微积分试卷

浙江工业大学之江学院08/09学年第二学期

微积分B期终试卷(A卷)

一、选择题（每小题3分，共15分）：

1、设)(xf在),(内连续,则20()xdftdtdx（ ）

A） )(2xf B）xxf2)(2 C）xxf2)(2 D）)(2xf

2、设积分区域D是连接三点（1，1），（4，1），（4，2）的线段围成的三角形，

则Dd4 （ ）

A）4 B）6 C）8 D）12

3、下列级数中条件收敛的是（ ）

A) 2110sinnnn B) 112nnn

C) 1211)1(nnn D) 1)1(nnn

4、二元函数(,)fxy在点）（00,xy处两偏导数),(),,(0000yxfyxfyx存在是函数(,)fxy在点）（00,xy处可微的（ ）

A）充分非必要条件 B）必要非充分条件

C）充要条件 D）即非必要条件也非充分条件

5、幂级数02)1(nnnx的收敛区间为（ ）

A、(1,3) B、(1,1) C、(2,2) D、(0,1)

二、填空题（每题3分，共15分）：

1、设(,)fxy=22tan[(1)(1)]xxyyexy,则(1,1)xf= 。

2、交换积分次序210(,)yydyfxydx 。

3、5422(1)cosxxdx= 。

4、31lnedxxx= 。

5、差分方程tyytt12的特解形式是（不需要解出） 。

三、计算题(每题6分，共30分) 1、设),(yxzz是由方程033zxyz所确定的隐函数，试求dz

2、设23(,)zfxyxy,且),(vuf具有一阶连续偏导数.求,zzxy

3、计算Ddxdyxy2，其中D为曲线1xy及直线2x，xy所围成的闭区域。

4、22cosDxydxdy，D：22224yx。

5、求微分方程初值问题的解20(1)21|1xxyxyy.

四、级数（20分）

1、求幂级数111)1(nnnnx的和函数，写出收敛区间，并利用上结论求数项级数1112)1(nnnn的和.（12分）

2、将函数2211)(xxxf展开成关于x的幂级数,并指出收敛区间。（8分）

五、应用题（20分）

1、定积分在几何上的应用(10分)

求由曲线xy和直线2xy所围成的图形的：

（1）面积； （2）绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

2、某公司的甲,乙两厂生产同一种产品,月产量分别为x和y(千件),甲厂的月生产成本是:5221xxc(千元),乙厂的生产成本是:4422yyc(千元).现欲使总成本最小,试求:若要求产品的月产量为10(千件),问每个厂的最优月产量是多少. (10分)

浙江工业大学之江学院08/09学年第二学期

一、1、 C 2、 B 3 、D 4、 B 5、 A

二、 1、 2ln2。 2、10(,)xxdxfxydy 3、38 4、12 5、AtB

三、1、设),(yxzz是由方程033zxyz所确定的隐函数，试求dz

解：zxyzzyxF3),,(3 1’

则13,3,32'''zFxFyFzyx 2’ ''zxFFxz,

1332zy 1’

1332zx 1’

∴dyzxdxzydz13313322 1’

2、设23(,)zfxyxy,且),(vuf具有一阶连续偏导数.求,zzxy

解：

3、计算Ddxdyxy2，其中D为曲线1xy及直线2x，xy所围成的闭区域。

由xyxy1 得交点(1,1) 则

D:xyxx121 2’

Dxxdyxydxdxdyxy21122 2’

4817)31(21213xx 2’

4、dxdyyxcos22，：22224yx。

如图示,D:022r 2’

22220coscosDxydxdydrrdr 2’

2222cos2(sinsin)4rrdrrrrdr 2’

5、求微分方程初值问题的解1|y1xy2y)x-1(0x2.

解：原方程化为222111xyyxx22()1xPxx,21()1Qxx. 2’

由公式得: 222211211xxdxdxxxyeedxCx211xCx 2’ 2’

将01xy代入上式解出1C

∴11yx 2’

四、1、解: 收敛半径11(1)limlim1(1)(1)nnnnnnanRan，收敛区间(-1,1) 3’

设和函数111()(1)nnnSxnx 1x 1’

光对)(xS在(-1,1)内从0到x逐项积分,得:

1110011()(1)(1)1xxnnnnnnxSxdxnxdxxx 3’

再对上式两边对x求导,得 21()(1)Sxx 1x 2’

1121114(1)()1229(1)2nnnnS 3’

2、解：因为211112()()12(1)(12)3112fxxxxxxx

且011nnxx 1x 2’

所以1000112()(2(2))()33nnnnnnnfxxxx 2’

收敛区间为11(,)22 2’

五、1、由2yxxy得交点(4，2) ，（0，0） 2’

(1) ()2xdAxdx 3’

(2) 2()4xdVxdx 3’

2、由题意得:总成本942),(2221yxyxCCyxC 约束条件:10yx 故设函数)10(942),,(22yxyxyxyxL 2’

由条件得:31020421022'''yxLyLxLyx

1-2得: 01yx 代入3得: 0112y

5.5211y,5.429x 4’

因仅得唯一驻点,且在实际问题中存在着使总成本最小的每个厂的最优月产量,即甲厂的月产量为4.5千件,乙厂的月产量为5.5千件时,可使总成本最小. 1’

浙江工业大学之江学院09/10学年第二学期

微积分B期终试卷(A卷)

一、选择题（每小题3分，共9分）：

1、 考虑二元函数(,)fxy的下列四条性质：(,)fxy在点00,xy（）处

（1）连续，（2）两偏导数连续，(3) 可微，（4）两偏导数存在。若用

“PQ”表示可由性质P推出性质Q，则有（ ）

A）(3) （4）（1） B）(3) （2）（1）

C）（2） (3) （1） D）(3) （1）（4）

2、4．级数12131(1)nnn，则级数（ ）

A）发散 B）条件收敛 C）绝对收敛 D）收敛性不能确定

3、设)(xf连续，且,1)0(f则00()lim2xxftdtx（ ）

A） B）0 C）21 D）2

二、填空题（每题3分，共18分）：

1、422yxdxdy＝

2、522(sin1)cosdxxx 。

3、设3(,)2sin[(1)(1)]yxyfxyxeyx,则f(1,1)y＝ 。

4、0lim0nnu是级数1nnu收敛的 条件。 5、 0xedx 。

6、 差分方程ttttyy221的特解形式是（不需要解出） 。

三、计算题(每题7分，共35分)

1、设23(,)zfxyxy,且),(vuf具有一阶连续偏导数.求,,dzzzxy，

2、设(,)zzxy是由方程sinln()zxyxz所确定的隐函数，试求yzxz,

3、改变积分次序 计算2110yxdxedy

4、计算222222sin(),:14DxydDxyxy

5、解微分方程xyxysin',1xy

四、级数（18分）

1、求幂级数111)1(nnnnx的和函数，写出收敛区间，并利用上结论求数项级数1113)1(nnnn的和.（10分）