三维热传导问题温度场分布的数值分析

三维非稳态导热问题的高效稳定数值解法三维非稳态导热问题是工程领域中常见的问题之一，其数值解法的高效稳定性对于工程设计和优化至关重要。

本文将介绍一种基于有限元方法的高效稳定数值解法。

有限元方法是一种常用的数值解法，其基本思想是将连续的物理问题离散化为有限个小区域，然后在每个小区域内建立一个数学模型，通过求解这些小区域内的数学模型来得到整个物理问题的解。

在三维非稳态导热问题中，有限元方法可以将物体分割为许多小的体元，然后在每个体元内建立一个数学模型，通过求解这些数学模型来得到整个物体的温度分布。

在有限元方法中，最重要的是建立数学模型。

对于三维非稳态导热问题，数学模型可以表示为：$$\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} - \nabla \cdot (k \nabla T)= Q$$其中，$\rho$是物体的密度，$c_p$是物体的比热容，$k$是物体的导热系数，$T$是物体的温度分布，$t$是时间，$Q$是物体内部的热源。

这个方程可以通过有限元方法离散化为一个线性方程组，然后通过求解这个线性方程组来得到物体的温度分布。

然而，在实际应用中，有限元方法存在一些问题。

例如，当网格过于粗糙时，数值解的精度会降低；当时间步长过大时，数值解的稳定性会降低。

为了解决这些问题，研究人员提出了许多改进的有限元方法。

其中，一种比较成功的方法是基于时间分数阶导数的有限元方法。

这种方法可以通过引入时间分数阶导数来改进传统的有限元方法，从而提高数值解的精度和稳定性。

具体来说，这种方法可以将时间分数阶导数表示为：$$\frac{\partial^\alpha T}{\partial t^\alpha}$$其中，$\alpha$是时间分数阶，通常取值为0.5或1。

这个方程可以通过有限元方法离散化为一个非线性方程组，然后通过求解这个非线性方程组来得到物体的温度分布。

总之，基于有限元方法的高效稳定数值解法可以有效地解决三维非稳态导热问题。

三维非稳态导热问题的高效稳定数值解法介绍随着计算机技术的快速发展，数值模拟已经成为研究热传导问题的一种重要方法。

在工程领域，三维非稳态导热问题的数值解法应用广泛。

本文将详细探讨三维非稳态导热问题的高效稳定数值解法。

理论基础1. 热传导方程热传导方程是描述热量在物质中传递的方程，对于三维非稳态导热问题，可以表示为：∂u=α∇2u∂t其中，u是温度场，t是时间，α是热扩散系数，∇2是拉普拉斯算子。

2. 数值方法为了求解三维非稳态导热问题的数值解，有多种数值方法可供选择，例如有限差分法、有限元法和边界元法等。

本文将重点介绍有限差分法。

有限差分法是一种常用的数值方法，用于离散化偏微分方程。

对于三维非稳态导热问题，可以将空间和时间分别离散化，从而得到离散化的方程组。

通过迭代求解，可以得到数值解。

三维非稳态导热问题的数值解法1. 网格划分在使用有限差分法求解三维非稳态导热问题时，需要将计算区域进行网格划分。

通常采用正交网格的方式，将计算区域划分为多个小立方体。

2. 初始条件和边界条件为了求解三维非稳态导热问题，需要指定初始条件和边界条件。

初始条件用于确定初始温度分布，边界条件用于描述物体表面与外界的热交换过程。

3. 显式差分格式显式差分格式是一种简单但稳定性较差的差分格式，用于求解三维非稳态导热问题。

该方法基于前向差分公式，通过迭代计算得到数值解。

4. 隐式差分格式隐式差分格式是一种复杂但稳定性较好的差分格式，用于求解三维非稳态导热问题。

该方法基于后向差分公式，通过迭代求解线性方程组得到数值解。

数值实验为了验证所提出的数值方法的有效性和稳定性，进行了一系列数值实验。

以下是数值实验的步骤：1.确定计算区域和网格划分方式。

2.指定初始条件和边界条件。

3.选择显式差分格式或隐式差分格式进行数值求解。

4.通过迭代计算得到数值解。

5.与解析解进行比较，评估数值方法的精确度和稳定性。

数值实验结果表明，所提出的方法在求解三维非稳态导热问题方面具有较高的精确度和稳定性。

热传导现象的数值计算与模拟热传导是物理学中一个重要的研究领域，涉及到热量在物质中的传递和分布。

在很多工程和科学应用中，需要对热传导进行准确的计算和模拟，以优化设计和预测物体的温度分布。

数值计算和模拟方法在热传导研究中扮演了至关重要的角色。

在过去，研究者通常使用解析方法来计算热传导问题。

然而，解析方法往往只适用于简单的几何形状和边界条件，并且在复杂的情况下很难求得准确的解析解。

因此，数值计算和模拟方法逐渐成为研究热传导问题的主要手段。

数值计算方法可以通过离散化热传导方程来求解。

其中最常用的是有限差分法和有限元法。

有限差分法将连续的物理方程转化为离散的差分方程，通过迭代求解差分方程来得到数值解。

有限元法则将问题分割成无穷个小单元，然后通过整合每个单元的局部方程来得到整个问题的数值解。

这两种方法在热传导问题中广泛使用，能够得到较为准确的结果。

在进行数值计算之前，我们需要对待求区域进行合适的网格划分。

网格划分的细致程度将直接影响到数值计算的准确性和计算效率。

通常，简单的几何形状可以使用规则网格，而复杂的几何形状则需要使用非结构化网格或自适应网格。

在选择网格时，要考虑到具体问题的特点和计算资源的限制。

除了数值计算方法外，热传导现象还可以通过数值模拟方法来研究。

数值模拟方法通过建立物理模型和数学模型，通过计算机仿真得到物体的温度分布和热流动态。

数值模拟方法通常需要考虑物体的几何形状、边界条件、材料属性等因素，并通过适当的数值计算方法来解决模型方程。

近年来，随着计算机硬件和算法的不断发展，数值计算和模拟方法的应用越来越广泛。

在工业领域，热传导的数值计算和模拟可以应用于热管设计、电子器件散热、焊接过程等方面。

在科学研究中，数值计算和模拟也被广泛应用于地热、天气气象、核聚变等领域。

然而，数值计算和模拟方法也存在一定的局限性。

首先，数值计算方法需要进行离散化，可能会引入一定的误差。

虽然可以通过减小网格尺寸和增加计算精度来减小误差，但也会增加计算的复杂性和耗时。

稳态热传导问题的数值模拟热传导是热能从高温区向低温区传递的过程，在自然界和工程应用中有广泛的应用。

当材料或物体的长度，面积和体积足够大以至于其中的热量可以被视为连续分布时，稳态热传导方程可以用来描述热传导现象。

本文将讨论如何通过数值模拟来解决稳态热传导问题。

1. 稳态热传导方程首先，我们来看一下稳态热传导方程。

稳态热传导方程最常用的形式是二维热传导方程和三维热传导方程。

对于二维情况，可以表示为：$$ \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}=0 $$对于三维情况，可以表示为：$$ \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partialy^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}=0 $$其中，T表示温度。

2. 数值模拟方法由于稳态热传导方程在大多数情况下很难用解析方法求解，因此数值模拟方法成为了解决该问题的主要方法之一。

这里我们主要介绍两种数值模拟方法：有限差分法和有限元法。

2.1 有限差分法有限差分法是一种基于迭代计算的数值模拟方法，它将区域离散化为小的网格，并通过有限差分来逼近上述方程。

具体来说，它将偏微分方程近似为差分方程，然后用迭代方法来逼近和求解问题。

在应用有限差分法时，需要将连续的区域离散化为小的网格。

然后，用相邻两个网格点的温度差来逼近该点处的温度。

具体来说，对于二维情况，可以用以下公式来表示：$$ \frac{T(i+1,j)+T(i-1,j)+T(i,j+1)+T(i,j-1)-4T(i,j)}{h^2}=0 $$其中，h表示网格尺寸，i和j分别表示网格的横向和纵向坐标。

通过递归求解该方程，可以得到整个区域内的温度分布。

2.2 有限元法有限元法是一种更通用的数值模拟方法，可以用于解决各种类型的偏微分方程。

2006年用户年会论文皮托管温度场的三维数值分析[丁保庚王颖周陈龙][核工业理化工程研究院，300180][ 摘要 ] 对皮托管处于高马赫数均匀氟里昂气体来流下不同头部形状、不同姿态的皮托管进行流固耦合计算，给出了固体域温度场三维数值分析结果。

计算是采用ANSYS软件的结构模块进行建模，然后应用ICEM软件进行网格的划分，采用CFX软件进行数值求解和进行数据的后处理。

[ 关键词]皮托管，温度场，三维数值分析3D numerical simulation of temperature on Pitot tube[Ding Baogeng, Wang Ying, Zhou Chenlong][Tianjin Institute of Physical & Chemical Engineering][ Abstract ] Multi-physics problem is considered for the Pitot tube located in uniform freon gas flow with high Mach number and the 3D numerical results of temperature on Pitot tube is given.Themodel is created by using structural module of ANSYS, the grids are obtained by ICEM CFD,and the problem is solved and the data post-processing is done by CFX.[ Keyword ] Pitot tube, temperature, 3D numerical simulation1前言在用皮托管测量高速气体流速时，皮托管的头部形状和姿态对其温度有很大的影响，过高的温度要影响皮托管的使用，使用测试方法测量其温度是困难的，特别是对于小型皮托管情况，所以非常有必要用数值分析的方法研究皮托管的头部姿态对其头部温度的影响。

热传导问题的数值模拟及解析研究热传导问题是工程、物理和材料科学领域中一个重要的课题。

在实践应用中，解决热传导问题可以帮助我们优化生产过程、改善设备性能以及预测材料的寿命，具有极大的意义。

数值模拟和解析研究是解决热传导问题的两种常用方法，它们各自有着自己的特点和应用范围。

数值模拟方法是在计算机上通过建立数学模型和求解方程组来模拟热传导过程的一种方法。

数值模拟方法的主要优点在于可以模拟复杂的边界条件和几何结构，具有较强的适用性。

不管是传统的有限差分法还是较新的有限元方法，数值模拟方法都可以提供非常精确的结果。

然而，数值模拟方法也存在着一些局限性。

首先，数值模拟方法需要大量的计算资源和计算时间，特别是在三维场景下，计算成本更加显著。

其次，模型设置和参数选择对结果的精确性有着重要影响，需要经验和专业知识的支持。

解析研究是研究热传导问题的传统方法，通过数学分析和求解热传导方程得到解析解。

解析解具有数学上的精确性，可以提供问题的全局性和稳定性，从而为我们提供问题的一些重要性质。

然而，在实际应用中，解析解往往只适用于简单几何形状和较为理想的边界条件。

对于复杂的问题，解析解往往无法得到，需要借助数值模拟方法。

在实际的研究和工程应用中，数值模拟和解析研究常常结合使用，互为补充。

首先，可以通过解析研究来对热传导问题进行预研，了解问题的一些基本性质和规律。

其次，可以通过数值模拟方法模拟复杂的工程场景和真实条件，提供更加详细和全面的结果。

数值模拟方法可以通过调整模型参数，优化边界条件等方式，逐步逼近真实情况，使研究结果更加准确和可靠。

当然，热传导问题的数值模拟和解析研究也面临一些挑战和限制。

首先，热传导问题的数学模型并不是完美的，它们常常需要在实际应用中进行修正和改进。

其次，参数的选择和设定需要经验和专业知识的支持，否则可能会导致结果的偏差。

此外，数值模拟方法在建模过程中需要进行网格划分，网格的选择和划分对结果的准确性和计算效率有重要影响。

三维温度场三维温度场是指在三维空间中，不同位置的温度分布情况。

温度场是一个重要的物理概念，它在工程、物理学和气象学等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍三维温度场的基本概念、特性及其应用。

在自然界中，温度是一个重要的物理量，它描述了物体内部分子的热运动状态。

而温度场则是描述了空间中不同位置的温度变化情况。

三维温度场是指在三维空间中的温度分布情况。

三维温度场的特性决定了物体内部和周围环境之间的热传导过程。

热传导是指热量从高温区域向低温区域传递的过程。

在三维温度场中，热量的传递会受到温度梯度的影响，即温度的变化率。

如果温度梯度较大，热传导速率也会较大。

三维温度场还受到物体的边界条件和材料属性的影响。

边界条件是指在空间中的一些位置上，温度被限制在一定的数值范围内。

而材料属性则决定了物体的热传导特性，如热导率和热容量等。

三维温度场的研究对于许多领域都具有重要意义。

在工程领域中，例如建筑和机械设计中，对于热传导过程的研究可以帮助优化设计，提高能源利用效率。

在物理学中，对于热传导方程的研究可以帮助理解物质内部的热运动规律。

在气象学中，对于大气中的温度分布情况的研究可以帮助预测天气变化。

为了研究三维温度场，科学家和工程师们使用了各种数值模拟和实验方法。

数值模拟是一种常用的方法，它基于数学模型和计算方法来模拟三维温度场的分布情况。

在数值模拟中，研究人员需要将空间划分为离散的网格点，并根据边界条件和材料属性来计算每个网格点的温度。

通过迭代计算，可以得到整个空间中的温度分布情况。

实验方法是另一种研究三维温度场的常用手段。

科学家和工程师们可以通过传感器来测量不同位置的温度，并将这些数据用于分析。

实验方法可以提供更精确的温度分布数据，但通常需要更大的成本和时间投入。

三维温度场的研究对于解决许多实际问题具有重要意义。

例如，在火灾安全领域，了解建筑物中的温度分布情况可以帮助设计有效的防火措施。

在电子设备设计中，了解电路板中的温度分布情况可以帮助优化散热设计，提高设备的可靠性。

潜油电机转子三维稳态温度场的分析与计算的开题报告一、问题背景及意义潜油电机有广泛的应用领域，如油田开采、深海勘探等。

潜油电机转子在工作中由于外部环境的影响以及内部电流的热效应等因素，会产生大量热量，从而导致温度过高，严重时会影响潜油电机的工作效率和寿命，甚至导致故障、损坏和事故。

因此，对潜油电机转子的温度场进行分析与计算，对潜油电机的设计、优化和安全运行具有重要意义。

二、研究内容本项目旨在对潜油电机转子的稳态温度场进行分析与计算，具体包括以下内容：1. 对潜油电机转子的结构和工作原理进行研究，并确定计算模型和方法。

2. 运用数值模拟方法，建立潜油电机转子的三维稳态温度场模型，考虑外部环境、转子材料、内部电流等影响因素，并采用合适的网格剖分和求解算法对温度场进行计算。

3. 分析温度场分布情况，确定潜油电机转子的局部热点和温度梯度，研究其对潜油电机的影响。

4. 对模型进行验证和优化，确定保证潜油电机转子安全稳定运行的温度范围和参数。

三、研究方法本项目采用数值模拟方法，建立基于计算流体动力学（CFD）和热传导理论的潜油电机转子三维稳态温度场模型，并运用商用数值分析软件ANSYS进行计算和分析。

具体研究流程如下：1. 获取潜油电机转子的结构参数和工作参数，确定计算模型和方法。

2. 建立转子的三维几何模型，采用合适的网格剖分方法和求解算法，对转子进行数值模拟，并考虑外部环境和内部电流等影响因素，预测转子的稳态温度场分布。

3. 对温度场分布进行分析和优化，确定转子的局部热点和温度梯度，研究其对潜油电机性能和安全的影响。

4. 对模型进行验证和修正，确定保证潜油电机转子安全稳定运行的温度范围和参数。

四、预期结果通过上述研究方法，本项目预期得到以下结果：1. 建立基于CFD和热传导理论的潜油电机转子三维稳态温度场模型，为潜油电机的设计和优化提供理论支持。

2. 分析温度场分布情况，确定潜油电机转子的局部热点和温度梯度，为潜油电机的安全运行提供依据。

半导体制冷的圆柱体三维传热模型及仿真刘孝锋;袁怡圃;武存江【摘要】考虑热源和外部环境对圆柱体三维传热模型和温度场分布的影响，建立了基于半导体制冷的圆柱体三维传热模型，利用变量分离法和拉普拉斯变换法，导出了其三维温度场的封闭解析解。

通过数值计算和编程仿真，给出相应的仿真结果，分析了半导体制冷片的位置变化对圆柱体三维温度场的影响特性。

为进一步分析圆柱体三维温度场及其应用提供理论依据。

%The three-dimensional heat transfer model of a cylinder is established based on the semiconductor refrigeration,in which the influences of the heat source and the external environment on the heat transfer model and the temperature field are considered.By using the variables separation and Laplace transform method,the closed analytical solution of three-dimensional temperature field is derived.The corresponding simulation results are obtained by using the numerical calculation and simulation.The characteristics of temperature field are analyzed.It provides a theoretical basis for the further analysis of three-dimensional temperature field of cylinder and its application.【期刊名称】《泉州师范学院学报》【年(卷),期】2014(000)002【总页数】5页(P81-85)【关键词】半导体制冷;圆柱体;传热模型;三维温度场;解析解;仿真【作者】刘孝锋;袁怡圃;武存江【作者单位】泉州师范学院物理与信息工程学院，福建泉州 362000;泉州师范学院物理与信息工程学院，福建泉州 362000;泉州师范学院物理与信息工程学院，福建泉州 362000【正文语种】中文【中图分类】TP391.9圆柱体三维导热模型和温度场特性分析在飞行器结构设计和计算机薄膜透气性测试装置设计等实际工程应用中具有广泛的应用［1－7］.影响圆柱体三维传热模型和温度场的因素主要有内热源的发热特性及分布、周围环境（初始条件与边界条件）等.热源和外部环境的不同，圆柱体三维传热模型和温度场解的形式不同.文［7］把强激光辐照作为边界条件，利用特征值法和Bessel函数，导出了层合圆柱体中各层柱体三维瞬态温度场的封闭解析解.文［8－9］把强激光辐照作为边界条件，采用有限元方法，数值模拟了强激光辐照下柱壳上温度场的变化和分布情况.文［10］把激光源作用作为边界条件，采用傅立叶级数展开法，导出了在不同运动模式激光源作用下圆柱薄壳温度场的解析表达式.然而热源特性及分布位置、初始条件和边界条件的不同，圆柱体三维传热模型及其温度场解的形式各异［11］.基于此，本文应用传热学理论，研究了一类基于半导体制冷的圆柱体三维传热数学模型，并以此为基础，讨论和分析其三维温度场封闭解析解及相应的仿真结果.1 半导体冷的圆柱体三维传热数学模型描述图1 圆柱体结构简化图Fig.1 Simplified structure of cylinder圆柱体结构如图1所示，设实心圆柱体的底面半径为R，长为l.假设圆柱体的外表面与温度T 0的自然对流空气换热，且不考虑半导体制冷片散热系统对换热的影响.半导体体制冷片1放置圆柱体底部，即在r＝r0，z＝0，θ＝θ0处，整个圆柱体的体积与底面比半导体制冷片大很多，可把半导体制冷片当点热源处理［12－13］.由其产生的强度 pσ（rr0）σ（θ－θ0）σ（z）的热量对整个圆柱体加热和制冷，这里，p表示热源的热量功率，σ（·）表示单位冲击函数.于是圆柱体的热传导方程为制冷降温过程：加热升温过程：初始条件：边值条件：其中：k表示圆柱体的导热系数，h表示换热系数，ρ，c分别表示圆柱体的密度和比热容，u（r，θ，z，t）表示圆柱体的温度场分布函数.为求上述问题的温度场分布函数u（r，θ，z，t）封闭解析解，需先对非齐次边界条件（4）齐次化，再对非齐次方程（1）或（2）齐次化.现只考虑加热情形，令v （r，θ，z，t）＝u（r，θ，z，t）－T 0 ，则方程（2）、（3）和（4）分别变为2 圆柱体三维温度场的解析解2.1 齐次问题的特征函数先求解方程（5）所对应的齐次方程的特征函数.令v（r，θ，z，t）＝F（r）G（θ）H（z）T（t），带入非齐次方程（5）所对应的齐次方程，利用分离变量法和边界条件（7），可得相应的特征函数为其中：2，… ；Fmj（r）＝J m（εmjr），m＝0，1，2，… ，j＝1，2，3，… ）.J m（·）为第一类m阶Bessal函数，而εmj是方程的第j个正根.2.2 非齐次问题的解析解为求方程（2）、（3）和（4）的解，先求方程（5）、（6）与（7）的解析解，设先求Gnj0（t）、Cjnm（t）和Djnm（t），因函数 H n（z）、Gm（θ）和Fmj （r）为正交函数，故有其中：＜·＞表示内积于是可求得利用Laplace变换法，可求得其中：从而，可得相应的三维温度场分布函数解析解3 应用仿真由式（12）和（13）可以看出影响半导体制冷的圆柱体三维温度场分布函数的因素有：圆柱体的底面半径R、长度l、密度ρ、比容热c及导热系数k，周围空气的换热系数h，初始温度T 0，半导体制冷片的功率p与所处的位置.在实际的具体应用中，圆柱体的材料及规格往往事先给定，圆柱体往往也放置室温环境中.因此，在R、l、ρ、c及k，h和p一定的情况下，影响圆柱体三维温度场分布函数u（r，θ，z，t）的主要因素是半导体制冷片所处的空间位置.基于此，取T 0＝20℃，R＝6.5 cm，l＝5 cm，ρ＝7.750 g／cm3，c＝0.47 J／（g·K），k＝0.367 W／（cm·K），h＝0.003 W／（cm2·K），p＝9 W，并假定半导体的体积规格为10 mm×10 mm×3 mm.以下通过数值计算和编程仿真说明半导体制冷片位置对圆柱体三维温度场的影响.首先讨论半导体制冷片位置固定的情形.假设半导体制冷片放置在r0＝2、θ0＝0、z＝0处，通过对式（13）编程计算，为减少计算量和仿真时间，取前100项求和计算.在圆柱体r＝2、z＝5、θ＝π／3，r＝3、z＝5、θ＝π／3及r＝4，z＝5，θ＝π／3处的温度场分布函数u（r，θ，z，t）的仿真图如图2所示.再讨论半导体制冷片位置变化的情形.假设半导体制冷片分别放置r0＝3、θ0＝0、z＝0，r0＝4、θ0＝0、z＝0和r0＝5、θ0＝0、z＝0处，通过对式（13）编程计算，为减少计算量和仿真时间，同样取前100项求和计算，在圆柱体r＝3，z＝5，θ＝π／3处的温度场分布函数u（r，θ，z，t）的仿真图如图3所示.图2 温度场分布函数图Fig.2 Temperature field distribution function图3 温度场分布函数图图Fig.3 Temperature field distribution function从图2和3可以看出：在圆柱体大小和所用材料、周围环境及半导体规格一定的情况下，半导体制冷片的空间位置是影响其温度场分布函数特性的主要因素.偏离半导体制冷片越远，对温度场的滞后时间和时间常数影响相对越大；偏离半导体制冷片越近，对温度场的滞后时间和时间常数影响相对越小.而半导体制冷片的位置对圆柱体三维温度场的增益系数影响较小.4 结语建立了基于半导体制冷的圆柱体三维传热数学模型，导出了圆柱体三维温度场分布函数的封闭解析解，给出了半导体制冷片位置变化时，圆柱体温度场分布函数的仿真结果.结果表明：半导体制冷片的位置对圆柱体三维温度场的滞后时间和时间常数影响较大，对增益系数影响较小.参考文献：［1］中华人民共和国国家质量技术监督局，中国国家标准化管理委员会.GB／T 1038－2000塑料薄膜和薄片气体透过量试验方法——压差法［S］.北京：中国标准出版社，2000.［2］LIU Xiaofeng，WANG Renhuang，LI Xuecong，etal.Research on sealed structure for gas permeability computer test device［C］／／2010 The 3rd International Conference on Computational Intelligence and Industrial Application，Wuhan Institute of Technology，Wuhan，China：IEEE，2010：324－328.［3］刘孝锋，汪仁煌.透气性测试装置密封结构的优化［J］.机械工程学报报，2011，47（23）.130－134.［4］刘孝锋，汪仁煌.薄膜透气性测试装置三层密封结构的研究［J］.包装工程，2011，32（17）：100－103.［5］康亚芬，汪仁煌，蔡建新，等.一种透气性测试装置［J］.广东工业大学学报，2009，26（1）：51－54.［6］刘娜，汪仁煌，龚雄文，等.薄膜透气性测试中基于半导的恒温控制［J］.广东工业大学学报，2008，25（1）：69－72.［7］尹益辉，王伟平，陈裕泽.激光辐照下多层圆柱体中三维瞬态温度场的解析解［J］.爆炸与冲击，2008，28（1）：44－49.［8］赵剑衡，章冠人，刘绪发.强激光辐照下柱壳温度场的数值模拟［J］.高压物理学报，1996，10（1）：44－49.［9］吴非，周建平，雷勇军.运动激光辐照圆柱薄壳温度场的数值模拟［J］.国防科技大学学报，2005，27（3）：10－15.［10］袁红，赵剑衡，谭福利，等.激光辐照下旋转柱壳温度场的数值模拟［J］.强激光与粒子束，2005，17（5）：681－684.［11］杨世铭，陶文铨.传热学［M］.北京：高等教育出版社，2006.［12］李茂德，殷亮，乐伟，等.半导体制冷系统电极非稳态温度场的数值分析［J］.同济大学学报：自然科学版，2004，32（6）：767－770.［13］李茂德，卢希红.热电制冷过程中散热强度对制冷参数的影响分析［J］.同济大学学报：自然科学版，2002，30（7）：811－813.。

收稿日期:2002-05-09.作者简介:李 灿(1968-),女,副教授;株州,湖南冶金职业技术学院冶金系(412000).¹Partial different ial equation toolbox user c s guide.T he M ath Works,Inc.,2000.热传导问题的M AT LAB 数值计算李 灿湖南冶金职业技术学院冶金系高彦栋 黄素逸华中科技大学能源与动力工程学院摘要:分析了应用M AT LAB 中PDE 工具箱解热传导问题的方法和步骤,编制了三个难以用解析方法求解的算例.采用有限元法求解导热偏微分方程,应用PDE 工具箱得到数值解.对适合圆柱坐标描述的问题,通过公式变化将其转换为能用PDE 工具箱求解的形式.算例表明,用M AT LAB 对复杂形状和有内热源的非稳态导热问题进行数值计算和图形处理是方便高效的.关 键 词:热传导;非稳态导热;M AT L AB;数值计算中图分类号:T K 124 文献标识码:A 文章编号:1671-4512(2002)09-0091-03许多工程问题需要确定物体内部的温度场或确定其内部温度到达某一限定值所需要的时间,因此研究导热问题特别是非稳态导热问题十分重要.目前非稳态导热问题的描述方程为多维非线性的偏微分方程,这些方程只在几何形状与边界条件都较简单的情况下才能求得理论解,而对于几何形状和边界条件复杂的情况多用数值解法,需借助于计算机将时间和空间坐标划分成数量巨大的网格才能得到较精确的数值解.本文应用M ATLAB 中PDE 工具箱,求解复杂边界条件的热传导问题.1 求解方法求解方法是基于数值解法中的有限元法[1],其基本原理是把计算区域划分成一系列的三角形单元,每个单元上取一个节点,选定一个形状函数(抛物线形或双曲线形),并通过单元中节点上的被求解变量值表示该函数.通过对控制方程作积分来获得离散方程.有限元法的最大优点是对不规则区域适应性好,故用MATLAB 方法求解的结果在边界上也较精确.对于适合圆柱坐标和球坐标描述的问题,通过对其热传导方程的变换,也能在MATLAB 中求解.应用MATLAB 的PDE (Partial Differential Equation)工具箱可以解如下四类偏微分方程¹-$#(c $u)+au =f ;d(5u /5t)-$#(c $u)+au =f ;d(52u/5t 2)-$#(c $u)+au =f ;-$#(c $u)+au =E du,(1)式中,u 为域8上的求解变量;E 为特征值;d,c,a,f 为常数或变量;t 为时间变量.前3个方程分别称为椭圆方程、抛物线方程和双曲线方程,第4个方程称为特征值方程.导热问题的通用微分方程可写成[2]Q c p (5u /5t )=$(K $u )+q v ,(2)式中,u 为求解变量,此处表示被求解物体内的温度;K 为导热系数;q v 为热源的发热率密度;Q 为密度;c p 为定压比热容.可以看出,式(1)和式(2)中的抛物线方程有着类似的形式.其中,求解变量为区域的温度,d 与Q c p ,c 与K ,f -au 与q v 可以一一对应.M ATLAB 中的PDE 工具箱定义了两类边界条件hu =r ;n #(c $u)+qu =g ,(3)式中,n 为垂直于边界的单位矢量;h ,r ,q 和g 为常量或与u 有关的变量.方程(3)中的第1个方程称为狄利克雷(Dirichlet)边界条件,第2个方程称为纽曼(Neumann)边界条件.可以看出,导热问题中的第一类边界与狄利克雷边界条件对应,第二类和第三类边界条件与纽曼边界条件对应.这些对应关系可以使用MATLAB 中的PDE 工具箱第30卷第9期 华 中 科 技 大 学 学 报(自然科学版) V ol.30 No.92002年 9月 J.Huazhong U niv.of Sci.&T ech.(Nature Science Edition)Sep.2002来求解.对一个导热问题的计算可以按图1的步骤进行.图1 M AT L AB 计算流程图2 算例2.1 三维非稳态无内热源的导热问题边长为0.5m,0.7m 和1.0m 的长方形钢锭,置于炉温u f =1200e 的加热炉内,计算5h 后钢锭的温度.已知钢锭的K =40.5W/(m #e ),A =0.722@10-5m 2/s ,u 0=25e ,钢锭与外界的对流换热系数h =348W/(m 2#e ).由对应关系可得d =Q c p =K /A ;c =K ;f =0;a =0,边界条件为纽曼边界条件,且钢锭的6个边界条件均相同,由对应关系有:q =h ; g =hf .求得5h 后钢锭内部的温度分布如图2,温度梯度如图3.两图还显示了有限元求解的网格,图3底平面的箭头方向为热流密度方向.图2 5h时刻钢锭的温度分布云图图3 5h 时刻钢锭的温度梯度云图如果导热体物性系数K 为温度u 的函数,只要写出K (u)的函数关系式,就可以得到解.2.2 有内热源的圆柱体非稳态导热问题有一半径为0.2m,长为3m 的圆柱形核电站用燃烧棒置于u f =100e 的水中,由于链式反应,棒内有恒定的产热率密度q v =20000W/m 3,计算10h 后燃烧棒内的温度分布.已知,燃烧棒的密度Q =7800kg /m 3,c p =500W #s/(kg #e ),K =40W/(m #e ),u 0=0e ,燃烧棒右端恒温t r =100e ,左端有一恒热流q l =5000W/m 2,燃烧棒外表面与外界水的对流换热系数h =50W/(m 2#e ).此问题宜采用圆柱坐标,由于燃烧棒内温度沿半径对称分布,因此可以转换为(r ,z )坐标的二维问题.将圆柱坐标内的热传导方程改写为Q c p r 5u 5t -55r K r 5u 5r -55z K r 5u 5z =q v r ,(4)以使其形式与式(1)拟合.式(4)与式(1)中的抛物线方程对比可以得出:d =Q c p r ;c =K r ;a =0;f =q v r ,式中,z 对应第一个坐标方向(在直角坐标中为x 方向);r 对应第二个坐标方向(在直角坐标中为y ).燃烧棒左端的边界条件为:n #(K $u )=q r ,为纽曼边界条件,由对应关系得:q =0; g =q l r ,燃烧棒右端为狄利克雷边界条件u =100.燃烧棒上(外)边界条件n #(K $u)=h(u f -u)为纽曼边界条件,由对应关系得q =hr ;g =hu f r.解析域的下边界为棒的中心,其边界条件为n #(K $t)=0,也为纽曼边界条件.q =0,则把q 和g 都设为0即可.求得10h 时刻燃烧棒内部的温度分布如图4所示,热流密度分布如图5所示.图4 10h 时刻燃烧棒的温度分布云图92 华 中 科 技 大 学 学 报(自然科学版) 第30卷图5 10h 时刻燃烧棒的热流密度云图如果内热源是时间或空间的函数,写出函数关系式,也可以得到解.2.3 复杂边界的热传导问题考虑这样一个问题:一个正方形内嵌一菱形,其中正方形区域的密度为2W/m 2,导热系数为10W/(cm #e ),菱形的密度为1W/m 2,导热系数为5W/(cm #e ),并有内热源的发热率密度为10W/m 2,两个区域的定压比热容均为0.1J/(kg #e ).初始温度为0e .计算0.1s 之后的等温图如图6所示,箭头所指为热流方向,热流密度图如图7所示.由此可见,应用MATLAB 可以方便快捷地解出复杂几何形状和复杂边界条件的非稳态问题.并且其强大的图形可视化功能使计算结果形象、直观而便于理解.图6 0.1s时刻等温图图7 0.1s 时刻热流密度云图参考文献[1]陶文铨.数值传热学(第2版).西安:西安交通大学出版社,2001.[2]程俊国,张洪济.高等传热学.重庆:重庆大学出版社,1990.Numerical simulation of problems in heat conduction using MATLABL i Can Gao Yandong H uang S uyiAbstract:The method and steps for finding the solutions for problems in heat conduction w ith the PDE toolbox in M ATLAB are described.T hree ex amples difficult to resolve w ith the analy tical method are g iven.The partial differential equation (PDE)for heat conduction is solved w ith the finite element method and the PDE toolbox is adopted to obtain the num erical simulation.Problems suitable for description w ith cylindrical coordinates are transformed into forms that are capable of solution w ith the PDE toolbox through formula variation.Examples of calculation show that M ATLAB is convenient and highly efficient for numerical simulation and graphic processing of com plex g eometry and non -steady -state heat conduction problems w ith internal thermal source.Key words:heat conduction;non -steady state heat conduction;MATLAB;numerical simulationLi Can Assoc.Prof.;Dept.of M etallurgy,Hu c nan Metallurg y Professional and Technical College,Zhuzhou 412000,Hu c nan,China.93第9期 李 灿等:热传导问题的M AT LAB 数值计算。