专题二 等腰三角形的存在性问题
【考题研究】
近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。
【解题攻略】
在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．
如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．
解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．
几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？
如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．
①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么 ；③如图3，如果CA＝CB，那么 ．
代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．
如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．
【解题类型及其思路】
解题类型：
动态类型：1.一动点类型问题；2.双动点或多动点类型问题
背景类型：1.几何图形背景；2.平面直角坐标系和几何图形背景
解题思路：
几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．
【典例指引】
类型一 【二次函数综合题中根据条件判定三角形的形状】
典例指引1．
抛物线2yxbxc与x轴交于点A，点B（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点M是其顶点．
第二部分：三角形
知识点：
一、关于三角形的一些概念
1、三角形的角平分线。
三角形的角平分线是一条线段（顶点与内角平分线和对边交线间的距离）
三条角平分线交于一点（交点在三角形内部，是三角形内切圆的圆心，称为内心）
2、三角形的中线
三角形的中线也是一条线段（顶点到对边中点间的距离）
三条中线线交于一点（交点在三角形内部，是三角形的几何中心，称为中心）
3．三角形的高
三角形的高线也是一条线段（顶点到对边的距离）
注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内。
如图 2－l， AD、 BE、 CF都是么ABC的角平分线，它们都在△ABC内
如图2－2，AD、BE、CF都是△ABC的中线，它们都在△ABC内
而图2－3，说明高线不一定在 △ABC内，
图2—3—（1） 图2—3—（2） 图2－3一（3）
图2－3—（1），中三条高线都在△ ABC内，
图2－3－（2），中高线CD在△ABC内，而高线AC与BC是三角形的边；
图2－3一（3），中高线BE在△ABC内，而高线AD、CF在△ABC外。
二、三角形三条边的关系
三角形三边都不相等，叫不等边三角形；有两条边相等的叫等腰三角形；三边都相等的则叫等边三角形。
等腰三角形中，相等的两条边叫腰，另一边叫底边，腰和底边的夹角叫底角，两腰的夹角叫项角。
三角形分类
按接边相等关系来分类：
三角形等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰等腰三角形不等边三角形三角形
用集合表示，见图2－4
推论三角形两边的差小于第三边。
不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边。
例如三条线段长分别为5，6，1人因为5＋6＜12，所以这三条线段，不能作为三角形的三边。
一、选择题
1．如图，,,ABADCBCDACBD、相交于点O，则下列说法中正确的个数是（ ）
①ODOB；②点O到CBCD、的距离相等；③BDABDC；④BDAC
A．4 B．3 C．2 D．1
2．MAB为锐角，ABa，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，BCx，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（ ）
A．xd或xa≥ B．xa≥ C．xd D．xd或xa
3．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（ ）
A．1.5 B．2 C．22 D．10
4．如果a、b、c分别是三角形的三条边，那么化简acbbca的结果是（ ）
A．2c B．2b C．22ac D．bc
5．下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cm B．5cm，6cm，11cm
C．3cm，4cm，8cm D．5cm，6cm，10cm
6．如图，12AB，CAAB于A，DBAB于B，且4ACcm，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P，Q两点同时出发，运动______分钟后CAP与PQB△全等（ ）
A．4或6 B．4 C．6 D．5
7．已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
8．如图，AE∥DF，AE＝DF．添加下列的一个选项后．仍然不能证明△ACE≌△DBF的是（ ）
A．AB＝CD B．EC＝BF C．∠E＝∠F D．EC∥BF
9．下列各组条件中，不能判定AABCBC≌△△的是（ ）
A．ACACBCBCCC B．AABCBCACAC
CBA（第6题） 1.1 认识三角形（二）
A组
1．如图，CD⊥AB，则图中直角三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在△ABC中，∠B=60°，AD是△ABC的角平分线，∠DAC=31°，则∠C的度数为（ ）
A．58° B．60° C．62° D．92°
3．在△ABC中，D为BC上的一点，且S△ABD=S△ACD，则AD为△ABC的（ ）
A．高 B．角平分线 C．中线 D．不能确定
4．如图，在△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A=50°，则∠BOC等于（ ）
A．110° B．115° C．120° D．130°
5．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，AB=5厘米，BC=3厘米，BM为中线，则△ABM与
△BCM的周长之差是 厘米．
★7．如图，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点．若S△BFC=1，则S△ABC= ．
8．如图, 在△ABC中, 请作图：
①画出△ABC的一条角平分线CD；
②画出△ABC中AC边上的中线BE；
③画出△ABC中BC边上的高AF．
9.如图，在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD将这个
三角形的周长分为15cm和6cm两部分，求三角形三边的长。
（第1题） （第2题） （第4题） （第7题）
B组
★10.如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC边上任意一点，PF⊥AB于
点F，PE⊥AC于点E，BD为△ABC的高线，BD＝8，求PF＋PE的值．
11．如图，在△ABC中，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线．
（1）若∠ABC=60°，∠ACB=50°，求∠BOC的度数．
