2018年大一轮数学理高考复习人教专题测试二 三角函数

专题测试二 三角函数与解三角形

(时间90分钟，满分100分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知角α的顶点在原点，始边为x轴正半轴，终边与圆心在原点的单位圆交于点A(m，3m)，则sin 2α＝( )

A．±34 B.34

C．±32 D.32

解析：选D.本题考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦．由题意得tan α＝3，则sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin2α＋cos2α＝2tan αtan2α＋1＝233＋1＝32.

2.已知sinπ2＋α＝cos(π－α)，则α的取值范围是( )

A．{α|α＝2kπ＋π4，k∈Z} B．{α|α＝2kπ－π4，k∈Z}

C．{α|α＝kπ＋π2，k∈Z} D．{α|α＝kπ，k∈Z}

解析：选C.根据诱导公式可知，sinπ2＋α＝cos α，

cos(π－α)＝－cos α，∵sinπ2＋α＝cos(π－α)，

∴cos α＝－cos α，∴cos α＝0，∴α＝kπ＋π2，k∈Z.

3．函数y＝sin24x是( )

A．最小正周期为π4的奇函数

B．最小正周期为π4的偶函数

C．最小正周期为π的奇函数

D．最小正周期为π的偶函数

解析：选B.∵y＝sin24x＝1－cos 8x2＝12－12cos 8x，

∴函数y＝sin24x是最小正周期为π4的偶函数．

4．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则ω和φ的取值是(

)

A．ω＝1，φ＝π3 B．ω＝1，φ＝－π3

C．ω＝12，φ＝π6 D．ω＝12，φ＝－π6

解析：选C.由题图可知T4＝2π3－－π3＝π，∴T＝4π，∴ω＝2πT＝12，∴f(x)＝sin12x＋φ，将2π3，1代入可求得φ＝π6.

5．已知tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，则tanα＋π4＝( )

A.318 B.1318

C.322 D.1322

解析：选C.本题主要考查两角差的正切公式．因为α＋π4＝(α＋β)－β－π4，所以tanα＋π4＝tanα＋β－β－π4＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋βtanβ－π4＝322.

6．已知函数f(x)＝3sin ωx(ω＞0)的周期是π，将函数f(x)的图象沿x轴向右平移π8个单位，得到函数y＝g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为( )

A．g(x)＝3sin2x－π8

B．g(x)＝3sin2x－π4

C．g(x)＝－3sin2x＋π8

D．g(x)＝－3sin2x＋π4

解析：选B.由题意知2πω＝π，∴ω＝2，则f(x)＝3sin 2x，将函数f(x)的图象沿x轴向右平移π8个单位，得到函数y＝3sin2x－π4的图象，则g(x)＝3sin2x－π4.

7．函数y＝sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x的最小正周期和最小值分别为( )

A．π，2－2 B．π，0

C．2π，0 D．2π，2－2

解析：选A.y＝sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋2＝2sin2x＋π4＋2.∵ω＝2，∴T＝2π2＝π，则函数的最小正周期为π.令2x＋π4＝－π2＋2kπ(k∈Z)，即x＝kπ－3π8(k∈Z)时，ymin＝2－2，则函数的最小值为2－2.

8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝13，则c＝( )

A．4 B.15

C．3 D.17

解析：选D.由题意求出cos C，利用余弦定理求出c即可．∵cos(A＋B)＝13，∴cos C＝－13.在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝－13，根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋4－2³3³2³－13＝17，∴c＝17.

9．已知函数f(x)＝sinωx＋π4(ω＞0)在π2，π上单调递减，则ω的取值范围可以是( )

A. 12，54 B. 0，54

C. 0，12 D. (0,2]

解析：选A.本题考查三角函数单调性的应用．

法一：通过取特殊值ω＝2，ω＝13，验证三角函数自变量的范围，排除选项，得到结果．令ω＝2⇒ωx＋π4∈5π4，9π4，不符合题意，排除D；令ω＝13⇒ωx＋π4∈5π12，7π12，不符合题意，排除B，C.故选A.

法二：y＝sin x的单调递减区间为2kπ＋π2，2kπ＋3π2，k∈Z，则 ωπ2＋π4≥2kπ＋π2ωπ＋π4≤2kπ＋3π2k∈Z，解得4k＋12≤ω≤2k＋54，k∈Z，又由4k＋12－2k＋54＝2k－34＜0，k∈Z得k＝0，所以ω∈12，54，故选A.

10．将函数y＝3sin2x＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )

A．在区间π12，7π12上单调递减

B．在区间π12，7π12上单调递增

C．在区间－π6，π3上单调递减

D．在区间－π6，π3上单调递增

解析：选B.本题考查三角函数的图象变换、三角函数的性质等知识．由题意可得平移后的函数为

y＝3sin2x－π2＋π3＝3sin2x－2π3，令2kπ－π2≤2x－2π3≤2kπ＋π2，k∈Z，解得kπ＋π12≤x≤kπ＋7π12，k∈Z，故该函数在kπ＋π12，kπ＋7π12(k∈Z)上单调递增，当k＝0时，选项B满足条件．

11．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a，b是方程x2－23x＋2＝0的两个根，且2sin(A＋B)－3＝0，则c＝( )

A．4 B.6

C．23 D．32

解析：选B.∵a，b是方程x2－23x＋2＝0的两个根，

∴a＋b＝23，ab＝2.

又2sin(A＋B)－3＝0，即sin(A＋B)＝32，

∴sin C＝sin＝sin(A＋B)＝32，

又C为锐角，∴cos C＝1－sin2C＝12.

根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝6，∴c＝6(负值舍去)．

12．已知函数y＝sin x＋acos x的图象关于直线x＝5π3对称，则函数y＝asin x＋cos x的图象关于直线( )

A．x＝π3对称 B．x＝2π3对称

C．x＝11π6对称 D．x＝π对称

解析：选C.y＝sin x＋acos x＝1＋a2sin(x＋φ)，其中tan φ＝a.

因为函数y＝sin x＋acos x的图象关于直线x＝5π3对称，

所以5π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，即φ＝kπ－7π6，k∈Z.

由此可得a＝tan φ＝tankπ－7π6＝－33，k∈Z，

则函数y＝asin x＋cos x＝－33sin x＋cos x＝－233sinx－π3，其对称轴方程是x－π3＝kπ＋π2，k∈Z，即x＝kπ＋5π6，k∈Z，当k＝1时，对称轴方程为x＝11π6.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，把答案填在相应题号后的横线上．)

13．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．

解析：本题主要考查两角和的正弦公式的应用和三角函数最值的求解．f(x)＝sin－2sin

φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ＝sin(x＋φ－φ)＝sin x，因为x∈R，所以f(x)的最大值为1.

答案：1

14．在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos2x＋π6，④y＝tan2x－π4中，最小正周期为π的所有函数为________．

解析：本题主要考查三角函数的周期和函数图象的翻折变换等知识，数形结合是解题的关键．①y＝cos|2x|的最小正周期为π；②y＝|cos x|的最小正周期为π；③y＝cos2x＋π6的最小正周期为π；④y＝tan2x－π4的最小正周期为π2.所以最小正周期为π的所有函数为①②③.

答案：①②③

15．若动直线x＝a与函数f(x)＝sin x和g(x)＝cos x的图象分别交于M，N两点，则MN的最大值为________．

解析：本题考查三角函数的图象和性质．设直线x＝a与函数f(x)＝sin x图象的交点为M(a，y1)，直线x＝a与函数g(x)＝cos x图象的交点为N(a，y2)，则MN＝|y1－y2|＝|sin a－cos a|＝2|sina－π4|≤2.

答案：2

16．如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30 m，并在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________.

解析：本题主要考查解三角形的实际应用．在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理，得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD，即BCsin 30°＝30sin 135°，所以BC＝152(m)．在Rt△ABC中，AB＝BC²tan∠ACB＝152³3＝156(m)．

答案：156m

三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝3cos 4x－2cos22x＋π4＋1.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求函数f(x)在区间－π6，π4上的取值范围．

解：(1)由题意知，f(x)＝3cos 4x－cos4x＋π2＝3cos 4x＋sin 4x＝2sin4x＋π3，∴函数f(x)的最小正周期T＝2π4＝π2.

(2)∵－π6≤x≤π4，∴－π3≤4x＋π3≤4π3，

∴－32≤sin4x＋π3≤1，∴函数f(x)的取值范围为．

18．(本小题满分10分)三角形的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足a2＋c2－b2＝3ac.