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函数依赖集这里，我想从函数依赖性质谈起。
从函数依赖的定义我们可以知道，一个函数在A上有依赖关系的话，那么它在B上也必定有依赖关系，就像两个多面体的棱互相依靠一样。
如果把这种函数依赖的现象叫做函数依赖性质的话，我认为是恰当不过的了。
但我要纠正一下，函数依赖性质并不是说函数具有依赖性质就叫函数依赖性质，函数依赖性质也不能保证函数在其他集合上也存在依赖性质，只能说明函数在A和B上都有依赖关系。
考虑一个由三元组构成的集合，其中每一个元素分别是三个函数的定义域，则该集合是否满足函数依赖呢？我们来看看下面的集合：①=0;② =1;③=2;④=3。
那么，以上四个集合中的函数是否满足函数依赖呢？我们来看看下面的集合：①=1;②=2;③=4;④=5。
那么，以上四个集合中的函数是否满足函数依赖呢？答案肯定是否定的。
因为函数依赖性质并不是说函数在其他集合上也存在依赖性质，而仅仅是说函数在这两个集合上都有依赖性质。
上面两个集合中的函数虽然在第三个集合中满足函数依赖性质，但是却在第二个集合中不满足函数依赖性质。
我认为，函数依赖性质应该指出在这些集合中某个集合中的函数，必须满足这个集合中的函数才能满足函数依赖性质。
也就是说，函数依赖性质是指出在A和B中都有函数依赖关系的时候，一定在A中和B中都存在这个函数依赖关系，并不需要再去说明这个函数在A和B上都有依赖性质。
(1)(3)(一)。
在A中的满足函数依赖性质的数有4个：x=x^3;y=y^3;z=z^3;则它们分别在A的四个象限中。
例：两个函数a、 b，若a可导则b也可导，如果a和b分别可导且分别连续，那么一定也可导，这种函数称为无穷依赖；如果a和b同时可导，则称a和b为无穷连续，如果a和b可导且不连续，那么称a和b为无穷间断。
其实函数依赖的重点不在于有无依赖性，而在于函数在依赖的集合中是否存在。
对于这样的集合，可以用排除法。
可以用函数a-1=1代入集合：(2)(1)。
得到函数y=1^3， x=0;可以用函数b-1=-2代入集合：(3)(1)。
一、选择题1. 数据独立性是数据库技术的重要特点之一，所谓数据独立性是指（D ）。
A ）数据与程序独立存放B ）不同的数据被存放在不同的文件中C ）不同的数据只能被队友的应用程序所使用D ）以上三种说法都不对2. 在数据库管理系统提供的数据语言中，负责数据的模式定义和数据的物理存取构建的是（A ）。
A ）数据定义语言B ）数据转换语言C ）数据操纵语言D ）数据控制语言3. 数据库系统的三级模式结构中，下列不属于三级模式的是（B ）。
A ）内模式B ）抽象模式C ）外模式D ）概念模式4. 下列叙述中，错误的是（C ）。
A ）数据库技术的根本目标是要解决数据共享的问题B ）数据库设计是指设计一个能满足用户要求，性能良好的数据库C ）数据库系统中，数据的物理结构必须与逻辑结构一致D ）数据库系统是一个独立的系统，但是需要操作系统的支持5. 在数据库管理系统提供的数据语言中，负责数据的查询及增、删、改等操作的是（D ）。
A ） 数据定义语言B ）数据转换语言C ）数据控制语言D ）数据操纵语言1 关系数据库管理系统能实现的专门关系运算包括 （B ）。
A ）排序、索引、统计B ）选取、投影、连接C ）关联、更新、排序D ）显示、打印、制表2、设有一个学生档案的关系数据库，关系模式是：S （SNo ，SN ，Sex ，Age ），其中 Sno ，SN ，Sex ，Age 分别表示学生的学号、姓名、性别、年龄。
则“从学生档案数据库中检索学生年龄大于20岁的学生的姓名”的关系代数式是 （B ）。
A ））（)(20Age SN S ∏>σ B ））（)(20Age SN S σ>∏ C ））（)(20A ge SN S ∏∏> D ））（)(20Age SN S σσ> 3、在关系模型中，以下有关关系键的描述正确的是（C ）。
A ）可以由任意多个属性组成B ）至多由一个属性组成C ）由一个或多个属性组成，其值能唯一标识关系中的一个元组D ） 以上都不对4、一个关系数据库文件中的各条记录 （ B ）。
习题１——数据库系统基本概念１.１名词解释DB——DB是长期存储在计算机内、有组织的、统一管理的相关数据的集合。
DB能为各种用户共享，具有较小冗余度、数据间联系紧密而又有较高的数据独立性等特点。
DBMS——是位于用户与操作系统之间的一层数据管理软件，它为用户或应用程序提供访问DB的方法，包括DB的建立、查询、更新及各种数据控制。
DBS——是实现有组织地、动态地存储大量关联数据、方便多用户访问的计算机硬件、软件和数据资源组成的系统，即它是采用数据库技术的计算机系统。
联系——是实体间的相互关系。
联系的元数——与一个联系有关的实体集个数。
１：１联系——如果实体集E1中每个实体至多和实体集E2中一个实体有联系，反之亦然，那么实体集E1和E2的联系称为“一对一联系”，记为“１：１”。
１：N联系——如果实体集E1中的每个实体可以与实体集E2中的任意个（０个或多个）实体有联系，而E2中的每个实体至多和E1中的一个实体有联系，那么称E1对E2的联系是一对多联系，记作：“１：N ”。
M：N联系——如果实体集E１中的每个实体可以与实体集E2中的任意个（０个或多个）实体有联系，反之亦然，那么称E1和E2的联系是“多对多联系”，记作“M：N”。
数据模型——在数据库技术中，我们用数据模型的概念描述数据库的结构和语义，对现实世界的数据进行抽象。
根据数据抽象级别定义了四种模型：概念数据模型、逻辑数据模型、外部数据模型和内部数据模型。
概念模型——表达用户需求观点的数据全局逻辑结构的模型。
逻辑模型——表达计算机实现观点的DB全局逻辑结构的模型。
主要有层次、网状、关系模型等三种。
外部模型——表达用户使用观点的DB局部逻辑结构的模型。
内部模型——表达DB物理结构的模型。
层次模型——用树型（层次）结构表示实体类型及实体间联系的数据模型。
网状模型——用有向图结构表示实体类型及实体间联系的数据模型。
关系模型——是由若干个关系模式组成的集合。
数据库常用名词解释（3）数据库常用名词解释◆基本表：在SQL中，把传统的关系模型中的关系模式称为基本表(Base Table)，基本表是本身独立的表，一个关系就对应一个基本表。
◆存储文件：在◆ 视图：在SQL中，把传统的关系模型中的存储模式称为存储文件(Stored File)。
SQL中，把传统的关系模型中的子模式称为视图(View)，视图是从一个或多个基本表导出的表。
◆行：在◆列：在SQL中，把传统的关系模型中的元组称为行(row)。
SQL 中，把传统的关系模型中的属性称为列(column)。
◆实表：基本表就被称为实表，它是实际存放在数据库中的表。
◆虚表：视图就被称为虚表，因为在数据库中只存储视图的定义而不存放视图所对应的数据。
◆相关子查询：在嵌套查询中，内层查询称为‘相关子查询’，子查询中查询条件依赖于外层查询中的某个值，所以子查询的处理不只一次，要反复求值，以供外层查询使用。
◆联接查询：查询时先对表进行笛卡尔积操作，然后再做等值联接、选择、投影等操作。
联接查询的效率比嵌套查询低。
◆交互式◆ 嵌入式SQL：在终端交互方式下使用的SQL语言称为交互式SQL。
SQL：嵌入在高级语言的程序中使用的SQL语言称为嵌入式SQL。
SQL语句中引用宿主语言的程序变量称为共享变量。
◆共享变量：在嵌入的◆游标：游标是与某一查询结果相联系的符号名，用于把集合操作转换成单记录处理方式。
◆ 卷游标：卷游标在推进时不但能沿查询结果中元组顺序从头到尾一行行推进，也能一行行返回(而游标是不能返回的)。
◆函数依赖：FD(function dependency)，设有关系模式R(U)，X，Y是U的子集，r是R的任一具体关系，如果对r的任意两个元组t1,t2,由t1[X]=t2[X]导致t1[Y]=t2[Y],则称X函数决定Y,或Y函数依赖于X，记为X→Y。
X→Y为模式R的一个函数依赖。
◆函数依赖的逻辑蕴涵：设F是关系模式R的一个函数依赖集，X，Y是R的属性子集，如果从F中的函数依赖能够推出X→Y，则称F逻辑蕴涵X→Y,记为F|=X→Y。
例1：设有关系模式R(A,B,C,D,E),其上的函数依赖集：F= {A→BC,CD→E,B→D,E→A}计算B+和CD+解B+ = BDCD+ = ABCDE例2：设有依赖集F={AB→C, C→A, BC→D,ACD→B,D→EG,BE→C,CG→BD,CE→AG} 计算最小等价依赖集。
解：(1). 右边属性单一化F1= {AB→C BE→CC→A CG→BBC→D CG→DACD→B CE→AD→E CE→GD→G }(2).去掉F1中的左部多余属性F2= {AB→C BE→CC→A CG→BBC→D CG→DCD→B CE→GD→ED→G }(3). 去掉F2中的多余的依赖F3= {AB→C BE→CC→A CG→DBC→D CE→GCD→BD→ED→G }或者F3= {AB→C BE→CC→A CG→BBC→D CE→GD→ED→G }侯选码求解理论和算法（两种情况）（F min）对于给定的关系R和函数依赖集F，可将其属性分为4类：L类：仅出现在F min的函数依赖左部的属性；R类：仅出现在F min的函数依赖右部的属性；N类：在F min中函数依赖的左右两边均未出现的属性；LR类：在F min中函数依赖的左右两边均出现过的属性；定理：对于给定的关系模式R及其函数依赖集F，若X是L和N类属性，则X 必为R的任一候选码的成员。
算法1：单属性依赖集图论求解法。
(1).求F的最小依赖集F min；(2).构造函数依赖图；(3).从图中找出关键属性集X（L、N类属性）；(4).查看图中有无独立回路，若无，则输出X即为R的唯一候选码，转6；若有，则转5；(5).从各独立回路中各取一结点对应的属性与X组合成一候选码，并重复这一过程，取尽可能所有的组合，即为R的全部候选码。
(6).结束。
例3：设有R=(O, B, I, S, Q, D), F={S→D, D→S, I→B, B→I, B→O, O→B, I→O }, 求R的所有候选码。
数据库常用名词解释◆DB：数据库(Database), DB是统一管理的相关数据的集合。
DB能为各种用户共享，具有最小冗余度，数据间联系密切，而又有较高的数据独立性。
◆超键：在关系中能唯一标识元组的属性集称为关系模式的超键。
(注意，超键是一个属性集)◆候选键：不含有多余属性的超键称为候选键。
◆主键：用户选作元组标识的一个候选键为主键。
◆外键：某个关系的主键相应的属性在另一关系中出现，此时该主键在就是另一关系的外键，如有两个关系S和SC,其中S#是关系S的主键，相应的属性S#在关系SC中也出现，此时S#就是关系SC的外键。
◆实体完整性规则：这条规则要求关系中元组在组成主键的属性上不能有空值。
如果出现空值，那么主键值就起不了唯一标识元组的作用。
◆参照完整性规则：这条规则要求“不引用不存在的实体”。
其形式定义如下：如果属性集K是关系模式R1的主键，K也是关系模式R2的外键，那么R2的关系中，K的取值只允许有两种可能，或者为空值，或者等于R1关系中某个主键值。
这条规则在使用时有三点应注意：1) 外键和相应的主键可以不同名，只要定义在相同值域上即可。
2) R1和R2也可以是同一个关系模式，表示了属性之间的联系。
3) 外键值是否允许空应视具体问题而定。
◆过程性语言：在编程时必须给出获得结果的操作步骤，即“干什么”和“怎么干”。
如Pascal和C语言等。
◆非过程性语言：编程时只须指出需要什么信息，不必组出具体的操作步骤的语言，各种关系查询语言均属于非过程性语言。
◆无限关系：当一个关系中存在无穷多个元组时，此关系为无限关系。
如元组表达式{t|┐R(t)}表示所有不在关系R中的元组的集合，这是一个无限关系。
◆无穷验证：在验证公式时需对无穷多个元组进行验证就是无穷验证。
如验证公式(∨u)(P(u))的真假时需对所有的元组u进行验证，这是一个无穷验证的问题。
◆DBMS：数据库管理系统(Database Management System), DBMS是位于用户与操作系统之间的一层数据管理软件，为用户或应用程序提供访问DB的方法，包括DB的建立、查询、更新及各种数据控制。
数据库原理单选题：1.DOS中“脱机存储器”是指：光盘和磁带2.在DBS中，DBMS和OS之间的关系是：DBMS调用OS3.在数据库方式下，信息处理中占据中心位置的是：数据4.DB的三级模式之间应满足：可以差别很大5.在DBS中，“数据独立性”和“数据联系”这两个概念之间的联系是：没有必然的联系6.DB的三级模式结构中最接近用户的是：外模式7.对DB中数据的操作分成两大类：查询和更新8.文件系统与数据系统的最大区别是：数据结构化9.设计数据库时首先应该设计：数据库的概念结构10.数据库需求分析时，数据字典的含义是：数据库中所涉及的数据流、数据项和文件等描述的集合11.下列不属于需求分析阶段工作的是：建立ER图12.数据流图是在数据库（）阶段完成：需求分析13.ER图是数据库设计的工具之一，它适用于建立数据库的：概念模型14.一个M：N：P：联系可以转换成（）个关系模型： 115.关系模式规范化设计是为解决关系数据库中的（）问题而引入的：A：数据冗余和操作异常16.在关系模式R中，函数依赖X→Y语义B：在R 的每一关系中，若两个元组的X值相等，则Y值也相等17.如果X→Y和WY→Z成立，那么WX→Z成立。
这条规则称为：伪传递性18.在最小依赖集F中，下面叙述不正确的是：B：F 中每个FD的左部都是单属性19.设有关系模型R（A,B,C,D）,F是R上成立的FD 集，F=｛AB→C，D→A｝，则属性集（CD）的闭包（CD）+为：B：ACD20.关系模式中各级范式之间的关系为：A：3NF∝2NF∝1NF21.能够消除多值依赖引起的冗余是：C：4NF22.若关系R的候选键都是有单属性构成的，则R 的最高范式必定是：B：2NF23.关系模范化实质是围绕（）进行的B：函数依赖24.关系模范化过程中，消除了（）依赖后，1NF变成了3NF：A：部分函数依赖和传递函数依赖25.在关系中，“元数”是指：D：属性个数26.下面哪种运算是单目运算：C：投影27.在域关系演算中，域变量的变化范围是：B某个域值28.设关系R,S,W各有10个元组，那么这两个关系的自然连接的元组个数为：B：3029.设关系R和S的结构相同，且各有10个元组，那么这两个关系的并操纵结果的元组个数为：D：小于等于20 30.如果两个关系没有公共属性，那么其自然连接操纵：A：转化为笛卡儿积操纵31.自然连接是构成新关系的有效方法，一般情况下，当对关系R和S使用自然连接时，要求R和S含有一个或多个共有的：D：属性32.在关系代数表达式的查询优化中，不正确的叙述是：A：尽可能早地执行连接33.在SQL中，用户可以直接操作的是：D：基本表和视图34.在SQL中，外模式一级数据结构的基本单位是：C：视图35.在SELECT语句中，需对分组情况满足的条件进行判断时应该使用：D：HAVING36.下列SQL语句中，用来修改表结构的是：A：ALTER37.SQL中，谓词EXISTS可用来测试一个集合是否：C：为非空集合38.允许在嵌入的SQl语句中，引用主语言的程序变量，在引用时：C：这些变量前必须加符号“：”39.SQL语言具有两种使用方式，分别称为交互式SQL和：C：嵌入式SQL40.用（）命令可建立唯一索引：D：CREATE UNIQUE INDEX42.“日志“文件用于保存：B：数据操作41.事务的并发执行不会破坏DB的完整性，这个性质称为事务的：D：原子性43.在DB恢复时，对已经COMMIT但更新未写入磁盘的事务执行：A：REDO处理44.在DB技术中，“脏数据“是指：D：未提交随后又被撤销的数据45.如果有n个事务串行调度，那么不同的有效调度有：D：n!46.“断言“是DBS采用的：A：完整性措施47.事务的执行次序称为：C：调度48.解决并发操作带来的数据不一致性问题是普遍采用的技术是：A：封锁49.在SQL Server2000 所提供的服务中，最核心的部分是：A：MS SQL Server50.SQL Server2000的哪个子目录用来存放备份文件：B：\Backup51.下列哪个关键字不能用来激活触发器：D：Select52.T—SQL中默认的批处理分隔符是：A：go53.一个工作空间中可以建立多个目标，一个目标对应一个扩展名为（）的文件：B：.pbt54.在PB中，为开发人员提供关于工作空间的活动状态视图的是：B：系统树窗口55.PB中，设置焦点的函数是：C：setFoucus() 56.下面几种不是数据库应用系统开发工具的是：D：Flash MX填空题：1.文件系统中的数据独立性是指（设备）独立性2.DBMS是位于（用户）和（OS）之间的一层数据管理软件3.数据库的三级模式结构是对（数据）的三个抽象级别4.DBS中存放三级结构定义的DB称为（数据字典（DD））5.DBS的全局结构体现了其（模块功能）结构6.ER数据模型一般在数据库设计的（概念设计）阶段使用7.数据库应用系统设计中逻辑设计的主要内容是吧ER模型的（实体）和（联系）转换为关系模式8.ER方法是设计（概念数据模型）的方法9.现实世界到机器世界过渡的中间层次是（概念模型）10.在DBD中子类具有一个很重要的性质（继承性）11.DBS的维护工作由（DBA）承担12.关系模式的操作异常问题往往是由（数据冗余）引起的13.若关系模式R中没有非主属性，关系模式R∝（3NF）范式14.关系模范化过程的实质是（对关系模式不对分解的过程）15.“不能从已知的FD集使用推理规则导出的FD 不在F+中”，这是推理规则的（完备）性16.在关系模式R中，能函数决定所有属性的属性组，称为模式R的（超键）17.消除了非主属性对候选键局部依赖的关系模式，称为（2NF）模式18.两个函数依赖集F和G等价的充分必要条件是（F+=G+）19.查询优化是指系统对关系代数表达式进行优化组合，它的目的是（提高系统效率）20.自然连接要求被连接的两个关系具有（一个或多个相同的属性名）21.关系中没有行序的原因是（关系被定义为一个集合）22.关系模型的基本数据结构是（关系），其数据库存储时的基本组织方式是（文件）23.自然连接操作由（x,σ,π）等基本操作组合而成24.对关系进行垂直分割的操作称为（投影），对关系进行水平分割的操作称为（选择）25.视图是一个虚表，它是从（基本表）导出的表26.索引的用途是（快速查询）27.SQL中表结构的修改命令是（ALTER TABLE）28.DELETE删除的最小单位是（一个完整的元组）29.在SQL中的一个关系对应于一个（基本表）30.事务的原子性是由DBMS的（事务管理）子系统来实现的31.封锁技术中基本的两种封锁是排他型封锁和（共享型封锁）32.若事务T对数据A加上（X）锁，则允许T读取修改A，其他任何事务都不允许对A加任何类型的锁，直到T释放A上的锁33.在数据库技术中，把未提交的随后被撤销的数据称为（脏数据）34.S锁解决了丢失更新问题，但同时又可能会引起（死锁）问题35.SQL2中，程序开始时默认的事务存取模式是（PEAD WRITE）36.服务管理器在启动（SQL Server）服务后才能进行数据库操作37.企业管理器提高遵从（Microsoft管理控制台）的用户界面38.导入和导出数据可以完成多个数据库之间的（数据转化和转移）39.在SQL Server中，将一组具有相同权限的用户组织在一起称为（角色）40.T—SQL语言中局部变量的作用域是（当前的批处理）41.T—SQL中用于循环结构的流程控制语句是（While语句）42.创建局部临时表必须使用由（#）开头的表名43.PowerBuilder是一种企业级（数据库前端应用）和多层体系结构开发工具44.PB问世于1991年，最初是由（Powersoft）公司开发的45.PB采用面向对象的编程方法和（事件驱动）的工作原理46.PB9.0的开发空间的三个层次是Workspace、Target和（Library）47.Target（目标）用于描述加入到工作空间中的（应用）48.（输出窗口）用于显示对开发人员做出的操作响应49.PB9.0中，连接数据库时用（Connect）命令简答题：1．文件系统阶段的数据管理有些什么缺陷？试举例说明。
复习题参考答案一、填空题（第11、12、22小题每空1分，其余每空0.5分，共35分）1.对现实世界进行第一层抽象的模型称为概念数据模型，概念模型常用ER模型进行表示；对现实世界进行第二层抽象的模型称为逻辑数据模型，常用的逻辑模型有四种，包括层次模型、网状模型、关系模型、对象模型。
2.在ER模型中，实体用矩形框表示，联系用菱形框表示，属性用椭圆形框表示。
3.数据库的体系结构采用三级模式、两级映象，从而保证数据库系统具有两级数据独立性，两级数据独立性是指物理数据独立性和逻辑数据独立性。
4.数据定义语言的英文缩写为DDL ，数据操纵语言的英文缩写为DML 。
5.DBMS对数据库提供四个方面的控制功能，包括：安全性保护、完整性检查、并发控制、数据库恢复。
6.关系模型在实际使用中有多种类型的键，包括超键、候选键、主键、外键。
7.关系模型的三类完整性规则包括实体完整性规则、参照完整性规则和用户定义的完整性规则。
8.关系代数操作中，对一个关系进行垂直分隔，消去某些列的运算称为投影运算；根据某些条件对关系做水平分隔，即选取符合条件的元组的运算称为选择运算。
9.若关系R有m个元组，S有n个元组，则R×S有m×n 个元组。
10.关系演算可分为元组关系演算和域关系演算，其中的∃称为存在量词，∀称为全称量词。
11.在SQL Server 2000中，若在表S中增加一列，列名为Address，类型为变长字符串，最大长度为30，则相应的SQL语句为alter table S add Address varchar(30) ；若在表S中删除年龄Age列，则相应的SQL语句为alter tableS drop column Age 。
12.在学生表S(S#, SName, Age, Sex)上针对男同学创建一个视图，视图名为S_Male，视图包括S#、SName、Age三列，则相应的SQL语句为create view S_Male as select S#, SName, Age from S where Sex='男' ；删除该视图的SQL语句为drop view S_Male 。
第二章节数据库设计和ER模型1．数据库系统的生存期分成哪几个阶段？数据库结构的设计在生存期中的地位如何？分为七个阶段：规划阶段、需求分析概念设计、逻辑设计、物理设计实现阶段、运行和维护阶段数据库结构的设计是数据库应用系统设计的基础，它的好坏直接影响数据库的效率和质量，是数据库生存期中的一个非常重要的阶段。
2．数据库设计的规划阶段应做哪些事情？A、进行建立数据库的必要性及可行性分析。
B、确定数据库系统在组织中和信息系统中的地位。
C、以及各个数据库之间的联系。
3．数据库设计的需求分析阶段是如何实现的？目标是什么？这一阶段是计算机人员（系统分析员）和用户双方共同收集数据库所需要的信息内容和用户对处理的需求。
并以需求说明书的形式确定下来，作为以后系统开发的指南和系统验证的依据。
需求分析的工作主要由下面四步组成：A、分析用户活动，产生业务流程图。
B、确定系统范围，产生系统关联图。
C、分析用户活动涉及的数据，产生数据流图。
D、分析系统数据，产生数据字典。
4．数据字典的内容和作用是什么？数据字典通常包括：数据项、数据流、数据结构、数据存储和处理过程五个部分。
数据字典是系统中各类数据描述的集合，是一系列二维表格，是进行详细的数据收集和数据分析所获得的主要成果。
数据字典在数据库设计中占有很重要的地位。
5．试叙述概念设计的步骤。
分三步完成：A、进行数据抽象，设计局部概念模式。
B、将局部概念模式综合成全局概念模式。
C、对全局概念模式进行评审和确认。
6．什么是ER图？构成ER图的基本要素是什么？描述现实世界概念结构模型的有效方法称为ER方法，用ER方法建立的概念结构模型称为ER模型，或称为ER图。
ER图是由实体、实体的属性和实体之间的联系三个要素组成的。
7．试述采用ER方法的数据库概念设计的过程。
A、设计局部ER模式：确定局部结构范围，实体定义，联系定义，属性分配。
B、设计全局ER模式：确定公共实体类型，ER模式的合并，冲突的消除。
函数依赖集闭包、属性集闭包、超键、候选键和最⼩函数依赖集的求法。
函数依赖集的闭包F：FD的集合称为函数依赖集。
F闭包：由F中的所有FD可以推导出所有FD的集合，记为F+。
例1，对于关系模式R(ABC)，F＝{A→B,B→C}，求F+。
根据FD的定义，可推出F+={φ→φ,A→φ,A→A,A→B,A→C,A→AB,A→BC,A→ABC,…}，共有43个FD。
其中，φ表⽰空属性集。
属性集闭包属性集闭包定义：对F，F+中所有X→A的A的集合称为X的闭包，记为X+。
可以理解为X+表⽰所有X可以决定的属性。
属性集闭包的算法：A+：将A置⼊A+。
对每⼀FD，若左部属于A+，则将右部置⼊A+，⼀直重复⾄A+不能扩⼤。
超键、候选键若X+包含R的所有属性，则X是超键。
当X不可约时则为候选键。
如上例：A+＝ABC，则A为超键，因为A不可约则为候选键。
设关系模式R中U=ABC.......等N个属性，U中的属性在FD中有四种范围：(1)左右出现;(2)只在左部出现;(3)只在右部出现;(4)不在左右出现;求候选键算法：1.R:只在FD右部出现的属性，不属于候选码;2.L:只在FD左部出现的属性，⼀定存在于某候选码当中;3.N:外部属性⼀定存在于任何候选码当中;4.其他属性逐个与2,3的属性组合，求属性闭包，直⾄X的闭包等于U,若等于U,则X为候选码。
例2，对于关系模式R(ABCD)，F＝{A→B,B→C,D→B}，求其候选键。
先按照属性集闭包的算法，求各个闭包,然后求得候选键。
(1) 求A+。
① A+＝A。
②由A→B，⽽A €A+可知，则A+＝AB。
③由B→C，⽽B A+可知，则A+＝ABC。
④ A+封闭，即A+＝ABC。
(2) 求B+、C+、D+。
按步骤(1)可得：B+＝BC，C+＝C，D+＝BCD。
(3) 求其候选键。
显然，R的候选键为AD。
例3，对于关系模式R(ABC)，F={A→BC,BC→A}，求其候选键。
第一部分：一、求最小依赖集例：设有依赖集：F={AB→C，C→A，BC→D，ACD→B，D→EG，BE→C，CG→BD，CE→AG}，计算与其等价的最小依赖集。
解：1、将依赖右边属性单一化，结果为：F1={AB→C，C→A，BC→D，ACD→B，D→E，D→G，BE→C，CG→B，CG→D，CE→A，CE→G }2、在F1中去掉依赖左部多余的属性。
对于CE→A，由于C→A成立，故E是多余的；对于ACD→B，由于（CD）+=ABCEDG，故A是多余的。
删除依赖左部多余的依赖后：F2={AB→C，C→A，BC→D，CD→B，D→E，D→G，BE→C，CG→B，CG→D，CE →G }3、在F2中去掉多余的依赖。
对于CG→B，由于（CG）+=ABCEDG，故CG→B是多余的。
删除依赖左部多余的依赖后：F3={AB→C，C→A，BC→D，CD→B，D→E，D→G，BE→C，CG→D，CE→G }CG→B与CD→B不能同时存在，但去掉任何一个都可以，说明最小依赖集不唯一。
二、求闭包例：关系模式R（U，F），其中U={A，B，C，D，E，I}，F={A→D，AB→E，BI→E，CD→I，E→C}，计算（AE）+。
解：令X={AE}，X（0）=AE；计算X（1）；逐一扫描F集合中各个函数依赖，在F中找出左边是AE 子集的函数依赖，其结果是：A→D，E→C。
于是X（1）=AE∪DC=ACDE；因为X（0）≠X（1），且X（1）≠U，所以在F中找出左边是ACDE子集的函数依赖，其结果是：CD→I。
于是X（2）=ACDE∪I=ACDEI。
虽然X（2）≠X（1），但在F中未用过的函数依赖的左边属性已没有X （2）的子集，所以不必再计算下去，即（AE）+=ACDEI。
三、求候选键例1：关系模式R（U，F），其中U={A，B，C，D}，F={A→B，C→D}，试求此关系的候选键。
解：首先求属性的闭包：（A）+=AB，（B）+ =B，（C）+ =CD，（D）+ =D（AB）+ =AB，（AC）+=ABCD=U，（AD）+ =ABD，（BC）+ =BCD，（BD）+ =BD，（CD）+ =CD（ABD）+ =ABD，（BCD）+ =BCD，因（AC）+=ABCD=U，且（A）+=AB，（C）+ =CD，由闭包的定义，AC→A，AC→B，AC→B，AC→D，由合并规则得AC→ABCD=U；由候选码的定义可得AC为候选码。
