2021年中考数学·考点梳理 圆的基本性质章节涉及的18个必考点全梳理

【初中数学】2021中考数学复习知识点：圆有关圆的知识点考察一直是2021中考数学中的重点与难点。

你对这个知识点的掌握程度怎样呢?下面是关于2021高中入学考试数学复习知识点：圆的内容，包括圆的基本性质、直线和圆的位置关系、圆换圆的位置关系等内容，供大家学习参考!★ 要点★ ① 圆的重要性质；② 直线与圆、圆与圆的位置关系；③ 与圆有关的角定理；④ 与圆有关的比例线段定理。

☆内容提要☆一、圆的基本性质1.圆的定义(两种)2.相关概念：弦和直径；弧、等弧、上弧、下弧、半圆；弦中心距；等圆、同圆和同心圆。

3.“三点定圆”定理4.垂直直径定理及其推论5.“等对等”定理及其推论5.与圆相关的角度：⑴ 圆心角的定义（等价定理）⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系)⑶ 弦切线角的定义（弦切线角定理）二、直线和圆的位置关系1.三种立场、判断和性质：2.切线的性质(重点)3.切线判定定理（关键点）。

圆的切线判断包括⑴... ⑵4.切线长定理三、圆与圆的位置关系1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)2.两圆相切（相交）中心线的性质定理3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质四、缩放与圆相关的线段1.相交弦定理2.割线定理五、与和正多边形1.圆的内接多边形和外切多边形（三角形和四边形）2.三角形的外接圆、内切圆及性质3.圆的外切四边形和内切四边形的性质4.正多边形及计算中心角：内角的一半：(右图)（相关元素可通过求解RT获得。

）△ OAM等）六、一组计算公式1.周长公式2.圆面积公式3.扇形面积公式4.弧长公式5.船首面积的计算方法6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算七、点的轨迹六条基本轨迹八、相关图纸1.作三角形的外接圆、内切圆2.平分已知弧3.作已知两线段的比例中项4.等分周长：4,8；6.3平等分工九、基本图形十、重要辅助线1.作半径2.弦的中心距离通常是在看到弦时确定的3.见直径往往作直径上的圆周角4.不要忘记切点的中心5.两圆相切公切线(连心线)6.两个圆的公共弦编辑老师为各位考生准备的2021中考数学复习知识点：圆就到这里了，祝大家考试顺利！。

初三数学第十章圆知识点整理【编者按】为了丰富同学们的学习生活，查字典数学网初中频道搜集整理了2021年初三数学第十章圆知识点整理，供大伙儿参考，期望对大伙儿有所关心!2021年初三数学第十章圆知识点整理初三数学知识点第十章圆★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。

☆内容提要☆一、圆的差不多性质1.圆的定义(两种)2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。

3.三点定圆定理4.垂径定理及其推论5.等对等定理及其推论5. 与圆有关的角：⑴圆心角定义(等对等定理)⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系)⑶弦切角定义(弦切角定理)二、直线和圆的位置关系1.三种位置及判定与性质：2.切线的性质(重点)3.切线的判定定理(重点)。

圆的切线的判定有⑴⑵4.切线长定理三、圆换圆的位置关系1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)2.相切(交)两圆连心线的性质定理3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质四、与圆有关的比例线段1.相交弦定理2.切割线定理五、与和正多边形1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形)2.三角形的外接圆、内切圆及性质3.圆的外切四边形、内接四边形的性质4.正多边形及运算中心角：内角的一半：(右图)(解Rt△OAM可求出相关元素, 、等)六、一组运算公式1.圆周长公式2.圆面积公式3.扇形面积公式4.弧长公式5.弓形面积的运算方法6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关运算七、点的轨迹六条差不多轨迹八、有关作图1.作三角形的外接圆、内切圆2.平分已知弧3.作已知两线段的比例中项4.等分圆周：4、8;6、3等分九、差不多图形十、重要辅助线1.作半径2.见弦往往作弦心距3.见直径往往作直径上的圆周角4.切点圆心莫忘连死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。

但随着素养教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力进展的教学方式,慢慢为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。

初中数学圆知识点总结归纳一、圆的基本性质圆的定义：平面内到定点距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

其中定点称为圆心，定长称为半径。

圆的基本性质：(1)圆是中心对称图形，对称中心为圆心。

(2)圆是轴对称图形，对称轴为经过圆心的任意一条直线。

(3)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

(4)圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

(5)弦心距定理：在同圆或等圆中，弦心距等于所对弧的半径的一半。

二、圆的几何表示圆的方程：在平面直角坐标系中，以圆心为坐标原点，以半径为r的圆的方程为x^2 + y^2 = r^2。

圆的标准方程：以圆心为坐标原点，以半径为r，且经过点P(x0, y0)的圆的方程为(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2。

圆的参数方程：以x为参数，描述圆的方程为x = x0 + rcos(θ)，y = y0 + rsin(θ)，其中θ为参数。

三、与圆相关的定理和性质切线判定定理：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线性质定理：圆的切线上的任一点到圆心的距离等于半径。

切线长定理：经过圆外一点引两条切线，它们的切线长相等。

相交弦定理：经过圆内一点引两条弦，它们的交点与该点的距离乘积等于常数。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等。

圆幂定理：对于同圆或等圆中的两个相等的非零实数，有：(ab)(cd) = (ac)(bd) - (ad)(b*c)。

弦中点定理：经过弦的两个端点的直径垂直于这条弦。

相交弦定理：两弦交于圆内一点，各弦被这点所平分。

余弦定理：对于任何三角形ABC，有c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)。

正弦定理：对于任何三角形ABC，有a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)。

中考数学圆的知识点总结归纳一、圆的定义（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

（2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。

二、圆心（1）如定义（1）中，该定点为圆心（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。

（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。

（4）垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。

注：圆心一般用字母O表示直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。

直径一般用字母d表示。

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。

半径一般用字母r表示。

圆的直径和半径都有无数条。

圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。

在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。

圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。

圆的周长与直径的比值叫做圆周率。

圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。

计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。

直径所对的圆周角是直角。

90°的圆周角所对的弦是直径。

圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。

πr^2，用字母S表示。

一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。

三、周长计算公式1.、已知直径：C=πd2、已知半径：C=2πr3、已知周长：D=c\π4、圆周长的一半:1\2周长(曲线)5、半圆的长：1\2周长+直径四、面积计算公式1、已知半径：S=πr平方2、已知直径：S=π（d\2）平方3、已知周长：S=π(c\2π)平方五、点、直线、圆和圆的位置关系1、点和圆的位置关系①点在圆内<=>点到圆心的距离小于半径②点在圆上<=>点到圆心的距离等于半径③点在圆外<=>点到圆心的距离大于半径2.过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。

中考数学圆知识点归纳一、圆的定义和性质：1.圆的定义：平面上的所有到圆心距离相等的点的集合。

2.圆的部分：弧、弦、弧长、弦长、圆心角、半径、直径、切线、弧度、坐标公式等。

二、圆的特殊位置和位置关系：1.圆上的点与圆心之间的关系：圆周角是直径的角为直角。

2.圆内外的点与圆心之间的关系：内接圆和外接圆。

三、圆的性质：1.半径相等的圆相等，直径相等的圆相等。

2.圆的直径是两个切点。

3.两圆相交，切点在弦上，切点与所对弧不在一条直径上。

4.圆上的切线与半径垂直，且只有一条。

（切线切圆问题）5.过圆外一点可以作无数条切线，其中只有一条切线与圆通过该点处的切线垂直。

（外切线和切线问题）四、圆的计算：1.圆的周长：C=2πr（其中r为半径）。

2.圆的面积：S=πr²（其中r为半径）。

3.弧长：L=2πr（对应圆心角为360°的弧）。

4.弧度制和角度制的转换：弧度=角度×(π/180°)角度=弧度×(180°/π)五、利用圆的知识解决问题：1.根据已知条件作出相关几何图形，运用定理和性质求解问题。

2.提取关键信息，运用圆的性质和公式进行计算。

3.运用切线的特性求解问题。

4.运用弧的性质，求解弧长、弦长、圆心角等问题。

5.运用角平分线和垂直平分线的性质，求解相关问题。

六、与圆相关的解题技巧：1.制图时，可以借助直角三角形和等腰三角形的性质。

2.运用圆的部分的特性，构造性质，使用类似全等三角形的方法求解问题。

3.运用余弦定理、正弦定理等三角函数的性质，结合圆的特性求解问题。

4.利用圆内切四边形的特性解决问题。

以上为中考数学圆知识点的归纳，希望对你复习和备考有所帮助。

中考圆形知识点总结归纳圆形是中学数学中一个重要的几何概念，在中考中也是一个常见的考点。

本文将对中考中涉及到的圆形知识进行总结和归纳，帮助考生复习和掌握这一部分内容。

一、圆的基本概念圆是由平面上任意一点到另一点的距离都相等的点的集合。

其中，距离相等的这个固定值称为圆的半径，用字母r表示。

圆心是圆上任意两点的连线的垂直平分线的交点。

二、圆的性质1. 圆上任意两点之间的距离都等于圆的半径。

2. 圆心角的度数等于它所对的弧的度数，且圆心角所对的弧长等于圆的半径乘以圆心角的弧度值。

3. 相等弧所对的圆心角是相等的。

4. 圆的内切正多边形的中心与圆心重合。

三、弧1. 圆周角：圆周角是指以圆心为顶点的角，它的两边是相交于圆上的两条弧。

圆周角的度数等于它所对的弧的度数。

2. 弦：圆内部连接两点的线段称为弦。

弦分割出的两条弧叫做弦所对的弧。

3. 弧长：指圆上的一段弧所对应的圆周长度。

弧长等于圆心角的弧度值乘以圆的半径。

四、相交弦与切线的性质1. 相交弦定理：相交弦所对的弧相等，或者说两个相交弦所对应的圆心角相等。

2. 切线的性质：切线与半径的垂直分割线。

切线于半径的交点处所对应的圆心角为直角。

五、圆的面积和周长1. 圆的面积公式：S = πr²，其中S为圆的面积，r为圆的半径，π取近似值3.14。

2. 圆的周长公式：C = 2πr，其中C为圆的周长。

六、圆的应用1. 圆的切线与圆的性质：切线与切点间的弦相等，切线切割出的小圆与大圆相似。

2. 弧长与扇形面积：扇形面积等于扇形所对的圆心角的弧长所占整个圆的比例乘以圆的面积。

总结：通过对中考圆形知识点的总结和归纳，我们可以看到，圆形在中考中的考点比较多，涉及到圆的基本概念、性质、弧、相交弦与切线的性质、面积和周长以及应用等方面的内容。

对于考生而言，要牢固掌握圆的基本概念和性质，熟练运用相关公式和定理，灵活应用于解题过程中。

只有通过不断的实践和练习，才能在考试中熟练运用所学的圆形知识，取得好的成绩。

《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1 、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；2、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合3轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；3、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定4长的两条直线；、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离5都相等的一条直线；二、点与圆的位置关系d r点C 在圆内；1、点在圆内 Adrd r点B 在圆上；2、点在圆上OBdd r点A 在圆外；3、点在圆外C三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离2、直线与圆相切ddrr无交点；有一个交点；d r3、直线与圆相交有两个交点；r d=r rd d四、圆与圆的位置关系外离（图 1） 无交点 d R r ； d R r 外切（图 2） 有一个交点 ； R r d R r 相交（图 3） 有两个交点 ； d R r 内切（图 4） 有一个交点 ； d R r 内含（图 5）无交点；d dd r RrRR r图 2图 1图 3dd r RrR图4图 5五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧；推论 1：（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（ 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（ 3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中2 个即可推出其它 3 个结论，即： ABCD ③ CE DE BC AC① AB 是直径② ④ 弧 弧 BD ⑤ 弧 弧 AD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论； A推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等；DC即：在⊙ O 中，∵ AB ∥ CDO OBEAACBD∴弧 弧 CDB六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对E的弧相等，弦心距相等；此定理也称 1 推3 定理，即上述四个结论FO中，D 只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，ACB AOB DOE ；②AB DE即：①；③OC OF BA BD；④弧弧七、圆周角定理C1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半；即：∵AOB 和AOBACB 是弧ACBAB 所对的圆心角和圆周角OB2∴A2、圆周角定理的推论：D推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的C圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙ O 中，∵C D O、都是所对的圆周角 BAC D∴推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧C是半圆，所对的弦是直径；B A 即：在⊙ O 中，∵ AB 是直径或∵C90 O∴C90 ∴ AB 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是C直角三角形；B A 即：在△ABC 中，∵OC OA OB O∴△ ABC 是直角三角形或C90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理；八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角；即：在⊙ O 中，DC∵四边形ABCD 是内接四边形C BAD 180 B D180∴DAE C BEA九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可MN OA且MN 过半径OA 外端即：∵∴MN 是⊙O的切O（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点；M NA推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心；以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个；十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角；BPA 、PB 是的两条切线即：∵PA PB∴OPPO 平分BPAA十一、圆幂定理D （1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等；OB即：在⊙ O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ，PAC∴ PA PB PC PD（ 2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 C两条线段的比例中项； BAO E即：在⊙ O 中，∵直径AB CD ，DCE 2∴ AE BE（ 3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切 A线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项； EDO即：在⊙ O 中，∵ PA 是切线， PB 是割线PCBPA2∴ PC PB（ 4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长 的积相等（如上图） ；即：在⊙ O 中，∵ PB 、 PE 是割线PCPB PD PE∴ 十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆 A的O2的公共弦；O1如图： O 1O 2 垂直平分 AB ；B即：∵⊙ O 1 、⊙ O 2 相交于 A 、 B 两点∴ O 1O 2 AB垂直平分AB 十三、圆的公切线CO1两圆公切线长的计算公式：O22 22 2 （ 1）公切线长： Rt O 1O 2C 中， ；ABCO1O 1O2CO 2（ 2）外公切线长： CO 2 是半径之差； CO 2 是半径之和 内公切线长： ； 十四、圆内正多边形的计算 C（ 1）正三角形OO ABC Rt BOD 在⊙ 中△ 是正三角形，有关计算在中进行：ABOD : BD : OB 1: 3 : 2 ；DCB （ 2）正四边形同理， 四边形的有关计算在 Rt OAE 中进行， 2 ：OOE : AE : OA 1:1: ADE（ 3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB 中进行， AB : O B : OA 1: 3 : 2 .OBA十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 An R ；1801、扇形：（ 1）弧长公式：lOlS2n R1lR 2（2）扇形面积公式：S360Bn ：圆心角R ：扇形多对应的圆的半径 l S ：扇形面积：扇形弧长 2、圆柱：DD1 A（ 1）圆柱侧面展开图母线长r 2S S2S 底 2 rh 2 底面圆周长BC1C2（ 2）圆柱的体积： Vr hB1O（ 3）圆锥侧面展开图 R2SSS 底（ 1） Rr rC1 32r h 二 . rA（ 2）圆锥的体积： V 中考聚焦：B圆这一章知识在中考试题中所占的分数比例大约如下表：内容圆的有关性质直线和圆的位置关系8%～16% 圆与圆的位置关系3% ～12%正多边形和圆所占分数百分比5%～15% 2% ～8%圆的知识在中考中所占的比例大，题型多，常见的有填空题、选择题、计算题或证明题，近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题，中考的压轴题都综合了圆的知识；圆中考试题集锦一、选择题1．（北京市西城区）如图，BC是⊙ O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O3 ，PB＝1，那么∠APC等于于点A，如果PA＝（）（切割线定理）（A）15（B）30 （C）45 （D）6014 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20 厘米，底面半径是高的，那么这个圆柱的侧面积是（）（圆柱展开图）（A）100π平方厘米（B）200π平方厘米（C）500π平方厘米（D）200 平方厘米3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，C E＝1寸，AB＝10 寸，求直径CD的长”．依题意，CD长为（）（垂径定理）252（A）寸（B）13 寸（C）25 寸（D）26 寸4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O半径为5，PC切⊙O于点C，PO 交⊙O于点A，PA＝4，那么PC的长等于（）（切线的性质）（B）2 5 10 （D）2 14（A）6 （C）25．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5 厘米，那么此圆锥的底面半径的长等于（）（圆锥的展开图）（B）2 2 厘米（A）2 厘米（C）4 厘米（D）8 厘米6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16 厘米，若两圆的半径长分别为10 厘米和17 厘米，则这两圆的圆心距为（）（公共弦定理）（A）7 厘米（B）16 厘米（C）21 厘米（D）27 厘米7．（沈阳市）如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线且过圆心，PA＝4，PB＝2，则⊙O的半径等于（）（切割线定理）（A）3 （B）4 （C）6 （D）88．（甘肃省）如图，AB是⊙O的直径，∠C＝30AB D＝，则∠（）（圆周角）（A）30（B）40 （C）50 （D）609．（甘肃省）弧长为6π的弧所对的圆心角为60 ，则弧所在的圆的半径为（）（弧长公司）（B）6 2（A）6 （C）12 （D）1810．（宁夏回族自治区）已知圆的内接正六边形的周长为18，那么圆的面积为（）（内接正多边行的计算）（A）18π（B）9π（C）6π（D）3π11．（安徽省）已知圆锥的底面半径是3，高是4，则这个圆锥侧面展开图的面积是（）（圆锥展开图）（A）12π（B）15π（C）30π（D）24π12．（安微省）已知⊙O 的直径AB与弦AC的夹角为30 ，过C 点的切线PC 与AB延长线交P．P C＝5，则⊙O的半径为（）（切线的性质）5 3353（A）（B）（C）10 （D）5613．（福州市）如图：PA 切⊙O 于点A，PBC是⊙O的一条割线，有PA＝3 2 ，PB＝BC，那么BC的长是（）（切割线定理）（B）3 2 （C） 3 （D）2 3（A）314．（苏州市）如图，⊙O的弦AB＝8厘米，弦CD平分AB于点E．若CE＝2 厘米．ED长为（）（A）8 厘米（B）6 厘米（C）4 厘米（D）2 厘米15．（苏州市）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BO D＝160BCD＝，则∠（）（内接多边形）（A）160（B）100 （C）8020（D）16．（扬州市）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝15，则∠BAD的度数为（）（圆周角）（A）75 （B）72（C）70 （D）6517．（扬州市）已知：点P 直线l 的距离为3，以点P 为圆心，r 为半径画圆，如果圆上有且只有两点到直线l 的距离均为2，则半径r 的取值范围是（）（圆与直线的位置关系）（A）r ＞1 （B）r＞2 （C）2＜r ＜3 （D）1＜r ＜5二、解答题：1．（河北省）已知：如图，BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，若A D︰DB＝2︰3，A C＝10，求sin B的值．2．（宁夏回族自治区）如图，在两个半圆中，大圆的弦MN与小圆相切，D 为切点，且MN∥AB，M N＝a，O N、CD分别为两圆的半径，求阴影部分的面积．3．（四川省）已知，如图，以△ABC的边AB作直径的⊙O，分别并AC、BC于点D、E，弦FG∥AB，S△CD E︰S△AB C＝1︰4，D E＝5cm，FG＝8cm，求梯形AFGB的面积．4．（贵阳市）如图所示：PA为⊙ O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA＝10，PB＝5，求：（1）⊙O的面积（注：用含π 的式子表示）；（2）cos ∠BAP的值．（用相似）。

初三数学圆的知识点总结圆是一种几何图形。

根据定义，通常用圆规来画圆。

同圆内圆的直径、半径的长度永远相同，圆有无数条半径和无数条直径。

初三数学圆的知识点总结1.不在同一直线上的三点确定一个圆。

2.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧推论1 ①平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形4.圆是定点的距离等于定长的点的集合5.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合6.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合7.同圆或等圆的半径相等8.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆9.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等10.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。

11定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角12.①直线L和⊙O相交d②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离dr13.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线14.切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径15.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点16.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心17.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角18.圆的外切四边形的两组对边的和相等外角等于内对角19.如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上20.①两圆外离dR+r ②两圆外切d=R+r③.两圆相交R-rr④.两圆内切d=R-rRr ⑤两圆内含dr21.定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦22.定理把圆分成nn≥3:⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形23.定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆24.正n边形的每个内角都等于n-2×180°/n25.定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形26.正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长27.正三角形面积√3a/4 a表示边长28.如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×n-2180°/n=360°化为n-2k-2=429.弧长计算公式：L=n兀R/18030.扇形面积公式：S扇形=n兀R /360=LR/231.内公切线长= d-R-r 外公切线长= d-R+r32.定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半33.推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等34.推论2 半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径35.弧长公式l=ar a是圆心角的弧度数r 0 扇形面积公式s=1/2lr初三数学复习方法一、回归课本，夯实基础，做好预习。

初中圆必考知识点总结一、基本概念圆是平面内的一个点到另一个点的距离恒等于一个定值的点的集合，这个定值就是圆的半径。

圆的直径是圆上任意两点间的最长的距禬所以直径的长度是半径的两倍。

二、圆的元素1. 圆心：圆的中心点2. 圆周：圆心周围的一条完整的线3. 圆弧：圆周上的一段弧线4. 弦：连接圆上的任意两点的线段三、圆的性质1. 圆周上的任意一点到圆心的距离都是相等的，等于圆的半径。

2. 圆周上的任意一点和另外一点之间的弧长与圆周上的圆心角之间有着相同的比例关系。

四、圆的相关定理1. 圆的直径定理：直径是一个圆上的最长的线段，且直径的长度是半径的两倍。

2. 圆心角定理：同一个圆的圆弧的圆心角相等。

3. 弧长定理：同一个圆的两个圆心角相等的圆弧所对应的弧长相等。

4. 弧与角的关系：同一个圆的圆心角与其所对应的圆弧的关系满足角度与弧长之间的比例关系。

五、圆的相关公式1. 圆的周长公式：圆的周长等于直径乘以π（C=π*d）2. 圆的面积公式：圆的面积等于半径的平方乘以π（A=π*r^2）3. 弧长的计算：若知道圆的半径和圆心角的大小，则可以通过弧长公式计算出圆周上任意弧的长度。

六、圆与角的关系1. 圆心角：连接圆上两点的线段与半径构成的角度叫做圆心角。

2. 弦切角：切割圆的弦和切线所构成的角度。

3. 弦弧角：连接圆周上的两点与弦所构成的角度。

七、圆与直线的关系1. 切线：与圆相切且只有一个交点的直线。

2. 正切线：与圆相切且切点是圆外部的直线。

3. 角切线：与圆相切且切点是圆内部的直线。

八、圆的应用1. 圆的图形应用：常见的有钟表，车轮等、2. 圆的几何应用：定点转动的电动机、环体积的计算、圆形操场的设计等以上是初中圆必考知识点的总结，掌握这些知识将对学生在初中数学学习中有很大的帮助。

初三数学圆的知识点归纳圆是指在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线，标准方程是(x-a)?+(y-b)?=r?，其中点(a,b)是圆心，r是半径。

初三数学圆的知识点归纳一、圆的定义。

1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。

2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。

二、圆的各元素。

1、半径：圆上一点与圆心的连线段。

2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。

3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。

4、弧：圆上两点之间的曲线部分。

半圆周也是弧。

(1)劣弧：小于半圆周的弧。

(2)优弧：大于半圆周的弧。

5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。

6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。

7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。

三、圆的基本性质。

1、圆的对称性。

(1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。

(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

(3)圆是旋转对称图形。

2、垂径定理。

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。

(2)推论：平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。

圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

(1)同弧所对的圆周角相等。

(2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。

4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。

5、夹在平行线间的两条弧相等。

6、设⊙O的半径为r，OP=d。

7、(1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。

(2)不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。

(直角三角形的外心就是斜边的中点。

)8、直线与圆的位置关系。

d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径。

直线与圆有两个交点，直线与圆相交;直线与圆只有一个交点，直线与圆相切;直线与圆没有交点，直线与圆相离。

圆的基本性质章节必考点全梳理考点1 巧用圆的半径相等解决此类问题的关键是连接半径，抓住圆的半径相等是关键.例题1如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若BD＝10，BC＝8，则AB的长为（）A．8B．6C．4D．2【分析】如图，连接OC，在Rt△OBC中，求出OB即可解决问题．【解析】如图，连接OC．∵四边形OBCD是矩形，∴∠OBC＝90°，BD＝OC＝OA＝10，∴OB=√OC2−BC2=√102−82=6，∴AB＝OA﹣OB＝4，故选：C．变式1如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（）A．42°B．28°C．21°D．20°【解析】连结OD，如图，∵OB＝DE，OB＝OD，∴DO＝DE，∴∠E＝∠DOE，∵∠1＝∠DOE+∠E，∴∠1＝2∠E，而OC＝OD，∴∠C＝∠1，∴∠C＝2∠E，∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，∴∠E=13∠AOC=13×84°＝28°．故选：B．【小结】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．变式2如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则下列各式中正确的是（）A．a＞b＞c B．a＝b＝c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【解析】连接OA、OD、OM，如图所示：OA＝OD＝OM，∵四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形，∴OA＝BC＝a，OD＝EF＝b，OM＝NH＝c，∴a＝b＝c；故选：B．变式3如图，两个正方形都在⊙O的直径MN的同侧，顶点B、C、G都在MN上，正方形ABCD的顶点A和正方形CEFG的顶点F都在⊙O上，点E在CD上．若AB＝5，FG＝3，则OC的长为．【解析】连接AO，OF，∵四边形ABCD，EFGC是正方形，∴∠ABC＝∠FGC＝90°，∴AB2+BO2＝OG2+FG2，∴52+（5﹣OC）2＝（3+OC）2+32∴OC＝2，故答案为：2．【小结】本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．考点2 点与圆的位置关系（求范围）解决此类问题关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．例题2在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3√3，以点A为圆心作圆A，要使B、C两点中的一点在圆A外，另一点在圆A内，那么圆A的半径长r的取值范围是．【解析】∵Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3√3，∴AB＝6，如果以点A为圆心作圆，使点C在圆A内，则r＞3，点B在圆A外，则r＜6，因而圆A半径r的取值范围为3＜r＜6．故答案为3＜r＜6；变式4在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4）．如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，那么r 的值可以取（）A．5B．4C．3D．2【解析】∵点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4），∴OA=√32+22=√13，OB=√32+42=5，∵以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，∴√13＜r＜5，∴r＝4符合要求．故选：B．变式5矩形ABCD中，AB＝10，BC＝4√2，点P在边AB上，且BP：AP＝4：1，如果⊙P是以点P为圆心，PD长为半径的圆，那么下列结论正确的是（）A．点B、C均在⊙P外B．点B在⊙P外，点C在⊙P内C．点B在⊙P内，点C在⊙P外D．点B、C均在⊙P内【解析】如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝4√2，∵AB＝10，BP：AP＝4：1，∴AP＝2，BP＝8，在Rt△ADP中，∵AP＝2，AD＝4√2，∴DP=√AD²+AP²=√4+32=6，在Rt△PBC中，CP=√BP²+BC²=√64+32=4√6，∵8＞6，4√6＞6，∴点B，点C均在⊙P外，故选：A．变式6如图，在每个小正方形的边长均为1的5×5的网格中，选取7个格点（小正方形的顶点），若以点A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个点在圆内，则r的取值范围是（）A．3＜r＜√10B．√2＜r＜√5C．√10＜r＜√13D．√5＜r≤3【解析】给各点标上字母，如图所示．∵AB=√12+22=√2，AC＝AD=√12+22=√5，AG＝3，AF=√12+32=√10，AE=√22+32=√13所以以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，这三个点只能为B、C、D点，∴√5＜r≤3，故选：D．【小结】本题考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用勾股定理求出各格点到点A的距离是解关键．考点3 点与圆的位置关系（求最值）例题3如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D是半径为1的⊙A上的一个动点，点E为CD的中点，连结BE，则线段BE长度的最小值为．【分析】取AC的中点N，连接AD、EN、BN．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出BN，EN，再利用三角形的三边关系即可解决问题．【解析】如图，取AC的中点N，连接AD、EN、BN．∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC=√AB2+BC2=√32+42=5，∵AN＝NC，∴BN=12AC=52，∵AN＝NC，DE＝EC，∴EN=12AD=12，∴BN﹣EN≤BE≤BN+EN，∴52−12≤BE≤52+12，∴2≤BE≤3，∴BE的最小值为2，变式7如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D是半径为4的⊙A上一动点，点M 是CD的中点，则BM的最大值是．【解析】如图，取AC的中点N，连接MN，BN．∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝10，∵AN＝NC，∴BN=12AC＝5，∵AN＝NC，DM＝MC，∴MN=12AD=2，∴BM≤BN+NM，∴BM≤5+2＝7，即BM的最大值是7．【小结】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．变式8 如图，在平面直角坐标系中，C （0，4），A （3，0），⊙A 半径为2，P 为⊙A 上任意一点，E 是PC 的中点，则OE 的最小值是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．√2【解析】如图，连接AC ，取AC 的中点H ，连接EH ，OH ．∵CE ＝EP ，CH ＝AH ，∴EH =12P A ＝1，∴点E 的运动轨迹是以H 为圆心半径为1的圆， ∵C （0，4），A （3，0），∴H （1.5，2），∴OH =√22+1．52=2.5， ∴OE 的最小值＝OH ﹣EH ＝2.5﹣1＝1.5，故选：B ．变式9 如图，点A ，B 的坐标分别为A （2，0），B （0，2），点C 为坐标平面内一点，BC ＝1，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（ ）A ．√2+1B ．√2+12C ．2√2+1D ．2√2−12【解析】如图，∵点C 为坐标平面内一点，BC ＝1，∴C 在⊙B 上，且半径为1，取OD ＝OA ＝2，连接CD ， ∵AM ＝CM ，OD ＝OA ，∴OM 是△ACD 的中位线，∴OM =12CD ，当OM 最大时，即CD 最大，而D ，B ，C 三点共线时，当C 在DB 的延长线上时，OM 最大， ∵OB ＝OD ＝2，∠BOD ＝90°，∴BD ＝2√2，∴CD ＝2√2+1， ∴OM =12CD =√2+12，即OM 的最大值为√2+12；故选：B ．考点4 弧、弦、角、之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，其中圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.例题4如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且P A＝PC．求证：AB̂=CD̂．【解析】证明：连接AC、OA、OB、OC、OD，∵P A＝PC，∴∠P AC＝∠PCA，∵∠P AC=12∠BOC，∠PCA=12∠AOD，∴∠BOC＝∠AOD，∴AD̂=BĈ，∴AD̂−BD̂=BĈ−BD̂，即AB̂=CD̂．变式10如图，在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是OA、OB上的点，且AD＝BE，弦CM、CN分别过点D、E．（1）求证：CD＝CE．（2）求证：AM̂=BN̂．【解析】（1）证明：连接OC．∵AĈ=BĈ，∴∠COD＝∠COE，∵OA＝OB，AD＝BE，∴OD＝OE，∵OC＝OC，∴△COD≌△COE（SAS），∴CD＝CE．（2）分别连结OM，ON，∵△COD≌△COE，∴∠CDO＝∠CEO，∠OCD＝∠OCE，∵OC＝OM＝ON，∴∠OCM＝∠OMC，∠OCN＝∠ONC，∴∠OMD＝∠ONE，∵∠ODC＝∠DMO+∠MOD，∠CEO＝∠CNO+∠EON，∴∠MOD＝∠NOE，∴AM̂=BN̂．变式11如图，已知半⊙O的直径AB为3，弦AC与弦BD交于点E，OD⊥AC，垂足为点F，AC＝BD，则弦AC的长为．【解析】∵OD⊥AC，∴AD̂=CD̂，∠AFO＝90°，又∵AC＝BD，∴AĈ=BD̂，即AD̂+CD̂=CD̂+BĈ，∴AD̂=BĈ，∴AD̂=CD̂=BĈ，∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°，∵AB＝3，∴AO＝BO=32，∴AF＝AO sin∠AOF=32×√32=3√34，则AC＝2AF=3√32；变式12如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为CBD̂的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①CF̂=DF̂；②HC＝BF：③MF＝FC：④DF̂+AĤ=BF̂+AF̂，其中成立的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】∵F为CBD̂的中点，∴CF̂=DF̂，故①正确，∴∠FCM＝∠F AC，∵∠FCG＝∠ACM+∠GCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠F AC，∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，∴FC＞FM，故③错误，∵AB⊥CD，FH⊥AC，∴∠AEM＝∠CGF＝90°，∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，∴∠CFH＝∠BAF，∴CĤ=BF̂，∴HC＝BF，故②正确，∵∠AGF＝90°，∴∠CAF+∠AFH＝90°，∴AĤ的度数+CF̂的度数＝180°，∴CĤ的度数+AF̂的度数＝180°，∴AĤ+CF̂=AĤ+DF̂=CĤ+AF̂=AF̂+BF̂，故④正确，故选：C．考点5 圆的对称性（最短路线）例题5 如图，MN 是⊙O 的直径，MN ＝4，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则P A +PB 的最小值为 ．【解析】作点A 关于MN 的对称点A ′，连接A ′B ，与MN 的交点即为点P ，P A +PB 的最小值即为A ′B 的长，连接OA ′、OB 、OA ，∵A ′点为点A 关于直线MN 的对称点，∠AMN ＝30°，∴∠AON ＝∠A ′ON ＝2∠AMN ＝2×30°＝60°， 又∵弧AN 的中点，∴AB ̂=NB ̂，∴∠BON ＝∠AOB =12∠AON =12×60°＝30°， ∴∠A ′OB ＝∠A ′ON +∠BON ＝60°+30°＝90°，又∵MN ＝4，∴OA ′＝OB =12MN =12×4＝2， ∴Rt △A ′OB 中，A ′B =√22+22=2√2，即P A +PB 的最小值为2√2．变式13 如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，点C 在⊙O 上，∠CAB ＝30°，D 为弧BC 的中点，P 是直径AB 上一动点，则PC +PD 的最小值为（ ）A ．2√2B ．√2C ．1D ．2【解析】作出D 关于AB 的对称点D ′，连接OC ，OD ′，CD ′． 又∵点C 在⊙O 上，∠CAB ＝30°， D 为弧BC 的中点，即BD ̂=BD′̂， ∴∠BAD ′=12∠CAB ＝15°． ∴∠CAD ′＝45°．∴∠COD ′＝90°．则△COD ′是等腰直角三角形． ∵OC ＝OD ′=12AB ＝1，∴CD ′=√2．故选：B ．变式14 如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点M 在⊙O 上，∠MAB ＝20°，N 是MB̂的中点，P 是直径AB上的一动点，则PM +PN 的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】作N 点关于AB 的对称点N ′，连接MN ′交AB 于P ′，如图，则P ′N ＝P ′N ′，∴P ′M +P ′N ＝P ′M +P ′N ′＝MN ′，∴此时P ′M +P ′N 的值最小，∵∠MAB ＝20°，∴∠MOB ＝40°， ∵N 是弧MB 的中点，∴∠NOB ＝20°，∵N 点关于AB 的对称点N ′，∴∠N ′OB ＝20°，∴∠MON ′＝60°，∴△OMN ′为等边三角形，∴MN ′＝OM ＝4，∴P ′M +P ′N ＝4，即PM +PN 的最小值为4．故选：A ．变式15 如图，MN 是⊙O 的直径，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，∠ACM ＝60°，B 点是AN̂的中点，P 点是MN 上一动点，若⊙O 的半径为1，则P A +PB 的最小值为（ ）A ．1B ．√22C ．√2D ．√3−1【解析】作点B 关于MN 的对称点B ′，连接OA 、OB 、OB ′、AB ′，则AB ′与MN 的交点即为P A +PB 的最小时的点，P A +PB 的最小值＝AB ′，∵∠ACM ＝60°，∴∠AOM ＝2∠ACM ＝2×60°＝120°，∴∠AON ＝60°，∵点B为劣弧AN的中点，∴∠BON=12∠AON=12×60°＝30°，由对称性，∠B′ON＝∠BON＝30°，∴∠AOB′＝∠AON+∠B′ON＝60°+30°＝90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∴AB′=√2OA=√2×1=√2，即P A+PB的最小值=√2．故选：C．考点6 垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

2021中考数学知识点归纳：圆1.不在同一直线上的三点确定一个圆。

2.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形4.圆是定点的距离等于定长的点的集合5.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合6.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合7.同圆或等圆的半径相等8.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆9.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等10.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。

11定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角12.①直线L和⊙O相交d②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离dr13.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线14.切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径15.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点16.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心17.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角18.圆的外切四边形的两组对边的和相等外角等于内对角19.如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上20.①两圆外离dR+r ②两圆外切d=R+r③.两圆相交R-rr)④.两圆内切d=R-r(R r) ⑤两圆内含dr)。

初中数学知识点圆总结初中数学知识点圆总结在我们上学期间，不管我们学什么，都需要掌握一些知识点，知识点就是“让别人看完能理解”或者“通过练习我能掌握”的内容。

为了帮助大家掌握重要知识点，以下是小编为大家整理的初中数学知识点圆总结，仅供参考，欢迎大家阅读。

初中数学知识点圆总结1一、圆1、圆的有关性质在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段OA 叫半径。

由圆的意义可知：圆上各点到定点（圆心O）的距离等于定长的点都在圆上。

就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。

心的距离小于半径的点的集合。

圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。

连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。

圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。

由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。

圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。

能够重合的两个圆叫等圆。

同圆或等圆的半径相等。

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。

二、过三点的圆l、过三点的圆过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。

经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。

2、反证法反证法的三个步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

例如：求证三角形中最多只有一个角是钝角。

证明：设有两个以上是钝角则两个钝角之和＞180°与三角形内角和等于180°矛盾。

∴不可能有二个以上是钝角。

即最多只能有一个是钝角。

三、垂直于弦的直径圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的`对称轴。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

第六单元圆第21讲圆的基本性质一、知识清单梳理知识点一：圆的有关概念关键点拨与对应举例1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.知识点二：垂径定理及其推论2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形. 推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.延伸根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：①弧AC=弧BC;②弧AD=弧BD；③AE=BE;④AB⊥CD;⑤CD是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.知识点三：圆心角、弧、弦的关系3.圆心角、弧、弦的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点四：圆周角定理及其推论4.圆周角定理及其推论（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,∠A=1/2∠O.图a 图b 图c( 2 )推论：①在同圆或等圆中，同弧或弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.③圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.例：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，∠BAC=40°，则∠D的度数为130°．【素材积累】1、人生只有创造才能前进；只有适应才能生存。

核心知识点一：圆的定义与性质1. 圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径. 以点 O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆 O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为 O，半径为 r 的圆是平面内到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.圆的性质①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.要点诠释：①圆有无数条对称轴；②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.3.两圆的性质两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.每周六 10 点，【作业帮一课初中】服务号定时上新独家资料，等你来抢~~~核心知识点二：与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD 过圆心O 时，取“=”号)∴直径AB 是⊙O 中最长的弦.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B 为端点的弧记，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.。

初中2021年中考数学知识点：圆的基础性质考点解析临近____中考，学生要有一定的自主性，光跟着老师跑没用。

因为每位学生对知识点的掌握程度不同，复习进度也不同。

初中频道为大家提供了初中____中考数学知识点，希望能够切实的帮助到大家。

⑴垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理① 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

直径所对的圆周角是直角。

90度的圆周角所对的弦是直径。

圆心角计算公式: =(L/2r)360=180r=L/r(弧度)即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

③ 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。

外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等;②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

③R=2S△L(R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长)④两相切圆的连心线过切点(连心线：两个圆心相连的直线)⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于_，Y，则M为_Y之中点。

(4)如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段(直线也可)垂直平分公共弦。

(5)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

(6)圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。

(7)圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。

(8)周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。

圆的知识要领不仅常考公式，又是也会直接出一些关于定理的试题。

希望这篇初中____中考数学知识点，可以帮助更好的迎接即将到来的考试!。