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数学微积分试题

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1 2008～2009学年第一学期

一、 填空：（4分*10）

1、若n阶方阵AB均可逆，AXB=C，则X= 。

2、设V是n元齐次线性方程组AX=0的解空间，A的秩为r，则V的维数为 。

3、设n阶方阵A的伴随矩阵为A*，则A*的行列式|A*|= 。

4、设n阶方阵A及m阶方阵B都可逆，则100BA 。

5、设A为3阶方阵，且行列式|A|=3，则|-2A|= 。

6、行列式111222111中2的系数是 。

7、设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为 。

8、设向量组)2,5,4,0(),0,,0,2(),1,1,2,1(321t的秩为2，则t= 。

9、设矩阵2112A，E为单位阵，矩阵B满足BA=B+2E，则|B|= 。

10、二次型323121232221321222),,(xxxxxxaxaxaxxxxf的矩阵为A= ，若二次型f经正交变换可化为标准型213yf，则a= 。

二、单项选择题：（3分*5）

1、设矩阵635241,654321,4321CBA，则下列矩阵运算有意义的是（）

（A）ACB； （B）ABC； （C）BAC； （D）CBA

2、若向量组rA,,:21可由向量组sB,,:21线性表示，则（ ）

（A）sr； （B）sr； （C）A的秩≤B的秩；（D）A的秩≥B的秩。

3、设A设3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，在把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为（ ）

101001010)(A

100101010)(B

110001010)(C

100001110)(D

4、设向量组321,,线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）

;,,)(133221A ;,,)(133221B 2 ;2,2,2)(133221C .2,2,2)(133221D

5、设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若03A，则（ ）

AEA)(不可逆，AE不可逆； AEB)(不可逆，AE可逆；

AEC)(可逆，AE可逆； AED)(可逆，AE不可逆.

三、（8分）设矩阵100021012A，矩阵B满足EBAABA*2*，其中*A为A的伴随矩阵，E为单位矩阵，求矩阵B。

四、（5分）设A为n阶正定矩阵，证明行列式1||EA。

五、（12分）设有齐次线性方程组0)4(44403)3(33022)2(20)1(4321432143214321xaxxxxxaxxxxxaxxxxxa

试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。

六、（8分）设21,是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,，证明)(,211A线性无关的充分必要条件是02。

七、（12分）设3阶实对称矩阵A的特征值1,2321，T)1,1,1(1是A的属于1的一个特征向量（I）求A的对应于132的特征向量；（II）求一个正交矩阵P，使得APPT为对角阵，并写出该对角阵；（III）求矩阵A。

2007～20089学年第二学期

一．填空题（5分×6＝30分）

1. 设(,,),AB211241,则AB____________BA________________

2. 设120313202123A,则()RA__________________ 3 3. 设4阶方阵A0052002112001100，则A的逆矩阵A1________________

4. 已知3是可逆矩阵A的一个特征值，则()AAE211253有一个特征值为

_____________________

5. 二次型fxaxxx22121223为正定二次型,则a_______________

6. 已知矩阵A与矩阵B相似，P为变换矩阵即BPAP1，是矩阵A关于特征

值的特征向量，则矩阵B关于特征值的特征向量为____________

二.(16分)设A120131012，求**,,,()AAAA12。

三．（10分）设,,123为列向量。,112323,22323

31232.已知,,123线性相关，判断并说明,,123的线性相关性。

四. (10分)设(,,,),(,,,),(,,,),123140251303241(,,,),42954

求(1)向量组,,,1234的秩(2)向量组,,,1234的一个最大无关组。

五．（12分）求方程组xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx123451234512345123454342355632035678的解。

六．（18分）已知二次型(,,)222123123236332fxxxxxxxx

（1）写出(,,)fxxx123的对称矩阵A及其矩阵表示式。

（2）求一个正交矩阵P，使变换XPY将二次型(,,)fxxx123化为标准型。

（3）求BA10。

七．（4分）证明正交矩阵A的伴随矩阵*A也是正交矩阵。

4 2009-2010第一学期A卷

一、填空题（每小题4分，共40分）.

1. 设A为3阶矩阵且行列式 ||2A，则 13TAA ，A .

2. 设向量组(a 3 1)T (2 b 3)T (1 2 1)T (2 3 1)T的秩为2 则a= , b= .

3. 设n维向量Txx)00(，，，，,0x; 矩阵TEA,且TxEA11，则x___ _.

4. 设A为3阶矩阵 1||2A 则1(2)5AA .

5. 已知11111bbaaA相似于对角阵

210, 则a= , b= .

6. 设232221321111aaaaaaA，111b，其中ia互不相同，3,2,1i，则||A__

_______ ,

线性方程组bxAT的解是____ ___ ___.

7. 设4阶矩阵A满足行列式0|2|AE，EAAT3，0||A，则其逆矩阵1A必有一个特征值为 , 其伴随矩阵A必有一个特征值为 .

8. 二次型23222121321422),,(xxxxxxxxf＋ 的矩阵为A ,

若其为正定二次型, 则的取值范围为 .

9. 设矩阵11133312166612Aab为正交矩阵, 则a = , b = .

10. 设T, , x)201(1、T, , x)54(32是3元非齐次线性方程组bAx的两个解向量，则对应齐次线性方程0Ax有一个非零解 ; 又若()2RA,

则非齐次线性方程组bAx的通解为 .

5 二、单项选择题（每小题3分, 共15分）

1. 设4阶行列式det()ijDa, 则D的展开式中, 下列各项符号为负的是 .

A. 44332211aaaa； B. 44312312aaaa； C. 13213442aaaa； D. 44322113aaaa.

2. 设BA,为 n 阶矩阵, 且()()RARB,则

A. ()0RAB；B. ()2()RABRA；C. ()2()RABRA，；D. ()2()RABRA，.

3. 设33001010100mnijPAaPAPA，，若，则以下选项中正确的是 .

A. 45nm，； B. 55nm，； C. 54nm，； D. 44nm，.

4. 设33)(jiaA的特征值为1，2，3，ijA是行列式 ||A 中元素jia的代数余子式，

则 112233AAA＝ .

A. 21； B. 11； C. 22； D. 36.

5. 设BA,为 n 阶矩阵, 且0AB, 0B，则必有 .

A. 222)(BABA； B. 0A； C. ||0A； D. ||0B.

三、(6分) 计算n阶行列式 121212111nnnnaaaaaaDaaa

四、（8分）设BA,为3阶矩阵，且满足EBBA421，其中200021021B，求A.

五、(12分) 已知线性方程组

bxaxxxxxx321312111，试问ba，取何值时，方程组有唯一解、无解、无穷多解？并当方程组有无穷多解时，求出其通解. 6

六. (7分)设向量组321，，线性无关，且可由向量组321，，线性表示。证明：

(1) 向量组321，，线性无关；(2) 向量组321，，与321，，等价.

七、(12分) 设110110002－－A，求一个正交矩阵P，使APP1为对角阵, 并求100.A

2009-2010第一学期B卷

一、填空题：（每小题4分，共40 分）

1. 设2154301200011311D, ijA是D中元素ija的代数余子式, 则4142AA .

2. 已知321,,线性相关, 3不能由12,线性表示, 则12,线性__________.

3. 设1121, 12111, 其中12，是非齐次线性方程组bAx的解, A为32矩阵, 且()2RA, 则线性方程组bAx的通解为 .

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微积分在高考数学试题中的应用

微积分在高考数学试题中的应用

上海中学数学・２０１３年第３期

微积分在高考数学试题中的应用

２００２３４上海师范大学数理学院王茜

随着新编高中教材内容的更新以及全国中学生

数学竞赛水平的不断提高，高等数学的思想和方法

的渗透越来越普遍和深入，高等数学中的某些概念

和理论与中学数学里相应知识的联系也日益增多．

纵观我国这几年的数学课程改革，高中课程标准中

增加了一些高等数学的基础知识（如向量、微积分、

概率和统计等），渗透了不少高等数学的思想方法．

中学数学中常用的高等数学方法有微积分法、

行列式法、向量法、概率法等．微积分是高中数学新

课程标准中新增的内容之一，它以数列极限为基础，

在中学数学的许多问题上能起到以简驭繁的作用，

四、全称命题的一题多解

例４已知户：ｚ２—２Ｔ＋ｎ＜。，ｑ：｛萎二篡丰ｉ主：，

且ｑ是ｐ的充分条件，求实数口的取值范围．

分析：ｑ：２＜Ｔ＜３，’．‘ｑ是户的充分条件，．‘．Ｖｚ

∈（２，３），Ｔ２—２ｚ＋口＜ｏ恒成立．

解１：（子集法）设Ｔ２—２ｚ＋口＜０的解集为

（ｚｌ，ｚ２），．‘．（２，３）∈（ｚ１，Ｔ２）．

令，（Ｔ）＝Ｔ２—２Ｔ＋口，结合图像可知

聪嚣得惫３．

解２：（函数思想）令．厂（ｚ）＝ｚ２—２ｚ＋ｎ，‘．。

厂（Ｔ）的对称轴为直线Ｔ一１，．。．厂（ｚ）在区间（２，３）上

单调递增，．。．厂（ｚ）。。。＜，（３）一３＋口，从而３＋ｎ≤ｏ，

得ｎ≤一３．

解３：（分离变量）将问题转化成口＜一ｚ２＋２ｚ

对Ｖｚ∈（２，３）恒成立，‘．’一３＜一ｚ２＋２ｚ＜０，．．．ｎ＜

（一ｚ２＋２ｚ）。，。，得口≤一３．

解决恒成立问题的方法有很多，一般根据具体

题目去选择适当的方法，而分离变量是比较常用的，

这样解题比较快而且正确率较高．

五、存在性命题的一题多解

例５若ｊｚ∈［１，２］使得ｚ２—２ｚ＋口＞ｏ成立，求实数口的取值范围．尤其是在不等式的证明、求函数极值与切线及单调

区间、方程根的讨论、求未知参数、求曲边图形的面

积等方面，不仅可以简化解法，而且能使问题的研究

清华大学微积分期中试题

清华大学微积分期中试题

清华大学本科生考试试题专用纸

考试课程 一元微积分 (A) 2010年 11 月 12 日

系名 班级 姓名 学号

一． 填空题（每空3分，共15题）（请将答案直接填写在横线上！）

1. =

⎟

⎠⎞

⎜

⎝⎛

++

∞→x

xxx

21

lim

。

2. =

+−

→xxxx

xarcsin2sin

lim

0 。

3. =

++

+∞→)1ln()1ln(

lim

3

xx

x 。

4. =

−−+

→2321

lim

4xx

x 。

5. 当0→x

时，

xxxf1

sin1

)(−=

为k

x

的同阶无穷小量，则=k

。

6. 函数

xx

exf

−−=

111

)(

在1=x

处间断点的类型为 。

7. 设)0(>

，则其微分=xxyx

=dy

。

8. )1sin(2

，则=′)(xf

)(+

=x

exf

。

9.

设由ty

决定)(xfttxcos,sin2=+=y=

，则在0=x

，即(0=t

)点=′)0(f 。

10. 设)0(

，则其反函数)(yxxln>+=xxeyx=

的导数=

dydx

。

11. 函数x

xex

的n

阶导函数=)()(

xfn

f=)()1(≥n

。

12. 函数52

在区间]2,2[)(24

+−=xxxf−

上最大值为 。

13. 设xxxfsin)(−=

，则=′)0(f

。

14. 曲线()()

331xxy−+=

在其上一点(1,0)−

的法线方程为 。

15. 曲线323

1yxxx=+++

的渐近线方程为 。

二． 计算题（每题10分，共4题）（请写出详细计算过程和必要的根据！）

1．确定值使函数在ba,

⎩⎨⎧

>++≤

=

0)1ln(0sin

)(

xbxxax

xf),(+∞−∞

内可导。

2.

计算x

xxln1

arctan

2lim

⎟

⎠⎞

⎜

⎝⎛

−

+∞→π

。

3.

设存在，且)(xf′′),(,1)(+∞−∞∈∀≠′xxf

，函数)(xyy=由方程确定，

求与。 )(yxfy+=

y′y′′

4．求xxxxf+−=23

2)(

的所有最大单调区间，上凸下凸区间，极大值点和极小值点，并画

出的图像示意图。 )(xfy=

多元微积分试题

多元微积分试题

多元微积分试题

一、判断题(每题1分)

1．平面032yx与z轴垂直． （ ）

2．多元初等函数在其定义区域上是连续的 （ ）

3．若函数),(yxf可微则一定连续． （ ）

4．点)0,0(是函数xyz的极值点． （ ）

5．若D：1,3yx,则0)xDdxdyy（． （ ）

二、填空题(每题2分)

1.二元函数)ln(1xyz的定义域为 。

2.函数000),(222222yxyxyxxyyxf，在原点的极限 。

3.222yxyxz，则11yxdz= 。

4.设)(yxeefz,且)(uf可微，则yzexzexy 。

5.设D,20,1x0Dxydxdyy则：= 。

三、选择题（每题3分）

1．若Ayxfkxy),(lim0对任何k都成立，则必有（ ）．

(A) ),(yxf在（0，0）处连续 ；

（B）),(yxf在（0，0）处有偏导数；

(C)Ayxfyx),(lim00；

(D) ),(lim00yxfyx不一定存在；

2．)(sin2byaxz 则yxz2=（ ）

(A))(2cos22byaxa ； （B）)(2cos2byaxab ；

(C) )(2cos22byaxb； (D) )(2sin2byaxab ．

3．若函数f(x,y)在点（x0,y0）处存在偏导数),(00yxfx0),(00yxfy，则f(x,y)在点（x0,y0）处（ ）

（A）连续 （B）可微且有极值 （C）有极值 （D）可能有极值

高等数学(微积分)试题~

高等数学(微积分)试题~

历史旅游管理、国际贸易、市场营销、公共事业管理专业2006级本科《微积分》2006年秋期期末试题B卷

本试卷需：答题纸 页 草稿纸 页 试卷审核时间： 年 月 日

第 1 页 共 2 页

一、单项选择题：（4分×6=24分）

1、函数y=︱x-1︱在x=1处（ ）

A．连续可导 B．连续不可导 C．可导不连续 D．不连续，不可导

2、下列极限错误的是（ ）

A．xex10lim B．0lim10xex C．xex10lim D．1lim1xex

3、设任意的x有f(-x)=-f(x),且f’(-x)=-k (k≠0)

则f’(x0)=( )

A．k B．- k C．k1 D．-k1

4、函数在定义域内（ ）

A．单调增加 B．单调减少 C．曲线上凹 D．曲线下凹

5、如果)()(xdgxdf，则一定有（ ）不成立

A．f(x)=g(x) B．f’(x)=g’(x) C．df(x)=dg(x) D．)()(''xgddxxfd

6、设cedxxfx)(，则dxxxf)(=( )

A．e-x(1-x)+c B．e-x(1+x)+c C．e-x(x-1)+c D．-e-x(1+x)+c

二、填空题：（3分×10=30分）

1、设，则的定义域为 。

2、计算极限)3(coslim1102xxxx= 。