七年级数学平行线的有关证明及答案

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平行线的性质与判定的证明

练习题

温故而知新：

1.平行线的性质

（1）两直线平行，同位角相等；

（2）两直线平行，内错角相等；

（3）两直线平行，同旁内角互补.

2.平行线的判定

（1）同位角相等，两直线平行；

（2）内错角相等，两直线平行；

（3）同旁内角互补，两直线平行互补.

例1 已知如图2-2，AB∥CD∥EF，点M，N，P分别在AB，CD，EF上，NQ平分∠MNP．（1）若∠AMN=60°，∠EPN=80°，分别求∠MNP，∠DNQ的度数；

（2）探求∠DNQ与∠AMN，∠EPN的数量关系．

解析：

在我们完成涉及平行线性质的相关问题时，注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.

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例2 如图，∠AGD＝∠ACB,CD⊥AB,EF⊥AB,证明：∠1＝∠2.

解析：在完成证明的问题时，我们可以由角的关系可以得到直线之间的关系，由直线之间的关系也可得到角的关系.

例3 （1）已知：如图2-4①，直线AB∥ED，求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD；

（2）当点C位于如图2-4②所示时，∠ABC，∠CDE与∠BCD存在什么等量关系？并证明．

解析：在运用平行线性质时，有时需要作平行线，取到桥梁的作用，实现已知条件的转化.

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例4 如图2-5，一条公路修到湖边时，需绕道，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？

解析： 把关于角度的问题转化为平行线问题，利用平行线的性质与判定予以解答.

举一反三：

1.如图2-9，FG∥HI,则∠x的度数为（ ）

A.60° B. 72° C. 90° D. 100°

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2. 已知如图所示，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数.

3.已知：如图2-10，AB∥EF，BC∥ED，AB，DE交于点G．

求证：∠B=∠E．

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例4如图2-6，已知AB∥CD，试再添上一个条件，使∠1=∠2成立，并说明理由．

解决此类条件开放性问题需要从结果出发，找出结果成立所需要的条件，由果溯因.

5.如图1-7，已知直线1l2l，且3l和1l、2l分别交于A、两点，点P在AB上，4l和1l、2l分别交于C、D两点，连接PC、PD。

（1） 试求出∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由。

（2） 如果点P在A、B两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化。

（3） 如果点P在AB两点的外侧运动时，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系（点P和A、B不重合）

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6.如图2-11，CD平分∠ACB，DE∥AC，EF∥CD，EF平分∠DEB吗？请说明理由．

7.如图1-12，CD∥EF, ∠1+∠2=∠ABC,

求证：AB∥GF

8.如图2-13，已知AB∥CD，∠ECD=125°，∠BEC=20°，求∠ABE的度数．

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答案：

1. 根据两直线平行，内错角相等及角平分线定义求解.

（标注∠MND=∠AMN，∠DNP=∠EPN）

答案：（标注∠MND=∠AMN=60°，

∠DNP=∠EPN=80°）

解：（1）∵AB∥CD∥EF，

∴∠MND=∠AMN=60°，

∠DNP=∠EPN=80°，

∴∠MNP=∠MND+∠DNP=60°+80°=140°，

又NQ平分∠MNP，

∴∠MNQ= ∠MNP= ×140°=70°，

∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND=70°-60°=10°，

∴∠MNP，∠DNQ的度数分别为140°，10°.(下一步)

（2）（标注∠MND=∠AMN，∠DNP=∠EPN）

由（1）得∠MNP=∠MND+∠DNP=∠AMN+∠EPN，

∴∠MNQ= ∠MNP= （∠AMN+∠EPN），

∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND

= （∠AMN+∠EPN）-∠AMN

= （∠EPN-∠AMN），

即2∠DNQ=∠EPN-∠AMN.

2. （标注：∠1＝∠2=∠DCB，DG∥BC，CD∥EF）答案：（标注：∠1＝∠2=∠DCB）

证明：因为∠AGD=∠ACB，

所以DG∥BC，

所以∠1＝∠DCB，

又因为CD⊥AB,EF⊥AB，

所以CD∥EF，

所以∠2＝∠DCB，

所以∠1=∠2.

3. （1） 动画过点C作CF∥AB

由平行线性质找到角的关系.(标注∠1=∠ABC，∠2=∠CDE)

答案：证明：如图，过点C作CF∥AB，

∵直线AB∥ED，

∴AB∥CF∥DE，

∴∠1=∠ABC，∠2=∠CDE.

∵∠BCD=∠1+∠2，

∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；

（2） 解析：动画过点C作CF∥AB, 由平行线性质找到角的关系.

（标注∠ABC+∠1=180°，∠2+∠CDE=180°）

答案：∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°．

证明：如图，过点C作CF∥AB，

∵直线AB∥ED，

∴AB∥CF∥DE， 学习必备

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∴∠ABC+∠1=180°，∠2+∠CDE=180°.

∵∠BCD=∠1+∠2，

∴∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°．

4. 动画过点B作BD∥AE，

答案：

解：过点B作BD∥AE，∵AE∥CF，

∴AE∥BD∥CF，∴∠A=∠1，∠2＋∠C=180°

∵∠A=120°，∠1+∠2=∠ABC=150°，

∴∠2=30°，

∴∠C=180°-30°=150°．

例题

1. 解析：∠AEG=180°-120°=60°,由外凸角和等于内凹角和有60°+30°+30°＝x+48°，解得x=72°.

答案:B.

2. 解:∵AB∥EF∥CD,

∴∠B=∠BEF,∠DEF=∠D.

∵∠B+∠BED+∠D=192°,

即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192°,

∴2(∠B+∠D)=192°,

即∠B+∠D=96°.

∵∠B-∠D=24°,

∴∠B=60°,

即∠BEF=60°.

∵EG平分∠BEF,

∴∠GEF= ∠BEF=30°.

3. 解析：标注AB∥EF，BC∥ED

答案：证明：∵AB∥EF，

∴∠E=∠AGD.

∵BC∥ED，

∴∠B=∠AGD，

∴∠B=∠E.

4. 解析：标注 AB∥CD，∠1=∠2

答案：方法一：（标注CF∥BE）

解：需添加的条件为CF∥BE ，

理由：∵AB∥CD，

∴∠DCB=∠ABC.

∵CF∥BE，

∴∠FCB=∠EBC， 学习必备

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∴∠1=∠2；

方法二：（标注CF，BE，∠1=∠2=∠DCF=∠ABE）解：添加的条件为CF，BE分别为∠BCD，∠CBA的平分线．

理由：∵AB∥CD，

∴∠DCB=∠ABC.

∵CF，BE分别为∠BCD，∠CBA的平分线，

∴∠1=∠2．

5. 解：（1）解析：在题目中直接画出辅助线

∠3=∠1+∠2。理由：如图（1）所示

过点P作PE∥1l交4l于E，则∠1=∠CPE，

又因为1l∥2l，所以PE∥2l，则∠EPD=∠2，

所以∠CPD=∠1+∠2，即∠3=∠1+∠2

（2）解析: 点P在A、B两点之间运动时，∠3=∠1+∠2的关系不会发生改变。

（3）解析：如图（2）和（3）所以，当P点在A、B两点外侧运动时，分两种情况：

6. 解析：标注CD平分∠ACB，DE∥AC，EF∥CD

答案：标注∠CDE=∠ACD=∠DCE=∠DEF=∠BEF

解：EF平分∠DEB．理由如下：

∵DE∥AC，EF∥CD，

∴∠CDE=∠ACD，∠CDE=∠DEF，

∠BEF=∠DCE.

∵CD平分∠ACB，

∴∠DCE=∠ACD，