非线性复时滞系统的局部Hopf分岔 (1)
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李俊余 210016，南京，南京航空航天大学振动工程研究所； 王在华 210007，南京，解放军理工大学理学院应用数理系。
非线性复时滞系统的局部Hopf 分岔李俊余 王在华[摘要] 本文给出并证明了复时滞微分方程产生Hopf 分岔的条件；将研究实系数单状态变量时滞系统 Hopf 分岔的伪振子法推广到复系数非线性时滞系统，并利用推广的伪振子法研究了光电系统动力学中出现的Lang and Kobayashi(L-K)方程和一般形式的二阶复时滞系统的Hopf 分岔，得到了分岔方向，稳定性和分岔周期解的幅值估计，在分岔点附近，数值结果和理论分析吻合得很好。
[关键词] 时滞微分方程 复系数 Hopf 分岔 伪振子法LOCAL HOPF BIFURCATION OF COMPLEX NONLINEARSYSTEMS WITH TIME-DELAYJunyu Li Institute of Vibration Engineering Research, Nanjing University of Aeronautics andAstronautics [Abstract ] In this paper, criteria governing the existence of Hopf bifurcation is given and proved for time-delay systems with complex coefficients. A generalization of the newly developed ``pseudo-oscillator analysis" for the Hopf bifurcation of scalar real nonlinear DDEs is presented for scalar complex nonlinear DDEs. By using the generalized pseudo-oscillator analysis, the Hopf bifurcation including the bifurcating direction, the stability and amplitude estimation of the bifurcating periodic solutions of the Lang-Kobayashi equation in laser dynamics and a 2nd order complex systems with time-delay are given in detail. Numerical simulation shows that the method works effectively. [key word ] delay differential equation complex system Hopf bifurcationpseudo-oscillator analysis引言具有复系数的时滞微分方程在工程技术应用中并不多见，但在一些光电系统及数值分析、V olterra 积分方程等研究中却具有重要的作用[1-8]。
近年来，一些作者研究了具有复系数的时滞系统的动力学，包括线性稳定性分析，非线性动力学及它们产生的机理[3,4,8,9,10]。
人们通常将复系数的系统方程化为物理维数为原系统两倍的实系统来研究，其中直接对复时滞系统进行研究的工作很少。
物理维数成倍增加导致分析的复杂化。
对实系数的时滞系统的线性稳定性分析，已有大量的研究工作。
研究方法大体分为两类，一类是Liapunov 函数(泛函)法[11-13]，包括线性矩阵不等式方法(LMI 方法)。
另一类是特征根法，即通过分析特征根的分布来判定其稳定性，包括D-划分法，稳定性切换原理和Nyquist 图示法等[11,12,14,15]。
对实系数的时滞系统的Hopf 分岔分析所采用的方法主要是中心流行约化方法、摄动法等[15-17]。
伪振子分析法[18]是研究实系数单状态变量时滞系统 Hopf 分岔一种新方法，与以往讨论Hopf 分岔的方法相比，这种方法计算过程非常简单、计算量小、易于实现，其主要思想是利用原系统的信息构造一个伪振动系统，并计算出伪振动系统的功率函数，由此研究原系统的Hopf 分岔。
本文的目的是推广伪振子分析法，使其可以直接用于研究复系数非线性时滞系统的Hopf 分岔。
为此，本文首先给出并证明了复时滞微分方程产生Hopf 分岔的条件；然后将研究实系数单状态变量时滞系统 Hopf 分岔的伪振子法推广到复系数非线性时滞系统；最后利用推广的伪振子法研究了光电系统动力学中出现的Lang and Kobayashi(L-K)方程和一般形式的二阶复时滞系统的Hopf 分岔，得到了Hopf 分岔的方向和分岔周期解的幅值估计，在分岔点附近，数值结果和理论分析吻合得很好。
在线性稳定性分析中，我们分别采用了LambertW 函数法和Nyquist 图示法，简单有效。
1 n 元非线性复时滞微分方程组产生Hopf 分岔的条件对于含参数µ的常系数时滞微分方程12()((),(),(),,(),)mX t F X t X t X t X t τττµ=−−− " (1)其中，123(,,,,)T n X x x x x =",T 表示转置，i x ∈\；123(,,,,)T n F f f f f =", 这里，i f 足够光滑并且满足(0,0,0,)0i f µ≡"，1,2,,i n ="；0,1,2,,j j m τ>="。
若方程(1)的线性部分在0X =时的特征拟多项式(,)D λµ满足：171(i) 对小的0εµµ=−，(,)D λµ恰好有一对单的复根；()()()i λεαεβε=±(ii) (0)0,(0)0αβ=≠其它的特征根在0ε=时都具有负实部；(iii)0(0)(|)0,d d ελαε=′=ℜ≠()z ℜ表示z 的实部。
则方程(1)在0µµ=发生Hopf 分岔。
对复系数系统，我们有下面的命题：命题1 含参数µ∈\的复系数时滞微分方程 12()((),(),(),,(),)m Z t F Z t Z t Z t Z t τττµ=−−− "(2)其中，123(,,,,)T n Z z z z z =",T 表示转置，,i z ∈^ 123(,,,,)T n F f f f f ="，这里，f 足够光滑并且满足(0,0,0,)0i f µ≡"； 1,2,,i n ="；0,1,2,,;j j m τ>="若方程(2)的线性部分在0Z =时的特征拟多项式(,)λµ∆ 满足：(I) 对小的0εµµ=−，(,)D λµ恰好有一个单的复根：()()()i λεαεβε=+(II)(0)0,(0)0,αβ=≠其它的特征根在0ε=时都具有负实部；(III)0'(0)(|)0d d ελαε==ℜ≠。
则方程(2)在0µµ=发生Hopf 分岔。
证明：事实上，若取()()()Z t U t iV t =+，12(,,,),T n U u u u =" 1(,,,)T n V v v v =",,i i u v ∈\，1,2,,i n =" 代入(2)式得:1121221212()((),(),(),,(),(),(),(),,()(),)()((),(),(),,(),(),(),(),,()(),)m m mm U t F U t U t U t U t V t V t V t V t t V t F U t U t U t U t V t V t V t V t t ττττττµττττττµ⎧=−−−⎪−−−⎪⎨=−−−⎪⎪−−−⎩"""" 若令方程(2)对应于平凡解0Z =的线性部分为:1()()()mj j j Z t L Z t L Z t τ==+−∑ (3)这里，j L 为n 阶矩阵，且取12j j j L L i L =+⋅；12,(1,2,,)j j L L j m ="中的元素均为µ的函数。
则(3)式对应于()()0U t V t ==的线性部分为：1201020201211()()()()()()m j j j j j j j L L U t L L U t Ut L L V t L L V t V t ττ=−−⎡⎤⎡⎤−⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅+⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ (4) 记(3)式与(4)式的特征方程分别为(,)λµ∆和(,)D λµ，则01(,)det()jmn j j I L L eλτλµλ−=∆=−−∑det()n I A i B λ=−−⋅(5)12010220201211(,)det j m j j n j j j L L L L D I eL L L L λτλµλ−=⎡−⎤⎡⎤−⎡⎤=−−⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ 2det n A B I B A λ⎡−⎤⎡⎤=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 其中，2,n n I I 分别为n 阶与2n 阶单位矩阵，0111jmj j A L L eλτ−==+∑，0221j mj j B L L e λτ−==+∑。
现取0nn n Ii I Q I −⋅⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则有12(,)det n A B D Q I Q B A λµλ−⎡⎤⎡−⎤⎡⎤=⋅−⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦det()det()n n I A i B I A i B λλ=−−⋅⋅−+⋅(6)设()det()n p I A i B λλ=−−⋅，()det()n q I A i B λλ=−+⋅，不难看出，若()p λ有一个根 i αβ+⋅ ，即011211021211()det[cos sin (sin cos )]0jjjjmmn j j j jj j mmn j j j j j j p i I L L eL ei I L L eL eαταταταταβαβτβτββτβτ−−==−−==+⋅=⋅−−−+⋅⋅−+−=∑∑∑∑则有()()q i p i αβαβ−=+。
