集合典型例题(含解析)

专题02 集合中的典型题（2）（满分120分时间：60分钟）班级姓名得分一、选择题：1.若集合A={(x,y)|x2−2x=0，y∈R}，B={(x,y)|y2=2x}，则A∩B中元素的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 42.集合M={y|y=8x+3,x，y∈N}的元素个数是()A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个3.已知集合P={x|y=√x+1}，集合Q={y|y=√x+1}，则P与Q的关系是()A. P=QB. P⊆QC. P⊇QD. P∩Q=ϕ4.已知集合M={x∈N|−2≤x<4},N={x|x+13−x≥0}，则集合M⋂N中的元素的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 45.设P={x|y=x2},Q={(x,y)|y=x2}，则P,Q的关系是()A. P⊆QB. P⊇QC. P=QD. P∩Q=⌀6.已知集合A=(1,3)，集合B={x|2m<x<1−m}.若A∩B=⌀，则实数m的取值范围是()A. 32⩽m <13B. m⩾0C. m⩾32D. 32<m<13二、多选题7.设全集U是实数集R，则图中阴影部分的集合表示正确的是()A. M∩∁U NB. N∩∁U MC.D.8.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=⌀，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M,N)为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是()A. M={x|x<0},N={x|x>0}是一个戴德金分割B. M没有最大元素，N有一个最小元素C. M有一个最大元素，N有一个最小元素D. M没有最大元素，N也没有最小元素9.给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a+b∈M，且a−b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是A. 集合M={−4,−2,0,2,4}为闭集合B. 正整数集是闭集合C. 集合M={n|n=3k,k∈Z}为闭集合D. 若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合三、单空题10.设集合A={x|2<x<3},B={x|x>a}，若A⋃B=B，则实数a的取值范围为________．11.已知集合A={x|−2⩽x⩽7}，B=x|m+1<x<2m−1.若B⊆A，则实数m的取值范围是．12.已知集合A={x|0<x<2}，集合B={x|−1<x<1}，集合C={x|mx+1>0}，若(A∪B)⊆C，则实数m的取值范围是_________．13.已知集合A={0,1},B={a2,2a}，其中a∈R，我们把集合{x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B}记作A∗B，若集合A∗B中的最大元素是2a+1，则a的取值范围是．四、解答题14.已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|log2x>1}．(1)求A⋃∁R B；(2)已知集合C={x|1<x<a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．15.全集U=R，A={x∈R|a+1+x>0}，不等式组{2x+1≥x−3,的解集为B．3x+2<0(1)若a=1，求A⋂B，(∁U B)∪A；(2)要使集合A中的每一个x值至少满足不等式“1<x<3”，和“x>4或x<2”中的一个，求a的集合．16.已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1},Q={x|1≤2x+5≤15}，(1)已知a=3，求(C R P)∩Q(2)若P∪Q=Q，求实数a的取值范围．17.已知集合A={x|a≤x≤a+9}，B={x|8−b<x<b}，M={x|x<−1，或x>5}，(1)若A∪M=R，求实数a的取值范围；(2)若B∪(∁R M)=B，求实数b的取值范围．专题02 集合中的典型题（2）（满分120分时间：60分钟）班级姓名得分一、选择题：1.若集合A={(x,y)|x2−2x=0，y∈R}，B={(x,y)|y2=2x}，则A∩B中元素的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】本题考查了交集及其运算，集合中元素的个数问题，考查学生的计算能力根据题意可知A={(x,y)|x=0或x=2，y∈R}，再根据交集的定义即可得A∩B，从而即可得A∩B中元素的个数．【解答】解：∵集合A={(x,y)|x2−2x=0，y∈R}，∴A={(x,y)|x=0或x=2，y∈R}，又∵B={(x,y)|y2=2x}，所以A∩B={(0,0)，(2,2)，(2,−2)}，故选C．,x，y∈N}的元素个数是()2.集合M={y|y=8x+3A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个【答案】A【解析】【分析】本题考查了集合中元素的个数，考查了用赋值法分析和解决问题根据题中给出的条件，x，y∈N，分别从最小的自然数0开始给x代值，求相应的y的值，直到得出的y<1为止，求出y∈N的个数．【解答】,x，y∈N}，解：因为M={y|y=8x+3∉N；所以，当x=0时，y=83=2∈N；当x=1时，y=81+3当x=2时，y=82+3=85∉N；当x=3时，y=83+3=43∉N；当x=4时，y=84+3=87∉N；当x=5时，y=85+3=1∈N；当x≥6时，y=8x+3<1，所以y∉N．综上，M={y|y=8x+3,x，y∈N}={2，1}，元素个数是2个，故选A．3.已知集合P={x|y=√x+1}，集合Q={y|y=√x+1}，则P与Q的关系是()A. P=QB. P⊆QC. P⊇QD. P∩Q=ϕ【答案】C【解析】【分析】根据题意，分析可得P={x|x≥−1}，Q={x|x≥0}，结合集合子集的定义，分析可得答案．本题考查集合的表示方法．关键是注意到集合P、Q的不同意义．【解答】解：根据题意，集合P{x|y=√x+1}表示函数y=√x+1√x+1的定义域，即P={x|x≥−1}集合Q表示函数y=√x+1的值域，即Q={x|x≥0}分析可得Q是P的子集，即P⊇Q；故选：C．4.已知集合M={x∈N|−2≤x<4},N={x|x+13−x≥0}，则集合M⋂N中的元素的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】本题考查了交集及其运算，元素的个数问题，属于基础题.根据题意，求出集合M与N，进而可得由交集的定义可得M∩N，即可得答案．【解答】解： 根据题意，M ={x ∈N|−2⩽x <4}={0,1,2,3}，N ={x ∣x+13−x ⩾0}={x|−1⩽x <3}，则M ∩N ={0,1,2}，则集合M ∩N 中元素中有3个元素；故选：C ．5. 设P ={x|y =x 2},Q ={(x,y)|y =x 2}，则P,Q 的关系是( )A. P ⊆QB. P ⊇QC. P =QD. P ∩Q =⌀【答案】D【解析】【分析】 本题考查集合的表示法、判断集合间的关系，利用集合的表示方法；判断出两个集合的元素一个是有数构成的，一个是由点构成的，判断出选项．【解答】解：集合P 表示y =x 2定义域，是实数集，集合Q 表示曲线y =x 2上的点，是点集，集合P 与集合Q 的元素不同，所以P ∩Q =⌀，故选D ．6. 已知集合A =(1,3)，集合B ={x|2m <x <1−m}.若A ∩B =⌀，则实数m 的取值范围是( )A. 32⩽m <13B. m ⩾0C. m ⩾32D. 32<m <13 【答案】B【解析】【分析】 本题考查集合的包含关系判断与应用，交集及其运算等基础知识，分类讨论m 的取值，得出使A ∩B =Ø成立时m 的取值范围．【解答】解：由A ∩B =Ø，得：①若2m ≥1−m ，即m ≥13时，B =Ø，符合题意；②若2m <1−m ，即m <13时，需{m <131−m ≤1或{m <132m ≥3,得0≤m<1，或Ø，3，即0≤m<13∴m≥0，∴实数m的取值范围m≥0．故选B．二、多选题7.设全集U是实数集R，则图中阴影部分的集合表示正确的是()A. M∩∁U NB. N∩∁U MC.D.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查集合的运算及Venn图表达集合的关系及运算．由Venn图结合集合运算，逐一判断求解即可．【解答】解：全集U是实数集R，则图中阴影部分的集合表示正确的是N∩∁U M或∁M∪N M或∁N(M∩N)，故BCD正确，而M∩∁U N⊆M，所以A错误．故选BCD．8.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=⌀，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M,N)为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是()A. M={x|x<0},N={x|x>0}是一个戴德金分割B. M没有最大元素，N有一个最小元素C. M有一个最大元素，N有一个最小元素D. M没有最大元素，N也没有最小元素【答案】BD【解析】【分析】本题是以集合为背景的创新题型，考查集合中交集和并集的定义，集合中元素的性质，由题意知，作为有理数集Q的两个子集：集合M与集合N，易判断它们中有无最大元素和最小元素．【解答】解：M={x|x<0},N={x|x>0}，M∪N≠Q不是戴德金分割，A错误；M={x|x<10,x∈Q}，N={x|x≥10,x∈Q}，显然集合M中没有最大元素，集合N中有一个最小元素，即选项B可能;假设答案C可能，即集合M、N中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的，M={x|x<√2,x∈Q}，N={x|x≥√2,x∈Q}，显然集合M中没有最大元素，集合N中也没有最小元素，即选项D可能．故选BD．9.给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a+b∈M，且a−b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是A. 集合M={−4,−2,0,2,4}为闭集合B. 正整数集是闭集合C. 集合M={n|n=3k,k∈Z}为闭集合D. 若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合【答案】ABD【解析】【分析】本题考查集合中的新定义问题，考查分析问题、解决问题的能力，根据集合M为闭集合的定义，对选项进行逐一判断，可得出答案．【解答】解：A.当集合M={−4,−2,0,2,4}时，2,4∈M，而2+4∉M，所以集合M不为闭集合．B.设a,b是任意的两个正整数，则a+b∈M，但a−b不一定属于M，所以正整数集不为闭集合．C.当M={n|n=3k,k∈Z}时，设a=3k1,b=3k2,k1,k2∈Z，则a+b=3(k1+k2)∈M，a−b=3(k1−k2)∈M，所以集合M是闭集合．D.设A1={n|n=3k,k∈Z}，A2={n|n=2k,k∈Z}由C可知，集合A1，A2为闭集合，2,3∈(A1∪A2)，而(2+3)∉(A1∪A2)，此时A1∪A2不为闭集合．所以说法中不正确的是ABD．故选ABD．三、单空题10.设集合A={x|2<x<3},B={x|x>a}，若A⋃B=B，则实数a的取值范围为________．【答案】a≤2【解析】【分析】本题考查集合的并集运算，直接由并集的定义求解即可．【解答】解：因为A∪B=B，所以A⊆B，所以a≤2．故答案为a≤2．11.已知集合A={x|−2⩽x⩽7}，B=x|m+1<x<2m−1.若B⊆A，则实数m的取值范围是．【答案】(−∞,4]【解析】【分析】本题考查子集与真子集，集合关系中的参数取值问题，考查分类讨论思想，按B =⌀和B ≠⌀讨论即可求得实数m 的取值范围．【解答】解：∵A ={x|−2⩽x ⩽7}，B ={x|m +1<x <2m −1}，当m +1≥2m −1，即m ≤2时，B =⌀⊆A ，符合题意，当m +1<2m −1，即m >2时，若B ⊆A ，必须{m +1≥−22m −1≤7, 解得−3≤m ≤4与m >2交得2<m ≤4，综上，实数m 的取值范围是(−∞,4]．故答案为(−∞,4]．12. 已知集合A ={x|0<x <2}，集合B ={x|−1<x <1}，集合C ={x|mx +1>0}，若(A ∪B)⊆C ，则实数m 的取值范围是_________．【答案】−12≤m ≤1【解析】【分析】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，根据集合的包含关系得到关于m 的不等式，解出即可．【解答】解：由题意可知，A ∪B =(−1,2)，集合C ={x|mx +1>0}．当m =0时，C =R ，符合题意；当m >0时，C =(−1m ,+∞)，由于(A ∪B)⊆C ，则有−1m ≤−1，解得m ≤1，结合m >0，故0<m ≤1；当m <0时，C =(−∞,−1m )，由于(A ∪B)⊆C ，则有−1m ≥2，解得m ≥−12，结合m <0，故−12≤m <0；综上，实数m 的取值范围为−12≤m ≤1． 13. 已知集合A ={0,1},B ={a 2,2a }，其中a ∈R ，我们把集合{x |x =x 1+x 2,x 1∈A,x 2∈B }记作A ∗B ，若集合A ∗B 中的最大元素是2a +1，则a 的取值范围是 ．【答案】0<a <2【解析】【分析】本题考查了集合和解不等式的知识，注意对新定义的理解．根据题意可知集合A∗B中元素，然后由2a+1为集合A∗B中的最大元素，列出不等式即可求出．【解答】解：由题意可知集合A∗B中的元素可能包含a2，2a，a2+1，2a+1，显然a2+1>a2，2a+1>2a，a2≠2a，a2+1≠2a+1，故集合A∗B中的最大元素为2a+1或a2+1，且2a+1≠a2+1．∵2a+1为集合A∗B中的最大元素，∴可列不等式2a+1>a2+1，解不等式得0<a<2，故答案为：0<a<2．四、解答题14.已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|log2x>1}．(1)求A⋃∁R B；(2)已知集合C={x|1<x<a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)∵A={x|1≤x≤3}，B={x|log2x>1}={x|x>2}，∴∁R B={x|x≤2}；∴A∪∁R B={x|x⩽3}(2)当a≤1时，C=⌀，此时C⊆A，当a>1时，C⊆A，则1<a≤3，综上所述，a的取值范围是(−∞,3]．【解析】本题考查集合交、并、补集的混合运算，集合关系中的参数取值问题，对数不等式的解法，(1)先求出集合B，再利用补集和并集的运算即可求解；(2)由(1)中集合A，结合集合C，分C=⌀和C≠Φ两种情况即可．15.全集U=R，A={x∈R|a+1+x>0}，不等式组{2x+1≥x−3,的解集为B．3x+2<0(1)若a =1，求A⋂B ，(∁U B)∪A ；(2)要使集合A 中的每一个x 值至少满足不等式“1<x <3”，和“x >4或x <2”中的一个，求a 的集合．【答案】解：(1)当a =1时，A ={x|x >−2}，B ={x|−4≤x <−23}，则A⋂B ={x|−2<x <−23}，又因为∁U B ={x|x <−4或x ≥−23}，则(∁U B )⋃A ={x|x <−4或x >−2}．(2)设集合M ={x|1<x <3}⋃{x|x >4或x <2}={x|x >4或x <3}；依题意有A ⊆M ，故−a −1≥4，解得a ≤−5．所以a 的集合为(−∞,−5]．【解析】略16. 已知集合P ={x|a +1≤x ≤2a +1},Q ={x|1≤2x +5≤15}，(1)已知a =3，求(C R P)∩Q(2)若P ∪Q =Q ，求实数a 的取值范围．【答案】解：(1)Q ={ x|−2≤ x ≤ 5}，当a =3，P ={x|4⩽x ⩽7}，∴∁R P ={x|x <4或x >7}，∴(∁R P)∩Q ={x|x <4或x >7}∩{x|−2⩽x ⩽5}={x|−2⩽x <4}．(2)若P ∪Q =Q ，则P ⊆Q ，①当P =ϕ时，满足P ⊆Q ，有2a +1<a +1，即a <0；②当P ≠ϕ时，满足P ⊆Q ，则有{2a +1⩾a +12a +1⩽5a +1⩾−2,∴0⩽a ⩽2 综上①②，实数a 的取值范围为(−∞,2]【解析】本题考查集合关系中的参数取值取值范围问题和交、并、补集的混合运算，(1)将a的值代入集合P中的不等式，确定出P，找出P的补集，求出补集与Q的交集即可；(2)根据P为Q的子集列出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可得到a的范围．17.已知集合A={x|a≤x≤a+9}，B={x|8−b<x<b}，M={x|x<−1，或x>5}，(1)若A∪M=R，求实数a的取值范围；(2)若B∪(∁R M)=B，求实数b的取值范围．【答案】解：A={x|a≤x≤a+9}，B={x|8−b<x<b}，M={x|x<−1，或x>5}，(1)当A∪M=R时，应满足{a≤−1a+9≥5，解得−4≤a≤−1，所以实数a的取值范围是{a|−4≤a≤−1}；(2)∁R M={x|−1≤x≤5}，B={x|8−b<x<b}，B∪(∁R M)=B，∴∁R M⊆B，∴{8−b<−1b>5，解得b>9；∴实数b的取值范围是b>9．【解析】(1)根据A∪M=R，得出关于a的不等式组，求出解集即可；(2)根据补集与并集的定义，列出关于b的不等式组，即可求出b的取值范围．本题考查了并集、交集与补集的定义和应用问题，。

第1课 集合的概念及运算◇考纲解读理解集合、子集、补集、交集、交集的概念．了解空集和全集的意义．了解属于、包含、相等关系的意义．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.◇知识梳理1.集合的基本概念：(1)一般地，我们把研究对象统称为_________,把一些元素组成的总体叫做________.(2)集合中的元素具有的三个特性是:____________、____________、___________.(3)集合有三种表示方法: 、 、 .还可以用区间来表示集合.(4)集合中元素与集合的关系分为______与______两种，分别用_____和_______来表示.(5)表示实数集的符号是_____;表示正实数集的符号是______;表示有理数集的符号是____; 表示整数集的符号是_____;表示自然数集的符号是_____;表示正整数集的符号是_____.2.集合间的关系:（1）若集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，则称集合A 是集合B 的__ _,记作_ _.（2）对于两个集合A,B,若___________且___________,则称集合A=B.（3）如果集合A B ⊆,但存在元素x B ∈且x A ∉,我们称集合A 是集合B 的__________,记作___________.（4）___________________叫空集,记作______,并规定:空集是任何集合的_______.3.集合的基本运算:（1）A B =_______________________.（2）A B =_______________________.（3）若已知全集U,集合A U ⊆,则U C A =________________.4.有限集的元素个数若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有_____个，真子集有_____，非空子集有_____个， 非空真子集有_____ 个．◇基础训练1. (2008韶关一模)设{}{}(,)46,(,)38A x y y x B x y y x ==-+==-，则AB =（ ） {}{}{}{}.(2,1).(2,2).(3,1).(4,2).A BCD ----2. (2007韶关二模)设全集{}，，，，，，，7654321=U ，{}16A x x x N *=≤≤∈，，则U C A=（ ）A .φB .{}7C .{}654321，，，，， D .{}7654321，，，，，， 3.（2007广州一模）如图1所示，U 是全集，A B 、是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. A B B. )A C (B UC. A BD. )B C (A U4.(2008深圳一模)设全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,2}A =，集合{2,3}B =，则()U A B =（ ）A ．∅B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4}D ．{2,3,4}◇典型例题例1． (2007佛山一模) 设全集为 R ，A =}01|{<xx ，则=A C R ( )． A ．}01|{>x x B .｛x | x ＞0｝ C .｛x | x 0≥｝ D . }01|{≥xx变式：集合{|10}A x ax =-=,{}2|320B x x x =-+=,且A B B =,求实数a 的值.例2．已知{}{}22240,2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中a R ∈， 如果A ∩B=B ，求实数a 的取值范围。

集合运算的典型例题与练习（一）集合的基本运算：说明：不等式的交、并、补集的运算，用数轴进行分析，注意端点。

例1：设U=R，A={x|-5<x<5},B={x|0≤x<7},求A∩B、A∪B、CU A 、CUB、(CU A)∩(CUB)、(CUA)∪(CUB)、CU(A∪B)、CU(A∩B)。

例2：全集U={x|x<10，x∈N+}，A⊆U，B⊆U，且（CUB）∩A={1,9}，A∩B={3}，（CU A)∩(CUB)={4,6,7}，求A、B。

说明：列举法表示的数集问题用Venn图示法、观察法（二）集合性质的运用：例3：A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x＋a2－1=0}, 若A∪B=A，求实数a的值。

说明：注意B为空集可能性；一元二次方程已知根时，用代入法、韦达定理，要注意判别式。

例4：已知集合A={x|x>6或x<-3}，B={x|a<x<a+3}，若A∪B=A，求实数a的取值范围。

（三）巩固练习：1．P={0,1}，M={x|x⊆P}，则P与M的关系是。

2．已知50名同学参加跳远和铅球两项测验，分别与格人数为40、31人，两项均不与格的为4人，那么两项都与格的为人。

3．满足关系{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5}的集合A共有个。

4．已知A={x|-2<x<-1或x>1}，A∪B={x|x＋2>0}，A∩B={x|1<x≦3}，求集合B=5．已知集合A∪B＝{x|x<8,x∈N}，A＝{1,3,5,6}，A∩B={1,5,6}，则B的子集的集合一共有多少个元素？6．已知A＝{1,2,a}，B＝{1,a2}，A∪B＝{1,2,a}，求所有可能的a值。

7．设A＝{x|x2－ax＋6＝0}，B＝{x|x2－x＋c＝0}，A∩B＝{2}，求A∪B。

8. 集合A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若A B={-2，0，1}，求p、q。

《子集、全集、补集》典型例题剖析题型1 集合关系的判断例1 指出下列各组集合之间的关系：（1）{15},{05}A xx B x x =-<<=<<∣∣； （2）{}21(1)0,,2nA x x xB x x n ⎧⎫+-=-===∈⎨⎬⎩⎭Z ∣∣；（3）{(,)0},{(,)0,00,0}A x y xy B x y x y x y =>=>><<∣∣或； （4）{}{}2*2*1,,45,A x x a a B x x a a a ==+∈==-+∈N N ∣∣.解析 （1）中集合表示不等式，可以根据范围直接判断，也可以利用数轴判断；（2）解集合A 中方程得到集合A ，再根据集合B 中n 分别为奇数、偶数得到集合B ，进行判断；（3）可以根据集合中元素的特征或者集合的几何意义判断；（4）将集合A 中x 关于a 的关系式改写成集合B 中的形式，再进行判断.答案 （1）方法一：集合B 中的元素都在集合A 中，但集合A 中有些元素（比如00.5-，）不在集合B 中，故BA .方法二：利用数轴表示集合A ，B ，如下图所示，由图可知BA .（2）{}20{0,1}A x x x =-==∣.在集合B 中，当n 为奇数时,1(1)02nx +-==，当n 为偶数时，1(1)1,{0,1},2n x B A B +-==∴=∴=.（3）方法一：由00000xy x y x y >>><<得，或，；由000x y x >><，或，0y <得0xy >，从而A B =.方法二：集合A 中的元素是平面直角坐标系中第三象限内的点对应的坐标，集合B 中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点对应的坐标，从而A B =.（4）对于任意x A ∈，有221(2)4(2)5x a a a =+=+-++.**,2{3,4,5},a a x B ∈∴+∈∴∈N N .由子集的定义知，A B ⊆.设1B ∈，此时2451a a -+=，解得*2,a a =∈N .211a +=在*a ∈N 时无解，1A ∴∉. 综上所述，AB .名师点评 对于（5），在判断集合A 与B 的关系时可先根据定义判断A B ⊆，再进一步判断AB .判断A B 时，只要在集合B 中找出一个元素不属于集合A 即可.变式训练1 判断下列各组中两个集合的关系：（1）{3,},{6,}A xx k k B x x z z ==∈==∈N N ∣∣； （2）1,24k A xx k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣，1,42k B x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣. 答案 （1）A 中的元素都是3的倍数，B 中的元素都是6的倍数，对于任意的,63(2)z z z ∈=⨯N ，因为z ∈N ，所以2z ∈N ，从而可得6z A ∈，从而有B A ⊆.设63z =，则12z =∉N ，故3B ∉，但3A ∈，所以BA . （2）方法一：取,0,1,2,3,4,5,k =，可得1357911,,,,,,,444444A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,13537,,,1,,,,24424B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭, 易知A 中任一元素均为B 中的元素，但B 中的有些元素不在集合A 中，A B .方法二：集合A 的元素为121()244k k x k +=+=∈Z ，集合B 的元素为12()424k k x k +=+=∈Z ，而21k +为奇数，2k +为整数，A B ∴.点拨 判断两个集合的关系要先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合间的关系. 题型2 根据集合间的包含关系求参数的值范围 类型（一）有限集的问题例2 已知{}2230,{10}A x x x B x ax =--==-=∣∣，若BA ，试求a 的值.解析： 首先将集合A ，B 具体化，在对集合B 具体化时，要注意对参数a 进行讨论，然后再由BA 求a 的值.答案 {}2230{1,3}A x x x =--==-∣，且BA ，（1）当B =∅时，方程10ax -=无解，故0a =；（2）当B ≠∅时，则1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.若11a =-,即1a =-时，B A ； 若13a =，即13a =时，B A . 综上可知，a 的值为：10,1,3-.易错提示 特别要注意子集与真子集的区别，审清题意，由题目的具体条件确定真子集是否有可能为∅，这是个易错点.变式训练2 已知集合{}2320,{05,}A x x x B x x x =-+==<<∈N ∣∣，那么满足A C B 的集合C 的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4 答案 B点拨 {}2320{1,2},{05,}{1,2,3,4}A x x x B x x x =-+===<<∈=N ∣∣，由题意集合C 可以是{123}，，，{124}，，.本题考查对元素个数及真子集的理解，一定要弄清子集和真子集的区别.变式训练3 把上题改为：已知集合{2320}A x x x =-+=∣,{05,}B xx x =<<∈N ∣，则满足A C B ⊆⊆的集合C 的个数是___________.答案 4点拨 {}2320{1,2},{05,}{1,2,3,4}A x x x B x x x =-+===<<∈=N ∣∣，由题意集合C 可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}，故答案为4.类型（二） 无限集的问题例 3 已知集合{04},{}A x x B x x a =<=<∣∣，若A B ，求实数a 的取值集合.解析 将数集A 在数轴上表示出来，再将B 在数轴上表示出来，使得A B ，即可求出a 的取值范围.答案 将数集A 表示在数轴上（如图），要满足AB ，表示数a 的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边.所以所求a 的集合为{4}aa ∣.易错提示 在解决取值范围问题时，一般借助数轴比较直观，但一定要注意端点的取舍问题，能取的用实心点，不能取的用空心点，此题易漏掉端点4，显然4a =符合题意.变式训练 4 已知集合{25},{121}A xx B x a x a =-=+-∣∣. （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若AB ，求a 的取值范围.答案 （1）,B A D ⊆∴=∅①时，满足要求. 则121a a +>-即2a <；②B ≠∅时，则121,12,23215a a a a a +-⎧⎪+-⇒⎨⎪-⎩.综上可知：3a ≤. （2）121,,12215a a AB a a +-⎧⎪∴+-⎨⎪-⎩，，且12215a a +≤--≥与中的等号不能同时成立. 解这个不等式组，无解，a ∴∈∅，即不存在这样的a 使A B .题型3 集合的全集与补集问题例4 已知全集U ，集合 {1,3,5,7},{2,46},{1,4,6}UU A A B ===，，则集合B =____________.解析 因为{1,3,5,7},{2,4,6}UA A ==，所以{1,2,3,4,5,6,7}U =.又由已知{1,4,6}UB =，所以{2,3,5,7}B =.答案 27}3{5，，，变式训练5 设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,3},{3,4,5}U M N ===，则集合UM 和UN 共有的元素组成的集合为（ ）A.{2,3,4,5}B.{1,2,4,5,6}C.{1,2,6}D.{6} 答案 D点拨 由题意 {4,5,6},{1,2,6}U UM N ==，所以集合U M 和UN 共有的元素为6，组成的集合为{6}.例5 已知集合{}21A x a x a =<<+∣，集合{}15B x x =<<∣. （1）若A B ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若RAB ，求实数a 的取值范围.解析 （1）可借助数轴求解；（2）先根据集合B 求出共补集RB ，再根据RAB 列出不等式求解.注意要考虑A 为空集的情况.答案（1）若A =∅，则21a a +≤，解得1a ≤-，满足题意； 若A ≠∅，则21a a <+，解得1a >-.由A B ⊆，可得2151a a +≤≥且，解得12a ≤≤.综上，实数a 的取值范围为{1, 12}aa a -∣或. （2）R {1, 5}B xx x =∣或. 若A ≠∅，则211a a a +≤≤-，则，此时RAB ，满足题意；若A ≠∅，则1a >-. 又RAB ，所以5211a a ≥+≤或，所以510a a ≥-<≤或.综上，实数a 的取值范围为{0, 5}aa a ∣或. 变式训练6 已知集合{12},{}A xx B x x a =<<=<∣∣，若RA B ⊆，求实数a 的取值范围.答案由{}B xx a =<∣，得R {}B x x a =∣.又RA B ⊆，所以1a ≤，故a 的取值范围是1a ≤.规律方法总结1.判断集合间关系的常用方法. （1）列举观察法.当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系. （2）集合元素特征法.首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.一般地，设{()},{()}A xp x B x q x ==∣∣，①若由()p x 可推出()q x ，则A B ⊆；②若由()q x 可推出()p x ，则B A ⊆；③若()p x ，()q x 可互相推出，则A B =；④若由力()p x 推不出()q x ，由()q x 也推不出()p x ，则集合A ，B 无包含关系.（3）数形结合法.利用venn 图、数轴等直观地判断集合间的关系，一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合用画数轴法.2.根据集合间的包含关系求参数的值或范围的方法.已知两个集合之间的包含关系求参数的值或范围时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解.一般地，若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时要注意集合中元素的互异性；若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到.3.求补集的策略.（1）若所给集合是有限集，则先把集合中的元素列举出来，然后结合补集的定义来求解另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn 图来求解，这样处理比较直观、形象，且解答时不易出错.（2）若所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解.核心素养园地目的 以一元二次方程和两个集合的关系为知识载体，求参数的范围为任务，借助根与系数的关系、解方程分类讨论思想等一系列数学思维活动，加强逻辑推理和数学运算核心素养水平一、水平二的练习.情境 已知集合{}{}22240,2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=∣∣，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.分析 易知集合{0,4}A =-，由B A ⊆的具体含义可知 {0}B B =∅=或或{}{}404B B =-=-或，，进而得解.答案 {}240{0,4}A x x x =+==-∣.,B A B ⊆∴=∅或{}{}0404}{B B B ==-=-或或，. 当B =∅时，()22[2(1)]410,1a a a ∆=+--<∴<-；当{}0B =时，由根与系数的关系知202(1)01a a =-+⎧⎨=-⎩，，解得1a =-. 当{}4B =-时，由根与系数的关系知2442(1),161,a a --=-+⎧⎨=-⎩无解； 当{0,4}B =-时，由根与系数的关系知2402(1),0 1.a a -+=-+⎧⎨=-⎩解得1a =. 综上可知，实数a 的取值范围为{1, 1}aa a -=∣或.。