1构成空间几何体的基本元素

1．1．1 构成空间几何体的基本元素知识点一平面的概念1．下列有关平面的说法正确的是( ）A．平行四边形是一个平面B．任何一个平面图形都是一个平面C．平静的太平洋面就是一个平面D．圆和平行四边形都可以表示平面答案D解析我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面,故A错误；平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量，故B错误；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C错误；在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，故D正确．2．下列说法正确的是（)A．水平放置的平面是大小确定的平行四边形B．平面ABCD即平行四边形ABCD的四条边围起来的部分C．一条直线和一个平面一定会有公共点D．平面是光滑的，可向四周无限延展答案D解析平面可以用平行四边形来表示，但平行四边形只是平面的一部分，不能理解为平面,A错误；平面是一个抽象的概念,是无限延展的,没有大小、厚薄之分,B错误；直线和平面可以没有公共点，此时直线和平面平行,C错误．故选D．知识点二构成几何体的基本元素3．试指出下图中各几何体的基本元素．解（1）中几何体有6个顶点，12条棱和8个面;（2)中几何体有12个顶点，18条棱和8个面；（3)中几何体有6个顶点，10条棱和6个面；(4）中几何体没有顶点和棱，有3个面．知识点三空间中点、线、面的位置关系4．如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是线段C1D1，A1D1,BD1，BC的中点，给出下面四个说法：①MN∥平面APC;②B1Q∥平面ADD1A1；③A，P，M三点共线；④平面MNQ∥平面ABCD．其中正确的序号为（)A．①② B．①④ C．②③ D．③④答案A解析平面APC即为平面ACC1A1，很容易看出MN与平面ACC1A1无公共点，即MN∥平面ACC1A1；同理B1Q与平面ADD1A1也没有公共点,故B1Q∥平面ADD1A1；A1，P,M三点不共线;平面MNQ 与平面ABCD是相交的，故选A．5．把棱长为1 cm的正方体表面展开要剪开________条棱，展开成的平面图形周长为________ cm．答案7 14解析正方体共有12条棱，展开图中6个面相连，有5条棱相连,所以要剪开7条棱．由于正方体6个面对应的正方形的周长之和为4×6＝24（cm)，展开图中相连的棱有5条，所以展开成的平面图形周长为24－2×5＝14（cm）．对应学生用书P1一、选择题1．下列说法：①任何一个几何体都必须有点、棱和面；②一个几何体可以没有顶点；③一个几何体可以没有棱；④一个几何体可以没有面．其中正确的个数是( ）A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析球只有一个曲面围成,故①错误,②③正确,由于几何体是空间图形,故一定有面，④错误．2．下列空间图形的画法中错误的是( )答案D解析被遮住的地方应该画成虚线（或不画）．3．一个正方体去掉一个“角”后减少了一个顶点，这个空间几何图形是（）答案C解析正方体共有8个顶点，去掉一个“角”后减少了一个顶点即有7个顶点．故选C．4．下图是一个正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是（）答案B解析∵在这个正方体的展开图中与有圆的面相邻的三个面中都有一条直线，当变成正方体后,这三条直线应该互相平行,∴选B．5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，与棱A1A既不平行也不相交的棱有( )A．1条B．2条C．3条D．4条答案D解析与棱A1A平行的棱有3条，相交的有4条,故既不平行也不相交的有4条．二、填空题6．如图所示，长方体ABCD—A1B1C1D1中，下列说法正确的有________（填序号）．①长方体的顶点一共有8个;②线段AA1所在的直线是长方体的一条棱;③矩形ABCD所在的平面是长方体的一个面；④长方体由六个平面围成．答案①解析长方体一共有8个顶点,故①正确；长方体的一条棱为线段AA1，故②错误；矩形ABCD为长方体的一个面,故③错误；长方体由六个矩形（包括它的内部）围成，故④错误．7．一个平面将空间分成______部分，两个平面将空间分成________部分，三个平面将空间分成________部分．答案 2 3或4 4或6或7或8解析一个平面将空间分成2部分．两个平面平行时将空间分成3部分；相交时分成4部分．三个平面平行时，如图所示,将平面分成4部分；三个平面相交于同一条交线时,将空间分成6部分；当两个平面平行,第三个平面与它们相交时将空间分成6部分；当三个平面两两相交且有三条交线时,将空间分成7部分;当有两个平面相交，第三个平面截两个相交平面时，将空间分成8部分．8．下列说法正确的是________．(1）长方体是由六个平面围成的几何体；(2)长方体两底面之间的棱互相平行且等长；（3)长方体一个面上任一点到对面的距离相等；(4）点运动的轨迹是线，一条线运动的轨迹可以是面．答案(2）(3)（4）解析(1）错误．因为长方体是由六个矩形(包括它的内部）围成，注意“平面”与“矩形”的本质区别．(2）正确．（3）正确．（4)正确．三、解答题9．在下列图中添加辅助线，使它们产生立体感．解10．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4 cm,BC＝3 cm，BB1＝5 cm,有一只蚂蚁从A点出发沿表面爬行至C1点，它的最短行程是多少？解欲求最短行程,必须找出蚂蚁的各种爬行路线，每条路线均需经过长方体的两个面，共有六条路线．路线1:沿面AB1和面A1C1，如图(1);路线2：沿面AC和面DC1，如图(2);路线3:沿面AD1和面DC1，如图（3）；路线4:沿面AB1和面BC1，如图(4）;路线5：沿面AD1和面A1C1,如图(5）；路线6：沿面AC和面BC1，如图(6）．由长方体的性质知，路线1、路线2长度相等，为d1＝错误!＝错误!（cm）；路线3、路线4长度相等，为d2＝错误!＝错误!(cm）；路线5、路线6长度相等,为d3＝错误!＝错误!（cm)．经比较，沿路线3和路线4可得最短行程为错误!cm．。

(完整版)构成空间几何体的基本元素习题§空间几何体1．组成空间几何体的基本元素知 点： 1．点、 、面是组成几何体的基本元素．2．平面是无穷延展的，往常画一个平行四 形表示一个平面．3．平面的 法： (1) 平面一般用希腊字母α、 β、 γ⋯来命名；(2)平面 形 点法．一、基 关1． 对于平面，以下 法正确的选项是( )A ．平面是有 界 的B ．平面是有厚薄的C ．平面 ABCD 是指平行四 形 ABCD 的四条 成的部分 D ． 和平面多 形都能够表示平面 2． 以下 法正确的选项是( ) A ．生活中的几何体都是由平面 成的 B ．曲面都是有必定大小的 C ．直 是由无穷个点 成的，而 段是由有限个点 成的 D ． 直线平移时不改变方向必定不行能形成曲面3． 如 所示，平行四 形 ABCD 所在的平面，以下表示方法中不正确的选项是( ) ①平面 ABCD ；②平面 BD ；③平面 AD ；④平面 ABC ；⑤ AC ；⑥平面 α.A ．④⑤B ．③④⑤C ．②③④⑤D ．③⑤4． 以下 法中正确的选项是()A ．直 的移 只好形成平面B ．矩形上各点沿同一方向移 形成 方体C ．直 其订交但不垂直的直 旋 形成 面D ．曲 的移 必定形成曲面1 1 1 1中，相互平行的平面共有___ ，与 A ′ A 垂直的平面是 __．5．在如 所示的 方体 ABCD － A B C D 6． 三个平面将空 最少分红 m 部分，最多分红 n 部分， m ＋ n ＝ ________. 7． 想一想看，怎样 一个物体的表面不是平面？ 8． 如 ，画出 (1)(2) 中 L 直 l 旋 一周形成的空 几何体． 二、能力提高9． 如 ，模 ①－⑤均由 4 个棱 1 的小正方体组成，模 ⑥由15 个棱 1 的小正方体组成． 从模 ①－⑤中 出三个放到模 ⑥上，使得模 ⑥成 一个棱3 的大正方体， 以下 方案中，能 达成任 的 ()A ．模 ①，②，⑤B ．模 ①，③，⑤C ．模 ②，④，⑤D ．模 ③，④，⑤10．小明 了某个 品的包装盒，他少 了此中一部分， 你把它 上，使其成 两 均有盖的正方体盒子 (如 所示 )． (1) 你有 ________种 充的 法． (2) 随意画出一种正确的 ．11．如 ，画出 (1)(2)(3) 中 段 L 着直 l 旋 一周形成的空 几何体．三、研究与拓展12．空 三个平面能把空 分红的部分怎样？答案 :1 ． D 4.C 5 ． 3 平面 AC 和平面 A ′C ′7．把直尺的 物体表面，假如在某个地点直尺 与物体表面 有 隙，就 明 物体表面不是平面．8． (1)L 与 l 订交，旋 生的曲面是以 L 与 l 的交点 点的 面．(2)L 是封 的曲 ， l 旋 生一个封 的曲面，此曲面是 面．9． A 10 ．解 (1)4(2) 如 正方体有 6 个面，它 都是正方形，可考 在 中某个正方形的旁 增添一个正方形，想象可否折成正方体盒子，事 上能够在横着的四个正方形的任何一个的下 增添一个正方形，都可折成正方体盒子． 11．(1) 因为 L 与 l 平行，旋 程中 L 与 l 的距离相等 ( 如 ① ) ． (2) 因为 L 与 l 订交，旋 程中 生的曲面是以 L 与 l 的交点 点的曲面 ( 如 ② ) ． (3) 因为 L 与 l 不平行， 旋 程中 生的曲面是以 L 的延 与 l 的交点 点的曲面的一部分 ( 如 ③ ) ．12．解 如 所示，当三个平面平行 ，将空 分红 4 部分；当三个平面订交于一条直 或两个平面平行，第三个平面与它 订交 ，将空 分红 6 部分；当三个平面订交于三条直 ，将空 分红 7 部分；当有两个平面订交，第三个平面截两个订交平面 ，将空 分红 8 部分．1 / 1。

专题37 空间几何体（知识梳理）一、空间几何体1、空间几何体的基本定义如果只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，则这个空间部分就是一个几何体。

围成体的各个平面图形叫做体的面；相邻两个面的公共边叫做体的棱；棱和棱的公共点叫做体的顶点。

几何体不是实实在在的物体。

平面的特性：无限延展、处处平直、没有其他性质(如厚度、大小、面积、体积、重量等)。

例1-1．下列是几何体的是( )。

A 、方砖B 、足球C 、圆锥D 、魔方【答案】C【解析】几何体不是实实在在的物体，故选C 。

例1-2．判断下列说法是否正确：(1)平静的湖面是一个平面。

(×)(2)一个平面长3cm ，宽4cm 。

(×)(3)三个平面重叠在一起，比一个平面厚。

(×)(4)书桌面是平面。

(×)(5)通过改变直线的位置，可以把直线放在某个平面内。

(√)【解析】平面可以看成是直线平行移动形成的，所以直线通过改变其位置，可以放在某个平面内。

(6)平行四边形是一个平面。

(×)(7)长方体是由六个平面围成的几何体。

(×)(8)任何一个平面图形都是一个平面。

(×)(9)长方体一个面上任一点到对面的距离相等。

(√)(10)空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线。

(×)(11)平面是绝对平的，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念。

(√) 例1-3．下列说法正确的是 。

①长方体是由六个平面围成的几何体；②长方体可以看作一个矩形ABCD 上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形D C B A ''''所围成的几何体；③长方体一个面上的任一点到对面的距离相等。

【答案】②③【解析】①错，因长方体由6个矩形(包括它的内部)围成，注意“平面”与“矩形”的本质区别；②正确；③正确。

[多选]例1-4．下列说法正确的是( )。

A 、任何一个几何体都必须有顶点、棱和面B 、一个几何体可以没有顶点C 、一个几何体可以没有棱D 、一个几何体可以没有面【答案】BC【解析】球只有一个曲面围成，故A 错、B 对、C 对，由于几何体是空间图形，故一定有面，D 错，故选BC 。

专题28空间几何体的结构特征、表面积与体积【考点预测】知识点一：构成空间几何体的基本元素—点、线、面（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体．（2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）．知识点二：简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台1．棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；（7）正方体：棱长都相等的长方体．2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．3．棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示．知识点三：简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球1．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．2．圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．3．圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．4．球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．知识点四：组合体由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．知识点五：表面积与体积计算公式表面积公式体积公式1．斜二测画法斜二测画法的主要步骤如下：（1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox ，Oy ，建立直角坐标系． （2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于''O x ，''O y ，使45'''∠=x O y （或135），它们确定的平面表示水平平面．（3）画出对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于'x 轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于y 轴的线段，在直观图中画成平行于'y 轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．（4）擦去辅助线．图画好后，要擦去'x 轴、'y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线． 注：4． 2．平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点．【题型归纳目录】题型一：空间几何体的结构特征 题型二：空间几何体的表面积与体积 题型三：直观图 题型四：最短路径问题 【典例例题】题型一：空间几何体的结构特征例1．（2022·全国·模拟预测）以下结论中错误的是（ ） A ．经过不共面的四点的球有且仅有一个 B ．平行六面体的每个面都是平行四边形 C ．正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直 D ．棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直例2．（2022·全国·高三专题练习（文））下列说法正确的是（ ） A ．经过三点确定一个平面B ．各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥C ．各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱D ．一个三棱锥的四个面可以都为直角三角形例3．（2022·海南·模拟预测）“三棱锥P ABC -是正三棱锥”的一个必要不充分条件是（ ） A ．三棱锥P ABC -是正四面体 B ．三棱锥P ABC -不是正四面体 C ．有一个面是正三角形 D ．ABC 是正三角形且PA PB PC ==例4．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥; ④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3例5．（2022·山东省东明县第一中学高三阶段练习）下列说法正确的是（ ） A ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B ．过空间内不同的三点，有且只有一个平面 C ．棱锥的所有侧面都是三角形D ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台例6．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3例7．（2022·全国·高三专题练习）莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，他的研究论著几乎涉及到所有数学分支，有许多公式､定理､解法､函数､方程､常数等是以欧拉名字命名的.欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V ､棱数E ､面数F 之间总满足数量关系2,V F E +-=，此式称为欧拉公式，已知某凸32面体，12个面是五边形，20个面是六边形，则该32面体的棱数为___________；顶点的个数为___________.例8．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））如图，正方体1AC 上、下底面中心分别为1O ，2O ，将正方体绕直线12O O 旋转360︒，下列四个选项中为线段1AB 旋转所得图形是（ ）A ．B ．C ．D ．例9．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）（多选）A ．①是棱台B ．②是圆台C ．③是棱锥D ．④是棱柱例10．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））碳60（60C ）是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成的分子，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2．则其六元环的个数为__________.【方法技巧与总结】 熟悉几何体的基本概念.题型二：空间几何体的表面积与体积例11．（多选题）（2022·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧,DE AC 所在圆的半径分别是3和9，且120ABC ∠=，则该圆台的（ ）A ．高为BC ．表面积为34πD ．上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:22例12．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设一圆锥的侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥的高与母线长的比值为（ ）A ．89B C D ．23例13．（2022·云南·二模（文））已知长方体1111ABCD A B C D -的表面积为62，所有棱长之和为40，则线段1AC 的长为（ ）A B C D例14．（2022·福建省福州第一中学三模）已知AB ，CD 分别是圆柱上､下底面圆的直径，且AB CD ⊥，.1O ，O 分别为上､下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥A BCD -的体积为18，则该圆柱的侧面积为（ ） A ．9π B ．12π C ．16π D ．18π例15．（2022·河南·模拟预测（文））在正四棱锥P ABCD -中，AB =P ABCD -的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（ ）AB ．C ．D ．例16．（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭ABCD EFHG -，其中上底面与下底面的面积之比为1:4，方亭的高h EF =，BF =，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和 ）A ．24B ．643C ．563D ．16例17．（2022·湖南·高三阶段练习）如图，一种棱台形状的无盖容器（无上底面1111D C B A ）模型其上、下底面均为正方形，面积分别为24cm ，29cm ，且1111A A B B C C D D ===，若该容器模型的体积为319cm 3，则该容器模型的表面积为（ ）A ．()29cmB ．219cmC ．()29cmD ．()29cm例18．（2022·海南海口·二模）如图是一个圆台的侧面展开图，其面积为3π，两个圆弧所在的圆半径分别为2和4，则该圆台的体积为（ ）A B C D例19．（2022·全国·高三专题练习）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（ ）A ．B ．C ．D ．例20．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知圆柱12O O 的底面半径为1，高为2，AB ，CD 分别为上、下底面圆的直径，AB CD ⊥，则四面体ABCD 的体积为（ ） A ．13B ．23C ．1D ．43例21．（2022·山东·烟台市教育科学研究院二模）鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构，其内部的凹凸部分啮合十分精巧．图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图．它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为2．若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为________．例22．（2022·湖北省天门中学模拟预测）已知一个圆柱的体积为2 ，底面直径与母线长相等，圆柱内有一个三棱柱，与圆柱等高，底面是顶点在圆周上的正三角形，则三棱柱的侧面积为__________.例23．（2022·上海闵行·二模）已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的___________倍.例24．（2022·浙江绍兴·模拟预测）有书记载等角半正多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图，将正四面体沿相交于同一个顶点的三条梭上的3个点截去一个正三棱锥，如此共截去4个正三棱锥，若得到的几何体是一个由正三角形与正六边形围成的等角半正多面体，且正六边形的面积为2，则原正四面体的表面积为_________．例25．（2022·上海徐汇·三模）设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥顶点到直线ABAB和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的侧面积为___________.例26．（2022·全国·高三专题练习）中国古代的“牟合方盖”可以看作是两个圆柱垂直相交的公共部分，计算其体积所用的“幂势即同，则积不容异”是中国古代数学的研究成果，根据此原理，取牟合方盖的一半，其体积等于与其同底等高的正四棱柱中，去掉一个同底等高的正四棱锥之后剩余部分的体积（如图1所示）．现将三个直径为4的圆柱放于同一水平面上，三个圆柱的轴所在的直线两两成角都相等，三个圆柱的公共部分为如图2，则该几何体的体积为___________．【方法技巧与总结】熟悉几何体的表面积、体积的基本公式，注意直角等特殊角. 题型三：直观图例27．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知用斜二测画法画出的ABC 的直观图是边长为a 的正三角形，原ABC 的面积为 __．例28．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）如图，梯形ABCD 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中45ABC ∠=︒，1AB AD ==，DC BC ⊥，则原图形的面积为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．1例29．（2022·全国·高三专题练习）如图，△ABC 是水平放置的△ABC 的斜二测直观图，其中2O C O A O B ''''''==，则以下说法正确的是（ ）A ．△ABC 是钝角三角形B ．△ABC 是等边三角形C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．△ABC 是等腰三角形，但不是直角三角形例30．（2022·全国·高三专题练习）如图，水平放置的四边形ABCD 的斜二测直观图为矩形A B C D ''''，已知2,2A O O B B C =='''''='，则四边形ABCD 的周长为（ ）A ．20B ．12C ．8+D ．8+例31．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，已知等腰直角三角形O A B '''△，O A A B ''''=是一个平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（ ）A B ．1 C D ．例32．（2022·全国·高三专题练习）一个三角形的水平直观图在x O y '''是等腰三角形，底角为30，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B 到x 轴距离是（ ）A ．1B ．2CD ．【方法技巧与总结】斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系：S 直原． 题型四：最短路径问题例33．（多选题）（2022·广东广州·三模）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，在轴截面ABCD 中，2cm AB AD BC ===，且2CD AB =，则（ ）A ．该圆台的高为1cmB ．该圆台轴截面面积为2C 3D ．一只小虫从点C 沿着该圆台的侧面爬行到AD 的中点，所经过的最短路程为5cm例34．（2022·河南洛阳·三模（理））在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为1CC 上的动点，则1D E EB +的最小值为___________.例35．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,1,90AA AB BC ABC ===∠=︒，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，则下列判断正确的有___________.（填序号）②存在点E ，使得1A EA ∠为钝角③截面1AEC 周长的最小值为例36．（2022·河南·二模（理））在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，P 是线段1BC 上的一动点，则1A P PC +的最小值为________.例37．（2022·陕西宝鸡·二模（文））如图，在正三棱锥P ABC -中，30APB BPC CPA ∠=∠=∠=，4PA PB PC ===，一只虫子从A 点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A 点，则虫子爬行的最短距离是___________.例38．（2022·安徽宣城·二模（理））已知正四面体ABCD 的棱长为2，P 为AC 的中点，E 为AB 中点，M 是DP 的动点，N 是平面ECD 内的动点，则||||AM MN +的最小值是_____________.例39．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））如图，圆柱的轴截面ABCD 是一个边长为4的正方形.一只蚂蚁从点A 出发绕圆柱表面爬到BC 的中点E ，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）A ．B ．C ．D例40．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））一竖立在水平地面上的圆锥形物体，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P 点，已知圆锥底面半径为1，母线长为3，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）A ．3B ．C ．πD ．2π【方法技巧与总结】此类最大路径问题：大胆展开，把问题变为平面两点间线段最短问题． 【过关测试】一、单选题1．（2022·河北·高三阶段练习）已知圆锥的高为1，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（ ）A ．2B ．52C D ．32．（2022·全国·模拟预测（文））若过圆锥的轴SO 的截面为边长为4的等边三角形，正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，B ，C ，D 在圆锥底面上，1A ，1B ，1C ，1D 在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（ ）A ．B ．C ．(2D ．(23．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（ ） A ．43 B ．43πC ．83D ．83π4．（2022·广东深圳·高三阶段练习）通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是1cm 和4cm ）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（ ）AB ．1cmCD 5．（2022·全国·高三专题练习）已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面ABC 水平放置的直观图（斜二测画法）为A B C '''，其中1O A O B O C ''''''===，则此三棱柱的表面积为（ ）A．4+B ．8+C ．8+D ．8+6．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）已知某圆锥的侧面积为的半径为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．（2022·山西大同·高三阶段练习）正四棱台的上､下底面的边长分别为2､4，侧棱长为2，则其体积为（ ）A ．56B C ．D ．5638．（2022·江西九江·三模（理））如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r .若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a ，则ra=（ ）A B ．34C ．2D ．)3129．（2022·浙江湖州·模拟预测）如图，已知四边形ABCD ，BCD △是以BD 为斜边的等腰直角三角形，ABD △为等边三角形，2BD =，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △在翻折的过程中，下列结论中不正确．．．的是（ ）A ．BD PC ⊥B ．DP 与BC 可能垂直C ．直线DP 与平面BCD 所成角的最大值是45︒D ．四面体PBCD 10．（2022·全国·高三专题练习）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ．2.65≈）（ ） A ．931.010m ⨯ B ．931.210m ⨯C ．931.410m ⨯D ．931.610m ⨯二、多选题11．（2022·河北·高三阶段练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，P 是1A D 上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）A ．BPB ．PA PC +C ．当P 在直线1AD 上运动时，三棱锥1B ACP -的体积不变D ．以点B 1AB C 12．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V ，则（ ）A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =13．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1A C 上的动点，点M ，N 分别为线段11A C ，1CC 的中点，则下列说法正确的是（ ） A ．11A P AB ⊥ B ．三棱锥1M B NP -的体积为定值 C ．[]160,120APD ∠∈︒︒D ．1AP D P +的最小值为2314．（2022·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧,DE AC 所在圆的半径分别是3和9，且120ABC ∠=，则该圆台的（ ）A ．高为B ．体积为3C ．表面积为34πD ．上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:22三、填空题15．（2022·全国·高三专题练习）已知一三角形ABCA B C '''(如图)，则三角形ABC 中边长与正三角形A B C '''的边长相等的边上的高为______．16．（2022·上海·模拟预测）已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为___________；17．（2022·新疆·三模（理））已知一个棱长为a 的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为1，母线长为2，则a 的最大值为______.18．（2022·吉林长春·高三阶段练习（理））中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，如图（1）（2）.刘徽未能求得牟合方盖的体积，直言“欲陋形措意，惧失正理”，不得不说“敢不阙疑，以俟能言者”.约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等，如图（3）（4）.已知八分之一的正方体去掉八分之一的牟合方盖后的剩余几何体与长宽高皆为八分之一正方体棱长的倒四棱锥“等幂等积”，祖暅由此推算出牟合方盖的体积.据此可知，若正方体的棱长为1，则其牟合方盖的体积为______. 四、解答题19．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，已知四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，且1,4,5AB DC AB DC PM PC ==∥.(1)求证：PA 平面MDB ；(2)当直线,PC PA 与底面ABCD 所成的角都为4π，且4,DC DA AB =⊥时，求出多面体MPABD 的体积.20．（2022·全国·南宁二中高三期末（文））图1是由矩形ABGF ，Rt ADE △和菱形ABCD 组成的一个平面图形，其中2AB =，1==AE AF ，60BAD ∠=︒，将该图形沿AB ，AD 折起使得AE 与AF 重合，连接CG ，如图2.(1)证明：图2中的C ，D ，E ，G 四点共面； (2)求图2中三棱锥C BDG -的体积.21．（2022·全国·高三专题练习）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝60°．(1)求证：BC 1⊥平面ABC ；(2)E 是棱CC 1上的一点，若三棱锥E －ABC CE 的长．22．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，112224AC AA AB AC BC =====，160BAA ∠=︒．(1)证明：平面ABC ⊥平面11AA B B ．(2)设P 是棱1CC 上一点，且12CP PC =，求三棱锥111A PB C -体积．。

【同步教育信息】一. 本周教学内容：1. 构成空间几何体的基本元素2. 棱柱、棱锥和棱台的结构特征3. 圆柱、圆锥、圆台和球二. 教学目的1. 认识构成空间几何体的基本元素2. 掌握柱、锥、台和球的结构特征三. 教学重点、难点1. 柱、锥、台和球的结构特征2. 学生看图、识图的能力的培养和尝试模型制作四. 知识分析我们生活的世界有各种各样的物体，我们总是试着去观察它们，区分它们。

区分这些物体的方法很多，但最直接的方法是什么呢？对，是它们占有空间部分的形状和大小。

这也是我们研究几何体的方向和内容。

（一）构成空间几何体的基本元素但是什么是几何体呢？我们将要认识和研究几何体的哪些方面的问题？几何体指的是一个物体所占有的空间部分。

常见的有柱体、锥体、台体、球体等等。

（见上图）同学们应该明确一点就是几何体不仅仅包括它的外表面，还包括它内部的部分，或者说它是有皮有瓤的。

我们研究几何体，不用理睬它的物理性质和化学成分，不用关心它的历史，也不用研究它的经济价值，而只考虑它的形状和大小，研究一下它的结构特征和构成元素间的逻辑关系等等就行了。

我们现在要学习的内容是立体几何初步，它包括两节内容：第一节是空间几何体，第二节是点、线、面之间的位置关系。

学习的重点是认识柱、锥、台、球的结构特征，会用平行投影法、中心投影法、三视图法、直观图法绘制空间图形，柱、锥、台、球等几何体的表面积和体积的求法，平面的基本性质，空间直线的位置关系，直线与平面之间及两平面之间平行和垂直关系，掌握好上述内容，就抓住了立体几何中最重要、最根本的内容，其他部分也就迎刃而解了。

现在，同学们先观察你的周围，发现了哪些几何体？你都认识它们吗？在我们认识的几何体中，最熟悉的莫过于长方体了，你能说出长方体的结构特征吗？观察长方体，会发现它的表面有六个矩形，我们把这六个矩形（含矩形内部）称为长方体的面，相邻两个面的公共边叫做长方体的棱，长方体的三条两两相交成直角的棱交会到一点，就是长方体的顶点。

空间几何体的结构____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________掌握棱柱、棱锥、棱台等多面体结构特征．掌握圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的结构特征．概括简单组合体的结构特征．1．几何体只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．2．构成空间几何体的基本元素(1)构成空间几何体的基本元素：点、线、面是构成空间几何体的基本元素．(2)平面及其表示方法：①平面的概念：平面是处处平直的面，它是向四面八方无限延展的．②平面的表示方法：图形表示：在立体几何中，通常画平行四边形表示一个平面并把它想象成无限延展的符号表示：平面一般用希腊字母α，β，γ…来命名，还可以用表示它的平行四边形对角顶点的字母来命名．深刻理解平面的概念，搞清平面与平面图形的区别与联系是解决相关问题的关键．平面与平面图形的区别与联系为：平面是没有厚度、绝对平展且无边界的，也就是说平面是无限延展的，无厚薄，无大小的一种理想的图形．平面可以用三角形、梯形、圆等平面图形来表示．但平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们是有大小之分的，不能说三角形、正方形、梯形是平面，只能说平面可以用平面图形来表示．(3)用运动的观点理解空间基本图形之间的关系：①点动成线：运动方向始终不变得到直线或线段；运动方向时刻变化得到的是曲线或者曲线的一段．②线动成面：直线平行移动可以得到平面或者曲面；固定射线的端点，让其绕一个圆弧转动，可以形成锥面．③面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体． 3．棱柱 (1)棱柱的定义一般地，由一个平面多边形（凸多边形）沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱。

1.1.1构成空间几何体的基本元素1．感悟课标新理念背景知识激趣生活中的几何———欧式几何“几何”这个词在汉语里是“多少”的意思，但在数学里“几何”的含义就完全不同了。

“几何”这个词的词义来源于希腊文，原意是土地测量，或叫测地术几何学和算术一样产生于实践，也可以说几何产生的历史和算术是相似的。

在远古时代，人们在实践中积累了十分丰富的各种平面、直线、方、圆、长、短、宽、窄、厚、薄等概念，并且逐步认识了这些概念之间，以及它们之间位置关系跟数量之间的关系，这些后来就成了几何学的基本概念。

柏拉图把逻辑学的思想方法引入了几何，使原始的几何知识受逻辑学的指导，逐步趋向于系统和严密的方向发展.柏拉图在雅典给他的学生讲授几何学，已经运用逻辑推理的方法对几何中的一些命题作了论证. 亚里士多德被公认是逻辑学的创始人，他所提出的“三段论”的演绎推理的方法，对于几何学的发展，影响更是巨大的.到今天，在初等几何学中，仍是运用“三段论”的形式来进行推理。

但是，尽管那时候已经有了十分丰富的几何知识，这些知识仍然是零散的、孤立的、不系统的。

真正把几何总结成一门具有比较严密理论的学科的，是希腊杰出的数学家欧几里德。

课程学习目标［课程目标］目标重点：从运动的观点来初步认识点—线—面—体之间的组成关系和位置关系目标难点：通过几何体的直观图观察其基本元素间的关系。

［学法关键］"对空间中线、面平行及垂直的概念的了解，是认识几何体结构特征所必需的，在后面的学习中将深入研究。

在学习过程中利用自己制作的模型或画出的图形在直观感知的基础上，体会空间中点、线、面、体之间的关系，体会它们怎样构成了空间图形。

结合课本中的介绍，用运动的观点观察问题可以帮助我们认识空间中点、线、面的位置关系，培养空间想象能力"研习教材重难点研习点1：长方体的有关概念1．长方体由六个矩形（包括它的内部）围成；2．围成长方体的各个矩形，叫做长方体的面；3．相邻的两个面的公共边，叫做长方体的棱；4．棱和棱的公共点，叫做长方体的顶点；5．长方体共有( 8个顶点，12条棱，6个面；研习点2：构成几何体的基本元素1．几何体：一个物体占有空间部分的形状和大小，不考虑其他因素，这个空间部分叫做一个几何体，它是一个描述性的概念；2.构成空间几何体的基本元素是：点、线、面" 线有直线（段）和曲线（段）之分，面有平面（部分）和曲面（部分）之分；【联想·发散】1．从集合的角度来看线、面如果把点看成是元素，那么直线、曲线都可以当作是点的集合，平面和曲面也可以看成是点的集合。

1.1.1 构成空间几何体的基本元素教材知识检索考点知识清单1．长方体由六个 （包括它的内部）围成，围成长方体的各个____，叫做长方体的——；相邻两个面的公共边，叫做长方体的 ；棱和棱的公共点，叫做长方体的____．长方体有____ 个 面， 条棱，——个顶点．2．在立体几何中，平面是 ，通常画一个 表示一个平面，平面一般用 来命名，还可以用表示它的 来命名．3．既不平行又不相交的两条直线叫做 ．4．观察长方体容易看到，除了直线在平面内，还有两种关系：直线与平面____或直线与平面____．5．观察平面与平面的位置关系，有两个平面相交于一条直线，除此之外，还有两个平面____或两个平面____ 的关系．要点核心解读1．空间中点、线、面之间的关系空间中的线与面都是由点组成的集合，点A 在线l 上，记作l A ∈，点A 在平面α内，记作l A ∈，线l 在平面α内，记作α⊂l 如图1 -1 -1 -1.2．对平面的深层理解(1)平面是绝对平的．(2)平面没有厚度，也可理解成其厚度为零．(3)平面是无限延展的．(4)平面和点、直线一样，是我们以后研究空间图形的基本对象之一，也是空间图形的一个重要组成部分．(5)有限的图形．如：三角形、平行四边形等．用平行四边形表示平面，只是一种形式上的表示方法，绝对不能认为平行四边形就是平面．(6)无限的平面，平面将无限的空间分成两部分，如果想从平面的一侧到另一侧，必须穿过这个平面．(7)平面可以看作空间中点的集合，它当然是一个无限集．(8)用希腊字母α、β、γ等表示平面时，在不会引起混淆的情况下，“平面”二字可以省略不写；但用英文字母表示平面，如平面AC ，“平面”二字不可省略，甚至在一些复杂的图形中为了区别起见，还要表示为平面ABCD.表示三角形所在的平面，一般将三个顶点的字母都写出来，如平面ABC 、平面ABD 等．(9)在平面几何中，凡是后引的辅助线都画成虚线，立体几何则不然，凡是被平面遮住的线（简称暗线）都画成虚线或不画；凡是不被遮住的线（简称明线，无论是题中原有的还是后引的辅助线）都画成实线．3．以特殊的几何体为例观察空间中线、面的关系以长方体为例，观察得到：(1)空间中直线的位置关系：平行、相交、异面．(2)空间中直线与平面的位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行．(3)空间中平面的关系：两个平面相交（包括两个平面垂直），两个平面平行．典例分类剖析考点1平面的概念命题规律(1)正确理解平面的原始概念，把握其与一般的桌面、黑板面之间的区别，． (2)平面的表示法及画法．[例1] 判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)四条边相等的四边形是菱形；(2)若四边形的两个对角都是直角，则这个四边形是圆内接四边形；(3)平行四边形是一个平面；(4)任何一个平面图形都是一个平面；(5)空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线．[答案] (1)不正确，因为四条边相等的四边形不一定是平面图形：(2)不正确，两个对角是直角的四边形有可能是空间四边形，故不一定是圆内接四边形；(3)不正确，平行四边形是平面上四条线段所构成的图形，是不能无限延展的；(4)不正确．平面和平面图形是完全不同的两个概念．平面图形是有大小的，是不可能无限延展的；(5)不正确，在空间图形中，为了增强图形的立体感，都是把能够看得见的线画成实线，把被平面遮住的线画成虚线（无论是图形中原有的，还是后来引入的辅助线）．[点拨] (1)在立体几何中，我们通常用平行四边形表示平面，但绝不是说平行四边形就是平面．(2)在平面几何中，引入的辅助线都要画成虚线，但在立体几何中却不然．在学习立体几何时，若认识不到这一点，必将影响空间立体感的形成，阻碍空间想象能力的培养，考点2 空间中线与面之间的关系命题规律(1)空间中线与平面的关系有线在平面内和线在平面外两种．(2)空间中平面与平面有相交、平行两种位置关系．[例2] 一个平面将空间分成____个部分，两个平面将空间分成个部分，三个平面将空间分成____个部分．[解析]本题对平面在空间的位置进行分类讨论．一个平面将空间分成2个部分．两个平面有公共点时将空间分成4个部分，没有公共点时将空间分成3个部分，所以，两个平面将空间分成3个部分或4个部分，三个平面没有公共点时将空间分成4个部分；有公共点时分别将空间分成6、7、8个部分．如图1—1 -1 -2.[答案] 23或44或6或7或8[点拨] 先对两个平面在空间的位置进行分类讨论，再让第三个平面以不同的形式介入，这种设计分类讨论的程序，在研究空间图形位置关系时会经常用到，母体迁移1．-个正方体的六个面所在平面将空间分成几个部分？考点3 长方体的有关概念命题规律(1)长方体的特征．(2)长方体中的线面关系．[例3] 如图1-1 -1 -3所示，在长方体1111D C B A ABCD -中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，回答下列问题：(1)与直线11C B 平行的平面有哪几个？(2)与直线11C B 垂直的平面有哪几个？(3)与平面l BC 平行的平面有哪几个？(4)与平面1BC 垂直的平面有哪几个？[解析] 根据线面平行和垂直的概念判断即可．[答案](1)与直线11C B 平行的平面有：平面1AD 平面AC.(2)与直线11C B 垂直的平面有：平面,1B A 平面⋅1CD(3)与平面1BC 平行的平面有：平面⋅1AD(4)与平面1BC 垂直的平面有：平面1AB 平面⋅11C A 平面⋅1CD 平面AC.母题迁移2．下列关于长方体的叙述不正确的是( )．A ．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体B ．长方体中相对的面都相互平行C ．长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离D ．两底面之间的棱互相平行且等长考点4 用集合的语言表示平面中点、线、面之问的关系命题规律(1)用集合的语言理解点、线、面之间的关系，将点看作元素，线与面看作集合，,)2(l A ∈表示点A 在直线L 上α⊂l ;表示L 是平面α内的一条直线．[例4] 若点Q 在直线b 上，b 在平面β 内，则β、、b Q 之间的关系可记作( )．C.Qcbcpβ∈∈⋅b Q A β⊂∈⋅b Q B β⊂⊂⋅b Q C β∈⊂⋅b Q D[试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能）[解析]本题考查用集合的语言表示点、线、面之间的关系，关键是弄清点与直线是元素与集合之间的关系，直线与平面是集合与集合之间的关系.解法一（直接法）： ∵点Q 在直线b 上，.b Q ∈∴又 ∵ 直线b 在平面β内，⋅⊂∈∴⊂∴ββb Q b ,答案为B ．解法二（排除法）： ∵ 点Q 与直线b 的关系是元素与集合之间的关系，∵ 只能用符号“”∈或“∉”表示∴ 排除C 和D(容易出现β∈⊂b b Q 或类错误）又∵ b 与β是集合与集合之间的关系，∴ 应该用符号“””或“⊂/⊂来表示． ∴ A 应该排除，答案为B ．[答案] B[点拨]认清点与线、面的实质是元素与集合之间的关系，线与面是集合与集合之间的关系． 母题迁移 3．已知,,,,A b a b a m =⊂⊂= βαβα则直线m 与A 的位置关系用集合语言表示为____．优化分层测讯学业水平测试α、间的关系．1．识别图1 -1 -1 -4中的点A、线Z与面β2．如图1 -1 -1 -5所示，下列说法正确的是( )．A．表示直线a在a内B．将平面a延展就可以表示直线a在a内C．因为直线是无限延伸的，所以直线a不在a内D．不可以表示直线a在d内，因为画法不对3．已知下列四个命题：①很平的桌面是一个平面；②一个平面的面积可以是4 m 2；③平面是矩形或平行四边形；④两个平面叠在一起比一个平面厚，其中正确的命题个数是( )．A.O个B.l个C.2个D.3个4．长方体有个面，条棱，个顶点；长方体的六个面都是．5．给出下列四个命题：①平行四边形是一个平面；②任何一个平面图形都是一个平面；③空间图形中，先画的是实线，后画的是虚线；④直线平行移动，不但可以形成平面，而且也可以形成曲面．其中正确命题的序号为．高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分x8 =40分）1．下列说法中表示平面的是( )．A．平静的水面 B．黑板面C．桌面 D．铅垂面2．下列说法中错误的是( )．A．平面用一个希腊字母就可以表示B．平面可用表示平面的平行四边形对角顶点的两个英文字母表示C．三角形ABC所在的平面不可写成平面ABCD．-条直线和一个平面可能没有公共点3．图l -1 -1 -7四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的公共边折叠围成一个正方体且正方形互不重叠的图形是( )．4．如图1 -1 -1 -8所示的两个相交平面，其中画法正确的个数有( )．5. 若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）A.5部分B.6部分C.7部分D.8部分6.下列推理错误的是（ ） ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A A ,;,.AB B B A A B =⇒∈∈∈∈βαβαβα ,;,.αα∉⇒∈⊂/A l A l C ,.,,.βα∈∈C B A C B A D h 、、且A 、B 、C 不共线βα与⇒重合7．下列命题中，正确命题的个数为( )．①桌面是平面；②一个平面长2米，宽3米；③用平行四边形表示平面，只能画出平面的一部分；④空间图形是由空间中的点、线、面构成的．A ．1个 B.2个 C.3个 D.4个8．（2009年全国高考卷Ⅱ）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是( )．A ．南B ．北C ．西D ．下二、填空题（5分x4 =20分）9一个立方体的六个面上分别标有字母A 、B 、C 、D 、E 、F ，如图1 -1 -1 -10所示是此立方体的两种不同放置方式，则与D 面相对的面的字母不可能是10.当三个平面只有一条交线时，可以将空间分成____个部分；没有交线时，可以将空间分成____个部分；有三条交线，且两两互相平行时，可以将空间分成 个部分．11.如图1-1 -1 -11所示，在长方体1111D C B A ABCD 中，棱与棱11D A 异面的棱有____；与11D A 平行的平面有____；与棱11D A 垂直的平面有12.下列说法：①长方体是由六个平面围成的几何体；②长方体可以看作一个矩形ABCD （水平放置）上各点沿铅垂线方向向上移动相同距离到矩形////D C B A 所形成的几何体；③长方体一个面上任一点到对面的距离相等．其中正确命题的序号是三、解答题（10分x4 =40分）13.按照给出的要求（如图l-1-1 -12），画出下面两个相交的平面，其中线段AB 是两个平面的交线．14.要将一个正方体模型展开成平面图形，需要剪断多少条棱？你的结论可以作为一条规律来用吗？15.将图1-1 -1 -13中的平面图形沿虚线折叠，制作几何体并将直观图画出来．16.如图1-1 -1 -14是边长为Im 的正方体，有一蜘蛛潜伏在A 处，B 处有一小虫被蜘蛛网粘住，请制作出实物模型，将正方体剪开，描述蜘蛛爬行的最短路线．。

张喜林制单元知识整合二、单元要点整合1．空间几何体的结构(1)构成空间几何体的基本元素：点、线、面．(2)多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，其中，把一个多面体的任一面伸展成平面，如果其余各面都位于这个平面的同一侧，则这个多面体叫做凸多面体．(3)棱柱．①棱柱的概念：有两个面互相平行，而且夹在这两个平行平面间的每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫棱柱．②棱柱的分类：a．按侧棱与底面位置关系：b．按底面多边形的边数：三棱柱、四棱柱、……③特殊的四棱柱：四棱柱——平行六面体——直平行六面体——长方体——正四棱柱——正方体．④棱柱的性质：侧棱都相等，侧面都是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面都是矩形．(4)棱锥．①棱锥的概念：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形越些面围成的几何体叫做棱锥；如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面上的射影是底面的中心，这样的棱锥为正棱锥．②棱锥的性质：棱锥的一般性质：平行于底面的截面与底面相似，面积比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高媳比的平方．正棱锥的性质：侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；正棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影构成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱和斜高在底面的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形．(5)棱台，①棱台的概念：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．②正棱台的性质：侧面是全等的等腰梯形，斜高相等；正棱台的高、斜高和两底面的边心距构成一个直角梯形；正棱台的高、侧棱和两底面外接圆的半径构成一个直角梯形；正棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也构成一个直角梯形．(6)圆柱、圆锥、圆台．①圆柱、圆锥、圆台的概念：分别以矩形的一边；直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台． ’ ②圆柱、圆锥、圆台的性质：轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形；平行于底面的截面都是圆．(7)球，①球面与球的概念：定义1：半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周所形成的曲面叫做球面，定义2：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合叫做球面．球面所围成的几何体叫做球体，简称球．②球的截面性质：球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 的关系为d=.22r R③两点的球面距离：在球面上，两点之间的最短连线的长度，是经过这两点的大圆在这两点之间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离．2．直观图与三视图(1)平行投影与中心投影．①平行投影：已知图形F ，直线L 与平面α相交，过F 上任一点M 作直线平行于L ，交平面α于,/M 则点/M 叫做点M 在平面α内关于直线L 的平行投影（或象）；如果图形F 上的所有点在平面α内关于直线L 的平行投影构成图形,/F 则图形/F 叫做图形，在平面α内关于直线L 的平行投影．平面α叫做投射面，L 叫做投射线．②中心投影：一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．③平行投影与中心投影的区别：平行投影和中心投影的本质区别在于：平行投影的投射线都互相平行，中心投影的投射线是由同一个点发出的，④平行投影的性质：直线或线段的平行投影是直线或线段，也可能是一个点；平行直线的平行投影是平行或重合的直线，也可能是两个点；平行于投射面的线段，它的平行投影与这条线段平行且等长；与投射面平行的平面图形，它的平行投影与这个图形全等；在同一直线或平行直线上，两条线段的平行投影的比等于这两条线段的比．(2)直观图与斜二测画法．直观图：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图，斜二测画法是一种较为简单的画直观图的方法，其规则为：①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox 、Oy ，再作Oz 轴，使.90,90 =∠=∠yOz xOz②画直观图时，把Oz Oy Ox 、、画成对应的轴、、////y O x O ,//z O 使),135(45///o o y O x 或=∠//////.90y O x z O x =∠所确定的平面表示水平平面，③已知图形中，平行于x 轴、y 轴、z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于///z y x 轴、轴、轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中，平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度变为原来的一半，⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．(3)正投影与三视图，正投影：在物体的平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影． 正投影有如下性质：垂直于投射面的直线或线段的正投影是点；垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分．三视图：选取三个两两互相垂直的平面作为投射面，一个投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个平面内的图形叫做俯视图；一个投射面放置在正前方，这个投射面叫做直立投射面，投射到这个平面内的图形叫做主视图；和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，通常把这个平面放在直立投影面的右面，投射到这个平面内的图形叫做左视图．将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图．[注意] ①正投影是作几何体三视图的根据．画三视图时，可以把垂直于投射面的视线想象成平行光线，体会可见的轮廓线． ②画出的三视图要检验是否符合“长对正，宽相等，高平齐”的基本特征．③由三视图想象几何体也要根据“长对正，宽相等，高平齐”的基本特征，想象视图中每部分对应的实物的形状，特别注意几何体中与投射面垂直或平行的线及面的位置．3.柱、锥、台、球的表面板与体积(1)柱、锥、台的表面积，①直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积．,21,/ch S ch S ==正棱锥侧直棱柱侧 .)(21//h c c S +=正棱台侧 （其中/c c 为底面周长，h 为高，/h 为斜高）②圆柱、圆锥、圆台的侧面积．,,2rl S rl S ππ==圆锥侧圆柱侧.)(/l r r S +=π圆台侧（其中r 、r /为底面半径，L 为母线长）[注意]柱体或台体的表面积等于侧面积与两个底面面积的和，锥体的表面积是侧面积与一个底面积的和．③柱、锥、台的侧面积公式的内在联系．(2)柱、锥、台的体积．①棱柱、棱锥、棱台的体积．,31,Sh V Sh V ==椎体柱体 ).(31s SS S h V ++=台体 （其中/s s 、为底面积．h 为高）②圆柱、圆锥、圆台的体积．,31,22h r V h r V ππ==圆锥圆柱 ⋅++=)3122r r h V ππ（圆台 （其中/r r 、为底面半径．h 为高）[注意] a ．计算多面体体积的基础仍是多面体中一些主要线段的关系，要求概念清楚，点、线、面的位置关系要明确，关键是正确计算其底面面积和相应的高．b ．在计算多面体体积时要注意“割补法”和“等积变换”的应用，③柱、锥、台的体积公式的内在联系．(3)球的表面积与体积．.34,4S 32R V R ππ==球球 （其中R 为球的半径）4．平面的基本性质(1)性质．公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．公理2：过不在一条直线上的三点 ，有且只有一个平面，公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理2的三个推论：推论1：过直线和直线外一点，有且只有一个平面．推论2：过两条相交直线，有且只有一个平面，推论3：过两条平行直线，有且只有一个平面．(2)性质的应用．①公理1是判定直线是否在平面内的依据，运用公理1可判定直线是否在莱一平面内．②公理2及其推论是确定平面的依据，确定一个平面，包括两层意思：a ．存在一个平面．b ．只有一个平面，公理2及其三个推论是四个等价命题．③公理3是确定两个平面相交于一条直线的依据，运用公理3可判定多点共线或点在线上．5．空间中的平行关系(1)平行线的传递性，公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．(2)直线与平面平行的判定与性质判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.性质定理：一条直线与一个平面平行：则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行．(3)平面与平面平行的判定与性质．判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．性质定理：两个 平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线互相平行．6．空间中的垂直关系(1)直线与平面垂直的判定与性质．判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与平面垂直．性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行．(2)平面与 平面垂直的判定与性质．判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，三、单元能力整合1．规律总结(1)对于多面体的结构特征，要从其反映的几何体的本质去把握，棱柱、棱锥、棱台是不同的多面体，但它们也有联系，棱柱可以看成是上、下底面全等的棱台；棱锥又可以看作是一底面缩为一点的棱台，因此它们的侧面积和体积公式可统一为一个公式．(2)旋转体是一个平面封闭图形绕一个轴旋转而成的，一定要弄清楚圆柱、圆锥、圆台、球分别是由哪一种平面图形旋转而成的，从而掌握旋转体中各元素间的关系，也就掌握了它们各自的性质．(3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式法为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．(4)三视图和直观图是空问几何体的不同表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图也可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化．(5)平面性质的应用①证明共面问题．证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合，②证明三点共线问题．证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三点是两个平面的公共点，当然必定在两个平面的交线上．③证明三线头点问题，证明空间三线共点问题，可先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这个点，把问题转化为证明点在直线上的问题．(6)证明直线和平面平行的方法．①定义：;//ααa a⇒∅=ααα////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄③面面平行的性质：βαβα////a a ⇒⋅⎭⎬⎫⊂ (7)证明直线与直线平行的方法．①平行的传递性：;////,//c a c b b a ⇒②直线与平面平行的性质：b a b a a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=βαβα③直线与平面垂直的性质： b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα ④ 平面与平面平行的性质：b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα(8)证明平面与平面平行的方法．①定义：;//|,βαωβαJ ∅=②判定定理1：βαββαα////,//,⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂⊂b a p b a b a③判定定理2：βαββαα////,//,,,⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⊂⊂⊂⊂d b c a Q d c p b a d c b a ④直线与平面垂直的性质：.//βαβα⇒⎭⎬⎫⊥⊥l l (9)证明直线与平面垂直的方法．①线面垂直的定义：a 与α内的任何直线都垂直;α⊥⇒aαα⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥=⊂l n l m l A n m n m ,, 、 ③判定定理2：;//αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a ④面面平行的性质：;//βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a ⑤面面垂直的性质：βαβαβα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊥⊂=⊥a l a a l (10)证明线线垂直的方法．①定义：两条直线所成的角为;90②平面几何中证明线线垂直的方法；③线面垂直的性质： b a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα (11)证明两个平面垂直的方法．判定定理：βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥a a (12)平行关系与垂直关系的转化．(13)空间中距离的求法一般都归结为点到点、点到线、点到面的距离来求．①点到直线或平面的距离是最常见的问题，求解的关键是正确作出图形，确定垂足的位置，应充分利用图形的性质，例如：点到平面的距离，有时要利用两个平面垂直的性质，在其中一个平面内作出两平面交线的垂线即可，要注意引垂线的随意性，②注意各种距离之间的相互转化，“等积”求法及“平行移动”的思想方法．③求距离的一般步骤：a ．找出或作出有关的距离；b ．证明它符合定义：c ．放置到某个三角形中求解．(14)平面图形的翻折问题．①将平面图形沿直线翻折成立体图形，实际上是以该直线为轴的一个旋转．通过对翻折问题的研究，进一步培养空间想象能力．②求解翻折问题的基本方法：先比较翻折前后的图形，弄清哪些量和位置关系在翻折过程中不变，哪些已发生变化，然后将不变的条件集中到立体图形中，将问题归结为一个条件与结论均明朗化的立体几何问题，③把平面图形翻折成空间图形的有关计算问题，必须抓住在翻折过程中点、线、面之间的位置关系和数量关系中，哪些是变量，哪些是不变量，特别要抓住不变量，一般地，在同一个半平面内的几何元素之间的关系是不变的，涉及两个半平面的几何元素之间的关系是变化的，2．方法技巧(1)简单的空间几何体的结构特征及平面表示．简单空间几何体是指棱柱、棱锥、棱台及圆柱、圆锥、圆台、球及其简易组合．要求认识其结构特征，特别是从运动的观点认识其形成过程，能根据正投影的定义画出它们的三视图或识别三视图表示的立体模型，会用斜二测画法画出其直观图．[例1]关于棱柱的特征叙述正确的是____（把所有正确的序号都填上）．①两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行；②侧面是平行四边形；③面数最少的棱柱是一个五面体；④任何两条侧棱平行且相等；⑤长方体是一个四棱柱，它的三视图是三个矩形；⑥长方体1111D C B A ABCD -一定是由矩形ABCD 平移得到的．[解析] ⑤中，只有把一个侧面作为正前方时，其三视图才是3个矩形；⑥中，长方体的侧面矩形都可以平移形成这个长方体． ∴ 应填①②③④．[答案]①②③④[点拨] 准确掌握棱柱定义中的平移及三视图是解题的关键．[例2] 如图1-3所示，有矩形ABCD 与直线l BC AB AB l l ,1,2,//,==与AB 的距离为l ，将矩形ABCD 绕着直线L 旋转一周，试画出这个几何体的直观图、三视图（取与轴垂直的一个方向为正前方）．[答案] 所得几何体是一个圆柱，再在中间挖去一个以原轴线为轴的圆柱，因为矩形ABCD 的边AB 、CD 绕Z 旋转一周所得的几何体都是圆柱，因此矩形ABCD 绕L 旋转一周后所得的几何体从外观观察是一个大圆柱，从上部看，它的内部被挖去了一个小圆柱，如图1 -4(1)所示．上述组合体的主视图和左视图都是矩形且有两条不可见的轮廓线，其俯视图是两个同心圆包含圆心（直线的俯视图是一个点）．(2)空间中的线线旗面、面面的平行与垂直关系．立体几何中的线面关系指的就是直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系，要熟练掌握它们之间的转化关系．[例3] 对于四面体A- BCD ，给出下列四个命题：①若,,CD BD AC AB ==则;AD BC ⊥②若==AC CD AB ,,BD 则;AD BC ⊥③若,,CD BD AC AB ⊥⊥则;AD BC ⊥④若⊥AB ,,AC BD CD ⊥则.AD BC ⊥其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）[解析] 对于命题①，如图1 -5(1)，取BC 的中点E ，连接,,,DE BC AE BC DE AE ⊥⊥则、 .AD BC ⊥∴对于命题④，如图1-5(2)，过A 向平面BCD 作垂线AO ，连接BO 与CD 交于E ．则,BE CD ⊥ 同理O BD CF ∴⊥,为△BCD 的垂心．连接DO ．则⊥BC ,DO 又.,AD BC AO BC ⊥∴⊥[答案] ①④[例4] 如图1-6所示，几何体ABCDE 中，△ABC 是正三角形，EA 和DC 都垂直于平面ABC ．且==AB EA G F a DC a 、,,2=分别为EB 和AB 的中点．(1)求证：FD ∥平面ABC ；(2)求证：.BD AF ⊥[解析] 利用线面平行判定定理及线面垂直性质定理．[答案] (1) ∵ F 、G 分别为EB 、AB 的中点，21.21===∴a CD EA FG ,EA 又DC EA 、都垂直于平面ABC ．故∴,//DC FG 四边形FGCD 为平行四边形，.//GC FD ∴又⊂GC 平面⋅⊂/FD ABC ,平面,ABC//FD ∴平面.ABC,)2(EA AB = 且F 为EB 中点，,①EB AF ⊥∴又,//EA FG 且⊥EA 平面⊥∴FG ABC ,平面G ABC .为等边三角形ABC 中AB 边的中点，⊥∴⊥∴⋅GC GC AG 平面,,GC AF AFG ⊥∴又//FD .,②FD AF GC ⊥∴由①②知⊥AF 平面⊂BD EBD 又,平面,EBD .BD AF ⊥∴[例5] 如图1 -7所示，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1．P 、Q 分别是线段1AD 和BD 上的点，且:1P D .12:5:==QB DQ PA (1)求证：//PQ 正面;11C CDD (2)求证：;AD PQ ⊥(3)求线段PQ 的长．[解析] 结合勾股定理及相应的平行、垂直的知识证明及求解．[答案] (1)在平面1AD 内，作AD PP //1与1DD 交于点,1P 在平面AC 内，作BC QQ //1交CD 于点,1Q 连接⋅11Q P ,1251==QB DQ PA P D //,,//1PP BC AD BC AD ∴=1QQ 由四边形11P PQQ 为平行四边形，知 ,//11Q P PQ 而⊂11Q P 平面,11C CDD ⋅⊂/PQ 平面,11C CDD 所以//PQ 平面⋅11C CDD ⊥AD )2(平面,,1111Q P AD DCC D ⊥∴又,//11Q P PQ ⋅.AD PQ ⊥∴(3)由(1)知,125,//1111==QB DQ C Q DQ PQ Q P 而棱长.1=CD ⋅=∴1751DQ 同理求得⋅=17121D P 在11DQ P Rt ∆中，应用勾股定理，得,1713)175()1712(22212111=+=+=DQ D P Q P 即⋅=1713PQ (3)反证法．在数学上，证明一个命题不是直接去证明命题的结论，而是从反面考虑，先提出与结论相反的假设，然后推导出与假设相矛盾的结果，说明假设不成立，肯定原结论是正确的，这种从反面考虑，从而证明命题的方法，常常能出奇制胜，达到证明的目的，反证法在社会实践和数学各个领域中都有着广泛的应用，它还是创造发明的一种工具，例如无理数和非欧几何的发展都得益于反证法，反证法在立体几何中用得较多，教材中的很多定理都是用反证法来证明的，具体地说，反证法可用来证明以下问题：①证明否定型命题；②证明唯一性命题；③证明平行；④证明相交；（勖证明线在面内；⑥证明“至多”“至少”问题等．【例6】 两条相交直线可以确定一个平面，已知：直线a 、b 相交于一点0．求证：a 、b 确定一个平面．[答案] 如图1-8所示，(1)存在性．在直线a 上，在交点0外另取一点A ．过点A 、直线6有一个平面，设为m∵ 点O 、A 都在平面α 内，又都在直线a 上．∴ a α⊂（公理1），∴ 过a 、b 有一个平面α.(2)唯一性（用反证法）．若过a 、b 不只有一个平面，设还有一个平面β也过a 、b ．.,.,,ααββ∈∴⊂∈∴∈⊂A a A a A a 又∴ A 同时在平面α、β内．又∵ ,,βα⊂⊂⋅b b这样，b 与其外一点A 就同在两个平面α、β内，这和推论1相矛盾．∴ 过a 、b 只能有一个平面． (4)截面问题．一个平面与几何体相交所得的几何图形（包括边界及内部）叫做几何体的截面，截面的边界叫做截线（或交线）．如果一个平面和一个多面体相交，那么截面是一个平面多边形，这个多边形的边是平面与多面体的交线，因此n 面体的截面多边形的边数最多是n ，最少是3．常见的截面有：对角面、轴截面、直截面、平行于底面的截面以及其他具有某种特性的截面（如平行或垂直于棱，规定角度的截面，以及经过某几个已知点的截面等）．在解有关截面问题时要注意： ①截面的位置；②截面的形状及有关性质； ③截面的元素及其相互关系； ④截面的有关数量；⑤截面能反映几何体的内部结构，截面上可集中几何体的主要元素，反映它们之间的内在联系，是研究几何体的必由之路.常常可以利用截面把几何体中的元素集中到平面图形中来，利用降维的思想实现空间问题向平面问题的转化.根据课程标准和考试大纲的要求，我们研究一些基本的截面．[例7] 求证平行于三棱锥两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形． [解析] 可按思路：线面平行一线线平行一平行四边形的定义进行证明．[答案] 已知：如图1-9所示，三棱锥//,SC ABC S -截面//,AB HF 截面.HF求证：截面EFGH 是平行四边形.证明：//SC 截面⊂SC HF ,平面,ASC 且平面 ASC 平面.HG HF =由线面平行的性质定理得.//HG SC 同理可证,//EF SC .//EF HG ∴ 同理可证.//GF HE∴ 四边形EFGH 是平行四边形，思考1：若三棱锥S -ABC 中的对棱,AB SC ⊥截面EFGH 是什么四边形？因为,AB SC ⊥所以,90=∠GHE 故四边形EFGH 矩形．思考2：若三棱锥ABC S -中，E 、F 、G 、H 分别为、SA SB BC CA 的中点，且,AB SC =截面EFGH什么四边形？因为由此条件可以得到,HE GH FG EF ===所以四边形EFGH 为菱形，思考3：若三棱锥ABC S -中，E 、F 、G 、H 分别为、、、SA SB BC CA 的中点，AB SC =且,AB SC ⊥ 截面EFGH 是什么四边形？因为由E 、F 、G 、H 分别为CA SA SB BC 、、、的中点，且=SC ,AB 可得,HE GH FG EF === 所以四边形EFGH 为菱形，又,AB SC ⊥故,90 =∠GHE所以四边形EFGH 为正方形．思考4：此平行四边形EFCH 取在什么位置时它的面积最大？[点拨] 同学们平时解题时，每当解完一个问题，你是就此“完成一件大事”，还是像解本题这样，进行再思考呢？对我们学习的知识和问题，进行更深一步的思索研究，是良好的学习品质的具体体现，是生动、主动学习的具体做法，是培养我们数学能力的具体措施，同学们应坚持做下去，一定大有收获．[例8] 如图1- 10所示，已知正三棱锥 S - ABC ，过B 和侧棱SA 、SC 的中点E 、F 作一截面，若这个截面与侧面SAC 垂直，，求此三棱锥的侧面积与底面积之比．[解析] 通过截面与侧面垂直，寻找斜高与底面边长的关系，找出两者的关系后，问题就可解决．[答案] 取AC 的中点M ，连接SM.设,D EF SM= 连接BD.在△SAC 中，E 、F 分别为SA 、SC 的中点，DMSDFC SF AC EF =∴⋅//而.,DM SD FC SF =∴= ∴ D 为SM 的中点． ∵ S -ABC 为正三棱锥， ∴ △SAC 为等腰三角形．.AC SM ⊥∴而.,//EF SM EF AC ⊥∴又截面⊥BEF 侧面⊥∴SM SAC ,平面.BEF,S .S DM SD BD M =⊥∴又∴ △SBM 为等腰三角形，.BM SB =∴ 设正三棱锥ABC S -的底面边长为利a 则,23a BM = 从而.23a BM SC SB SA ====又,22)2()23(2222a a a CM sc SM =-=-=,43,42322.32122a S a a a S ==⋅=∴底侧.1:6:=∴底侧S S(5)折叠问题，平面图形的翻折是一类常见问题，解这类问题时要注意对翻折前后线线、线面位置关系，所成角及距离加以比较，找出变量与不变量，一般地，位于折线同侧的元素相对位置关系和数量关系在翻折前后不发生变化．不变量可结合原图形求证；变量应在折后的立体图形中求证．立体图形与平面图形相对照，分析、计算各量间的关系，即空间问题转化为平面问题，解决有关折叠问题时首先要解决好两个问题：①如何正确画出图形，这是解题的前提条件；②平面图形折叠成立体图形后，需要判断哪些量没有变，哪 些量发生了变化，这是解题的关键．[例9] 如图1- 11所示，△ACD 和△ABC 都是直角三角形，,30,=∠=CAD BC AB 把△ABC 沿AC 边折起，使△ABC 所在的平面与△ACD 所在的平面垂直，若,6=AB 求点C 到平面ABD 的距离．[答案] ∵ 平面ABC ⊥平面ACD ，且交线为⊂DC AC ,平面,,AC DC ACD ⊥⊥∴DC 平面.,AB DC ABC ⊥∴,,,C DC BC DC AB BC AB =⊥⊥ .BCD AB 平面⊥∴,BCD ABD 平面平面⊥⋅∴且交线为BD.过C 作,..H BD CH 于⊥ 则.ABD CH 平面⊥,90,6o ABC BC AB =∠==,32=∴AC在Rt △ACD 中，.2333230tan =⨯=⋅=o AC CD 在Rt △BCD 中，.104622=+=+=DC BC BD⋅=⋅=∴5152BDDC BC CH∴ C 点到平面ABD 的距离为⋅5152(6)函数的思想．立体几何在现实生活中有着广泛的应用，如空间距离的测量问题，用料最省问题，航程问题等． [例10] 从北京（靠近北纬40东经,120 以下经、纬度均取近似值）飞往南非首都约翰内斯堡（南纬、 30东经),30 有两条航空线可供选择：甲航空线：从北京沿纬度弧向西飞到土耳其首都安卡拉（北纬、o 40东经),30o 然后向南飞到目的地， 乙航空线：从北京向南飞到澳大利亚的帕斯（南纬、 30东经),120o 然后向西飞到目的地．请问：哪一条航空线较短？（地球视为半径km R 6370=的球）[答案] 把北京、约翰内斯堡、安卡拉、帕斯分别看作球面上的A 、B 、C 、D 四点（如图1 - 12所示），则甲航程为A 、C 两地间的纬线长 AC 与C 、B 两地间的球面距离BC 之和，乙航程是A 、D 两地间的球面距离AD 与D 、B 两地间的纬线长之和．设球心为21,O O O 、分别是北纬 40圆与南纬o30圆的圆心，则 ,903012021o o B DO C AO =-=∠=∠从而 ,40cos 221R C O AC ππ=⋅=,4330cos 222R R B O BD πππ==⋅=,187180)3040(360.2R R COB R CB o πππ=⋅+=∠=,187180).3040(360.2R R AOD R AD πππ=+=∠=故甲航程为 .18740s 21R Rco CB AC s oππ+=+=乙航程为 .187432R R BD AD s ππ+=+= 由,S ,.30cos 40cos 21<<S oo知所以甲航空线较短．。

§1.1空间几何体1．1.1构成空间几何体的基本元素【学习要求】1．了解空间中点、线、面、体之间的关系．2．了解轨迹和图形的关系．3．初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系．【学法指导】通过探究点、线、面之间的相互关系，掌握文字语言、符号语言、图示语言之间的相互转化；通过用集合论的观点和运动的观点讨论点、线、面、体之间的相互关系，培养从多角度、多方面观察和分析问题的能力.填一填：知识要点、记下疑难点1．如果只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，则这个空间部分就是一个几何体．2．长方体由六个矩形围成，围成长方体的各个矩形叫做长方体的面；相邻两个面的公共边叫做长方体的棱；棱和棱的公共点叫做长方体的顶点；长方体有 12 条棱， 8 个顶点．3．构成几何体的基本元素：点、线、面．研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如果我们只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．那么构成几何体的基本元素有哪些？这些元素之间有怎样的关系？探究点一构成几何体的基本元素问题1平面几何研究的主要对象是什么？构成平面图形的基本元素是什么？答：平面图形；点与直线．问题2构成几何体的基本元素是什么？答：点、线、面．探究点二平面及其表示法问题1我们说平面图形是指由同一平面的点、线组成的图形，我们通常把平面这个词挂在嘴边，可什么叫平面呢？数学中怎样理解平面呢？如何表示平面？答：平面是从诸如桌面、墙壁、黑板面等现实的物理世界中抽象出来的．平面是处处平直的面，在立体几何中，平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面，并把它想象成是无限延展的．问题2立体几何中，通常．．画平行四边形表示平面，那么对画出的平行四边形有怎样的要求？答：(1)画的平行四边形表示的是整个平面；(2)加“通常．．”二字的意思是因为有时根据需要也可以用其他平面图形来表示平面：如用三角形、矩形、圆等；(3)画图表示平面的平行四边形时，通常将其画成长边是短边的2倍．问题3平面怎样命名？答：平面一般用一个希腊字母α，β，γ，…来命名，还可用表示它的平行四边形的对角顶点的字母来命名，例如平面α，β，平面ABCD或平面AC等．问题4从集合的角度来看，点、线、面、体之间有怎样的相互关系？答：点是元素，直线是点的集合，平面是点的集合，直线是平面的子集．问题5从运动学的角度解释点、线、面、体之间的相互关系是怎样的？答：(1)点运动成直线和曲线；(2)直线有两种运动方式：平行移动和绕点转动．平行移动形成平面和曲面；绕点转动形成平面和曲面；(3)面运动成体．探究点三点、线、面之间的位置关系问题1如何用运动观点来理解空间基本图形之间的关系呢？答：(1)在几何中，可以将线看成点运动的轨迹，如果点运动的方向始终不变，那么它的轨迹就是一条直线或线段；如果点运动的方向时刻在变化，则运动的轨迹是一条曲线或曲线的一段．同样，一条线运动的轨迹可以是一个面，面运动的轨迹(经过空间的部分)可以形成一个几何体．(2)直线平行移动，可以形成平面或曲面，也就是说曲面可以包含直线；直线绕定点转动，可以形成锥面．问题2点和线有怎样的位置关系？直线与直线有怎样的位置关系？答：点在线上或点在线外．平行，相交，既不平行也不相交．问题3直线和平面有怎样的位置关系？平面和平面有怎样的位置关系？答：在平面内，平行，相交．平行，相交．问题4怎样说明直线和平面平行？怎样说明直线与平面垂直？答：直线和平面没有公共点，我们说直线和平面平行．如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线与平面垂直．问题5怎样说明两个平面平行？如何说明两个平面互相垂直？答：如果两个平面没有公共点，则说这两个平面平行．如果两个平面相交，并且其中一个平面通过另一个平面的一条垂线，我们说这两个平面互相垂直．例1如图所示，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中：(1)与直线B′C′平行的平面有哪几个？(2)与直线B′C′垂直的平面有哪几个？(3)与平面BC′平行的平面有哪几个？(4)与平面BC′垂直的平面有哪几个？(5)平面AC与平面A′C′间的距离可以用哪些线段来表示？解：(1)有平面ADD′A′与平面ABCD；(2)有平面ABB′A′、平面CDD′C′；(3)有平面ADD′A′；(4)有平面ABB′A′、平面CDD′C′、平面A′B′C′D′与平面ABCD；(5)可用线段AA′，BB′，CC′，DD′来表示．小结：如果直线AA′垂直于平面ABCD的两条相交直线，我们说直线AA′就垂直于平面ABCD，A为垂足，记作直线AA′⊥平面AC，直线AA′称为平面AC的垂线，平面AC称作直线AA′的垂面．线段AA′为点A′到平面AC 内的点所连线段中最短的一条，线段AA′的长称作点A′到平面AC的距离．跟踪训练1判断以下说法的正误：(1)长方体是由六个平面围成的几何体；(2)长方体ABCD—A′B′C′D′可以看作矩形ABCD上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形A′B′C′D′所形成的几何体；(3)长方体一个面内的所有点到其对面的距离都相等．解：(1)错误．因为长方体由六个矩形(包括它的内部)围成，注意“平面”与“矩形”的本质区别．(2)正确．(3)正确．例2判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)平面的形状是平行四边形；(2)任何一个平面图形都是一个平面；(3)圆和平面多边形都可以表示平面；(4)若S▱ABCD>S▱A′B′C′D′，则平面ABCD大于平面A′B′C′D′；(5)用平行四边形表示平面时，平行四边形的四边是这一平面的边界．解：(1)不正确．平行四边形只是平面的一种表示方式，它不能延展，而平面能无限延展，平面没有确定的形状；(2)不正确．任何一个平面图形，如点、线都不是平面；角、圆、多边形等都是平面的一部分，而不是平面；(3)正确．这样的图形可以表示平面，点、线这样的平面图形是平面的基本元素；(4)不正确．平面是不可度量的，不涉及大小；(5)不正确．平面是无限延展的，无边界．小结：本题主要考查平面的特征等基础知识以及空间想象能力．跟踪训练2下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m，宽是20 m；④平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：平面无大小、无厚度、无边际，所以只有④是正确的．练一练：当堂检测、目标达成落实处1．下列关于平面的说法正确的是()A．平行四边形是一个平面B．平面是有厚薄的C．平面是有边界线的D．平面是无限延展的解析：平面可以用平行四边形来表示，但平行四边形并不是一个平面．由于平面是无限延展的，故选D.2．下列说法正确的是()A．在空间中，一个点运动成直线B．在空间中，直线平行移动形成平面C．在空间中，直线绕该直线上的定点转动形成平面或锥面D．在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体解析：一个点运动也可以成曲线，故A错；在空间中，直线平行移动可以形成平面或曲面，故B错；在空间中，矩形上各点沿铅垂线向上(或向下)移动相同距离所形成的几何体是长方体，故D错．3．以下结论中不正确的是()A．平面上一定有直线B．平面上一定有曲线C．曲面上一定无直线D．曲面上一定有曲线解析：由于直线平行移动可以形成平面或曲面，所以曲面上不一定无直线，故C不正确．课堂小结：1．点、线、面是构成几何体的基本元素．2．平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面．3．平面的记法(1)平面一般用希腊字母α、β、γ…来命名；(2)平面图形顶点法．4．认识空间中的点、直线和平面之间的位置关系，我们可以动手制作一些模型或画出图形，来帮助我们理解和提高空间想象能力．。