合特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键. 比较基础.14．ABC ∆中，已知2,1,2()(),3,0,1()A B C -，则BC 边上的中线所在的直线的一般式方程为__________. 【答案】350x y +-=【解析】利用中点坐标公式可得线段BC 的中点(1,2)D -. 得到BC 边上的中线所在的直线的点斜式方程，即可化为一般式方程. 【详解】线段BC 的中点(1,2)D -.BC 边上的中线所在的直线的方程：211212()y x --=---，化简为一般式方程：350x y +-=. 故答案为：350x y +-=. 【点睛】本题考查了中点坐标公式、点斜式与一般式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 15．已知直线l 与直线4350x y -+=关于y 轴对称，则直线l 的方程为 。

【答案】4x+3y-5=0【解析】试题分析：因为直线l 与直线4350x y -+=关于y 轴对称，所以直线l 与直线4350x y -+=上的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，所以直线l 的方程为4x+3y-5=0.【考点】本小题主要考查两条直线的关系.点评：求解此类问题时，一般是遵循“求谁设谁”的原则.16．已知α，β，γ是三个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m α⊥，m β⊂，那么αβ⊥； ②如果m n ⊥，m α⊥，那么//n α； ③如果αβ⊥，//m α，那么m β⊥； ④如果//αβ，m αγ=，n βγ=，那么//m n ．其中正确的命题有______________（写出所有正确命题的序号） 【答案】①④【解析】由题意可得：①由面面垂直的判断定理，如果m α⊥，m β⊂，那么αβ⊥；该说法正确； ②如果m n ⊥，m α⊥，可能n α⊥；该说法错误； ③如果αβ⊥，//m α，可能m β⊂；该说法错误；④如果//αβ，m αγ⋂=，n βγ⋂=，那么//m n ．该说法正确；综上可得：正确的命题有①④.三、解答题17．已知三角形ABC 的顶点坐标为(1,5)A -、(2,1)B --、(4,3)C ，M 是BC 边上的中点.（1）求AB 边所在的直线方程； （2）求中线AM 的长. 【答案】（1）6110x y -+= （2）【解析】（1）根据两点式写出直线的方法化简得到AB 所在的直线方程；（2）根据中点坐标公式求出M 的坐标，然后利用两点间的距离公式求出AM 即可. 【详解】（1）直线AB 的斜率为()1566211k ---===----，直线AB 的方程为(51)6y x -=+，即6110x y -+=. （2）设M 的坐标为00(,)x y 则由中点坐标公式得0024131,122x y -+-+====，故(1,1)M .∴AM ==【点睛】考查学生会根据条件写出直线的一般式方程，以及会利用中点坐标公式求线段中点坐标，会用两点间的距离公式求两点间的距离，属于基础题.18．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0.求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等．【答案】（1）a ＝2，b ＝2（2）2{2a b ==-或2{32a b == 【解析】(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0，即a 2－a －b ＝0. ① 又点(－3，－1)在l 1上，∴－3a ＋b ＋4＝0. ② 由①②得，a ＝2，b ＝2.(2)∵l 1∥l 2，∴a b ＝1－a ，∴b ＝1aa -，故l 1和l 2的方程可分别表示为 (a －1)x ＋y ＋4(1)a a -＝0，(a －1)x ＋y ＋1aa-＝0，又原点到l 1与l 2的距离相等，∴41a a -＝1aa-，∴a ＝2或a ＝23，∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2. 19．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥ ，点E 在线段AD 上，且CE AB ∕∕.（1）求证：CE ⊥平面PAD ；（2）若1,3,45PA AB AD CD CDA ====∠=︒，求四棱锥P ABCD -的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）56【解析】（1）由已知容易证,PA CE CE AD ⊥⊥，由直线与平面垂直的判定定理可得； （2）由（1）可知CE AD ⊥，从而有四边形ABCE 为矩形，且可得P 到平面ABCD 的距离1PA =，代入锥体体积公式可求. 【详解】（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以PA CE ⊥， 因为,AB AD CE AB ⊥∕∕，所以CE AD ⊥，又PA AD A ⋂=，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以CE ⊥平面PAD .（2）由（1）可知,1,3CE AD PA AB AD ⊥===，在Rt ECD ∆中，cos451DE CD =︒=，sin 451CE CD =︒=， 所以2AE AD ED =-=，又因为1,AB CE AB CE ==∕∕，所以四边形ABCE 为矩形， 所以CED ABCD ABCE S S S ∆=+四边形四边形12AB AE CE DE =⋅+⋅15121122=⨯+⨯⨯=， 又PA ⊥平面ABCD ，1PA =，所以115513326P ABCD ABCD V S PA -=⋅=⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，运算求解的能力；考查数形结合思想，化归与转化的思想，属于中档题.20．如图所示，在Rt ABC ∆中，已知(2,0)A -，直角顶点(0,B -，点C 在x 轴上.（1）求Rt ABC ∆外接圆的方程；（2）求过点(0,3)且与Rt ABC ∆外接圆相切的直线的方程.【答案】（1）22(1)9x y -+=（2）30y -=或34120x y -+=【解析】（1）求出圆心为(1,0)，半径为3，即可求Rt ABC ∆外接圆的方程； （2）设所求直线方程为3y kx =+，即30kx y -+=，当圆与直线相切时，有3d ==，即可求过点(0,3)且与Rt ABC ∆外接圆相切的直线的方程.【详解】（1）由题意可知点C 在x 轴的正半轴上，可设其坐标为(,0)a ，又AB BC ⊥，则1AB BC k k ⋅=-，即12a-⋅=-，解得4a =. 则所求圆的圆心为(1,0)，半径为3，故所求圆的方程为22(1)9x y -+=.（2）由题意知直线的斜率存在，故设所求直线方程为3y kx =+，即30kx y -+=.当圆与直线相切时，有3d ==，解得0k =，或34k =， 故所求直线方程为3y =或334y x =+，即30y -=或34120x y -+=. 【点睛】 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题. 21．如图所示，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA =E 是侧棱PA 上的动点.（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）如果E 是PA 的中点，求证：PC ∕∕平面BDE ；（3）不论点E 在侧棱PA 的任何位置，是否都有BD CE ⊥？证明你的结论.【答案】（1（2）证明见解析（3）不论点E 在何位置，都有BD CE ⊥,证明见解析【解析】（1）根据棱锥的体积公式即可求四棱锥P ABCD -的体积；（2）根据线面平行的判断定理即可证明PC ∕∕平面BDE ；（3）根据线面垂直的性质定理即可证明BD CE ⊥.【详解】（1）∵PA ⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为1，PA =∴211133P ABCD ABCD V S PA -=⋅=⨯=正方形P ABCD -的体积为3； （2）如图所示，连结AC 交BD 于O ，连结OE .∵四边形ABCD 是正方形，∴O 是AC 的中点.又∵E 是PA 的中点，∴PC OE ∕∕.∵PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，∴PC ∕∕平面BDE ；（3）不论点E 在何位置，都有BD CE ⊥.证明如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴BD AC ⊥.∵PA ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，∴BD PA ⊥.又∵AC PA A ⋂=，∴BD ⊥平面PAC .∵不论点E 在何位置，都有CE ⊂平面PAC .∴不论点E 在何位置，都有BD CE ⊥.【点睛】本题考查空间直线和平面平行以及线面垂直的判断和性质，考查多面体体积的求法，是中档题.22．已知圆M 过两点(1,1)C -，(1,1)D -，且圆心M 在20x y +-=上．（1）求圆M 的方程．（2）设P 是直线3480x y ++=上的动点，PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．【答案】（1）22(1)(1)4x y -+-=；（2）【解析】试题分析：（1）设圆心坐标为()00,x y ，根据圆心在直线上以及MC MD =得到关于0x ，0y 的方程组，解出方程组得圆心坐标，半径R MC =，故而可得圆的方程；（2）试题解析：（1）设圆心坐标为()00,x y ， ∴()()()()0022220000201111x y x y x y +-=⎧⎪⎨-++=++-⎪⎩，联立方程：01x =，01y =， ∴2R MC ===， ∴圆的方程为()()22114x y -+-=． （2）由题知，四边形PAMB 的面积为()12PAM PBM S S S AM PA BM PB =+=+，又2AM BM ==，PA PB =，所以2S PA =，而22224PA PM AM PM =-=-，即S =要求S 的最小值，只需求PM 的最小值即可，即在直线3480x y ++=上找一点P ，使得PM的值最小，所以34835minPM++==，所以四边形PAMB面积的最小值为=。