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高中数学选修2-2课后习题答案

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高中数学选修2-2课后习题答案一、选择题（12×5′＝60′）1.一物体的运动方程为21t t s +-=，其中s 单位是米，t 单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）。

A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2.复数),(R b a bi a ∈+为纯虚数的充分必要条件是 ( )。

A 0=ab B0=ba C0=ab D 022=+b a3.某同学类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，推出正四面体的下列性质： ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。

你认为正确的是（ ）。

A ．①B ．①②C ．①②③D ．③4.按照导数的几何意义，可以求得函数24x y -=在1=x 处的导数是 ( )。

A. 3-B. 33-C. 33±D. 35.32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）。

A319 B316 C313 D3106.与直线250x y -+=平行的抛物线2y x =的切线方程为（ ）。

A.210x y --=B.230x y --=C.210x y -+=D.230x y -+= 7.函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）。

A 72B 36C 12D 08.由直线20x y +-=,曲线3y x =以及x 轴围成的图形的面积为（ ）。

A.43B.54C.56D.349.函数3y x x =+的递增区间是（ ）。

A ),0(+∞B )1,(-∞C ),(+∞-∞D ),1(+∞10.在数列{}n a 中,若11a =,1110n n n a a a ++⋅++=,则2009a =（ ）。

A.2-B.1-C.0.5-D.111.设函数2()(0)f x ax c a =+≠，若100()()f x dx f x =⎰，001x ≤≤，则0x 的值为（ ）。

A . 33 B .ca +3C . 33 D . 312.()ii +-11 2 = ( )。

A . 1B . -1C . iD . -i 二、填空题（6×5′＝30′）NMPCBA13. 若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________； 14 计算定积分2211(2)x dx x-⎰结果为_________；15. 函数sin x y x=的导数为_________________；16. 下面四个命题：① 0比i -大； ②两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数； ③1x yi i +=+的充要条件为1x y ==； ④复平面内实轴与虚轴没有公共点；⑤设R b a ∈,，若i b i a b a +>+>则, 。

其中正确的命题是____________ ； 17.若1z i=-，那么100501z z ++的值是 ； 18. 若数列{a n}是等差数列,则有数列b n =na a a n+⋯++21(n ∈N *)也是等差数列，类比上述性质，相应地：若数列{C n }是等比数列,且C n ＞0,则有d n =_______________________ 也是等比数列。

三、解答题（6×10′＝60′） 19. 已知复数z 满足: 13,z i z =+-求22(1)(34)2i i z++的值。

20. 设0,>y x ，且2>+y x ，求证：21,21<+<+yx xy 中至少有一个成立。

21. 如图P 是A B C ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面P A B ，M 是P C 的中点，N 是A B 上的点，3A N N B =。

求证：M N A B ⊥。

22. 求证:对于整数0n ≥时,2211112n n +++能被133整除。

23. 已知函数23bx ax y +=，当1x =时，有极大值3.（1）求,a b 的值；（2）求函数y 的极小值。

24. 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （km/h ）的函数解析式可以表示为880312800013+-=x x y )1200(≤≤x ，已知甲、乙两地相距100km 。

（1）当汽车以40km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？高二数学《选修2-2》试题答案一、选择题（12×5′＝60′）C B C BD A D D C C A B 二、填空题（6×5′＝30′）13. 1± 1414ln 23- 15.2cos sin x x xx- 16.③④ 17.i 18. n n c c c ⋯21·三、解答题（6×10′＝60′）19. 解：设,(,)z a bi a b R =+∈， ……………………………………… 1′而13,z i z =+-即130i a bi -++= …………… 3′则410,43330a a z ib b =-⎧+-=⇒=-+⎨=-=⎩⎪⎩ …………… 6′22(1)(34)2(724)2473422(43)4i i i i i i zi i++-++===+-+- ………… 10′20. 证明：假设命题不成立，即21,21<+<+yx xy 都不成立，那么21,21≥+≥+yx xy 都成立。

……………………………………… 3′两式可化为y x x y 21,21≥+≥+，于是可得 )(22y x y x +≥++， 整理即得 2≤+y x . ……………………………………… 7′ 这与题设2>+y x 矛盾。

……………………………………… 9′ 因此，假设错误。

故命题成立。

……………………………………… 10′ 21. 证明：取PB 的中点Q ，连结,MQ NQ ， ……………………………… 2′∵M 是P C 的中点，∴//M Q BC ，……………………………………… 4′ ∵C B ⊥平面P A B ，∴MQ ⊥平面P A B ，∴MQ ⊥AB ， …………… 6′ 取A B 的中点D ，连结QD ，则QD ∥PA ，∵,PA PB =∴QD =QB ，又3A N N B =，∴BN N D =， …………… 8′ ∴QN AB ⊥，∴AB ⊥平面QMN ，∴M N A B ⊥ ……………………… 10′22. 证明：① 0n =时,原式=21112133+=能被133整除； ……………… 3′② 设n k =时,2211112k k +++ 能被133整除。

……………… 5′那么，当1n k =+时，原式=3232212123111211(1112)111212k k k k k k +++++++=+-⋅+=2212111(1112)12133k k k +++++⋅能被133整除。

……… 9′ 由①②得，对于整数0n ≥，2211112n n +++能被133整除。

………… 10′23. 解：（1）'232,y ax bx =+当1x =时，'11|320,|3x x y a b y a b ===+==+=， …… 3′即320,6,93a b a b a b +=⎧=-=⎨+=⎩……………………………………… 5′ （2）32'269,1818y x x y x x =-+=-+， ……………………………………… 7′ 令'0y =，得0,1x x ==或 0|0x y y =∴==极小值 ……………………………… 10′24. 解：(1)当40=x km/h 时，汽车从甲地到乙地行驶了5.240100=h ， ………………… 1′要耗油5.175.2)840803401280001(3=⨯+⨯-⨯(升) ……………………… 3′(2)当速度为x km/h ，汽车从甲地到乙地行驶了x100h ，设耗油量为)(x f 升，依题意得2100)88031280001()(3⨯+-=xx f 415800128012-+=xx……………… 5′233264080800640)('xx xx x f -=-=)1200(≤≤x 令0)('=x f ，得80=x …… 6′当)80,0(∈x 时，0)('<x f ，)(x f 是减函数当)12080(，∈x 时，0)('>x f ，)(x f 是增函数 …………………………… 8′∴当80=x 时，)(x f 取得极小值：45)880803801280001()80(3⨯+⨯-⨯=f 25.11445==(升) ………………… 9′因此，当汽车以80 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量少，最少为11.25升。

… 10′知识点与分值分布统计表其中，1～12为选择题，13～18为填空题，19～24为解答题。

命题人：西关中学牛占林检测人：张先智。

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人教版高中数学选修2-2课后习题参考答案之欧阳语创编

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新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答第一章 导数及其应用 3．1变化率与导数 练习（P6）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P8）函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”1的思想. 练习（P9）函数()r V =(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10）1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆. 所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵. 2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆，所以，(1) 3.3h '=-. 这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降.3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆，所以，(5)10s '=. 因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第5 s 的动能213101502k E =⨯⨯= J.4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>.由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π=，于是2258t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆，所以(3.2)20θπ'=.因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数()f x '的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()f x '恒大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时，()f x '小于零，当x 大于零时，()f x '大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种. 说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一.1．2导数的计算 练习（P18）1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=； （2）2x y e '=； （3）4106y x x '=-； （4）3sin 4cos y x x '=--；（5）1sin 33xy '=-； （6）21y x '=-.习题1.2 A 组（P18）1、()()2S S r r S r r r r rπ∆+∆-==+∆∆∆，所以，0()lim(2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=.2、()9.8 6.5h t t '=-+.3、3213()34r V Vπ'=.4、（1）213ln 2y x x '=+； （2）1n x n x y nx e x e -'=+； （3）2323sin cos cos sin x x x x xy x-+'=； （4）9899(1)y x '=+； （5）2x y e -'=-； （6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++.5、()82f x x '=-+. 由0()4f x '=有 04822x =-+，解得032x =6、（1）ln 1y x '=+； （2）1y x =-.7、1xy π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少.习题1.2 B 组（P19） 1、（1）（2）当h 越来越小时，sin()sin x h xy h+-=就越来越逼近函数cos y x =.（3）sin y x =的导数为cos y x =.2、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h. 1．3导数在研究函数中的应用 练习（P26）1、（1）因为2()24f x x x =-+，所以()22f x x '=-.当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增； 当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减. （2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增； 当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减. （3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增； 当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减. （4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--. 当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减. 2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+. （1）当0a >时，()0f x '>，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2bx a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.（2）当0a <时，()0f x '>，即2bx a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<，即2bx a>-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.注：图象形状不唯一.4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P29）1、24,x x 是函数()y f x =的极值点，其中2x x =是函数()y f x =的极大值点，4x x =是函数()y f x =的极小值点.2、（1）因为2()62f x x x =--，所以()121f x x '=-. 令()1210f x x '=-=，得112x =. 当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，当112x =时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-. （2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-.令2()3270f x x '=-=，得3x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时. 当x '因此，当3x =-()f x 当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-. （3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时. 当x '因此，当2x =-()f x 10- 当2x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22（4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. 令2()330f x x '=-=，得1x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时. 当x '因此，当1x =-()f x 2- 当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为2 练习（P31）（1）在[0,2]上，当112x =时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-，(2)20f =.因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924-. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且极大值为(3)54f -=；当3x =时，3()27f x x x =-有极小值，并且极小值为(3)54f =-； 又由于(4)44f -=，(4)44f =-.因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.（3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大值为(2)22f =.又由于155()327f -=，(3)15f =.因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值.因为(2)2f =-，(3)18f =-.因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-.习题1.3 A 组（P31）1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<. 因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数. （2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈.因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数. （3）因为()24f x x =--，所以()20f x '=-<.因此，函数()24f x x =-是单调递减函数. （4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>. 因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数. 2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减. （2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增.当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减.（3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>.因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数. （4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增.当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减. 3、（1）图略. （2）加速度等于0.4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值；（2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值； （3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值； （4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值.5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=，得112x =-.当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-.（2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-.令2()3120f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x '因此，当2x =-()f x 当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为16-. （3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x '因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22； 当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为10-. （4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=，得4x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x '因此，当4x =-()f x 128- 当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.6、（1）在[1,1]-上，当112x =-时，函数2()62f x x x =++有极小值，并且极小值为4724. 由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9，4724. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，并且极大值为16；当2x =时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-. 由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-.（3）在1[,1]3-上，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值. 由于1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128..由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，117-.习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈. 图略（2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈ 所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增， 2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减，2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠.因为()1x f x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增， ()1(0)0x f x e x f =-->=；当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减， ()1(0)0x f x e x f =-->=；综上，1x e x ->，0x ≠. 图略 （4）证明：设()ln f x x x =-，0x >. 因为1()1f x x'=-，0x ≠ 所以，当01x <<时，1()10f x x'=->，()f x 单调递增， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln11<. 因此，ln x x <. 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >. . 综上，ln x x x e <<，0x >图略2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.（2）因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c '=++. 下面分类讨论：当0a ≠时，分0a >和0a <两种情形： ①当0a >，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <， 当2()320f x ax bx c '=++>，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a >，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≥，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增. ②当0a <，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <， 当2()320f x ax bx c '=++>，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减. 当0a <，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≤，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减 1．4生活中的优化问题举例 习题1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x ，l x -，则这两个正方形的边长分别为4x ，4l x -，两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<.令()0f x '=，即420x l -=，2lx =.当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2lx l ∈时，()0f x '>.因此，2lx =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.所以，当两段铁丝的长度分别是2l时，两个正方形的面积和最小.2、如图所示，由于在边长为a四个边长为x 盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为 （1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02ax <<. （2）因为322()44V x x ax a x =-+， 所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6ax =.当(0,)6a x ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<.（第2题）因此，6a x =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点.所以，当6a x =时，无盖方盒的容积最大.3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ， 则表面积222S Rh R ππ=+由2V R h π=，得2V h R π=. 因此，2222()222V VS R R R R R Rππππ=+=+，0R >.令2()40V S R R R π'=-+=，解得R =.当R ∈时，()0S R '<；当)R ∈+∞时，()0S R '>.因此，R =是函数()S R 的极小值点，也是最小值点. 此时，22V h R Rπ===.所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑，所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=，得11ni i x a n ==∑，可以得到，11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n 个数据的平均值11nii a n =∑表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2x m ，半圆的面积为28x π2m ，矩形的面积为28x a π-2m ，矩形的另一边长为()8a xx π-m 因此铁丝的长为22()(1)244x a x al x x x x x πππ=++-=++，0x <<（第3题）令22()104a l x x π'=+-=，得x =.当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.因此，x =是函数()l x 的极小值点，也是最小值点.时，所用材料最省.6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-， 利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.求导得1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，84q =.当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<；因此，84q =是函数L 的极大值点，也是最大值点. 所以，产量为84时，利润L 最大, 习题1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为x 元， 那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<.令1()7005L x x '=-+=，解得350x =.当(180,350)x ∈时，()0L x '>；当(350,680)x ∈时，()0L x '>.因此，350x =是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时，利润4()()(4)()(5)b x L x x a c cc x a x b b-=-+⨯=--，54ba x <<.令845()0c ac bc L x x b b+'=-+=，解得458a bx +=.当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b bx +∈时，()0L x '<.当458a b x +=是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，销售价为458a b +元／件时，可获得最大利润.1．5定积分的概念 练习（P42）83. 说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想. 练习（P45）1、22112()[()2]()i i i i i s s v t n n n n n n '∆≈∆=∆=-+⋅=-⋅+⋅，1,2,,i n =.于是 111()n n ni i i i i is s s v t n ==='=∆≈∆=∆∑∑∑取极值，得说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想. 2、223km. 说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习（P48） 2304x dx =⎰. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线3y x =与直线0x =，2x =，0y =所围成的曲边梯形的面积4S =. 习题1.5 A 组（P50）1、（1）10021111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （2）50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （3）100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰. 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.2、距离的不足近似值为：18112171310140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）；距离的过剩近似值为：271181121713167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）.3、证明：令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<= 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ= 作和式 11()nni i i b af x b a nξ==-∆==-∑∑， 从而 11lim nba n ib adx b a n→∞=-==-∑⎰， 说明：进一步熟悉定积分的概念.4、根据定积分的几何意义，0⎰表示由直线0x =，1x =，0y =以及曲线y =所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此4π=⎰.5、（1）03114x dx -=-⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤，所以定积分031x dx -⎰表示由直线0x =，1x =-，0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得10133311011044x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰. 由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,1]上30x ≥，所以定积分131x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积. （3）根据定积分的性质，得22333110115444x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰ 由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,2]上30x ≥，所以定积分231x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于3x 在区间[1,0]-上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利用定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx -⎰化为023310x dx x dx -+⎰⎰，这样，3x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出031x dx -⎰，230x dx ⎰，进而得到定积分231x dx -⎰的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义. 习题1.5 B 组（P50）1、该物体在0t =到6t =（单位：s ）之间走过的路程大约为145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）9.81v t =.（2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242i i =⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）； 不足近似值：81111879.819.8168.672242i i =-⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ） （3）409.81tdt ⎰； 409.81d 78.48t t =⎰（m ）.3、（1）分割在区间[0,]l 上等间隔地插入1n -个分点，将它分成n 个小区间：[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n l l n -， 记第i 个区间为(1)[,]i l iln n-（1,2,i n =），其长度为 (1)il i l l x n n n-∆=-=.把细棒在小段[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n-上质量分别记作：12,,,n m m m ∆∆∆，则细棒的质量1ni i m m ==∆∑.（2）近似代替当n 很大，即x ∆很小时，在小区间(1)[,]i l iln n-上，可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点(1)[,]i i l iln nξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是，细棒在小段(1)[,]i l il n n -上质量 2()i i i l m x nρξξ∆≈∆=（1,2,i n =）.（3）求和得细棒的质量 2111()nnni i i i i i l m m x nρξξ====∆≈∆=∑∑∑.（4）取极限细棒的质量 21lim ni n i l m nξ→∞==∑，所以20lm x dx =⎰.. 1．6微积分基本定理 练习（P55）（1）50； （2）503； （3）533-； （4）24； （5）3ln 22-； （6）12； （7）0； （8）2-.说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.习题1.6 A 组（P55）1、（1）403； （2）13ln 22--； （3）9ln 3ln 22+-； （4）176-； （5）2318π+； （6）22ln 2e e --. 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.2、3300sin [cos ]2xdx x ππ=-=⎰. 它表示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和.习题1.6 B 组（P55） 1、（1）原式＝221011[]222x e e =-； （2）原式＝4611[sin 2]224x ππ=-；（3）原式＝3126[]ln 2ln 2x =.2、（1）cos 1sin [][cos cos()]0mx mxdx m m m mππππππ--=-=---=⎰； （2）sin 1cos [sin sin()]0mx mxdx m m m mππππππ--=|=--=⎰；（3）21cos 2sin 2sin []224mx x mx mxdx dx mπππππππ----==-=⎰⎰； （4）21cos 2sin 2cos []224mx x mx mxdx dx mπππππππ---+==+=⎰⎰.3、（1）0.202220()(1)[]49245245tkt kt t kt t g g g g g gs t e dt t e t e t e k k k k k k ----=-=+=+-=+-⎰. （2）由题意得 0.2492452455000t t e -+-=.这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t 的取值范围.根据指数函数的性质，当0t >时，0.201t e -<<，从而 5000495245t <<， 因此，500052454949t <<. 因此50000.2749245 3.3610e-⨯-≈⨯，52450.2749245 1.2410e -⨯-≈⨯， 所以，70.271.2410245 3.3610t e ---⨯<<⨯.从而，在解方程0.2492452455000t t e -+-=时，0.2245t e -可以忽略不计.因此，.492455000t -≈，解之得 524549t ≈（s ）. 说明：B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握. 1．7定积分的简单应用 练习（P58） （1）323； （2）1. 说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程.练习（P59）1、52533(23)[3]22s t dt t t =+=+=⎰（m ）.2、424003(34)[4]402W x dx x x =+=+=⎰（J ）. 习题1.7 A 组（P60）1、（1）2； （2）92.2、2[]b b aa q q q qW k dr k k k r r a b==-=-⎰. 3、令()0v t =，即40100t -=. 解得4t =. 即第4s 时物体达到最大高度.最大高度为 42400(4010)[405]80h t dt t t =-=-=⎰（m ）. 4、设t s 后两物体相遇，则 200(31)105tttdt tdt +=+⎰⎰，解之得5t =. 即,A B 两物体5s 后相遇.此时，物体A 离出发地的距离为 523500(31)[]130t dt t t +=+=⎰（m ）.5、由F kl =，得100.01k =. 解之得1000k =.所做的功为 0.120.10010005005W ldl l ==|=⎰（J ）. 6、（1）令55()501v t t t=-+=+，解之得10t =. 因此，火车经过10s 后完全停止. （2）1021000551(5)[555ln(1)]55ln1112s t dt t t t t =-+=-++=+⎰（m ）. 习题1.7 B组（P60） 1、（1）22aaa x dx --⎰表示圆222x y a +=与x 轴所围成的上半圆的面积，因此2222aa a a x dx π--=⎰（2）120[1(1)]x x dx ---⎰表示圆22(1)1x y -+=与直线y x =所围成的图形（如图所示）的面积，因此，2120111[1(1)]114242x x dx ππ⨯---=-⨯⨯=-⎰. 2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的 方程为2y ax =，则2()2b h a =⨯，所以24h a b =.从而抛物线的方程为 224hy x b=.于是，抛物线拱的面积23220204422()2[]b bh h S h x dx hx x bh b =-=-=⎰.3、如图所示.解方程组223y x y x ⎧=+⎨=⎩得曲线22y x =+与曲线3y x =交点的横坐标11x =，22x =. 于是，所求的面积为122201[(2)3][3(2)]1x x dx x x dx +-+-+=⎰⎰.4、证明：2[]()R hR h R RMm Mm Mmh W Gdr G G r r R R h ++==-=+⎰. 第一章 复习参考题A 组（P65）1、（1）3； （2）4y =-.2、（1）22sin cos 2cos x x xy x +'=； （2）23(2)(31)(53)y x x x '=-+-； （3）22ln ln 2x xy x x '=+； （4）2422(21)x x y x -'=+. y xO1（第1（2）题）yx hb O（第2题）3、32GMm F r'=-. 4、（1）()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.（2）(3)4f '=-表明在3℃附近时，红茶温度约以4℃／min 的速度下降. 图略.5、因为()f x =()f x'=.当()0f x '=>，即0x >时，()f x 单调递增； 当()0f x '=<，即0x <时，()f x 单调递减.6、因为2()f x x px q =++，所以()2f x x p '=+. 当()20f x x p '=+=，即12px =-=时，()f x 有最小值. 由12p-=，得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=，所以5q =. 7、因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+，所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--. 当()0f x '=，即3cx =，或x c =时，函数2()()f x x x c =-可能有极值.由题意当2x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值，所以0c >. 由于所以，当3c x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值. 此时，23c=，6c =.8、设当点A 的坐标为(,0)a 时，AOB ∆的面积最小. 因为直线AB 过点(,0)A a ，(1,1)P ，所以直线AB 的方程为001y x a x a --=--，即1()1y x a a=--. 当0x =时，1a y a =-，即点B 的坐标是(0,)1aa -. 因此，AOB ∆的面积21()212(1)AOB a a S S a a a a ∆===--.令()0S a '=，即2212()02(1)a aS a a -'=⋅=-.当0a =，或2a =时，()0S a '=，0a =不合题意舍去.由于所以，当2a =，即直线AB 的倾斜角为135︒时，AOB ∆的面积最小，最小面积为2.9、D .10、设底面一边的长为x m ，另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为14.8m.所以，长方体容器的高为14.844(0.5)12.88 3.2244x x x x --+-==-. 设容器的容积为V ，则32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++，0 1.6x <<. 令()0V x '=，即26 4.4 1.60x x -++=.所以，415x =-（舍去），或1x =. 当(0,1)x ∈时，()0V x '>；当(1,1.6)x ∈时，()0V x '<. 因此，1x =是函数()V x 在(0,1.6)的极大值点，也是最大值点. 所以，当长方体容器的高为1 m 时，容器最大，最大容器为1.8 m 3.11、设旅游团人数为100x +时，旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080)x ≤≤.令()0f x '=，即105000x -+=，50x =.又(0)100000f =，(80)108000f =，(50)112500f =.所以，50x =是函数()f x 的最大值点.所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多.12、设打印纸的长为x cm 时，可使其打印面积最大. 因为打印纸的面积为623.7，长为x ，所以宽为623.7x ，打印面积623.7()(2 2.54)(2 3.17)S x x x =-⨯-⨯ 23168.396655.9072 6.34x x =--，5.0898.38x <<. 令()0S x '=，即23168.3966.340x -=，22.36x ≈（负值舍去），623.727.8922.36≈. 22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.38)内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点.所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm ，22.36cm 时，可使其打印面积最大.13、设每年养q 头猪时，总利润为y 元.则 21()20000100300200002y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈. 令0y '=，即3000q -+=，300q =.当300q =时，25000y =；当400q =时，20000y =.300q =是函数()y p 在(0,400]内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点.所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元.14、（1）2； （2）22e -； （3）1；（4）原式＝22222000cos sin (cos sin )[sin cos ]0cos sin x x dx x x dx x x x x πππ-=-=+=+⎰⎰；（5）原式＝22001cos sin 2[]224x x x dx πππ---==⎰. 15、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、2.17、由F kl =，得0.0490.01k =. 解之得 4.9k =.所做的功为 20.30.30.10.14.9 4.90.1962l W ldl ==⨯|=⎰（J ） 第一章 复习参考题B 组（P66）1、（1）43()10210b t t '=-⨯. 所以，细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和410-.（2）当05t ≤<时，()0b t '>，所以细菌在增加；当55t <<+时，()0b t '<，所以细菌在减少.2、设扇形的半径为r ，中心角为α弧度时，扇形的面积为S . 因为212S r α=，2l r r α-=，所以2l rα=-. 222111(2)(2)222l S r r lr r r α==-=-，02l r <<.令0S '=，即40l r -=，4l r =，此时α为2弧度. 4l r =是函数()S r 在(0,)2l 内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.所以，扇形的半径为4l 、中心角为2弧度时，扇形的面积最大. 3、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么222r h R +=.因此，222231111()3333V r h R h h R h h ππππ==-=-，0h R <<.令22103V R h ππ'=-=，解得h R =.容易知道，h =是函数()V h 的极大值点，也是最大值点.。

高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.2知识点总结含同步练习题及答案

高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.2知识点总结含同步练习题及答案

求下列函数的导数： （1）y = e3x+2 ；（2）ln(2x − 1)．
′
解：（1）y ′ = (e3x+2 ) = e3x+2 ⋅ (3x + 2)′ = 3e3x+2 ； （2）y ′ = (ln(2x − 1))′ =
1 2 ． ⋅ (2x − 1)′ = 2x − 1 2x − 1
2.利用导数求函数的切线方程 描述： 利用导数求函数的切线方程 步骤一：求出函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数 f ′ (x0 ) ； 步骤二：根据直线方程的点斜式，得到切线方程为 y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 )． 例题： 求曲线 y = ex + 1 在 (0, 2) 处的切线方程． 解：因为 y = ex + 1，所以 y ′ = ex ，故曲线 y = ex + 1在 (0, 2)处的切线斜率为
解：（1）因为 y =
所以在点 P 处的切线的斜率等于 4 ．所以在点 P 处的切线方程是
y−
即
8 = 4(x − 2), 3
12x − 3y − 16 = 0.
（2）设切点为 (x 0 , y 0 )，则由（1）知切线的斜率 k = x2 ，切线方程为 y − y 0 = x2 (x − x 0 ) ． 0 0 又切线过点 P (2,
8 1 ) 且 (x0 , y 0 ) 在曲线 y = x3 上，所以 3 3 ⎧ ⎪ 8 − y = x2 (2 − x0 ), 0 0 ⎨3 1 ⎪ ⎩ y = x3 , ⎪ 0 3 0 − 3x2 + 4 = 0, x3 0 0
整理得
即
(x0 − 2)2 (x0 + 1) = 0.
人教版高中数学选修课后习题参考答案

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⼈教版⾼中数学选修课后习题参考答案新课程标准数学选修2—2第⼀章课后习题解答第⼀章导数及其应⽤ 3．1变化率与导数练习（P6）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度⼤约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度⼤约以3 ℃／h 的速率上升.练习（P8）函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近⽐在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”1的思想. 练习（P9）函数33()4Vr V π=(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学⽣，然后让学⽣根据导数的⼏何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10）1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然⽽10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--?--?≥-?-?. 所以，企业甲⽐企业⼄治理的效率⾼.说明：平均变化率的应⽤，体会平均变化率的内涵.2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t+-==--，所以，(1) 3.3h '=-. 这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t s t t t+-==+，所以，(5)10s '=.因此，物体在第 5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第 5 s 的动能213101502k E =??= J.4、设车轮转动的⾓度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>. 由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π=，于是2258t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时⾓速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ?+?-==?+??，所以(3.2)20θπ'=. 因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时⾓速度为20π1s -. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表⽰的巩固.5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率⼤于零，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，⼏乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应⽤.6、第⼀个函数的图象是⼀条直线，其斜率是⼀个⼩于零的常数，因此，其导数()f x '的图象如图（1）所⽰；第⼆个函数的导数()f x '恒⼤于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于第三个函数，当x ⼩于零时，()f x '⼩于零，当x ⼤于零时，()f x '⼤于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满⾜上述条件的导函数图象中的⼀种.说明：本题意在让学⽣将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P11）1、⾼度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的⼤致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. ⾸先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的⼤致形状. 下⾯是⼀种参考答案.说明：这是⼀个综合性问题，包含了对导数内涵、导数⼏何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯⼀. 1．2导数的计算练习（P18）1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=；（2）2x y e '=；（3）4106y x x '=-；（4）3sin 4cos y x x '=--；（5）1sin 33xy '=-；（6）21y x '=-.习题1.2 A 组（P18）1、()()2S S r r S r r r r r π?+?-==+，所以，0()lim(2)2r S r r r r ππ?→'=+?=. 2、()9.8 6.5h t t '=-+. 3、3213()34r V Vπ'=.4、（1）213ln 2y x x '=+；（2）1n x n x y nx e x e -'=+；（3）2323sin cos cos sin x x x x xy x-+'=；（4）9899(1)y x '=+；（5）2x y e -'=-；（6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++. 5、()822f x x '=-+. 由0()4f x '=有 04822x =-+，解得032x =. 6、（1）ln 1y x '=+；（2）1y x =-. 7、1xy π=-+.8、（1）氨⽓的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=??.（2）(7)25.5A '=-，它表⽰氨⽓在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少. 习题1.2 B 组（P19） 1、（1）（2）当h 越来越⼩时，sin()sin x h xy h+-=就越来越逼近函数cos y x =.（3）sin y x =的导数为cos y x =.2、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的⽅程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮⽔的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮⽔的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮⽔的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮⽔的速度为 1.24-m ／h.1．3导数在研究函数中的应⽤练习（P26）1、（1）因为2()24f x x x =-+，所以()22f x x '=-.当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增；当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减. （2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增；当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减. （3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增；当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减. （4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+. （1）当0a >时，()0f x '>，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2bx a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.（2）当0a <时，()0f x '>，即2bx a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<，即2bx a>-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P29）1、24,x x 是函数()y f x =的极值点，注：图象形状不唯⼀.其中2x x =是函数()y f x =的极⼤值点，4x x =是函数()y f x =的极⼩值点. 2、（1）因为2()62f x x x =--，所以()121f x x '=-. 令()1210f x x '=-=，得112x =. 当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，当112x =时，()f x 有极⼩值，并且极⼩值为211149()6()212121224f =?--=-. （2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-. 令2()3270f x x '=-=，得3x =±. 下⾯分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当3x =-时，()f x 有极⼤值，并且极⼤值为54；当3x =时，()f x 有极⼩值，并且极⼩值为54-. （3）因为3()612f x x x=+-，所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=，得2x =±. 下⾯分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极⼩值，并且极⼩值为10-；当2x =时，()f x 有极⼤值，并且极⼤值为22 （4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. 令2()330f x x '=-=，得1x =±. 下⾯分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极⼩值，并且极⼩值为2-；当1x =时，()f x 有极⼤值，并且极⼤值为2 练习（P31）（1）在[0,2]上，当112x =时，2()62f x x x =--有极⼩值，并且极⼩值为149()1224f =-. ⼜由于(0)2f =-，(2)20f =.因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最⼤值是20、最⼩值是4924-. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极⼤值，并且极⼤值为(3)54f -=；当3x =时，3()27f x x x =-有极⼩值，并且极⼩值为(3)54f =-；⼜由于(4)44f -=，(4)44f =-.因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最⼤值是54、最⼩值是54-.（3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极⼤值，并且极⼤值为(2)22f =.⼜由于155()327f -=，(3)15f =.因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最⼤值是22、最⼩值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-⽆极值. 因为(2)2f =-，(3)18f =-.因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最⼤值是2-、最⼩值是18-. 习题1.3 A 组（P31）1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<. 因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数.（2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈. 因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数. （3）因为()24f x x =--，所以()20f x '=-<. 因此，函数()24f x x =-是单调递减函数. （4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>. 因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数. 2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减. （2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减.（3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>. 因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数.（4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减.3、（1）图略. （2）加速度等于0.4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极⼤值；（2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极⼩值；（3）在3x x =处，函数()y f x =有极⼤值；（4）在5x x =处，函数()y f x =有极⼩值.5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=，得112x =-. 当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，112x =-时，()f x 有极⼩值，并且极⼩值为211149()6()212121224f -=?---=-.（2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-. 令2()3120f x x '=-=，得2x =±. 下⾯分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极⼤值，并且极⼤值为16；当2x =时，()f x 有极⼩值，并且极⼩值为16-. （3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=，得2x =±.下⾯分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极⼤值，并且极⼤值为22；当2x =时，()f x 有极⼩值，并且极⼩值为10-. （4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=，得4x =±. 下⾯分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当4x =-时，()f x 有极⼩值，并且极⼩值为128-；当4x =时，()f x 有极⼤值，并且极⼤值为128. 6、（1）在[1,1]-上，当112x =-时，函数2()62f x x x =++有极⼩值，并且极⼩值为4724.由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最⼤值和最⼩值分别为9，4724. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极⼤值，并且极⼤值为16；当2x =时，函数3()12f x x x =-有极⼩值，并且极⼩值为16-. 由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最⼤值和最⼩值分别为16，16-.（3）在1[,1]3-上，函数3()612f x x x =-+在1-上⽆极值.由于1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最⼤值和最⼩值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极⼤值，并且极⼤值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最⼤值和最⼩值分别为128，117-. 习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈. 图略（2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增，2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减，2()(1)0f x x x f =->=；⼜11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠. 因为()1x f x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，()1(0)0x f x e x f =-->=；当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，()1(0)0x f x e x f =-->=；综上，1x e x ->，0x ≠. 图略（4）证明：设()ln f x x x =-，0x >. 因为1()1f x x'=-，0x ≠ 所以，当01x <<时，1()10f x x->，()f x 单调递增， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln11<. 因此，ln x x <. 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >.. 综上，ln x x x e <<，0x > 图略2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象⼤致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有⼀个极⼤值和⼀个极⼩值，从图象上能⼤致估计它的单调区间.（2）因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c '=++. 下⾯分类讨论：当0a ≠时，分0a >和0a <两种情形：①当0a >，且230b ac ->时，设⽅程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a >，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≥，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增. ②当0a <，且230b ac ->时，设⽅程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a <，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≤，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减 1．4⽣活中的优化问题举例习题1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x ，l x -，则这两个正⽅形的边长分别为4x ，4l x -，两个正⽅形的⾯积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<.令()0f x '=，即420x l -=，2lx =.当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2lx l ∈时，()0f x '>.因此，2lx =是函数()f x 的极⼩值点，也是最⼩值点.所以，当两段铁丝的长度分别是2时，两个正⽅形的⾯积和最⼩.2、如图所⽰，由于在边长为a 的正⽅形铁⽚的四⾓截去四个边长为x 的⼩正⽅形，做成⼀个⽆盖⽅盒，所以⽆盖⽅盒的底⾯为正⽅形，且边长为2a x -，⾼为x .（1）⽆盖⽅盒的容积2()(2)V x a x x =-，02ax <<.（2）因为322()44V x x ax a x =-+，所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6a x =. 当(0,)6a x ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<.因此，6ax =是函数()V x 的极⼤值点，也是最⼤值点.所以，当6ax =时，⽆盖⽅盒的容积最⼤.3、如图，设圆柱的⾼为h ，底半径为R ，则表⾯积222S Rh R ππ=+由2V R h π=，得2V h R π=. 因此，2222()222V V S R R R R R Rππππ=+=+，0R >. 令2()40V S R R R π'=-+=，解得R =.当R ∈时，()0S R '<；当)R ∈+∞时，()0S R '>. 因此，R =是函数()S R 的极⼩值点，也是最⼩值点. 此时，22V h R R π===. 所以，当罐⾼与底⾯直径相等时，所⽤材料最省.4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑，所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=，得11ni i x a n ==∑，（第3题）可以得到，11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极⼩值点，也是最⼩值点.这个结果说明，⽤n 个数据的平均值11ni i a n =∑表⽰这个物体的长度是合理的，这就是最⼩⼆乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2xm ，半圆的⾯积为28x π2m ，矩形的⾯积为28x a π-2m ，矩形的另⼀边长为()8a xx π-m 因此铁丝的长为22()(1)244xa x a l x x x x x πππ=++-=++，0x <<令22()104a l x x π'=+-=，得x =.当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.因此，x =()l x 的极⼩值点，也是最⼩值点.时，所⽤材料最省. 6、利润L 等于收⼊R 减去成本C ，⽽收⼊R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再⽤导数求最⼤利润.收⼊211(25)2588R q p q q q q =?=-=-，利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.求导得1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，84q =.当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<；因此，84q =是函数L 的极⼤值点，也是最⼤值点.所以，产量为84时，利润L 最⼤,习题1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<.令1()7005L x x '=-+=，解得350x =.当(180,350)x ∈时，()0L x '>；当(350,680)x ∈时，()0L x '>. 因此，350x =是函数()L x 的极⼤值点，也是最⼤值点.所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最⼤. 2、设销售价为x 元／件时，利润4()()(4)()(5)b x L x x a c c c x a x b b-=-+?=--，54ba x <<.令845()0c ac bc L x x b b+'=-+=，解得458a bx +=. 当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b bx +∈时，()0L x '<.当458a bx +=是函数()L x 的极⼤值点，也是最⼤值点.所以，销售价为458a b+元／件时，可获得最⼤利润.1．5定积分的概念练习（P42） 83. 说明：进⼀步熟悉求曲边梯形⾯积的⽅法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.练习（P45）1、22112()[()2]()i i i i i s s v t n n n n n n'?≈?=?=-+?=-?+?，1,2,,i n =L .于是 111()n n ni i i i i is s s v t n ==='=?≈?=?∑∑∑2112[()]ni i n n n ==-?+?∑22211111()()()2n n n n n n n n -=-?--?-?+L2231[12]2n n=-++++L31(1)(21)26n n n n ++=-?+111(1)(1)232n n =-+++取极值，得1111115lim [()]lim [(1)(1)2]323nnn n i i i s v n n n n →∞→∞====-+++=∑∑说明：进⼀步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.2、223km.说明：进⼀步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的⽅法和步骤. 练习（P48）2304x dx =?. 说明：进⼀步熟悉定积分的定义和⼏何意义.从⼏何上看，表⽰由曲线3y x =与直线0x =，2x =，0y =所围成的曲边梯形的⾯积4S =.习题1.5 A 组（P50） 1、（1）1001111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-?=∑?；（2）50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-?=∑?；（3）100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-?=∑?. 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的⽅法.2、距离的不⾜近似值为：18112171310140?+?+?+?+?=（m ）；距离的过剩近似值为：271181121713167?+?+?+?+?=（m ）.3、证明：令()1f x =. ⽤分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个⼩区间，在每个⼩区间1[,]i i x x -上任取⼀点(1,2,,)i i n ξ=L作和式11()nni i i b af x b a nξ==-?==-∑∑，从⽽11lim nbn i b adx b a n→∞=-==-∑，说明：进⼀步熟悉定积分的概念.4、根据定积分的⼏何意义，0表⽰由直线0x =，1x =，0y =以及曲线y =所围成的曲边梯形的⾯积，即四分之⼀单位圆的⾯积，因此4π=.5、（1）03114x dx -=-. 由于在区间[1,0]-上30x ≤，所以定积分031x dx -?表⽰由直线0x =，1x =-，0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的⾯积的相反数.（2）根据定积分的性质，得1133311011044x dx x dx x dx --=+=-+=.由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,1]上30x ≥，所以定积分131x dx -?等于位于x 轴上⽅的曲边梯形⾯积减去位于x 轴下⽅的曲边梯形⾯积.（3）根据定积分的性质，得202333110115444x dx x dx x dx --=+=-+=由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,2]上30x ≥，所以定积分231x dx -?等于位于x 轴上⽅的曲边梯形⾯积减去位于x 轴下⽅的曲边梯形⾯积.说明：在（3）中，由于3x 在区间[1,0]-上是⾮正的，在区间[0,2]上是⾮负的，如果直接利⽤定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项⼜有负项，⽽且⽆法抵挡⼀些项，求和会⾮常⿇烦. 利⽤性质3可以将定积分231x dx -?化为02331x dx x dx -+??，这样，3x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利⽤定积分的定义，容易求出031x dx -?，230x dx ?，进⽽得到定积分231x dx -?的值. 由此可见，利⽤定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进⼀步体会定积分的⼏何意义.习题1.5 B 组（P50）1、该物体在0t =到6t =（单位：s ）之间⾛过的路程⼤约为145 m.说明：根据定积分的⼏何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正⽅形的个数来估计物体⾛过的路程. 2、（1）9.81v t =.（2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242i i ==??=∑（m ）；不⾜近似值：81111879.819.8168.672242i i =-??==∑（m ）（3）49.81tdt ?；49.81d 78.48t t =?（m ）.3、（1）分割在区间[0,]l 上等间隔地插⼊1n -个分点，将它分成n 个⼩区间：[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n -，记第i 个区间为(1)[,]i l iln n-（1,2,i n =L ），其长度为 (1)il i l l x n n n-?=-=.把细棒在⼩段[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n-上质量分别记作：12,,,n m m m L ，则细棒的质量1ni i m m ==?∑.（2）近似代替当n 很⼤，即x ?很⼩时，在⼩区间(1)[,]i l iln n-上，可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很⼩，近似地等于⼀个常数，不妨认为它近似地等于任意⼀点(1)[,]i i l il n n ξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是，细棒在⼩段(1)[,]i l il n n-上质量2()i i i lm x nρξξ?≈?=（1,2,i n =L ）.（3）求和得细棒的质量 2111()nnni i i i i i l m m x nρξξ====?≈?=∑∑∑. （4）取极限细棒的质量 21lim ni n i lm nξ→∞==∑，所以20l m x dx =?..1．6微积分基本定理练习（P55）（1）50；（2）503；（3）533-；（4）24；（5）3ln 22-；（6）12；（7）0；（8）2-.。

高中数学选修(A版)2-2课后题答案(2021年整理)

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第一章导数及其应用
第二章推理与证明
第三章数系的扩充与复数的引入。