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二次函数动点问题(二)

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二次函数中的动点问题（二）
1、熟悉掌握二次函数的概念及图像的特征。

2、掌握二次函数解析式的具体求法及二次函数的一些基本性质及利用二次函数的性质解决一些极值问题：如 边长、面积、利润等。

3、解决二次函数中因动点产生不同图形的问题及其包含的一些几何问题
一、
因动点产生的梯形问题
例1：已知平面直角坐标系xOy 中， 抛物线y ＝ax 2－(a ＋1)x 与直线y ＝kx 的一个公共点为A(4，8)．
（1）求此抛物线和直线的解析式；
（2）若点P 在线段OA 上，过点P 作y 轴的平行线交（1）中抛物线于点Q ，求线段PQ 长度的最大值； （3）记（1）中抛物线的顶点为M ，点N 在此抛物线上，若四边形AOMN 恰好是梯形，求点N 的坐标及梯形AOMN 的面积．
专项练习：
已知二次函数的图象经过A （2，0）、C (0，12) 两点，且对称轴为直线x ＝4，设顶点为点P ，与x 轴的另一交点为点B ．
（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；
（2）如图1，在直线 y ＝2x 上是否存在点D ，使四边形OPBD 为等腰梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M 是线段OP 上的一个动点（O 、P 两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P 向点O 运动，过点M 作直线MN //x 轴，交PB 于点N ． 将△PMN 沿直线MN 对折，得到△P 1MN ． 在动点M 的运动过程中，设△P 1MN 与梯形OMNB 的重叠部分的面积为S ，运动时间为t 秒，求S 关于t 的函数关系式．
学习过程
学习目标
例2：如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线
m
y
x
=(x＞0)交于点B(2，1)．过点(,1)
P p p-(p＞1)作x轴的
平行线分别交曲线
m
y
x
=(x＞0)和
m
y
x
=-(x＜0)于M、N两点．
（1）求m的值及直线l的解析式；
（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；
（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．
专项训练：
如图1，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F．
（1）求经过点A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；
（3）连结EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问当CF为何值时S最小，并求出最小值．
例3：已知：在直角梯形ABCD中，BC∥AD（AD＞BC），BC⊥AB，AB＝8，BC＝6．动点E、F分别在边BC 和AD上，且AF＝2EC．线段EF与AC相交于点G，过点G作GH∥AD，交CD于点H，射线EH交AD的延长线于点M，交AC于点O，设EC＝x．
（1）求证：AF＝DM；
（2）当EM⊥AC时，用含x的代数式表达AD的长；
（3）在（2）题条件下，若以MO为半径的⊙M与以FD为半径的⊙F相切，求x的值．
专项训练：
如图1，⊙O的半径为5，直线y＝kx＋b交x轴于点A、交y轴于点B．
(1)若OA＝OB．
①求k；
②若b＝4，点P为直线AB上一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为C、D，若∠CPD＝90°，求点P的坐标；
(2)若
1
2
k=-，且直线y＝kx＋b分⊙O的圆周为1∶2两部分，求b的值．
四、因动点产生的线段和差问题
例4：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－4，3）、B（2，0）两点，当x＝3和x＝－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0，－2）的直线l与x轴平行，O为坐标原点．
（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；
（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；
（3）设直线AB上的点D的横坐标为－1，P（m，n）是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积．
专项训练：
已知直线y＝kx＋3 (k＜0)分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．（1）当k＝－1时，线段OA上另有一动点Q由A向O运动，它与点P以相同速度同时出发，当P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．
①直接写出t＝1秒时C、Q两点的坐标；
②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值．
（2）当
3
4
k=-时，设以C为顶点的抛物线y＝(x＋m)2＋n与直线AB的另一个交点为D（如图2）．
①求CD的长；
②设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？。

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二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)(可编辑修改word版)

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)(可编辑修改word版)


所以 S 2S△ADN ．
所以，四边形 MDNA 的面积 S (8 2t)(1 2t) 4t2 14t 8 ． 因为运动至点 A 与点 D 重合为止，据题意可知 0 ≤ t 4 ． 所以，所求关系式是 S 4t2 14t 8 ， t 的取值范围是 0 ≤ t 4 ．
单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，
点 M ，点 N 同时以每秒 2 个单位的速度沿坚直方向分别 向下、向上运动，直到点 A 与点 D 重合为止．求出四边 形 MDNA 的面积 S 与运动时间 t 之间的关系式，并写出 自变量 t 的取值范围； （3）当 t 为何值时，四边形 MDNA 的面积 S 有最大值，
函数解题思路方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶 点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数 ax²+bx+c=0 中 a,b,c 的符号，或由二次函
数中 a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的
二次函数的动态问题（动点）
1.如图，已知抛物线 C1 与坐标轴的交点依次是 A(4，0) ， B(2，0) ， E(0，8) ．
（1）求抛物线 C1 关于原点对称的抛物线 C2 的解析式；
（2）设抛物线 C1 的顶点为 M ，抛物线 C2 与 x 轴分别交
于 C， D 两点（点 C 在点 D 的左侧），顶点为 N ，四边 形 MDNA 的面积为 S ．若点 A ，点 D 同时以每秒 1 个
并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形 MDNA 能否形成矩形？若 能，求出此时 t 的值；若不能，请说明理由．
二次函数动点问题解答方法技巧含例解答案

二次函数动点问题解答方法技巧含例解答案

函数解题思路方法总结：⑴ 求二次函数的图象及x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大〔小〕值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax ²+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或及x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 及二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax ²+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，提醒二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形，考察问题也是特殊图形，所以要把握好一般及特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性〔特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

〕 动点问题一直是中考热点，近几年考察探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

二、 抛物线上动点5、〔湖北十堰市〕如图①， 抛物线32++=bx ax y 〔a ≠0〕及x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，及y 轴交于点C ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴及x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？假设存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；假设不存在，请说明理由．(3) 如图②，假设点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．注意：第〔2〕问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM 为半径画弧，及对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，及对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线及对称轴交点即为所求点P。

二次函数动点问题专题练习答案

二次函数动点问题专题练习答案

二次函数动点问题专题练习答案1. 运用二次函数知识解决问题（1）当自变量 x 取何值时，二次函数 y = ax²+ bx +c 的值达到最小值（或最大值）？答：当自变量 x 取 -b/2a 时，二次函数 y = ax²+ bx +c 的值达到最小值（或最大值）。

（2）若已知抛物线上两点坐标为（x1, y1）, （x2, y2）, 试写出该抛物线二次函数的一般式，并求出该抛物线的解析式。

答：设抛物线二次函数为y=ax²+bx+c则有以下方程组：ax1²+bx1+c =y1ax2²+bx2+c =y2-可列出-x1²·a + x1·b + c - y1 = 0x2²·a + x2·b + c - y2 = 0x3²·a + x3·b + c - y3 = 0-即-| x1² x1 1 || x2² x2 1 | = 0| x3² x3 1 |由于已知 2 个点，可以得到3个方程组代入高斯消元法得到a、b、c三个系数，因此解析式y=ax²+bx+c2. 解决实际问题的应用题以一个具体问题为例，说明如何解决动点问题。

【例题】马路边缘水坑中心挖开，呈抛物面，最深处为4m、直径10m。

现在要在中心位置挖一道V字形沟渠，宽5m，深2m，请问水从沟渠可以流多少吨？若要确保塌方风险不会增加，每日流出水量不得超过150m³？解：先画出示意图假设某一时刻水位高度为 h，抛物线面积为 S，则有S = πr² + 2·(2·h)·(πr/2)因为题目已知直径为10m，则半径为 5m，即 r=5所以，S = 25π + 10h设 h = -x² + 4 （因为最深处为4m），并且将 V 字形沟渠截面看作若干个矩形的叠加，则矩形面积为：A = (5 - x) · 2 = 10 - 2x而矩形面积与水位高度 h 存在联系，即：S = A + πx²代入 h = -x² + 4 和S = 25π + 10h，解得：x ≈ 2.036因此，此时的流量为：V = A · x ≈ 20.364 m³/s即使每日流出水量达到最大 150m³，也可以满足问题的需求。

二次函数动点问题类型

二次函数动点问题类型

二次函数动点问题类型一、求解动点坐标问题：1.已知二次函数的图像经过特定点，求该点的坐标。

例如，已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像过点(2,5)，求a、b、c的值。

解：由于(2,5)是曲线上的一点，所以满足曲线上的点的坐标满足函数的定义关系式，即：y=ax^2+bx+c代入已知点的坐标，得到：5=4a+2b+c再结合二次函数的性质，无论a、b、c取何值，都可以确定一个二次函数，因此需要再提供其他的条件才能完全确定a、b、c的值。

2.已知二次函数的顶点坐标，求顶点坐标与对称轴的方程。

例如，已知二次函数y=ax^2+bx+c的顶点坐标为(2,3)，求对称轴的方程和a、b、c的值。

解：根据二次函数的性质，二次函数的顶点坐标位于对称轴上，所以对称轴的方程可以通过已知的顶点坐标得到。

对称轴的方程为x=顶点的横坐标，即x=2然后，再结合二次函数顶点坐标的性质，即顶点坐标(2,3)满足a*(2^2)+b*2+c=3，代入这个关系式，可以求解出a、b、c的值。

3.已知二次函数的零点，求函数的表达式。

例如，已知二次函数y=ax^2+bx+c的零点为x=1和x=3，求函数的表达式。

解：已知x=1和x=3是函数的零点，代入函数的定义关系式，得到a*(1^2)+b*1+c=0和a*(3^2)+b*3+c=0。

进一步整理就可以得到一个由a、b、c构成的方程组，解这个方程组就可以确定a、b、c的值，从而得到二次函数的表达式。

二、研究动点运动规律问题：1.如何通过二次函数的图像研究点的运动规律？二次函数可以表示一个抛物线的图像，通过分析二次函数的各项系数可以得到抛物线的开口方向、顶点坐标等信息，从而研究点的运动规律。

例如，当二次函数的a大于0时，抛物线开口向上，顶点坐标为最低点，点的运动趋势是从下往上；当二次函数的a小于0时，抛物线开口向下，顶点坐标为最高点，点的运动趋势是从上往下。

2.如何通过已知条件研究点的运动规律？已知的条件可以包括点的初始位置、速度、加速度等信息，将这些信息转化成数学问题，从而得到二次函数的各项系数，进而通过研究二次函数的图像研究点的运动规律。