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高二数学(选修-人教B版)-导数的实际应用-1教案

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教 案

教学基本信息

课题 导数的实际应用

学科 数学 学段：高中 年级 高二

教材 书名:书名：普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1 （B版）

出版社：人民教育出版社出版日期

教学目标及教学重点、难点

教学目标：

1. 引导学生用导数方法求解有关用料最省、利润最大、效率最高等最优化问题；感受导数在解决实际问题中的作用.

2. 通过实际生活中最优化问题的分析、求解与决策，引导学生体会函数与方程思想、数形结合、转化思想在解决实际问题中的应用，提升数学建模、数学运算等数学学科核心素养.

教学重点：

利用导数知识解决实际生活中的最优化问题.

教学难点:

如何建立函数模型，把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系.

教学过程(表格描述)

教学环节 主要教学活动 设置意图 引入 生活中，经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这节课，我们一起学习利用导数解决生活中的一些优化问题． 直接切入话题，明确课堂内容

新课 （一）案例示范，学习方法

例１．有一块边长为a正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？

问题：利用函数解决实际问题的基本步骤是什么？

解：设截下的小正方形边长为x，容器容积为)(xV，则做成的长方体形无盖容器底面边长为xa2，高为x，

)20( )2()(2axxaxxV

,44)(223xaaxxxV

问题：利用导数求函数最值的一般步骤是什么？ 案例示范，引导学生体验利用导数求实际问题中最优解. aaxx2axx

22()128Vxxaxa,

令()0Vx即081222aaxx

解得,611ax,211ax(舍去) ,611ax在区间)2,0(a内，1x可能是极值点．且

当10xx时，()0,Vx当21axx时，()0,Vx

因此1x是极大值点，且在区间)2,0(a，1x是唯一的极值点，所以,611axx是)(xV的最大值点．

即当截下的小正方形边长为6a时，容积最大． 阶段小结

解函数应用问题的步骤

(1)审题：审清题意，理清条件和结论，明确题目中的常量和变量，并作符号约定；

(2)建模：将文字语言转化为符号语言，建立适当的函数关系，结合实际背景明确定义域；

(3)解模：运用导数知识研究数学模型，求解函数最值及取得最值的条件．

(4)检验与还原：将数学结论还原为实际问题，并检验．

（二）尝试练习，应用方法

例2.班级举行活动，现请你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为 128dm2，上、下两边各空 2dm ，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？

整理解决问题的过程，形成思维范式

2 1 2

1 128 （审题）

解：设版心的高为x，则版心的宽为x128，此时四周空白面积为：

（建模）

0,85122128)2128)(4()(xxxxxxS

（解模）

所以0,5122)(2xxxS

解方程05122)(2xxS得16,1621xx

当)16,0(x时0)(xS，当),16(x时0)(xS，因此16x是函数的极小值点，也是最小值点．

即当16x时，min()72Sx.

（检验与还原）

所以当版心高为16dm ，宽为8dm时，即海报高为20dm ，宽为10dm时能使四周空白面积最小，最小值为72dm2.

法二：因为

7283228512220,85122)(xxxxxxS

当且仅当)0(5122xxx时，即当16x时，自主经历解决问题的过程，在应用中理解方法的本质. 求导，研究函数的单调性，确定最值取得的情况．

（三）自主实际，内化方法

例3.矩形横梁的强度同它的断面的高度的平方与宽的积成正比.要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应该是多少？

解：如图所示，设断面宽度为x，高为h，

则222hdx，

横梁的强度函数为

2()fxkxh（k为强度系数，0k），

所以

22()()(0)fxkxdxxd

则22()(3)fxkdx

令22()(3)0fxkdx

解方程2230dx，得两根33xd，其中负根没有意义，舍去.

当 3(0,)3xd时，()0fx，()fx单调递增；

当3(,)3xdd时，()0fx，()fx单调递减. hxd所以33xd是函数在区间(0,)d内只有一个极大值点，且是唯一的极大值点.

所以当33xd时，()fx取得最大值.

这时 2263hdxd.

即当宽为33d，高为63d时，横梁的强度最大.

例4.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积

2()2π2πSRRhR

由2πVRh，得2πVhR，

则22()2π2ππVSRRRR

222πVRR

则22()4πVSRRR

解方程224π0VRR

解得， 32πVR，

所以 hR当3(0,)2πVx时，()0SR，()SR单调递减；

当3(,)2πVx时，()0SR，()SR单调递增；

所以()SR只有一个极小值，即为最小值

即当32πVR，()SR取得最小值。

此时2πVhR=23π()2πVV=34πV=232πV，

即2hR.

当圆柱形金属饮料罐的容积一定，它的高与底面直径相等时，所用材料最省．

总结 １.利用导数求解实际最优化问题的步骤

实际问题—数学建模—导数求解——问题解决

（审题） （建模） （解模） （检验与还原）

2.数学思想方法

函数方程思想、数学结合思想、转化与化归思想

作业 1.用长度为l的铁丝围成长方形，求围成的最大面积.

2. 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x（吨）与每吨产品的价格p（元/吨）之间的关系式为：21242005px,且生产x吨的成本为50000200Rx（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润L达到最大？最大利润是多少？ （利润=收入-成本）

参考答案：

1. 216l.

2. 每月生产x吨时的利润为

)20050000()5124200()(2xxxxf

解方程23()2400005fxx

得12200,200xx（舍）

当[0,200]x时，()0fx，()fx单调递增；

当[200,)x时，()0fx，()fx单调递减；

所以200x是函数在[0,)上唯一的极大值点

所以当200x时，()fx取最大值.

即每月生产200吨产品时利润达到最大利润315万元.

312400050000(0)5xxx3max1()(200)240002005000031500005fx

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数学选修2-2第一章导数及其应用教案(人教B版)

数学选修2-2第一章导数及其应用教案(人教B版)

第 1 页 共 43 页 选修2－2第一章导数及其应用教案（人教B版）

1．1导数

1.1.1函数的平均变化率

一．教学目标：

了解函数的平均变化率

二．教学重点：

函数的平均变化率

三．教学过程

1．客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量

的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。由于函数概念的产生和运用的加深，也由于

科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这

门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创

造。

2．微积分学的建立

从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。

公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转

双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代

以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其

半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不

可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。

到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起

来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。

第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求

曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体

上的引力。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的

研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意

大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。十七世纪下半叶，

高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.2知识点总结含同步练习题及答案

高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.2知识点总结含同步练习题及答案

描述：高中数学选修2-2(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案

第一章 导数及其应用 1.2 导数的运算

一、学习任务

1. 理解导数的定义，能根据导数的定义，求函数 ，，，，，

的导数．

2. 了解基本初等函数的导数公式；了解导数的四则运算法则；能利用导数公式表中的导数公式

和导数的四则运算法则求简单函数的导数；能求简单的复合函数（仅限于形如）

的导数．

二、知识清单

导数的计算 利用导数求函数的切线方程

三、知识讲解

1.导数的计算

基本初等函数的导数公式

导数的运算法则

；

；

．

复合函数的导数

对于两个函数 和 ，如果通过变量 ， 可以表示成 的函数，那么称

这个函数为函数 和 的复合函数（composite function），记作y=cy=x

y

=

x2

y=x3

y=1

x

y=x√

f(ax+b)

基本初等函数

f(x)=c（c为常数）

f(x)=（α∈）xαQ∗

f(x)=sinx

f(x)=cosx

f(x)=（a>0且a≠1）ax

f(x)=ex

f(x)=xlog

a

f(x)=lnx基本初等函数的导函数

(x)=0f′

(x)=αf′

xα−1

(x)=cosxf′

(x)=−sinxf′

(x)=lnaf′

ax

(x)=f′ex

(x)=f′1

xlna

(x)=f′1

x

=(x)±(x)[f(x)±g(x)]′

f′

g′

=(x)g(x)+f(x)(x)[f(x)⋅g(x)]′

f′

g′

=(g(x)≠0)[]f(x)

g(x)′

(x)g(x)−f(x)(x)f′

g′

[g(x)]2

y=f(u) u=g(x) u y x

y=f(u) u=g(x)

y=f(g(x)) .

例题：

描述：

例题：复合函数 的导数和函数 ， 的导数间的关系为

是 对 的导数，即对的导数等于对的导数与对 的导数的乘积．

2.利用导数求函数的切线方程

利用导数求函数的切线方程

步骤一：求出函数 在点 处的导数 ；

步骤二：根据直线方程的点斜式，得到切线方程为 ． y=f(g(x)) .

y=f(g(x)) y=f(u) u=g(x)

高中数学第六章导数及其应用6.1.导数及其几何意义学案含解析B版选择性第三册 (1)

高中数学第六章导数及其应用6.1.导数及其几何意义学案含解析B版选择性第三册 (1)

必修第三册 (1)

6。1.2 导数及其几何意义

必备知识·素养奠基

1。(1)定义:一般地,设函数y=f(x)在x0附近有定义，自变量在x=x0处的改变量为Δx,当Δx无限接近于0时，若平均变化率=无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f(x）在x=x0处的瞬时变化率,此时,也称f(x)在x0处可导，并称k为f(x）在x=x0处的导数,记作f′(x0）=k.

“当Δx无限接近于0时，无限接近于常数k”还可以怎样表示?

提示:还可以表示为,当Δx→0时，→k，或者写成=k，即f′(x0）=。

（2）瞬时变化率f′(x0)的实际意义:当自变量在x=x0处改变量Δx很小时,因变量对应的改变量的近似值为f′（x0)Δx。

（1)函数y=f在x=x0处的导数一定存在吗?

提示：当Δx→0时，平均变化率的极限存在，则函数y=f在x=x0处可导,否则在x=x0处不可导或无导数。

(2）函数y=f在x=x0处的导数的定义还可以用别的式子表示吗? 必修第三册 (1)

提示:还可以表示为f′==等。

2.导数的几何意义

（1)割线：一般地,设S是平面上的一条曲线,P0是曲线S上的一个定点，P是曲线S上P0附近的点,则称直线PP0为曲线S的割线.

(2）切线:如果P无限接近于P0时,割线PP0无限接近于通过P0的一条直线l,则称直线l为曲线S在点P0处的切线.f′（x0）就是曲线y=f（x）在点（x0,f(x0）)处(也称在x=x0处）的切线的斜率.切线方程为y-f（x0）=f′（x0)（x-x0）。

（1)曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗？

提示：曲线的切线并不一定与曲线只有一个公共点，可以有多个，甚至可以有无穷多个。

（2）曲线的切线与导数有什么关系？

提示：①函数f(x)在x=x0处有导数，则函数f（x)在该点处必有切线，并且导数值就是该切线的斜率.

②函数f(x）表示的曲线在点(x0，f（x0）)处有切线，但函数f(x）在该点处不一定可导,例如f（x)=在x=0处有切线，但不可导.

高二数学(选修-人教A版)-导数的概念--1教案

高二数学(选修-人教A版)-导数的概念--1教案

教 案

教学基本信息

课题 导数的概念

学科 数学 学段：高中 年级 高二

教材 书名:书名：普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2 （A版）

出版社：人民教育出版社出版日期：2007 年 1 月

教学设计参与人员

姓名 单位

设计者

实施者

指导者

课件制作者

其他参与者

教学目标及教学重点、难点

教学目标：

1.通过对不同背景的分析，与学生共同体验由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数概念的形成过程.

2.领会瞬时变化率的实质，形成导数概念，给出导数的严格数学定义，了解导数内涵.

3.通过导数概念的形成过程，学习归纳、类比的推理方式；体验有限与无限、特殊与一般、化归与转化的数学思想；提高广泛联系、抽象概括能力；培养正确认识量变与质变、运动与静止等对立统一观点，形成正确的数学观.

教学重点、难点：

描述导数的概念及其形成过程.

教学过程(表格描述)

教学环节 主要教学活动 设置意图

引入 创设情景，探究高台跳水运动的平均速度与瞬时速度之间的关系

问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单

提出问题，引发思考.

位：s）存在函数关系2()4.96.510httt，如何求运动员在2ts时的瞬时速度呢？

新课 （一）设计方案，解决问题

由前面物理学科的学习我们会这样思考：物理上分析运动员运动状态，当运动员到达最高点，速度为零，所以运动员从起跳到达最高点所用时间是6.59.8t，此时0v，所以当2ts时，运动员在下落，利用公式6.509.8(2)13.19.8tvgt，2ts时，瞬时速度为13.1/ms.操作研究程、提炼研究结果

还有同学会有这样的想法：极短的一段时间内的平均速度可以近似认为是瞬时速度. 也就是说：当时间变化量t越来越小时，平均速度ht的值越来越接近瞬时速度.

师：首先选取2ts附近的一段时间[2,2](0)tt或[2,2](0)tt，然后求运动员在2ts附近的平均速度.