小升初数学专题讲练--盈亏问题

第六讲盈亏问题一、考点扫描把一定数量的物品按照不同的方式分配，产生不同的结果，然后求出参与分配的对象总数以及物品的总数，类似这样的问题称为盈亏问题。

二、真题演练例1、幼儿园的老师把一些糖果分给了小班的小朋友，如果每人分5颗还多12颗；如果每人分6颗还差8颗，那么小班共有多少个小朋友？糖果共多少颗？例2、在桥上用绳测桥高，将绳对折后垂到水面上余8米，三折后垂到水面还余2米，桥高和绳长各多少米？例3、挖一条水渠，如果每人挖24米，则挖的长度比渠的总长多120米，如果每人挖30米，则挖的长度比渠的总长多300米。

求挖渠总人数和渠长多少米？例4、同学们去图书馆修补图书。

如果每人补6本还多10本；如果每人补7本正好补完。

问有多少个同学参加修补图书？有几本需修补的图书？例5、少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没有挖，如果其中2人各挖4个树坑，其余的人各挖6个树坑，就恰好挖完所有树坑。

少先队员一共挖多少个树坑？例6、一辆汽车从甲地到乙地，先用每小时50公里的速度行驶，如果这样走下去，就要迟到8小时，后来改为每小时60公里的速度前进，结果早到5小时，求甲、乙两地的距离。

例7、有黑白棋子一堆，其中黑子个数是白子个数的2倍。

如果从这堆棋子中每次取出黑子4个，白子3个，那么取了多少次后，白子余1个，黑子还剩18个？三、当堂过关1、陈老师给小朋友分饼干，每人分3块要多出5块，如果每人分4块还少8块。

问小朋友有多少人？饼干有多少块？2、在某招待所开会，每个房间住3人则多26人，每个房间住4人则还多13人，如果每个房间住5人。

那么情况又怎么样呢？3、数学兴趣小组研究数学题目，如果每人做7道，则少27道，如果每人做5道，则少7道。

问有多少学生？几道数学题？4、六一班同学划船，如果增加一条船，那么每条船只要坐6人，如果减少一条船，那么每条船就做8人。

这个班有多少名同学去划船？5、工人种树，其中有3人分的树苗各4棵，其它的每人分3颗，这样最后余下树苗5棵，如果1人先分3颗，其余的每人分5棵，则树苗恰好分尽。

经典应用题—专题10《盈亏问题》一．选择题（共7小题）1．（2017•长沙）美猴王带着蟠桃回到花果山分给众猴，先分给3只老猴各6个，每只小猴4个，发现还有4只小猴分不到，于是收回重新分，3只老猴各5个，每只小猴3个，可是还剩下12个，那么花果山共有（）只猴．A．24B．25C．26D．28【解答】解：设花果山共有x只猴．6×3+（x﹣3）×4﹣4×4＝5×3+（x﹣3）×3+1218+4x﹣12﹣16＝15+3x﹣9+12x＝28答：花果山共有28只猴．故选：D．2．（2017•长沙）甲乙二人买同一种杂志，甲买一本差2角8分，乙买一本差2角6分，而他俩的钱合起来买一本还剩2角6分，那么这种杂志每本价钱是（）A．1元B．7角C．8角D．9角【解答】解：2角8分＝0.28元，2角6分＝0.26元．0.28+0.26+0.26＝0.8（元）＝8角答：这种杂志每本价钱是0.8元．故选：C．3．（2015•绵阳）有一批同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6人，如果减少一条船，正好每条船坐9人，则该班有（）名同A．32B．36C．40D．48【解答】解：法一：（9+6）÷（9﹣6），＝15÷3，＝5（条）；6×5+6，＝36（人）．法二：设使用x条船，据题意可得方程：（x+1）×6＝（x﹣1）×96x+6＝9x﹣93x＝15x＝5，则班级人数为：（5+1）×6＝36（人），答：该班有36人．故选：B．4．（2013•浦东新区模拟）将若干个苹果分给几个小朋友，如果每人分到4个，那么还多12个，如果每人分到6个，那么正好分完．小朋友有几个？根据题意，所列方程或算式错误的是（）A．解：设小朋友有x个．4 x+12＝6xB．解：设小朋友有x个．6x﹣12＝4xC．解：设小朋友有x个．4x+12×4＝6xD．12÷（6﹣4）【解答】解：（1）用方程解可列式为：设有小朋友X人，根据题意得①4X+12＝6X，12＝6X﹣4X，2X＝12，X＝12÷2，X＝6．答：有小朋友6人．②6X﹣12＝4X，6X﹣4X＝12，2X＝12，X＝12÷2，X＝6．答：有小朋友6人．③6X﹣4X＝12，2X＝12，X＝12÷2，X＝6．答：有小朋友6人．（2）用算术法解12÷（6﹣4），＝12÷2，＝6（人）．答：有小朋友6人．故选：C．5．（2012秋•杨浦区期末）小聪用一根绳子来测量一口井的深度，他把绳子的一端放入井底，井口外绳子长9米，小聪把这根绳子对折后，将一端入井底，这时在井口外的绳子还有3米，这口井的深度为（）米．A．2B．3C．4D．5【解答】解：9﹣3×2，＝9﹣6，＝3（米）．答：这口井的深度为3米．故选：B．6．用一根绳子绕树三圈余30厘米，如果绕树四圈则差40厘米，绳子长（）厘米．A．240B．210C．280【解答】解：树的周长：（30+40）÷（4﹣3）＝70÷1＝70（厘米）绳长：70×3+30＝210+30＝240（厘米）答：绳子长240厘米．故选：A．7．小红从家里到县城去上她以每分钟50米的速度走了3分钟，发觉按这个速度走下去就要迟到8分钟，于是立即加快了速度，每分钟多走了10米，结果到学校时，离上课还有5分钟，小红家到学校的路程是（）米．A．3900B．4050C．4300【解答】解：50+10＝60（米）（8×50+5×60）÷10＝700÷10＝70（分钟）50×（70+8）＝3900（米）3900+50×3＝4050（米）答：小红家到学校的路程是4050米．故选：B．二．填空题8．（2019•深圳）有一口枯井，现有一根绳子，对折后垂直放到井底，绳子一端比井口多10米；如果三折后垂到井底，绳子的一端比井口多2米，绳子的长度是48米．【解答】解：绳子长：（10﹣2）÷（﹣）＝8＝48（米）答：绳子的长度是48米．故答案为：48．9．（2019•长沙）若干个同学去划船，若每船4人，则多5人；若每船5人，则船上有4个空位，有41名同【解答】解：船的数量：（5+4）÷（5﹣4）＝9÷1＝9（条），共有学生：4×9+5＝41（人）或：5×9﹣4＝41（人），答：共有41个同故答案为：41．10．（2019•郑州）某公司给职工发奖金，每人发250元则缺180元，每人发200元则余220元，那么平均每人能发奖金227.5元．【解答】解：设员工共x人，则250x﹣180＝200x+220250x﹣200x＝220+18050x＝400x＝8每人发250元则缺180元，所以奖金总数：250×8﹣180＝2000﹣180＝1820（元），那平均每人发的奖金数就是：1820÷8＝227.5（元），答：平均每人能发奖金227.5元．故答案为：227.5．11．（2019•广州模拟）一次数学考试共有20道题．规定答对一题得2分，答错一题扣1分，未答的题不得分．小明得了23分，已知他未答的题目数是偶数．那么他答错了3道．【解答】解：因为得了23分，所以小明至少答对了12题即2×12＝24＞23分那么小明答错的和没答的是20﹣12＝8道又因为没答的题是偶数，而小明的得分是奇数，所以依此类推小明至少答对的题目数应该是奇数13、15、17、19假设小明答了全部的题那么得分如下：（1）2×13﹣7＝19（2）2×15﹣5＝25＞23（3）2×17﹣3＝31＞23（4）2×19﹣1＝37＞23因此可以判定（2）、（3）、（4）不满足题意要求所以小明答对了13，答错的题：13×2﹣23＝3（道）未答的题：20﹣13﹣3＝4（道）符合题意．故小明答错了3题，有4道题没有答．答：小明答错了3道题．12．（2018•金湖县）小明步行上如果每分钟步行40米，就会迟到2分钟；如果每分钟步行60米，就提前2分钟到校．小明家到学校有480米．【解答】解：（60×2+40×2）÷（60﹣40）＝200÷20＝10（分钟）40×（10+2）＝40×12＝480（米）答：小明家到学校有480米．故答案为：480．13．（2018•长沙）学校安排学生到会议室听报告，如果每3人坐一条长椅，则剩下36人没有座位；如果每5人坐一条长椅，则刚好空出2条长椅，参加会议室的学生有105人．【解答】解：（36+5×2）÷（5﹣3）＝（36+10）÷2＝46÷2＝23（条），23×3+36＝69+36＝105（人）．答：参加会议室的学生有105人；故答案为：105．14．（2015秋•达州月考）学校给学生分配宿舍，每间屋住3人则多出20人，每间屋住5人，恰好够住．学校宿舍10间，学生50人．【解答】解：设有宿舍x间，由题意得：2x＝20x＝10则学生有：10×5＝50（人）答：学校宿舍有10间，学生有50人．故答案为：10，50．15．（2013春•武侯区校级期末）一批小朋友去买东西，若每人出10元则多8元；若每人出7元则少4元．问：有4个小朋友，东西的价格是32元．【解答】解：小朋友：（8+4）÷（10﹣7）＝12÷3＝4（人）东西的价格：10×4﹣8＝32（元）答：有4个小朋友，东西的价格是32元．故答案为：4；32．16．（2013秋•江南区月考）托儿所买一车梨．按计划吃的天数计算一下，如果每天吃40个，那么剩下480个；如果每天吃60个，那么还少80个．买回这车梨有1600个，托儿所计划吃28天．【解答】解：天数：（480+80）÷（60﹣40），＝560÷20，＝28（天）；个数：28×40+480＝1600（个）；答：买回这车梨有1600个，托儿所计划吃28天．故答案为：1600，28．17．（2013春•江南区月考）小虹借了一本科幻书，必须按期归还．小虹若每天读35页，则读完全书比规定日期迟一天；如果每天读40页，则最后一天要少读5页；这本科幻书共有315页，规定日期是8天，如果他每天读39页，最后一天要读42页才能按期读完．【解答】解：（35+5）÷（40﹣35），＝8（天），8×35+35，＝280+35，＝315（页）．315﹣39×7，＝315﹣273，＝42（页）．答：这本科幻书共有315页，规定日期是8天，如里他每天读39页，最后一天要读42页才能按期读完．故答案为：315，8，42．三．应用题18．（2018秋•娄底期末）妈妈带一些钱去买布．买2米布后还剩下1.80元；如果买同样的布4米则差2.40元．问：妈妈带了多少钱？【解答】解：（2.40+1.80）÷（4﹣2）＝4.2÷2＝2.1（元/米）2.1×2+1.8＝4.2+1.8＝6（元）答：妈妈带了6元．19．（2019秋•深圳月考）某班学生要栽一批树苗．若每个人分配k棵树苗，则剩下38棵；若每个学生分配9棵树苗，则还差3棵．那么k是多少棵树苗？【解答】解：41÷（9﹣k）表示分配人数因为分配人数是整数所以9﹣k＝41或者9﹣k＝1k＝﹣32（舍）或k＝8答：k是8棵树苗．20．（2019春•普陀区校级期中）学校安排寝室，如果每间13人就正好住满，如果每间10人，还缺三间寝室，学校有几间寝室？【解答】解：（10×3）÷（13﹣10）＝10（间）答：学校有10间寝室．21．（2018春•水富县校级月考）妈妈带了一些钱去买肉．如果买4千克牛肉，还剩20元；如果买7千克猪肉，还差10元．已知牛肉比猪肉每千克贵15元，妈妈带了多少钱？【解答】解：买4千克猪肉要余出：15×4＝60（元）：剩余：60+20＝80（元）；每千克猪肉的价格为：（80+10）÷（7﹣4）＝30（元）；妈妈共带了：7×30﹣10＝200（元）；答：妈妈带了200元钱．22．（2018秋•福田区校级月考）手工课上，王老师带了一些彩纸分给学生．若每组分3张彩纸，则剩下18张，如每组分7张彩纸，则还差2张．王老师一共带了多少张彩纸？【解答】解：设一共有x组，3x+18＝7x﹣24x＝20x＝53×5+18＝15+18＝33（张）答：王老师一共带了33张彩纸．23．（2018•玄武区）一小和二小有同样多的同学参加某项比赛．学校用汽车把学生运往赛场．一小用的汽车每车坐15人，二小用的汽车每车坐13人，结果是二小比一小多派1辆车．后来每校各增加一人参加比赛，这样两校需要的汽车就一样多了．最后学校又决定每校增加一人参加比赛，二小又比一小多派1辆车．问两校共有多少人参加比赛？【解答】解：由于：6×15+1＝7×13，所以每校原来参加人数为：6×15＝90（人），两校共有：90×2+4＝184（人）．答：最后两校共有184人参加竞赛．24．（2016•徐州）同学们集体买一件商品，每人付6元，就会多48元，每人付5元，就会少3元，问这件商品多少元？一共有多少人？【解答】解：（48+3）÷（6﹣5）＝51（人）6×51﹣48＝258（元）答：这件商品258元，一共有51人．25．有一些自行车辐条，安装4辆自行车后，还剩66根辐条；若安装5辆自行车，则少了14根辐条．现在一共有多少根辐条？【解答】解：设每辆自行车安装x根辐条，4x+66＝5x﹣144x+66﹣4x＝5x﹣14﹣4xx﹣14＝66x﹣14+14＝66+14x＝804×80+66＝386（根）答：现在一共有386根辐条．26．一群小朋友分苹果．若每人分14个，则还多出11个；若一位小朋友只拿10个，则其余小朋友都能拿到17个．这些苹果共有多少个？【解答】解：（11+17﹣10）÷（17﹣14）＝18÷3＝6（人）6×14+11＝95（个）答：这些苹果共有95个．27．小明家与学校相距6千米，每天小明都以一定的速度骑自行车去学校，恰好在上课前5分钟赶到．这天，小明比平时晚出发了10分钟，于是他提速骑车，结果在上课前1分钟赶到学校．已知小明提速后的速度是平时的1.5倍．小明平时骑车的速度是每小时多少千米？【解答】10﹣（5﹣1）＝10﹣4＝6（分钟）6分钟＝0.1小时设小明平时骑车速度为x，可得方程：﹣＝0.1．＝0.1×1.5x＝0.1×1.5x3＝0.15x3÷0.15＝0.15x÷0.15x＝20答：平时小明平时骑车的速度是每小时20千米．28．王老师把买来的一箱橙子分给幼儿园的小朋友，如果其中2人每人分4个，其余每人分2个，则多出4个橙子；如果其中1人分6个，其余每人分4个，则又缺12个．王老师买了多少个橙子？一共分给多少个小朋友？【解答】解：（4﹣2）×2+4＝8（个）12﹣（6﹣4）＝10（个）（10+8）÷（4﹣2）＝18÷2＝9（个）4×2+（9﹣2）×2+4＝26（个）答：王老师买了26个橙子．一共分给9个小朋友．29．小明步行上如果每分钟步行80米，就会迟到3分钟，如果每分钟步行100米，就会提前3分钟到校．小明家到学校有多少米？【解答】解：小明准时到达用的时间：（80×3+100×3）÷（100﹣80）＝540÷20＝27（分钟）小明家到校的路程80×（27+3）＝80×30＝2400（米）答：小明家离学校有2400米．四．解答题30．（2019春•嘉定区校级月考）朱老师为参加军训的学生安排宿舍．如果每间宿舍住8人，那么这些宿舍正好住满；如果每间宿舍住6人，那么正好缺4间宿舍．学生宿舍有多少间？参加军训的学生有多少人？【解答】解：（6×4）÷（8﹣6）＝24÷2＝12（间）12×8＝96（人）答：学生宿舍有12间，参加军训的学生有96人．31．（2019春•普陀区期中）“六一”儿童节，学校向每个班级分发气球布置教室．如果每个班分20个气球，则多了130个；如果每个班分25个气球，则正好分完．一共有几个班级？一共有几个气球？【解答】解：130÷（25﹣20）＝130÷5＝26（个）20×26+130＝650（个）答：一共有26个班级，共用650个气球．32．（2019•江西模拟）全班同学站队排成若干行，若每行14人则多5人，若每行17人则少4人．共有多少名同排成几行？【解答】解：（5+4）÷（17﹣14）＝9÷3＝3（行），14×3+5＝47（人），答：共有47名同排成3行．33．（2018•雨花区）育才小学学生乘汽车去春游，如果每车坐65人，则有15人不能乘车．如果每车多坐5人，恰好多余一辆车．有多少个学生去春游？【解答】解（15+65+5）÷5＝85÷5＝17（辆）65×17+15＝1105+15＝1120（人）答：一共有1120个学生去春游．34．（2018秋•绿园区月考）聪聪打算读一本故事书，如果每天读10页，还少28页；如果每天读6页，还多20页没读完，你能算出全书共有多少页吗？【解答】解：（28+20）÷（10﹣6）＝48÷4，＝12（天）．12×10﹣28＝120﹣28，＝92（页）．答：共有92页．35．（2018秋•通川区期中）小明去体育用品专卖店买乒乓球，买10个还差8.9元，买5个还剩1.6元，小明有多少钱？【解答】解：单价：（8.9+1.6）÷（10﹣5），＝10.5÷5，＝2.1（元）；共有：2.1×10﹣8.9＝12.1（元）；答：小明有12.1元．36．（2019秋•广饶县期末）学校为新生分配宿舍，每个房间住3人，则有23人安排不进去，如果每个房间住5人，则空出3个房间．学校现有多少间宿舍？【解答】解：（23+5×3）÷（5﹣3）＝（23+15）÷2＝38÷2＝19（间）答：学校有19间宿舍．37．（2019•衡水模拟）一种商品随季节出售，如果按现价降低10%，每件仍可盈利200元；如果按现价降低20%，则每件亏损220元．这种商品每件的进价是多少元？【解答】解：（200+220）÷（20%﹣10%）＝420÷10%＝4200（元）4200×（1﹣10%）﹣200＝4200×90%﹣200＝3780﹣200＝3580（元）答：这种商品每件的进价是3580元．38．（2019•天津模拟）学校分配寝室．如果每间住6人，还有20人没有床位，如果每间住8人，正好住满．学生宿舍有多少间寝室？【解答】解：20÷（8﹣6）＝20÷2＝10（间）答：学生宿舍有10间寝室．39．（2019•江西模拟）神童幼儿园里买来一些玩具，如果每班分8个玩具，就多出2个玩具，如果每班分10个玩具，就少12个玩具，幼儿园里有多少个班？【解答】解：（2+12）÷（10﹣8），＝14÷2，＝7（个），答：幼儿园有7个班．40．（2019•北京模拟）李师傅做一批零件，如果他平均每天做24个，将比计划推迟一天完成，如果他平均每天做40个，将比计划提前一天完成，为了按计划完成，他平均每天要做多少个零件？【解答】解：①规定时间为（24×1+40×1）÷（40﹣24），＝64÷16，＝4（天）；②按时完成每天做24×（4+1）÷4，＝120÷4，＝30（个）．答：他平均每天要做30个零件．。

小升初数学冲刺训练盈亏问题全国版
【思想规律】
两次分配的结果差÷两次分配数差＝人数
或，由于参与分配的总人数不变，参与分配的物品总数不变，因此，可依据第一种分法的人数＝第二种分法的人数
第一种分法物品总数＝第二种分法物品总数，列出方程来解。

【重点点拨】
例1、一批树苗，假设每人种树苗，那么缺少3棵；假设每人种7棵，那么有4棵没人种。

求参与种树的人数是多少人？这批树苗共有多少棵？
例2、幼儿园教员把一堆苹果分给小冤家，假设每人分6个，那么少10个；每人分4个，还多2个。

有多少个小冤家？有多少个苹果？
例3、学校布置重生住宿，假定每间宿舍住6人，那么多出34人；假定每间宿舍住7人，那么多出4间宿舍，求住宿的先生和宿舍各有多少？
例4、先生分练习本，其中两团体每人分6本，其他每人分4本，那么多2本；假设有一个先生分8本，其他每人分6本，那么缺乏18本。

先生有多少人？练习本有多少本？
例5、一工人加工一批机器零件，限期完成。

他方案每小时做10个，还差3个零件完成义务每小时做11个，恰恰限期内完成了义务。

他加工的零件是多少个？限几小时完成？
例6、小红家买来一篮橘子分给全家人，假设每人3只那么多了5只，假设其中二人每人分2只，蓝丰生化每人分4只那么多1只，小红家买来多少只橘子？小红家共有多少人？
例7、在一次大扫除中，教员分配假定干人擦玻璃，假设其中二人各擦4块，其
他每人擦5块，那么余22块；假设每人擦7块，正好擦完。

求擦玻璃的人数和玻璃的块数。

数学专项复习小升初典型奥数之盈亏问题在小升初的数学学习中，奥数的盈亏问题是一个重要且常考的知识点。

对于即将升入初中的同学们来说，掌握这一问题的解题思路和方法至关重要。

什么是盈亏问题呢？简单来说，就是把一定数量的物品平均分给一定数量的人，如果每人少分，则物品有余（盈）；如果每人多分，则物品不足（亏）。

通过已知条件，求出物品的总数和人数。

为了更好地理解盈亏问题，我们先来看几个简单的例子。

例 1：老师给小朋友们分糖果，如果每人分 5 颗，还剩 12 颗；如果每人分 7 颗，就缺 4 颗。

请问有多少个小朋友？一共有多少颗糖果？在这个例子中，我们可以发现两种分糖方式产生了不同的结果，一种是有剩余（盈），一种是有缺少（亏）。

我们先来分析一下，第一次每人分 5 颗，剩余 12 颗；第二次每人分 7 颗，缺少 4 颗。

这两次分糖的差别在哪里呢？关键就在于第二次每人比第一次多分了 7 5 ＝ 2 颗糖。

正是因为这每人多分的 2 颗糖，导致了从剩余 12 颗变成了缺少 4 颗，所以总共的差距就是 12 ＋ 4 ＝ 16 颗糖。

而每人多分 2 颗就产生了 16 颗的差距，那么小朋友的人数就是 16 ÷ 2 ＝ 8 人。

知道了小朋友的人数，我们就可以算出糖果的总数。

按照第一次分糖的方式，每人 5 颗，8 个小朋友，还剩 12 颗，糖果总数就是 5×8 ＋12 ＝ 52 颗。

再来看一个例子。

例 2：学校将一批铅笔奖给三好学生。

如果每人奖 9 支，则缺 45 支；如果每人奖 7 支，则缺 7 支。

三好学生有多少人？铅笔有多少支？同样，我们先找到两次分铅笔的差异。

每人奖 9 支和每人奖 7 支，相差 9 7 ＝ 2 支。

而因为这 2 支的差异，导致从缺 45 支变成缺 7 支，差距为 45 7 ＝38 支。

所以三好学生的人数就是 38 ÷ 2 ＝ 19 人。

铅笔的数量按照第一种分法就是 9×19 45 ＝ 126 支。