左开右闭区间
(a ,b]
这样实数集R 也可用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x ≥a ,x>a ,x ≤b ,x
二、典型例题
(一)、判断变量间的关系。
1、函数关系 多对一 非函数关系:一对多 一对一
2、根据图形判断对应关系是否为函数关系的方法。
作垂直于x 轴直线l →在定义域内移动l →只有一个交点的是函数关系,有两个
或两个以上交点的不是函数关系。
3、判断一个对应关系是否为函数的方法。
判断A 、B 是否为非空数集→判断A 中任一元素在B 中的是否有元素与之对应→判断A 中任一元素在B 中的对应关系是否是唯一确定的。
(二)求函数的定义域
1、求给出解析式的函数的定义域(求使解析式各部分都有意义的自变量的取值范围)
①分式中分母不为零;②偶次根式中,被开方数非负;③x 0中,x ≠0; ④整式部分自变量的取值范围为R.
2、求抽象函数的定义域。 ①已知
的定义域是[a ,b ],求的定义域。
解
,即为所求的定义域。
②已知
的定义域是[a ,b ],求f(x)定义域。
方法是:由
,求g(x)的值域,即所求f(x)的定义域。
③已知f(g(x))定义域[a ,b ],求f(h(x))的定义域。
用题型②的方法根据y=f(g(x))定义域求y=f(x)的定义域,用题型①的方法根据y=f(x)的定义域求y=f(h(x))的定义域。 (注:在同一法则f 下,
与f(h(x))中g (x )与h(x)的范围是相同的。)
④已知()f x 的定义域,求四则运算型函数的定义域。
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,其定义域为各基本函数定义域的交集,即先求出各个函数的定义域,再求交集。
例:若()f x 的定义域为[]35-,,求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域.
解:由()f x 的定义域为[]35-,,则()x ϕ必有353255x x --⎧⎨
-+⎩,
,
≤≤≤≤解得40x -≤≤.
所以函数()x ϕ的定义域为[]40-,.
练习:已知函数定义域是,求的定义
域。
分析:分别求f(x+a)与f(x-a)的定义域,再取交集。 解:由已知,有
,即函数的定义域由确
(比较两个区间左右端点,取交集)
函数
的定义域是
3、求实际问题中的函数的定义域。
①满足解析式;②实际意义对自变量的限制(处理几何图形的周长、面积、体积等问题时,切记各线段的长度均为正数。)
4、函数定义域的逆向思维(已知所给函数的定义域,求解析式中参数的取值范围。)
解法:当二次函数的二次项系数不确定时,需要对其是否为0进行分类讨论;运用转化思想,把函数定义域问题转化成恒成立问题。
例1、 已知函数
的定义域为R ,求实数m 的取值范围。
分析:函数的定义域为R ,表明,使一切x ∈R 都成立,由项的
系数是m ,所以应分m=0或
进行讨论。
解:当m=0时,函数的定义域为R ;