初二数学三角形试题

初二数学三角形试题

1. 如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在D’处，若AB＝3，AD＝4，则ED的长为 （ ）

A． B．3 C．1 D．

【答案】A．

【解析】∵AB=3，AD=4，

∴DC=3，

∴AC=5，

根据折叠可得：△DEC≌△D′EC，

∴D′C=DC=3，DE=D′E，

设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，

在Rt△AED′中：（AD′）2+（ED′）2=AE2，

22+x2=（4﹣x）2，

解得：x=．

故选A．

【考点】翻折变换（折叠问题）．

2. 如图，中是腰的垂直平分线，的度数是 。 【答案】15°．

【解析】已知∠A=50°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABC=∠A，易求∠DBC．

试题解析：∵∠A=50°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=（180°-∠A）=65°

又∵DE垂直且平分AB，

∴DB=AD，

∴∠ABD=∠A=50°，

∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°．即∠DBC的度数是15°．

考点: 1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的性质．

3. 如图，已知△ABC中，BD、CE是高，F是BC中点，连接DE、EF和DF．

（1）求证：△DEF是等腰三角形；

（2）若∠A＝45°，试判断△DEF的形状，并说明理由；

（3）若∠A：∠DFE＝5：2，BC=4，求△DEF的面积．

【答案】（1）证明见试题解析；（2）△DEF是等腰直角三角形，理由见试题解析；（3）1．

【解析】（1）由直角三角形斜边上直线的性质可得：EF=BC=DF；故△DEF为等腰三角形；

（2）由△BEF和△DFC为等腰三角形和∠A=45°，求出∠EFD的度数即可；

（3）设∠A=5，则∠DFE=2，用（2）类似的方法求出∠DFE=30°，作出△EDF边DF上的高EG，求出EG的长即可．

试题解析：（1）证明：∵BD、CE是高，F是BC中点，∴EF=BC=DF，∴△DEF是等腰三角形．

（2）△DEF是等腰直角三角形；理由：∵∠A＝45°，∴∠EBF+∠DCF=180°-45°=135°，∵EF=BC=DF，∴∠EBF=∠FEB，同理，∠DCF=∠FDC，∴∠FEB+∠FDC=135°，

∴∠BFE+∠CFD=180°+180°-135°-135°=90°，∴∠DFE=180°-90°=90°，∴△DEF是等腰直角三角形．

（3）作EG⊥DF于G，设∠A＝5，∠DFE＝2，∵EF=BF，DF=FC，∴∠FBE=∠BEF，∠FCD=∠FDC，

∴∠BFE+∠CFD=180°－2∠FBE+180°－2∠FCD=2(180°－∠FBE－∠FCD)=2∠A=，∵，∴∠DFE＝2，∵BC=4，∴DF=EF=2，∴EG=1，∴△DEF面积1．

【考点】1．直角三角形斜边上的中线；2．等腰三角形的判定与性质；3．三角形内角和定理；4．含30度角的直角三角形．

4. 已知如图点D是△ABC的两外角平分线的交点，下列说法：

①AD=CD②D到AB、BC的距离相等③D到△ABC的三边的距离相等 ④点D在∠B的平分线上

其中正确的说法的序号是_____________________.

【答案】234．

【解析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，过点作于点，于点，于点，则．

试题解析：过点作于点，于点，于点．

∵平分，平分， ∴．

∴点在的平分线上，到，的距离相等．

故234正确．

【考点】角平分线的性质．

5. 如图，在某小区的休闲广场有一个正方形花园ABCD，为了便于观赏，要在AD、BC之间修一条小路，在AB、DC之间修另一条小路，使这两条小路等长．设计师给出了以下几种设计方案：

①如图1，E是AD上一点，过A作BE的垂线，交BE于点O，交CD于点H，则线段AH、BE为等长的小路；

②如图2，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，则线段GH、BE为等长的小路；

③如图3，过正方形ABCD内任意一点O作两条互相垂直的直线，分别交AD、BC于点E、F，交AB、CD于点G、H，则线段GH、EF为等长的小路；

根据以上设计方案，解答下列问题：

（1）你认为以上三种设计方案都符合要求吗？

（2）要根据图1完成证明，需要证明△ ≌△ ，进而得到线段 = ； （3）如图4，在正方形ABCD外面已经有一条夹在直线AD、BC之间长为EF的小路，想在直线AB、DC之间修一条和EF等长的小路，并且使这条小路的延长线过EF上的点O，请画草图（加以论述），并给出详细的证明．

【答案】（1）符合要求

（2）ABE DAH BE AH

（3）见解析 【解析】（1）通过证明三角形全等，由全等三角形的对应边相等可以判断以上三种设计方案都符合要求；

（2）在图1中，先由正方形的性质得出∠BAE=∠ADH=90°，AB=AD，根据同角的余角相等得出∠ABE=∠DAH，再利用ASA证明△ABE≌△DAH，进而由全等三角形的对应边相等即可得出BE=AH；

（3）先过点O作EF的垂线，分别交AB、DC的延长线于点G、H，则线段GH、EF为等长的小路．再进行证明：过点H作HN⊥AB交AB的延长线于点P，过点E作EP⊥BC交BC的延长线于点P，利用AAS证明△GHN≌△FEP，即可得出GH=EF．

解：（1）以上三种设计方案都符合要求；

（2）如图1，∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAE=∠ADH=90°，AB=AD，

又∵BE⊥AH，

∴∠ABE=∠DAH=90°﹣∠BAH．

在△ABE与△DAH中，

，

∴△ABE≌△DAH（ASA）， ∴BE=AH；

（3）如图，过点O作EF的垂线，分别交AB、DC的延长线于点G、H，则线段GH为所求小路．理由如下：

过点H作HN⊥AG于N，过点E作EP⊥BC交BC的延长线于点P，则∠GNH=∠FPE=90°．

∵AB∥CD，HN⊥AB，CB⊥AB，

∴NH=BC，

同理，EP=DC．

∵BC=DC，∴NH=EP．

∵GO⊥EF，∴∠MFO+∠FMO=90°，

∵∠BGM+∠GMB=90°，∠FMO=∠GMB，

∴∠BGM=∠MFO．

在△GHN与△FEP中，

，

∴△GHN≌△FEP（AAS）， ∴GH=EF．

故答案为：ABE，DAH，BE，AH．

点评：本题考查了数学知识在实际生活中的应用，其中涉及到正方形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质，难度不大．体现了数学知识来源于生活，并且为生活服务，能够激发同学们学习数学的热情．

6. 如图，一正方体纸盒的棱长为1米，一只小蚂蚁从正方体纸盒的一个顶点A沿正方体的表面爬到正方体的另一个顶点B，那么小蚂蚁所爬行的最短路线长为 米。(结果用含根号的式子表示)

【答案】

【解析】把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于棱长，另一条直角边长等于两条棱长，利用勾股定理可求得．

展开后如图所示：

由勾股定理得米．

【考点】勾股定理的应用

点评：勾股定理的应用是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.

7. 一个三角形三边分别是6,8,10，则这个三角形最长边上的高是（ ）

A．8 B． C．5 D．

【答案】D

【解析】设该高截得的最长边分别是x，10-x，则需要满足：，所以x=3.6

所以h=，故选D

【考点】列方程求解

点评：本题属于对列方程求解的基本知识的理解以及运用

8. 八（11）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案：

（Ⅰ）如左图，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、 BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；

（Ⅱ）如右图，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使BC=CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离.

阅读后回答下列问题：

（1）方案（Ⅰ）是否可行？请说明理由。

（2）方案（Ⅱ）是否可行？请说明理由。

若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）是否成立？ 【答案】（1） SAS （2）ASA 不可行 【解析】(1)方案一可行，

可以测出长度。

（3） 方案二可行

故可以

（4） 不可行

题目中通过做直角三角形，不能得到基本的关系，无法证明AB=DE

故不行

【考点】全等三角形的性质和判定

点评：解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

9. (本题满分6分)在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB、BC于D、E，若∠CAE=∠B+30°，求∠AEC的度数。

【答案】

【解析】∵ED垂直平分AB，∴，∴，∴，∵在△ACE中，，∴，∵，∴，∴，∴

【考点】垂直平分线

点评：本题难度不大，关键在于知道垂直平分线的特殊性，由此可以求出

10. 如图，是的一个外角，平分，且，请问 是等腰三角形吗？为什么？

【答案】△ABC是等腰三角形。 (2分)

【解析】根据平行线的性质可得到∠EAD=∠B，∠DAC=∠C，再根据角平分线的定义可推出∠B=∠C，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形即可判定．

【考点】等腰三角形的判定；平行线的性质．

点评：此题要求熟练运用等腰三角形的判定与平行线的性质．

11. 下列各组线段中⑴、、；⑵； ⑶；⑷；⑸、、；其中可以构成直角三角形的有（ ）组。

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】试题分析: 勾股定理是指把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理。若a的平方+b的平方=c的平方，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形，此为勾股定理的逆定理。本题中，