隐形圆问题第一讲 “形”现“圆”形问题 如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝2，点P 为等腰直角三角形ABC 所在平面内一点，且满足PA ⊥PB ，则PC 的取值范围是__________．5151⎡⎤-+⎣⎦，分析 本题因为点P 满足PA ⊥PB 即∠APB ＝90°，根据直径所对的圆周角是直角，可知点P 在以AB 为直径的圆上运动，点P 的运动轨迹是一个圆， 要求PC 的取值范围，利用PC 与圆心O 三点共线时取得最值，即可解决．可以发现，这里隐藏着一个圆，像这样的问题，我们称为“隐形圆”问题，本题利用初中的平面几何的知识即可解决．变式1 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的方程为y ＝kx ，直线l 2的方程为x +ky -2k =0，若l 1与l 2的交点为P ，定点(20)C ，，则PC 的取值范围是__________．5151⎡⎤-+⎣⎦， 分析 可以发现直线l 1与l 2是互相垂直的，直线l 1经过原点O （B ），直线l 2经过定点(02)A ，，P 的轨迹是以AB 为直径的圆（不含A 点），于是本题就转换为上述问题，其平面几何背景即为上述问题． 变式2（2020年南京二模）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2： x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离AB C P 变式1xyAOC Py 变式2xAOBPC的最大值为__________．32分析 直线l 1过定点(02)A ，，直线l 2过定点(20)B ，，AB ＝22 ，P 的轨迹是以AB 为直径的圆（不含原点），其圆心为C (1，1)，到直线的距离为22，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为222+＝32．圆是高中数学中一种简单但又非常重要的曲线，近几年高考题和高考模拟题中，经常会出现一类有关圆的题目，这类题目在条件中没有直接给出有关圆方面的信息，而是以隐性的形式出现，但我们通过分析和转化，最终都可以利用圆的知识求解．这类题目构思巧妙，综合性强,，充分考查了学生的数形结合、转化和化归等数学思想方法，处理这类题目关键在于能否把"隐形圆"找出来．圆作为几何图形，找“隐形圆”的一个角度可以从“形”的角度来发现． 策略一 由圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆例1（1）如果圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是________．605a -<<【解】到原点的距离为1的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知圆相交，从而有221(2)(3)3a a <++<，解得605a -<<．（2）（优质试题年南京二模）已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则a 的取值范围为_________．222222a -+≤≤O xy例1（1）O xyA PB M【解】由题意得2OP =，所以P 在以O 为圆心2为半径的圆上，即此圆与圆M 有公共点，因此有222221211(4)92222OM a a a -+⇒+-⇒-+≤≤≤≤≤≤． （3）（优质试题年苏北四市一模）已知A B 、是圆221:1C x y +=上的动点，=3AB ，P 是圆222:(3(4)1C x y -+-=）上的动点，则PA PB +uu r uu r的取值范围是_________．[7,13]【解】取AB 的中点M ，由=3AB ，则C 1M =12，所以M 在以C 1圆心，半径为12的圆上，且2PA PB PM +=uu ruu ruuu r，转化为两圆上动点的距离的最值， PM min ＝ C 1C 2－1－12＝5－1－12＝72 ，PM max ＝C 1C 2＋1＋12＝5＋1＋12＝132， 所以PA PB +uu ruu r的取值范围是[7,13]．（4）若对任意α∈R ，直线l ：x cos α＋y sin α＝2sin(α＋6π)＋4与圆C ： (x －m )2＋(y －3m )2＝1均无公共点，则实数m 的取值范围是_________．15(,)22-【解】直线l 的方程为：(x -1)cos α＋(y -3)sin α＝4，M (1,3)到l 距离为4，所以l 是以M 为圆心半径为4的定圆的切线系，转化为圆C 内含于圆M ，所以MC ＜3因为M (m ,3m )，C (1,3)，所以得到22(1)(33)3m m -+-< ，解得1522m -<<．例1(3)C 1xyA P BM C 2 xylO CM注：直线l ：(x -x 0)cos α＋(y -y 0)sin α＝R 为圆M ：22200()()x x y y R -+-=的切线系．（5）（优质试题年南通三模）在平面直角坐标系xOy 中，圆()221:12C x y -+=， 圆()()2222:C x m y m m -++=，若圆2C 上存在点P 满足：过点P 向圆1C 作两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，ABP ∆的面积为1，则正数m 的取值范围是_________． 【解】设P (x ，y )， PA ，PB 的夹角为2θ． △ABP 的面积S =221112sin 212PA PA PA PC PC θ=⋅⋅=． 由322122PA PC PA ==+，解得2PA =， 所以12PC =，所以点P 在圆22(1)4x y -+=上．所以222(1)()2m m m m --+-+≤≤，解得1323m +≤≤．策略二 由动点P 对两定点A 、B 张角是090（1PA PB k k ⋅=-，或PA PB ⋅=uu r uu r0）确定隐形圆例2 （1）（优质试题年北京卷）已知圆C ：22(3)(4)1x y -+-=和两点(,0)A m -，(,0)B m (0)m >，若圆上存在点P ，使得∠APB =90°，则m 的取值范围是_________．[]4,6【解】由90APB ∠=o 可知，若点P 存在，则点P 在以AB 为直径的圆O 上，其半径为m ，所以圆O 与圆C 有公共点，从而151m m -≤≤+则m 的取值范围是[]4,6．（2）（海安优质试题届高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (−1，0)， Q (2，1)，直线l ：0ax by c ++=其中实数a ，b ，c 成等差数列，若点 P 在直线 l 上的射影为 H ，则线段 QH 的取值范围是_________．[2,32] Oxy 例2（1） AP BC xOyPQH RM Oxy例2（1）PC 1A BC 2【解】直线l 过定点R （1，-2），H 在以PR 为直径的圆上，其圆的半径为12PR ＝2， 设PR 的中点为M （0，-1），则MQ ＝22， 所以QH min ＝22－2＝2，QH max ＝22＋2＝32，则线段 QH 的取值范围是[2,32]．（3）（通州区优质试题届高三下开学初检测）设m ∈R ，直线1l ：0x my +=与直线 2l ：240mx y m ---=交于点00(,)P x y ，则220002x y x ++的取值范围是_________．[12410,12410]-+【解】由2222000002(+1)1x y x x y ++=+-，可知其表示00(,)P x y 到定点B (-1，0)的距离的平方减1．因为l 1过定点O (0，0)，l 2过定点A (2，-4)，且l 1 ⊥l 2，则P 在以OA 为直径的圆上，但是由于直线l 1不能表示斜率为0的直线，直线l 2不能表示斜率不存在的直线，所以要除去一点(2，0)．而上述圆的圆心为C (1，-2)，半径为152OA =，由BC ＝22， PB min ＝BC －5＝22－5 ， PB max ＝BC ＋5＝22＋5222222000002(+1)1(225)1(225)1x y x x y ,⎡⎤++=+-∈--+-⎣⎦即[12410,12410]-+．策略三 由圆周角的性质确定隐形圆例3 （1）已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，2a =，(a +b )(sin A -sin B )=(c -b )sin C 则ABC ∆面积的最大值为_________．3例3(1) BOAC x例2（3）OyPCl 2 Al 1B【解】原式即为222a b c bc =+-，由余弦定理得cos A ＝12，所以A ＝60°，再由正弦定理，得外接圆的半径为233，设ABC ∆的外接圆的圆心为O ，则O 到BC 的距离为33，则边BC 上的高h 的最大值为33+233=3，则面积的最大值为3． （2）（优质试题年常州一模）在△ABC 中，∠C ＝45o ，O是△ABC 的外心，若OC mOA nOB=+u u u r u u r u u u r(m ，n ∈R )，则m ＋n 的取值范围是_________．[2,1)-【解】由圆周角的性质，∠AOB ＝2∠C ＝90°，点C 在以O 为圆心，半径OA 的圆上（在优弧AB 上）．不妨以O 为圆心，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，设(1,0)A ，(0,1)B ，(cos ,sin )(2)2C θθθπ<<π，由OC mOA nOB =+u u u r u u r u u u r得到cos sin m n θθ=⎧⎨=⎩，所以m ＋n ＝cos sin 2sin()4θθθπ+=+，结合22θπ<<π，得到2sin()[1,)42θπ+∈-，故m ＋n 的取值范围是[2,1)-．当圆周角是直角时，即为策略二的情形．策略四 由四点共圆的定理来确定隐形圆（如一个四边形的对角互补，则该四边形四点共圆）例4 （优质试题年全国卷2）设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，若a －c 与b －c的夹角为60°，则|c |的最大值等于 ． 2【解】设向量a ，b ，c 的起点为O ，终点分别为A ，B ，C ，由已知条件得，∠AOB ＝120°，∠ACB ＝60°，则点C 在△AOB 的外接圆上，当OC 经过圆心时，|c |最大，在△AOB 中，求得AB ＝3，由正弦定理得△AOB 外接圆的直径是3sin120°＝2，||c 的最大值是2．例3（2） xO yCBA 例4BOACxy BB´ A A´ODD´第1题【同步练习】1．点A ，B 分别在x 轴与y 轴的正半轴上移动，且AB ＝2，若点A 从(3，0)移动到(2，0)，则AB 中点D 经过的路程为 ．π122．已知O 为坐标原点，向量20(,)OB =uu u r ，22(,)OC =uuu r ,22(cos ,sin )CA αα=uu r，则OA uu r 与OB uu u r 夹角的范围为 ．[,]1212π5π3．已知直线20:l x y m -+=上存在点M 满足与两点(2,0)A -,(2,0)B 连线的斜率之积为1-，则实数m 的取值范围是 ．2525[,]-4．已知圆C ：x 2＋y 2＝1，点P (x 0，y 0)在直线x －y －2＝0上，O 为坐标原点，若圆C 上存在一点Q ，使得∠OPQ ＝30°，则x 0的取值范围是________．[0,2]5．如图，已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点(与点A ,B 不重合)，连接BC 并延长至D ，使得|CD |＝|BC |，则线段PD 的取值范围 ．2(,2)3第5题 xOyB CAP D第二讲 “数”现“圆”形解析几何中，找“隐形圆”的另一个角度可以从“数”的角度（求出其方程）来发现． 策略五 直接由圆（半圆）的方程确定隐形圆例1 （1）(优质试题年泰州一模)已知实数a ，b ，c 满足222a b c +=，0c ≠，则2ba c-的取值范围为__________．3333[,]-【解】方法一 令a x c =，b y c=，则原题转化为实数x 、y 满足221x y +=，求2yx -的取值范围，归结为以原点为圆心的单位圆上的动点M ()x y ，与定点(20)P ，的斜率的取值范围． 方法二 令cos a c θ=，sin b c θ=，原题转化为求sin cos 2θθ-的取值范围，而动点(cos sin )θθ，在以原点为圆心的单位圆上，以下同方法一．（2）若方程3－24x x -＝x ＋b 有解，则b 的取值范围是 ． [1－22，3]【解】令y ＝3－24x x -，其方程可化简为(x －2)2＋(y －3)2＝4 (1≤y ≤3)， 即表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆．当直线l ：y ＝x ＋b 与此半圆相切时，满足圆心(2,3)到直线y ＝x ＋b 距离等于2， 解得b ＝1＋22或b ＝1－22，因为是下半圆，故可得b ＝1＋22． 当直线过(0,3)时，解得b ＝3，故1－22≤b ≤3． （3）已知实数x 、y 满足13x x y y -+=+-，则x +y 的最大值是__________．例1(1)xyO PM例1(3)stO CP xyO【解】设10x s +=≥，30y t +=≥，则21x s =-,23y t =-，代入原式并整理， 得22119()()222s t -+-=．因此动点()P s t ，的轨迹是圆位于第一象限的一段圆弧（含与x 轴、y 轴的正半轴的交点），此圆的圆心为11()22C ，，半径为322r =，而x +y 224s t =+-， 所以（x +y ）max 22()4(22)44OC r =+-=-=． 另法：（基本不等式）原式化为13x y x y +=+++，平方后为22()(13)2(13)x y x y x y +=++++++≤即2()2()80x y x y ++--≤，解得x +y ≤4（当且仅当31x y =⎧⎨=⎩时取“＝”）．策略六 直接由圆（半圆）的参数方程确定隐形圆例2（1） 已知,t R θ∈，则22(cos 2)(sin 2)t t θθ--+-+的取值范围是__________． [942,)-+∞【解】 点(cos sin )P θθ，在以原点为圆心的单位圆上，(22)Q t t +-，在直线40x y --=上，转化为圆上的动点与直线上的动点的距离的平方的取值范围，圆心到直线的距离为22，所以，圆上的动点与直线上的动点的距离的最小值为221-，其平方为942-． （2）（2008年重庆高考）函数f (x )=sin 132cos 2sin x x x---(02x π≤≤) 的值域是________．[-1,0]【解】f (x )＝22sin 1sin 132cos 2sin (cos 1)(sin 1)x x x x x x --=---+- 例1(1)xyOP M Q例2(2)xyOP当sin x ＝1时，f (x )＝0； 当-1≤sin x ＜1时，f (x ) 21cos 1()1sin 1x x -=-+-其中cos 1sin 1x x --的几何意义为以原点为圆心的单位圆上的动点(cos sin )x x ，与定点(11)，构成直线的斜率，则cos 1sin 1x x --≥0，所以得到-1≤f (x ) ≤0．策略七 由两定点A 、B ，动点P 满足PA PB λ⋅=uu r uu r（λ是常数）,求出动点P 的轨迹方程确定隐形圆例3 已知圆22341:()()C x y -+-=和两点00(,),(,)A m B m -0()m >．若圆C 上存在点P ，使得1PA PB ⋅=u u r u u r，则m 的取值范围是__________．[15,35]【解】设点()P x y ，，满足1PA PB ⋅=u u r u u r，得2221x y m +=+，这是一个圆的方程，从而转化为两圆有公共点，得2211511m m ++-≤≤+，解得m 的取值范围是[15,35]． 注 若0PA PB ⋅=uu r uu r，则点P 在以AB 为直径的圆上．变式1 （优质试题年南通密卷3）已知点(2,3)A ，(6,3)B -，点P 在直线3430x y -+=上，若满足等式20AP BP λ⋅+=u u u r u u u r的点P 有两个，则实数λ的取值范围是__________．【解】设P (x ，y )，则(2,3)AP x y =--u u u r ，(6,3)BP x y =-+u u u r， 根据20AP BP λ⋅+=u u u r u u u r ，有()221341322x y λλ⎛⎫-+=-< ⎪⎝⎭.由题意圆：()221341322x y λλ⎛⎫-+=-< ⎪⎝⎭与直线3430x y -+=相交，O xy APBC圆心到直线的距离2234403313234d λ⋅-⋅+==<-+，所以2λ<.变式2 （优质试题年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，(120)A -，，(06)B ，，点P 在圆2250O x y +=：上，若20,PA PB ⋅u u u r u u u r≤则点P 的横坐标的取值范围是__________．【解】设点()P x y ，，由20PA PB ⋅u u u r u u u r≤，即22(6)(3)65x y ++-≤，表示点P 在此圆内部（含边界），又在圆O 上，故联立2222(6)(3)6550x y x y ⎧++-=⎪⎨+=⎪⎩，得55x y =-⎧⎨=-⎩或17x y =⎧⎨=⎩， 结合圆O 的最左边点为(520)-，，所以的横坐标的取值范围是[521]-，． 策略八 由两定点A 、B ，动点P 满足22PA PB +是定值确定隐形圆例4（1）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1，点A (0，2)，若圆C 上存在点M ，满足MA 2＋MO 2＝10，则实数a 的取值范围是__________．[0，3]【解】设M (x ，y )，由MA 2＋MO 2＝10，A (0，2)，得x 2＋(y －1)2＝4，而M 又在 圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1上，故它们有公共点，则1≤a 2＋(a －3)2≤9，解得实数a 的取值范围是[0，3]．（2） （优质试题届盐城三模）已知A B C D ，，，四点共面，2BC =，2220AB AC +=，3CD CA =u u u r u u u r ，则||BD u u u r的最大值为 ．10例4（1）OxyM C例3变式2OxyP 1 P 2【解】以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系． 设()A x y ，，则(10)B -，，(10)C ，，由2220AB AC +=，得229x y +=，所以OA ＝3． 取(20)E -，，故3CE CO =u u u r u u u r ，所以ED ＝3OA ＝9，所以点D 在以E 为圆心，半径为9的圆上，故||BD u u u r的最大值为EB ＋9＝10．变式 在直角坐标系xOy 中，已知A (－1，0)、B (0，1)，则满足P A 2－PB 2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为________．2【解】设P (x ，y )，由P A 2－PB 2＝4知[(x ＋1)2＋y 2]－[x 2＋(y －1)2]＝4，整理， 得x ＋y －2＝0．又圆心(0，0)到直线x ＋y －2＝0距离d ＝22＝2＜2， 因此直线与圆有两个交点，故符合条件的点P 有2个． 策略九 由两定点A 、B ，动点P 满足01PAPBλλλ=>≠(,)确定隐形圆（阿波罗尼斯圆） 例5（1）（优质试题年南通一模）在平面直角坐标xOy 中，已知点(1,0),(4,0)A B ，若直线0x y m -+=上存在点P 使得12PA PB =,则实数m 的取值范围是________．[22,22]-【解】点P 满足圆的方程为224x y +=，转化到直线与圆有交点的问题.例4（2）O xyACB E D例5（1）O xy变式1 若12PA PB ≤呢？【解】点P 在圆：224x y +=的内部（含边界 ），仍然转化到直线与圆有交点的问题. 变式2 （优质试题年江苏卷第17题改编）在平面直角坐标系xOy 中，已知点00(,)O ，03(,)A ． 如果圆22241:()()C x a y a -+-+=上总存在点M 使得2MA MO =，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是________．1205[,]【解】设(,)M x y ，由2MA MO =，得2222(3)2x y x y +-=+，化简为22(1)4x y ++=，其表示以(0,1)D -为圆心，半径为2的圆，则圆D 与圆C 有公共点，得221(23)3a a +-≤≤，解得a 的取值范围是1205[,]． （2）（优质试题届常州一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1， O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点P 在直线30x y b +-=上，过点P 作圆O ，O 1的两条切线，切点分别为A ，B ，若满足2PB PA =的点P 有且仅有两个，则b 的取值范围_________．20,43⎛⎫⎪⎝⎭－例5（1）变式1O xy例5（1）变式2OxyCD Q x yO【解】由2PB PA =平方得224PB PA =，故22144(1)PO PO -=-．设(,)P x y ，代入上式得22464()39x y ++=，其表示以4(,0)3Q -为圆心，半径为83的圆，由题意，则直线0x b -=与圆Q 由两个不同的交点， 故48323bd --=<，解出b 的取值范围为20,43⎛⎫⎪⎝⎭－．（3）已知曲线C 的方程221x y +=，()2,0A -，存在一定点()(),02B b b ≠-和常数λ，对曲线C 上的任意一点(),M x y ，都有MA MB λ=成立，则点(),P b λ到直线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为_________．【解】方法一：由MA MB λ=得()()222222x y x b y λ⎡⎤++=-+⎣⎦即()()()222222211244x y b x b λλλλ-+--+=- 故2222240411b b λλλ⎧+=⎪⎨-=⎪-⎩，将22b λ=-代入22241b λλ-=-得22520b b ++=，得12b =-，2b =-（舍去），故2λ=． 又直线()220m n x ny n m ++++=恒过定点()2,0-，所以由几何性质知点1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为点()2,0-与1,22P ⎛⎫-⎪⎝⎭的距离为52．方法二：作为小题，由MA MB λ=知是阿氏圆轨迹，故取圆22:1C x y +=直径上的两个点()()1,0,1,0-，即可得1311b b λ==+-，解得12b =-，2b =-（舍去），故2λ=，以下同方法一．例6（优质试题年南通二模）一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行． （1）略；（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．【解】（1）略（2）如图乙，以A 为原点，正北方向所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系xOy ．则(2B ，，设缉私艇在()P x y ，处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私 船相遇，则3PA PB=3=．整理得，()(229944x y -+=，所以点()P xy ，的轨迹是以点(94为圆心，32为半径的圆． 因为圆心(94到领海边界线l ： 3.8x =的距离为1.55，大于圆半径32，所以缉私艇能在领海内截住走私船．北(例6)【同步练习】1．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (0，－1)，B (0,1)．P 是圆C 上的动点，当|P A |2＋|PB |2取最大值时，点P 的坐标是________．【解】P (x 0，y 0)，则|P A |2＋|PB |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2，显然x 20＋y 20的最大值为(5＋1)2，∴d max ＝74，此时OP →＝－6PC →，结合点P 在圆上，解得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫185，245.2．（优质试题年盐城三模）已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA CB λ⋅=u u u r u u u r（λ为常数），且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值是__________．34-略解：动点C 满足方程221x y λ+=+.3．（优质试题年苏北四市一模）已知)1,0(A ，)0,1(B ，)0,(t C ，点D 是直线AC 上的动点，若2AD BD ≤恒成立，则最小正整数t 的值为________．44．在平面直角坐标系xOy 中，M 为直线x ＝3上一动点，以M 为圆心的圆记为圆M ，若圆M 截x 轴所得的弦长恒为4．过点O 作圆M 的一条切线，切点为P ，则点P 到直线2x ＋y －10＝0距离的最大值为_____．3 5 【提示】设M (3，t )，P (x 0，y 0)，因为OP ⊥PM ，所以OP →·PM →＝0，可得x 02＋y 02－3x 0－ty 0＝0 ① 又圆M 截x 轴所得的弦长为4，所以4＋t 2＝(x 0－3)2＋(y 0－t )2，整理得x 02＋y 02－6x 0－2ty 0＋5＝0 ② 由①②得x 02＋y 02＝5，即点P 在圆x 2＋y 2＝5上， 于是P 到直线2x ＋y －10＝0距离的最大值为105＋5＝35． 5．已知x y ∈R 、且满足22246x xy y ++=，则224z x y =+的取值范围是 ．[4,12]第三讲 “隐圆”综合隐藏圆问题可以和很多知识点结合，在三角形、向量、圆锥曲线等背景的一些问题中看上去和圆无关，但却隐藏着圆． 一、三角形中的隐形圆例1（1）（优质试题年南京、盐城一模）在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若22228a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为__________．255【解】以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴，建系. 设(,0)2c A -，(,0)2cB ，(,)C x y ，则由22228a b c ++=，得22222()()2822c c x y x y c -+++++=，即222544x y c +=-，所以点C 在此圆上，S ≤2225155254(4)2244455c c r c c c =-=-≤（2）（2008年高考江苏卷）若=2=2AB AC BC ，，则ABC S ∆的最大值是__________．22【解】以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴，建系. 则(1,0)A -，(1,0)B ，设(,)C x y ，由题意得2222(1)=2(1)x y x y ++-+，化简可得22(3)=8x y -+，从而C 到AB 的距离最大值为22，故则ABC S ∆的最大值是22．O xy例1（1）A B CO xy A BC变式 已知ACD ∆中，B 为CD 的中点，且=2=2AB CD CA ，，则ACD S ∆的最大值是_____．42【解】ACD S ∆是ABC S ∆的两倍，从而转化为上题．例2 （1）在ABC ∆中，BC ＝2，AC ＝1，以AB 为边作等腰直角三角形ABD (B 为直角顶点，C 、D 两点在直线AB 的两侧)．当∠C 变化时，线段CD 长的最大值为 ． 3【解】过点B 作CB 的垂线，取E 点，使得BE ＝2，连接ED ，有BE ＝BC ，BD ＝BA ， ∠DBE ＝∠ABC ，则△BED ≌△BCA ，故ED ＝1，D 在以E 为圆心，1为半径的圆上．故CD max ＝DE ＋CE ＝1＋2＝3．（2）在ABC ∆中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为 ．57(,)33【解】不妨设AB ＝3，则AD ＝k ，AC ＝1，由DC ＝2BD ，取AB 上一点E ，使得AE ＝2EB ，则DE 1133AC ==，故D 在以E 为圆心，13为半径的圆上运动，则112233k -<<+，即5733k <<．O xy 例1（2）变式ABC D例2（1）ABCED例2（2）ACEBD。
